1. No category

Sannolikhetslära
Albertus Pictor | Lyckohjulet
”Regnabo. Regnaui. Sum sine Regno” står det målat över Albertus Pictors lyckohjul i
Härkeberga vapenhus.
Det betyder ”jag skall ha makten, jag har makten, jag har haft makten och jag är utan makt”.
Det är en satirisk beskrivning av 1400-talets adel, som minst av allt var några pålitliga kämpar
mot utländsk överhöghet. (www.satirarkivet.se)
1 Sannolikhetslärans grunder……………………………………….………..2
2 Relativa frekvenser…………………………………………………………….9
3 Oberoende händelser………………………………………………………..12
Några sannolikhetsuppgifter utan svar………………………………….17
Matematiken i historien……………………………………………………….18
Facit…………………………………………………………………………………..22
Bilder: 2 Foton s.4, 7, av Arne Flink; bilder s.6 och 8 av Hans Hillerström; akvareller av
Ramon Cavaller ; geometriska konstruktioner och diagram av Nils-Göran Mattsson
© Författarna och Bokförlaget Borken, 2011
Sannolikhetslära - 1
1 Sannolikhetslärans grunder
Teori ▪ Grundläggande begrepp
Exempel 1
Ett sockerbolag tillverkar bitsocker som
förpackas i kiloförpackningar som
rymmer vardera 306 bitar. Vägning av
sockerbitarna i ett paket gav följande
värden:
Vikt
3,05 – 3,15
3,15 – 3,25
3,25 – 3,35
3,35 – 3,45
3,45 – 3,55
3,55 – 3,65
Antal
36
96
78
44
46
7
Vi ser att vikten per sockerbit varierar. Det finns tydligen 96 sockerbitar
som väger mellan 3,15 g och 3,25 g. 96/306 = 31 % av sockerbitarna
finns alltså i detta intervall. Man säger att sannolikheten för att en
sockerbit har en vikt i intervallet 3,15-3,25 är 0,31.
Exempel 2 Vilken är sannolikheten för att man får minst två klave vid
kast med två enkronor?
Sannolikhetslära - 2
Att väga en på måfå vald sockerbit från paketet och att kasta två tärningar
är exempel på slumpmässiga försök.
Om vi bara tänker väga en sockerbit, så vet vi inget om vad vikten kommer
att bli. Men om vi väger sockerbitarna i många paket så kan vi med stor
säkerhet tala om hur många procent av sockerbitarna som har en vikt i
ett givet intervall.
Kastar man två mynt, så vet man inte om det kommer upp (krona,
krona), (krona, klave), (klave, krona) eller (klave, klave). Kastar man
däremot två mynt 1000 gånger, så kommer andelen (klave, klave) att
bli ca 25%.
Resultatet av ett försök kallar man försökets utfall.
Vi kan tänka oss följande utfall i de två försöken ovan:
(1) En sockerbit väger 3,17 g.
(2) Vid ett kast med två mynt får vi (krona, krona).
Mängden av möjliga utfall vid ett försök benämns utfallsrum och
betecknas vanligen med Ω.
(1) Antag att tillverkningen aldrig ger sockerbitar som väger mindre än
3,00 g och mer än 3,70 g. Vi skriver då Ω = [3,0; 3,70]
(2) Utfallsrummet vid kast med två enkronor är: {(krona, krona),
(krona, klave), (klave, krona),(klave, klave)}
Sannolikhetslära - 3
En händelse är en delmängd av utfallsrummet.
(i) I det ovan angivna utfallsrummet [3,00; 3,70] kan man beräkna
sannolikheten för olika händelser t ex händelsen: vikten ligger i
intervallet [3,25; 3,35].
(ii) Händelsen att man får [(krona, krona)].
Modell ▪ Kast med två tärningar
Vi kastar två tärningar, en grön
och en röd. Vart och ett av
kasten kan anges med ett talpar,
t ex (3, 5), där 3 är antalet ögon
på den gröna tärningen och 5
på den röda tärningen. Detta är
inte sam-ma kast som utfallet
(5, 3). Varför? Utfallsrummet
för två tärningar som kastas kan
enkelt åskådliggöras med ett
koordinatsystem, där den gröna
tärningens värde avsätts på den
horisontella axeln och den
rödas värde på den vertikala
axeln. Punkten (2, 6) i
koordinatsystemet betyder alltså
ett kast där den gröna tärningen
visar 2 och den röda 6. Vi får
på detta sätt ett utfallsrum med
36 utfall.
I diagrammet ovan är några händelser markerade.
A: Poängsumman är minst 10.
B: Den första tärningen visar en etta.
Sannolikhetslära - 4
Teori ▪ Sannolikhetsbegreppet
De två utfallsrummen som vi betraktat har varit av två olika slag. I
exemplet med sockerbitars vikt är utfallsrummet oändligt, eftersom
vikten kan anta vilket tal som helst i utfallsrummet. I exemplet med kast
av två tärningar är utfallsrummet ändligt. I vårt fall fanns 36 möjliga
utfall.
Vårt sannolikhetsbegrepp skall uppfylla två villkor:
(1)
För varje händelse, A, skall det finnas ett tal, P(A), som kallas
sannolikheten för A och som ligger i intervallet 0 ≤ P(A) ≤ 1.
(2)
Varje utfall tillhör utfallsrummet P(Ω) = 1.
Vid vissa symmetriska försök har alla utfall samma sannolikhet.
Vi har s k likformig sannolikhetsfördelning.
I vårt exempel med de två tärningarna har vi 36 utfall och varje enskilt
utfall har alltså sannolikheten 1/36. Eftersom händelsen A = ”summan
av antalet ögon hos de två tärningarna är minst 10” innehåller 6 utfall,
6
1
så är P(A) =
(= ) .
36 6
P(A) =
G1.1
a)
b)
c)
G1.2
a)
b)
c)
antalet med avseende på A gynnsamma utfall g
=
totala antalet utfall
n
Man drar ett kort ur en kortlek. Bestäm sannolikheten för att
man får
en knekt
hjärter kung
spader.
Man kastar två mynt. Beräkna sannolikheten för att man får
exakt en klave
åtminstone en krona
högst en krona.
Sannolikhetslära - 5
G1.3
a)
b)
c)
d)
G1.4
a)
b)
c)
d)
Åskådliggör utfallsrummet vid kast med två tärningar och markera följande händelser samt beräkna händelsens sannolikhet:
samma poäng på båda tärningarna
poängsumman är åtminstone 8
poängsumman är högst 5
man får högst en poäng mer på den ena tärningen än på den
andra.
Om man snurrar två gånger
på lyckohjulet, vilken är då
sannolikheten för att
de båda talen är lika
de båda talen är olika
de båda talen är mindre än 6
summan av talen är minst
15?
G1.5
Vad är sannolikheten för att en sockerbit, enligt tabellen
tidigare väger minst 3,35 g?
G1.6
Ikosaedern här bredvid är en
slumptärning. Den är
symmetrisk och har 20
trianglar som sidoytor. Var
och en av siffrorna 1, 2,
3, ... , 20 förekommer på två
av dessa trianglar. Om man
kastar en sådan tärning, vilken
är då sannolikheten för att
man får
ett udda tal
ett tal som är delbart med 3
ett tal som är mindre än 7?
a)
b)
c)
Sannolikhetslära - 6
G1.7
a)
b)
c)
En urna innehåller två röda, tre
blå kulor och två vita kulor.
Man tar på måfå en kula ur
urnan. Beräkna sannolikheten
för att man får
en röd kula.
en blå kula.
en vit kula.
G1.8
Man väljer på måfå ett tal mellan ett och hundra. Vad är
sannolikheten för att man väljer ett primtal?
V1.9
Romarna använde sig vid tärningsspel ofta av en tärning kallad
talus. Denna hade endast fyra plana sidor med respektive 1, 3,
4 och 6 ögon. Beräkna sannolikheten för att, vid kast med två
symmetriska talus-tärningar
båda tärningarna har samma antal ögon
ögonsumman blir ett udda tal
minst en av tärningarna får ett udda antal ögon.
a)
b)
c)
V1.10 En person säger: ”Jag har två barn; åtminstone ett av dem är en
pojke.” Vad är sannolikheten för att båda är pojkar?
V1.11
a)
b)
Ur en kortlek dras efter varandra tre kort.
Om det första blev en hjärter, vilken är då sannolikheten för att
också det andra kortet blir en hjärter?
Om de två första korten blev hjärter, vilken är då sannolikheten
för att även det tredje blir en hjärter?
Sannolikhetslära - 7
V1.12 Arletta äger tärningar utformade som platonska kroppar, dvs de
har 4, 6, 8, 12 eller 20 sidor. På alla är samtliga sidor numrerade med på
varandra följande siffror med 1 som första siffra. Hon kastar ett antal
serier med en av dessa. Varje serie utförs med 120 kast. Hon får i genomsnitt 15 treor. Hur ser hennes tärning ut?
V1.13 Arletta plockar fram en annan av sina tärningar. Även nu utför
hon serier om 120 kast. Hon upptäcker då att tre på varandra följande
tal kommer upp 18 gånger i genomsnitt. Vilken tärning har hon använt?
Sannolikhetslära - 8
2 Relativa frekvenser
Teori ▪ Relativa frekvenser
Det hittills berörda sannolikhetsbegreppet kallas det klassiska. Vi inser
att i en väl blandad kortlek är sannolikheten för att få ett hjärterkort
0,25. Detta kan tolkas på följande sätt. Om vi med återläggning drar ett
stort antal kort ur kortleken och blandar den väl efter varje dragning så
kommer antalet dragna hjärter dividerat med det totala antalet dragningar att bli ungefär 25 %. Detta är den s k relativa frekvensen.
Diagrammet här bredvid visar
resultatet, när en dator fått utföra
”kast med en 6-sidig tärning”, ett s k
simuleringsprogram. Diagrammet
visar den relativa frekvensen för
händelsen ”jämnt värde” som en
funktion av antalet ”kast”. Vi ser i
diagrammet att den relativa
frekvensen kommer allt närmare
värdet 0,50 när antalet ”kast” ökar.
Detta fenomen kallas de relativa
frekvensernas stabilitet. Vid de
tillfällen där sannolikheten går att
bestämma med likformig
sannolikhetsfördelning, stämmer
denna överens med den relativa
frekvensen. Om det inte är
symmetri, så kan beräkningen av den
relativa frekvensen vara den enda
metod som ger ett värde på
sannolikheten. Ju fler försök som
gjörs desto bättre värde får vi på
sannolikheten för en viss händelse.
Sannolikhetslära - 9
G2.1
Under en lång tid har man studerat gymnasiebetygen, i
gymnasieskolan före 2011, för individuella val vid en
gymnasieskola och beräknat följande sannolikheter.
Betyg
IG
G
VG
MVG
Sannolikhet 0,05
0,15
0,45
0,35
Beräkna sannolikheten för a) G på ett individuellt val
b) VG eller MVG på valet.
G2.2
Tabellen visar de nio vanligaste tilltalsnamnen som getts till
flickor år 2000.
Namn
Julia Emma Wilma Hanna Elin Linnéa Amanda Ida
Antal
28 27
26
23
22 22
20
18
per 1000
a) Vad är sannolikheten för att en flicka född detta år fick
namnet Elin?
b) Vad är sannolikheten för att en flicka född år 2000 fått ett
av de åtta vanligaste tilltalsnamnen?
G2.3
Frekvensen trafikolyckor i en medelstor stad har undersökts
under en lång följd av fredagar. Resultatet framgår av tabellen:
Antal olyckor 0
1
2
3
4
Sannolikhet 0,793 0,151 0,034 0,021 0,001
Beräkna sannolikheten för att det en fredag ska inträffa
a) precis en olycka b) högst en olycka c) åtminstone en olycka
d) en eller två olyckor.
G2.4
Tabellen på nästa sida visar andelen kvinnor som fått minst ett
barn i september månad det år de uppnått en viss ålder.
Vad är sannolikheten för att kvinnor födda 1950 hade fått
minst ett barn när de var fyllda 25 år? (Vi antar att september
månad är representativt för hela året.)
Vad är samma värde för kvinnor födda 1970?
Vad är sannolikheten för att kvinnor födda 1965 har fått minst
ett barn vid uppnådda 20 år?
Vad är sannolikheten för att kvinnor födda 1965 har fått minst
ett barn vid uppnådda 25 år?
Vad är sannolikheten för att kvinnor födda 1965 har fått sitt
första barn vid en ålder mellan 20 och 25 år?
a)
b)
c)
d)
e)
Sannolikhetslära - 10
f)
Vad är sannolikheten för att kvinnor födda 1965 har fått sitt
första barn vid en ålder mellan 25 och 30 år?
Andelen kvinnor som fått minst ett barn i september
månad det år de uppnått en viss ålder.
Sannolikhetslära - 11
3 Oberoende händelser
Teori ▪ Oberoende händelser
Antag att vi kastar en krona två gånger för att se om vi får krona eller
klave. Vi inser att sannolikheten för att få krona vid första kastet är 0,5.
Även vid andra kastet är sannolikheten för krona 0,5. Sannolikheten för
att få krona även denna gång minskar inte, även om händelsen krona
skulle ha inträffat vid första kastet. Kronan minns inte vad som hände
vid första kastet. Man säger att de två händelserna är oberoende.
Vi kan slå fast att om vi har två oberoende händelser A och B, så är
sannolikheten för att både A och B inträffar: P(A och B) = P(A)⋅P(B) .
Alltså är P(krona i första kastet och krona i andra kastet) = 0,5⋅0,5 (= 0,25).
Vi tänker oss två trafikljus L 1 och L 2 . Där L 1 befinner sig i en stad under
det att L 2 finns i en helt annan stad. Om sannolikheten för att L 1 och L 2
var för sig skall visa rött är 0,4 så är sannolikheten 0,4⋅0,4 (= 0,16) för
att de samtidigt visar rött. De är oberoende av varandra. Det finns inget
orsakssamband mellan dem.
Om vi däremot tänker oss att de två ljussignalerna befinner sig nära
varandra och på samma genomfartsled i en stad, så är det inte säkert att
sannolikheten för att bägge visar rött eller grönt är oberoende. Stadens
trafiktekniker kan ha ordnat det så att en bilist som får grönt ljus vid en
signal även med stor sannolikhet får grönt vid efterföljande signal. De
vill undvika trafikstockningar och tomgångskörning. I detta fall är de två
händelserna inte oberoende.
Sannolikhetslära - 12
Teori ▪ Träddiagram
Vi har en två år gammal telekatalog och vill bedöma hur användbar den
är. Den uppgiften kan illustreras och lösa med ett träddiagram. Ett
sådant brukar ritas upp och ned, med roten uppåt.
Efter ett år är 70% av uppgifterna
korrekta och resten, 30%, har
förändrats. Det symboliseras i
träddiagrammet här bredvid av
grenarna SA och SB där SA anger
sannolikheten att en slumpvis vald
uppgift är oförändrad (70%) och
SB anger att den har förändrats
(30%).
Till punkten A kommer vi om ett år har turen att använda någon av de
70% korrekta uppgifterna i katalogen. Men när vi efter två år använder
samma telekatalog är sannolikheten att vi får korrekta uppgifter bara
0,7 ∙0,7 = 0,49. Detta motsvarar grenen SAC. Det är tydligen mer sannolikt att en eller bägge av två slumpvis valda kataloguppgifter är felaktig(a)
än att den (de) är korrekta.
Grenen SAD symboliserar sannolikheten att få tag i en uppgift som bara
ändrats det andra året. På samma sätt betyder gren SBE sannolikheten
att en slumpvis vald uppgift bara ändrats det första, men inte det andra
året. Grenen SBF till slut anger sannolikheten att en uppgift ändrats
båda åren. Vi har antagit att händelsen att en kataloguppgift ändrats
andra året är oberoende av om det ändrats första året.
Händelse
Ingen förändring vare sig år 1 eller 2 (SAC)
Förändring år 1 men inte år 2 (SBE)
Förändring år 2 men inte år 1 (SAD)
Förändring både år 1 ochår 2 (SBF)
Hela utfallsrummet
Sannolikhet
0,7∙0,7 = 0,49 = 49%
0,3∙ 0,7 = 0,21 = 21%
0,7∙0,3 = 0,21 = 21%
0,3∙0,3 = 0,09 = 9%
1,00 = 100%
Sannolikhetslära - 13
G3.1
William och Wilma kastar pil mot en tavla. William träffar
med sannolikheten 3/5 och Wilma med sannolikheten 2/3.
Beräkna sannolikheten för att minst en av dem träffar om de
kastar en pil vardera.
G3.2
Sara gör en subjektiv uppskattning av sannolikheten för att hon
skall bli godkänd på ett större matematikprov till 0,8. Matematikläraren erbjuder henne att få göra ett omprov om hon inte blir
godkänd. Eftersom Sara vid omprovstillfället känner till sina
svagheter i matematik uppskattar hon sannolikheten för att
klara detta prov till 0,9. Vilken är sannolikheten för att Sara
blir godkänd på ett av proven? Varför har vi kallat sannolikheten subjektiv?
G3.3
En urna innehåller tre svarta och två vita kulor. Man tar på
måfå en kula ur urnan, antecknar färgen och lägger tillbaks
den. Man tar ytterligare en kula, antecknar och lägger tillbaks.
Beräkna sannolikheten för att man får
två svarta kulor
c)
en svart och en vit.
två vita kulor
a)
b)
G3.4
Vid en gymnasieskola kan man läsa tyska och/eller spanska,
steg 3, som individuellt val. Sannolikheten för att en elev har
valt tyska eller spanska är 0,10 respektive 0,15. Kan man då
vara säker på att sannolikheten för att en elev valt både tyska
och spanska är 0,10⋅0,15?
Sannolikhetslära - 14
V3.5
Antag att man i en kommun kommit fram till följande sannolikheter: (i ) Om det är torrt väder en dag, så är sannolikheten
för torrt väder nästa dag 2/3. ( ii ) Om det är blött väder en dag,
är sannolikheten för torrt väder nästa dag 1/2.
Beräkna sannolikheten för att det skall bli torrt väder i övermorgon, om det är torrt väder i dag.
V3.6
Vår vän Sara, som är intresserad av sannolikhetsberäkningar,
uppskattar sannolikheten till 0,8 för att hon skall korrekt besvara minst 70% av frågorna i ett engelskt ordtest. Testfrågorna
kommer slumpmässigt från en engelsk-svensk ordlista. Vad är
sannolikheten för att hon klarar tre test i rad med minst 70procentigt korrekta svar?
V3.7
Cathrine som är på semester på Madeira, tycker särskilt mycket
om tre av deras räter. Det är espetada , ett grillspett av oxköttskuber smaksatt med vitlök, lagerblad och salt. Spetten grillas
över öppen eld. Rätten serveras med friterade majsgrötskuber.
Vidare är det espada en mycket populär djuphavsfisk tillagad
med curry och banan och espadarte som är svärdfisk, som
serveras med varmt sötpotatisbröd.
Tre dagar i följd kastar hon tärning om vilken huvudrätt hon
skall välja. Om tärningen visar 1, 2 eller 3 väljer hon espetada.
Visar tärningen 4 eller 5 väljer hon espada. Till slut, om tärningen visar 6 väljer hon espadarte.
a)
b)
V3.8
a)
b)
Vad är sannolikheten för att hon får äta samma huvudrätt tre
dagar i följd?
Vad är sannolikheten för att hon får olika rätter var och en av
de tre dagarna?
Henri tippar en stryktipsrad på måfå. Vilken är sannolikheten
för att han får
13 rätt
0 rätt?
Sannolikhetslära - 15
V3.9
Vilken är sannolikheten för att man får tre hjärter om man drar
tre kort ur en kortlek och efter varje dragning lägger tillbaka
kortet (dragning med återläggning)?
V3.10
a)
En urna innehåller fyra kulor numrerade 1, 2, 3 och 4.
Man tar på måfå och utan återläggning tre kulor ur urnan. Rita
ett träddiagram och beräkna sannolikheten för att summan av
de erhållna talen är 8.
Man tar på måfå och med återläggning tre kulor ur urnan. Rita
ett träddiagram och beräkna sannolikheten för att summan av
de erhållna talen är 8.
b)
V3.11
a)
b)
V3.12
a)
b)
Vid tärningsspelet Yatsy kastar man fem vanliga tärningar
samtidigt. Beräkna sannolikheten för att man därvid får
”yatsy”, dvs alla tärningar lika
”liten straight” eller ”stor straight” dvs (1, 2, 3, 4, 5) eller
(2, 3, 4, 5, 6)
Romarna använde sig vid tärningsspel ofta av en tärning kallad
talus. Denna hade endast fyra plana sidor med respektive 1, 3,
4 och 6 ögon. Beräkna sannolikheten för att, vid kast med fyra
talus-tärningar få
Venus, dvs olika siffror på alla tärningarna
Canis, ettor på alla tärningarna.
Sannolikhetslära - 16
Några sannolikhetsuppgifter utan svar
•
En apparat innehåller två mekaniska komponenter, A och B: Sannolikheten för
att A går sönder under ett år är 0,4 och för att B går sönder är 0,1. A och B går
sönder oberoende av varandra. Vad är sannolikheten att
a) både A och B går sönder
b) A men inte B går sönder
c) exakt en av komponenterna går sönder?
•
I en låda finns kulor i två storlekar och med ett flertal färger. Av kulorna är 1/3
små och 2/5 röda. Beräkna sannolikheten att en slumpvis vald kula är antingen
liten eller röd, förutsatt att hälften av de små kulorna är röda.
•
Ulla åker bil till skolan varje morgon. På vägen dit passerar hon två trafikljus som
hon tycker alltid visar rött. Det första trafikljuset visar rött ljus i 68 sekunder och
någonting annat än rött ljus i 34 sekunder. Det andra trafikljuset visar rött ljus i
78 sekunder och någonting annat än rött ljus i 32 sekunder. Trafikljusen slår om
helt oberoende av varandra.
a) Hur stor är sannolikheten att hon får rött ljus vid det första trafikljuset?
b) Hur stor är sannolikheten att hon får rött ljus vid båda trafikljusen? (Np B ht 98)
•
Penninglotten har funnits cirka 100 år i Sverige. Den har numera en dragningsdel
och en skrapdel. Dragningsdelen har högsta vinsten 1 000 000 kr och skrapdelen
100 000 kr. En lott kostar 50 kr. Nedanstående vinstplan är baserad på 200 000
lotter.
Dragningsvinster
Antal vinster
1
3
8
25
80
250
440
10 000
20 000
Värde(kr)
1 000 000
100 000
10 000
5 000
1 000
500
200
100
50
Skrapvinster
Totalt(kr) Antal vinster Värde(kr) Totalt(kr)
1 000 000
1
100 000
100 000
300 000
9
1 000
9 000
80 000
14
200
2 800
125 000
110
100
11 000
80 000
19 584
50
979 200
125 000
88 000
1 000 000
1 000 000
a) Vad är sannolikheten för att få en vinst vid dragningen?
b) Vad är sannolikheten för att få en skrapvinst?
c) Vad är sannolikheten att få en vinst vid dragningen eller en skrapvinst?
d) Vad är sannolikheten för att få högsta vinsten vid dragningen eller högsta
skrapvinsten?
e) Vad är sannolikheten för att vinna mer än 1000 kr?
f) Vad är sannolikheten för att få en vinst som räcker till att köpa en ny lott?
Sannolikhetslära - 17
M atematiken i historien
Blaise Pascal och Pierre de Fermat brukar nämnas som de första mate-
matikerna som utvecklade sannolikhetslärans grunder. Men redan den
italienske matematikern Gerolamo Cardano (1501 – 1576) hade lämnat
viktiga bidrag till sannolikhetsbegreppet. Många av de uppgifter som vi
löst tidigare tillhör den typ av uppgifter som intresserade dessa matematiker. Sannolikhetsläran har också anknytningar till statistiken.
Exempel: Vad är sannolikheten för att få exakt 5 treor och åtminstone 4
sexor, om vi kastar en tärning 50 gånger?
Sannolikhetsteorin har fått stor användning i naturvetenskapliga och
samhällsvetenskapliga ämnen, i industri och handel. Den används på så
skilda fält som genetik, kvantfysik och försäkringsfrågor.
V3.13
a)
b)
Ett problem som sysselsatte Pascal och Fermat var frågan om
vilket av följande två alternativ som är mest sannolikt:
att få minst en sexa vid fyra kast med en tärning
att få minst en dubbelsexa vid 24 kast med två tärningar.
Lös deras problem när du läst om komplementaritet.
Blaise Pascal (1623 – 1662) kom tidigt med sina föräldrar till Paris. Han fick
vid 12 års ålder en kopia av Euklides geometri av sin far sedan denne upptäckt
sin sons förmåga för matematiska abstraktioner. Vid 14 års ålder började han
följa fadern till matematikern Mersennes möten. Här träffades många kända
matematiker och filosofer t ex Gassendi och Desargues, och snart kunde Pascal
presentera ett antal teorem inom den projektiva geometrin. När familjen flyttar
till Rouen, kommer Pascal att hjälpa fadern i dennes arbete som skatteuppbördsman och uppfinner som hjälpmedel den första digitala räknaren, kallad
Pascaline. Den hade stora likheter med de mekaniska räknare som tillverkades
på 1940 – talet. Det var Pascal som upptäckte lufttryckets avtagande med
höjden över havsytan. Pascal arbetade hela sitt liv intensivt med matematiska,
naturvetenskapliga och filosofiska frågor. Pascal kom under slutet av sitt korta
liv att ansluta sig till jansenisterna. Denna rörelse hade sitt centrum i klostret
Port Royal i Paris. Hans filosofiska och religiösa tankar publicerades efter hans
död i verket Pensées (Tankar). Utan Gud är människan intet, och utan tro på
Gud har livet ingen mening, menar Pascal.
Sannolikhetslära - 18
V3.14 Monty Hall - Öppna dörr
och vinn en bil. I USA har
förekommit TV-program,
ledda av Monty Hall som
givit namn åt ett problem
som uppstår. Du ställs
inför valet att få öppna en
av tre dörrar. Bakom två
av dörrarna finns en get
och bakom den tredje en
lyxbil. När du valt en dörr,
som du ännu inte får
öppna, väljer programledaren en dörr bakom
vilken det finns en get.
Ditt problem är nu, skall
du hålla fast vid din först
valda dörr, eller skall du
välja den dörr som återstår? Vad är sannolikheten
för att få en lyxbil genom
att stanna kvar, och vad är
den om du byter dörr? När
du bestämt dig, öppnar
ledaren den dörr du valt
och där finner du din lyxbil eller din get.
Sannolikhetslära - 19
Problemlösning i grupp – Kort i müslipaket
Antag att det finns ett djurkort i varje paket av din favoritmüsli. Det finns sex olika
sorters djurkort. Dessa förekommer med lika sannolikhet och är slumpmässigt fördelade på paketen. Hur många paket måste du köpa för att få alla sex djurkorten?
Materiel: Tärning, papper och penna.
Metod och uppgift: I stället för att köpa müslipaket med bilder gör vi en modell av
verkligheten. De olika antalet ögon på en tärning får motsvara de sex korten. Kasta
tärningen tills du fått upp alla möjliga antal ögon; ett öga motsvarar kort 1, två ögon
motsvarar kort 2, och så vidare. Fyll i dina resultat i en tabell. Första raden i tabellen
nedan visar att det behövdes 15 kast för att kort 3 till slut skulle dyka upp.
Exemplet ovan
Kort 1
Kort 2
Kort 3
Kort 4
Kort 5
Kort 6
Antal kast
3
2
1
4
3
2
15
Försök 2
Försök 3
Försök 4
Försök 5
Försök 6
Försök 7
Försök 8
Försök 9
Försök 10
Försök 12
Försök 13
Försök 14
Försök 15
Försök 16
Försök 17
Försök 18
Försök 19
Försök 20
Försök 21
Försök 22
Försök 23
Försök 24
Försök 25
Beräkna därefter medelvärdet av antalet kast som krävdes. Detta är det experimentellt
bestämda väntevärdet.
Teori och uppgift: Det kan visas teoretiskt att det i genomsnitt krävs att man köper
1 1 1 1 1 
6 ⋅  + + + + + 1  = 14,7 müslipaket för att få en komplett samling av sex
6 5 4 3 2 
djurkort. Detta är det teoretiskt bestämda väntevärdet. Hur stämmer detta med dina
försöksresultat?
Sannolikhetslära - 20
Modell ▪ Komplementhändelser
Ett lyckohjul har fyra målade lika stora sektorer, röd, gul, grön och blå.
Vi vet bara att sektorn röd är 45°. Vad är sannolikheten för att man
hamnar på gult, grönt eller blått? P(röd) + P(gul) +P(grön) + P(blå) = 1.
Alltså är P(gul) +P(grön) + P(blå) = 1 – P(A) = 1 – 0,25 = 0,75. Om vi
definierar komplementet till A,  A, som alla de utfall som inte finns i
händelsen A, så får vi följande regel: P(  A) = 1 – P(A)
V3.15 Vad är sannolikheten för att två tärningar som kastas visar
olika?
V3.16 I en urna ligger 5 röda och 4 blå kulor.
a)
b)
Vad är sannolikheten för att minst en kula är blå, om vi plockar
upp två kulor?
Vad är sannolikheten för att högst en kula är röd, om vi
plockar upp två kulor?
V3.17 Vad är sannolikheten för att få minst en sexa vid kast med
a)
b)
c)
V3.18
a)
b)
c)
två tärningar
tre tärningar
fyra tärningar?
Utanför en affär finns tre parkeringsplatser för kunder. Var och
en av platserna är under affärstid ledig i genomsnitt sex minuter per timme. Beräkna sannolikheten för att
alla tre platserna är upptagna när man kommer för att handla
åtminstone en av platserna är ledig
endast en av platserna är ledig.
Sannolikhetslära - 21
Facit
1.1
a) Eftersom det finns 4 knektar så är P(knekt) = 1/13 .
b) P(hjärter kung) = 1/52 .
c) Eftersom det finns 13 spader så är P(spader) = 1/4 .
1.2
a) Två av utfallen i figuren på sid har exakt en klave.
Alltså är P(exakt en klave) = 1/2 .
b) Tre av utfallen har minst en krona. Alltså är P(minst en krona) = 3/4 .
c) Tre av utfallen har högst en krona. Alltså är P(högst en krona) = 3/4 .
1.3
a) 6 av punkterna i utfallsrummet
visar samma poängtal. P = 6/36 =
1/6.
b) 15 av punkterna i utfallsrummet
visar att poängsumman är
åtminstone 8. P = 15/36 = 5/12 .
c) 10 av punkterna i utfallsrummet
visar att poängsumman är högst 5.
P = 10/36 = 5/18 .
d) 16 av punkterna i utfallsrummet
visar att man får högst en poäng
mer på den ena tärningen än den
andra P = 16/36 = 4/9 .
1.4
a)
b)
c)
d)
10/100 = 1/10
90/100 = 9/10
21/100 = 9/25
1/10
1.5 (44 + 46 + 7)/306 = 0,32
1.6a) 1/2
b) 3/10
1.7a) 2/7
b) 3/7
c)3/10
c)2/7
1.8 Det finns 25 primtal mellan 1 och 100. Alltså är P(primtal)= 1/4.
Sannolikhetslära - 22
1.9
a) 4/16 = 1/4
b) 8/16 = 1/2
c) 12/16 = 3/4
1.10 1/3
1.11 a) Det finns 12 hjärter och 51 kort kvar. Alltså P = 12/51 = 4/17 .
b) Det finns 11 hjärter och 50 kort kvar. Alltså P = 11/51 .
1.12
Sannolikheten för en trea är 15/120 = 1/8. Tärningen är alltså en oktaaeder.
1.13 Det verkar rimligt att varje antal ögon kommer upp 6 gånger av 120.
Alltså är P = 6/120 = 1/20. Det verkar vara en ikosaeder.
2.1a) 0,15
b) 0,80
2.2a) 0,022
b) 0,186
2.3
a) 0,151
b) 0,944
c) 0,207
d) 0,185
2.4
a) 0,55
b) 0,32
c) 0,05
d) 0,36
e) 0,31
f) 0,66 – 0,36 = 0,30
3.1
3 2 3 1 2 2 13
⋅ + ⋅ + ⋅ =
5 3 5 3 5 3 15
3.2
0,8 + 0,2⋅0,9 = 0,98
Sannolikhetslära - 23
3.3 Sannolikheten för att ta en svart kula är 3/5 = 0,6.
Sannolikheten för att ta en vit kula är 2/5 = 0,4.
a) 0,6⋅0,6 = 0,36
c) 0,6⋅0,4 + 0,4⋅0,6 = 0,48
b) 0,4⋅0,4 = 0,16
3.4 0,10⋅0,15 gäller bara om händelserna är oberoende. Det skulle kunna vara så att
en språkintresserad elev vill ha flera språk. I detta fall är inte båda valen oberoende och
inte heller om valet gäller för elever med få språk som vill pröva ett enda nytt språk.
3.5 P(torrt väder i övermorgon) =
2 2 1 1 8 3 11
= ⋅ + ⋅ =
+
=
3 3 3 2 18 18 18
3.6 0,8⋅0,8⋅0,8 = 0,51
3.7 P(espetada) =1/2 P(espada) = 1/3 P(espadarte) = 1/6
a) (1/2)3 + (1/3)3 + (1/6)3 = 0,17
b) (1/2)(1/3)(1/6) + (1/2)(1/6)(1/3) + (1/3)(1/2)(1/6) + (1/3)(1/6)(1/2) +
1 ⋅1 ⋅1
= 1/6
(1/6)(1/2)(1/3) + (1/6)(1/3)(1/2) = 6 ⋅
2 ⋅3⋅6
3.8a) (1/3)13 = 6,3⋅10-7 b) (2/3)13 = 0,005
3.9
1
( )3 = 0,016
4
3.10
a) Summan 8 kan fås på 6 olika sätt vid dragning utan återläggning: 1+3+4, 1+4+3,
3+1+4, 3+4+1, 4+1+3, 4+3+1. Totala antalet möjliga utfall vid dragning av 3
6
= 0, 25 .
kulor av 4 är 4⋅3⋅2=24. Den sökta sannolikheten blir alltså
24
b) Vid dragning med återläggning tillkommer 6 möjligheter att få summan 8,
nämligen 2+2+4, 2+4+2, 4+2+2, 2+3+3, 3+2+3, 3+3+2. Antalet gynnsamma utfall
är alltså 6+6=12. Totala antalet utfall är nu 43=64. Sannolikheten blir alltså
12 3
= = 0,1875
64 16
Sannolikhetslära - 24
3.11
a) Totala antalet utfall är 65. Antalet gynnsamma utfall = 6. P(Alla siffror
6
1
7,72⋅10-4 ≈ 0,08%
lika) = =
=
5
6
64
b) Totala antalet utfall är 65. Antalet gynnsamma utfall = 2. P(”liten straight” eller
2
1
= 2,57⋅10-4 ≈ 0,03%.
”stor straight”) ==
6 5 3888
3.12
a) Totala antalet utfall = 44 = 256. Antalet för Venus gynnsamma fall = 4⋅3⋅2⋅1=24.
Den första tärningen har 4 möjligheter, den andra 3 och så vidare. P(olika siffror
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 3
.
på alla tärningarna) =
=
32
44
1
b) Antalet gynnsamma fall är = 1. P(ettor på alla tärningarna) =
.
256
3.13 Händelsen ”minst en sexa” är komplementet till händelsen ”ingen sexa”. P(ingen
5
5 4
sexa) = . I fyra kast blir denna sannolikhet =   .
6
6
1
5 4
P(minst en sexa) = 1 −   ≈ 0,518. P(två sexor) =
. P(inte två
36
6
1 35
=
sexor) = 1 −
. Sannolikheten för händelsen ”minst en dubbelsexa vid
36 36
24
35 
24 kast med två tärningar” = 1 − 
 ≈ 0,491. Det är tydligen lite mer
 36 
sannolikt att få en sexa vid 4 kast med en tärning (6 utfall vid varje kast) än två
sexor vid 24 kast med två tärningar (36 utfall vid varje kast) trots att antalet kast i
båda fallen är två tredjedelar av antalet utfall. Den flitige tärningsspelaren och
adelsmannen Chevalier de Méré ansåg att sannolikheterna borde vara lika, men
han hade upptäckt att de inte var det och ville ha en förklaring på detta. Han
skrev därför år 1654 ett brev till matematikern Blaise Pascal (1623-62) och lade
fram problemet. Pascal och matematikern Pierre de Fermat (1601-65) började
brevväxla och utredde tillsammans saken. Denna brevväxling anses lägga grunden
till den moderna sannolikhetsläran.
3.14 Vi vet från början att sannolikheten för att bilen finns bakom den dörr som jag
väljer är 1/3 och att sannolikheten för att den är bakom någon av de två andra är
2/3. Vi vet också att bakom minst en av dessa dörrar är det en get. När så
programledaren öppnar dörren med en get bakom, så vet vi nu att bilen inte är
bakom just den dörren. Därför är det 2/3 chans att den är bakom den tredje
dörren, och därför bör vi byta.
3.15 Komplementet är att de två tärningarna visar lika. P(De två tärningarna visar
lika) = 1/6. Alltså är P(De två tärningarna visar olika) = 5/6.
Sannolikhetslära - 25
3.16
a) Komplementet till att minst en kula är blå är att ingen är blå. Sannolikheten för
5 13
5⋅4
5
. Alltså är P(minst en kula är blå) = 1 –
=
.
två röda är
=
18 18
9 ⋅ 8 18
b) Komplementet till att högst en kula är röd är att två är röda som enligt a) är
5 13
5⋅4
5
. Alltså är svaret 1 –
=
.
=
18 18
9 ⋅ 8 18
3.17
a)
b)
c)
Komplementet är ”ingen sexa”.
1 – (5/6)2 = 11/36
1 – (5/6)3 = 91/216
1 – (5/6)4 = 671/1296
3.18 Var och en av platserna är upptagen 54 min/h = 0,9.
a) Den sökta sannolikheten är 0,93 = 0,73 = 73%.
b) Händelsen att åtminstone en av platserna är ledig är komplementet till a).
P(en plats ledig) = 1 − 0,93 = 0,271 ≈ 27%
c) Sannolikheten att en speciell plats och endast den är ledig är
0,1 ⋅ 0,9 ⋅ 0,9 = 0,081. Detta kan ske på tre olika sätt.
P(en och endast en plats ledig) = 3 ⋅ 0,081 = 0,243 ≈ 24%
Sannolikhetslära - 26