1. No category

5.3 Sannolikhet i flera steg
Närmansinglarslantkanmanfåutfallenkronaellerklave.Sannolikheten att fåklave är - och krona ^. Vadär sannolikheten att fäkrona
två. kast i rad?
Träddlagram
Föratt tydligare sesannolikheter vid tvåkast i radkan manrita ett träddiagram.
Klaver
Krona T;
l .-
l
Krona ^ / \Klave ^ Krona ^
Sannolikheten
för varje grenar^.
I träddiagrammet representerar defyragrenarnademöjligautfallen.
Det finns totalt fyra möjliga utfall:
krona, krona krona, klave klave, krona klave, klave
>>.»
l l
4 4
Alla utfall är
lika sannolika
Sannolikheten att få utfallet krona, krona är -;..
Det kan beräknas genom att multiplicera sannolikheterna längs den
gren det gäller:
P(krona,krona) - PCkrona) .P(krona) =^'3=4
Komplementhandelse
Föratt beräkna sannolikheten förm;'ns( enkrona kan man adderadetre
grenar som innehåller krona.
P(minst en krona) -
= P(krona,krona)+ .P(krona,klave)+ P(klave,krona)=^+^+^^~^
Alternativet till att få minst en krona är att man inte får någonkrona
alls,detvill sägaklave,klave.Klave,klaveärenkomplementhänclelsetill
minst en krona.
Eftersom summan av sannolikheten för alla möjliga utfall alltid är l,
sa ar
?(minst en krona) + P(klave, klave) = l
Dåkan sannolikheten för minst en krona beräknasmed hjälp av
komplementhändelse:
l 3
P(minstenkrona)-1- 7'(klave,klave)= l -^ ^
Komplementhändelse
SANNOLIKHET OCH STATISTIK *. 5, 3 SANNOLIKHET I FLERA STEG
^r-^^f^. ^fT^^^^j. ^'
lixcmpttl
Astrid snurrar på hjulet två gånger.
Hur stor är sannolikheten att hjulet
stannar på rött båda gångerna?
Lösning Sannolikhetenattfåröttvarjegånghonsnurrarärg.
Pfrött,rött)= P(rött) .P(rött) = 3-3 = ^
l
Svar: Sannolikheten att hjulet stannar på rött båda gångerna är^.
Exempel
Niklas hartvåtrafikljus påsinbilvägtill jobbet. Sannolikheten för
gröntljus är0,4 vidvarje trafikljus.
a) Beräkna sannolikheten för rött ljus.
b) Rita ett träddiagram.
c) Beräkna sannolikheten för två gröna ljus.
d) Beräknasannolikheten förminst ett rött ljus.
Lösning
a) J'(rött) + .P(grönt) -1
Summanavallasannolikheter ar l
Pfrött) -1 - P(grönt) =1-0, 4= 0,6
Svar: Sannolikheten för rött ljus är 0, 6.
Rött
0,6
.
c) . P(grönt, grönt) = 0,4 . 0, 4 = 0, 16 = 16 %
Svar: Sannolikheten för tvågrönaljus är16 %.
d) P(minst
ett
rott)
=
l
-
J'(grönt, grönt)
=
Kmmstettrotpa
r
entomplement-
händelse till P(grönt, grönt)
= l - 0, 16 = 0, 84 = 84 %
Svar Sannolikheten förminst ett rött ljus är84 %.
-A- Mrtndtet5.3
SANNOLIKHET OCH STATISTIK > 5. 3 SANNOLIKHET I FLERA STEG
if ÖvningsbladS.3 ^
7- - --nniiii 'iNlfifllL . ^W*' . 'a'1*^ ^
.
<*!
Starter
Estelle vinner äntligen pächokladhjulet
efter att ha spelat mångagånger. Hur
påverkar det hennes chanser att vinna
vid nästadragning?
NIVÅETT
l Sannolikheten för att ett frö ska gro är 60 %.
Inte gro
0.4
a) två frön ska gro
b) inget frö ska gro
Pojke 0,5
Flicka 0.5
FBckaO,5
Pojke 0,5
a) Hur stor är sannolikheten för att fä två
pojkar?
b) Hur stor är sannolikheten för att fä två
flickor?
Wilma sår två frön.
Vad ar sannolikheten för att
2 Ett par vill ha två barn. Det är ungefär lika
stor chans att fåen pojke som en flicka.
c) Vilket eller vilka uttryck visar
sannolikheten att en tvåbarnsfamilj har
en flicka och en pojke?
PUUcka,pojke) = 0,25 + 0,25
PUUcka, pojhe) = 0, 5 . 0,5
PCflicka, pojhe) = 0, 5 + 0,5
c) endast ett frö ska gro
3 Isak kastar en tärning. Hur stor är
sannolikheten att han får
a) två sexor i rad
b) två udda tal i rad
SANNOLIKHETOCH STATISTIK »> 5. 3 SANNOLIKHETI FLEBASTEG .t;l
' . "''?S;'?^SS1^S>?%;SS3
.
,.,:.'- .'-^.s^^ä^^^^&^.s^^
4 Du kastar två mynt. Använd träddiagrammet
och bestäm sannolikheten att få
a) tvåklave
b) tvåkrona
6 Patrikharspelatpåhjulettvågångeroch
lyckats fåtvå femmor. Linda påstår att
sannolikheten för att få en femma även vid
nästadragningharminskat och ärmindre
c) en klave och en krona
än-. Harhon rätt? Motivera ditt svar.
6
Klaver
Krona 7;
Krona 7;
S Sara tränar bågskytte. Hon skjuter två pilar
mot ett mål.
7 Ludwig kastar en tärning. Vad är
komplementhändelsen till resultatet
Miss 0.7
Träff0,3
f>.
NIVÅr vä
a) ensexa
b) minst4
c) högst 2
Miss0,7
Träff0,3
8 Norasvararpåtvåsant-ellerfalskt-frågor.
Hon chansar påbådafrågorna. Vad är
Hur stor är sannolikheten att Sara
sannolikheten att Nora har
a) träffar med bådapilarna
a) alla rätt
b) missar med båda pilarna
b) inget rätt
9 I ett frågeprogram påTVhar deltagaren fyra
c) träffar med en av pilarna
svarsalternativ till varje fråga.
d) träffarmed minst en avpilarna
a) Hur stor är sannolikheten att svara rätt på
en fråga om man gissar?
e) Summera svaren i a, b och c.Vad är
svaret? Vad upptäcker du?
b) Bestämsannolikhetenförattmanklarar
f) Vad ärkomplementhändelsen till minst
två frågor i rad om man gissar.
en träff?
Kijw
v
">^.
^,
f A.
^-^l
'^.J
' . -.
JOLIKHET'OC" STATISTIK > 5. 3 SANNOLIKHET I t^ERA STEG
NIVÅTRE
10 Studera träddiagrammet och bestäm
»t
sannolikheterna
0.4
en klass är 20 % per år. Två elever fick i
uppgift att beräkna hur stor sannolikheten är
att klassen drabbas av löss minst en gäng pä
Rött
0,6
Grönt
0,4
Grönt/\
15 Risken att något barn drabbas av huvudlöss i
Rött
-0,6
Grönt
två är.
,
Rött Grönt/\
Rött Grönt/\
Rött Grönt /\
Rött
0, 4 / \ 0.6 0.4 / \ 0, 6 0,4 / \ 0, 6 0, 4 / \ 0,6
Paul: l - (0, 8 . 0, 8)
Jean: 0, 8 . 0, 2 + 0, 8 . 0, 2 + 0, 2 . 0,2
Har någonpåbörjatlösningenkorrekt?
a) P(tre gröna)
Förklara hur de kan ha tänkt.
b) P(ingengrön)
c) Johanna sägeratt P(tre gröna) är
komplementhändelsen till P(inget grönt).
Stämmer det?
16 Sannolikheten för att ett ärtfrö ska gro är
80 %. Benjamin planterar tre frön. Vad är
sannolikheten för att
11 Varje gång Helena skjuter ett skott är
a) alla tre frön skagro
sannolikheten för träff 96 %. I en serie
b) inget frö skagro
skjuter hon två skott.
c) minst ett frö ska gro
a) Mur stor är sannolikheten för två träff?
b) Hur stor är sannolikheten för minst en
17 Du spelar påett lyckohjul två.gånger. Hur
stor är sannolikheten att fä
miss?
c) Ar händelsen i uppgift b
komplementhändelsen till uppgift a?
a) rött päförstaomgången
och gult päandraomgången?
b) samma färgpå bådaomgångarna?
12 Dukastaren tärning.Vilkaav
sannolikheterna i rutan är samma sak som
a) P(minst3)
Pd. 2, 3)
TO, 5, 6)
b) P(högst4)
Pf.3, 4, 5, 6)
P(l, 2, 3, 4)
18 Ett parvill ha tre barn. Hur stor är
sannolikheten att de får minst en pojke?
13 Beskriv ochförklarabegreppet
komplementhändelse samt ge ett exempel.
14 Paraihophändelseochkomplement-
19 I en klass finns det 15 tjejer och 10 killar.
20 % av eleverna spelar fotboll. Hur stor är
sannolikheten att en slumpvis vald elev är
a) en kille som spelar fotboll
händelse.
b) en tjej som inte spelar fotboll
l .P(allarätt)
A P(ingetfel)
2 P(mget rätt)
B ^(allafel)
3 PQninst ett rätt)
C P(minst ett fel)
5 tärningar kastas. Visa att sannolikheten för
4 P(minst ett fel)
D P(minst ett rätt)
Yatzy (femtal) är 0, 0008vid ett kast med fem
20 Yatzy är ett klassiskt tärningsspel där
tärningar.
/*
SANNOLIKHET OCH STATISTIK *. 5. 3 SANNOLIKHET I FLERA STEG