729G04 - Diskret matematik. Lektion 3
1
Uppgifter
1.1
Relationer
1. Vi ges mängden A = {p, q, r, s, t}. Är följande mängder relationer på A?
Om inte, ge ett exempel som visar vad som gör att det inte är det.
a) {(p, q), (p, r), (p, s), (p, t)}
b) {(q, p), (s, p), (r, q), (s, p), (t, p)}
c) {(p, s, s, t), (s, p, q, r)}
d) {(p, p), (q, q), (r, r), (s, s)}
e) {(t, t)}
f) {(p, 1), (p, 2), (p, 3), (p, 4}
g) {} (= ∅)
h) {(∅, ∅)}
2. Du får mängden A = {a, b, c, d, e}. För vart och en av egenskaperna nedan,
skriv upp ett exempel på en relation på A som uppfyller den. Det behöver
inte vara samma relation du beskriver i alla deluppgifterna.
Tips: Det kan vara värt att rita ut en grafisk visualisering av relationen
medan du skriver den (punkter och pilar) för att hålla koll på vilka element
du lagt till i relationen.
a) reflexiv
b) irreflexiv
c) symmetrisk
d) antisymmetrisk
e) transitiv
1
f) en ekvivalensrelation
g) en partialordning
3. Vi utökar nu mängden A från uppgiften ovan, så att den innehåller A =
{a, b, c, d, e, f }. Antag att du har kvar de olika relationerna du beskrev
i uppgiften ovan. Vilka av egenskaperna du skrev ovan kommer att påverkas? Nu när vi har en ny mängd, är den (tidigare) reflexiva relationen
du skrev fortfarande reflexiv, den (tidigare) symmetriska fortfarande symmetrisk och så vidare? Bekräfta.
4. Vi ges D = {1, 2, . . . , 15}, och relationen R där xRy om både x och y är
jämna eller om både x och y är udda. (Så exv 2 R 10, 7 R 3, 2 6 R 7).
a) Visa att detta är en ekvivalensrelation. Visa (i ord) att de tre egenskaperna uppfylls.
b) Visa att D1 = {x ∈ D : xR1}, D2 = {x ∈ D : xR2} är en partition av
D.
c) (*) Betrakta relationen R0 på N som definieras på samma sätt som R
ovan (x R0 y om båda jämna...). Beskriv partitionen av N.
5. Vi ges följande data, som vi vill ordna och dela upp:
Person Födelseår
Anders
1985
Tesco
2004
Bill
1964
Dennis
1941
Eddie
1962
a) Skriv upp mängden personer P . Klassificera relationen ”äldre än (eller
lika gammal som)” (reflexiv, antireflexiv, symmetrisk, antisymmetrisk,
transitiv). Avgör också om det är en ekvivalensrelation, partialordning
eller båda (eller om inget av dem gäller).
b) Gör samma sak för relationen R = {(x, y) : x är född samma årtionde
som y}.
6. Vi ges A = {x, y, z}. Potensmängden P(A) består som bekant av alla
delmängder till A (totalt 8 st). Vi ges nu relationen R = {(D, E) : D ⊆ E}
på P(A). Exempelvis gäller att {x}R{x, y} eftersom {x} ⊆ {x, y}.
a) Intuitivt, borde detta vara en ekvivalensrelation eller en partialordning
(eller båda)?
2
b) Visa din slutsats. Det vill säga, gå igenom de (tre) olika egenskaperna en sådan relation ska ha, en i taget, och bekräfta att relationen
uppfyller dem.
c) Vi säger att en ordning R är en totalordning av en mängd om den säger
något om förhållandet mellan varje element i mängden. Mer formellt:
om vi för varje x, y kan säga att xRy eller yRx (eller båda). Är ⊆ en
totalordning på mängden ovan?
d) Om vi ersatt ⊆ med ⊂ ovan, vilka egenskaperna i uppgift a/b hade
påverkats?
e) (*) Gäller detta för relationen ⊆ på P(B) för valfri icke-tom mängd
B?
1.2
Grafer (begrepp)
7. Vi ges den oriktade grafen G(V,E), med V = {a, b, c, d, f },
E = {{a, b}, {a, c}, {a, d}, {c, d}, {b, f }}.
a) Rita ut grafen.
b) Hur många bågar nuddar a? Detta kallas ”graden av a”.
8. Vi ges den riktade grafen G(V,E), med V = P(A) från uppgift 6 ovan,
och E = R. Rita ut grafen. (Ett tips är att rita {x, y, z} längst upp och
gå vidare därifrån.)
3