1. No category

Reglerteknik I: F6
Bodediagram, Nyquistkriteriet
Dave Zachariah
Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik
1 / 11
Frekvensegenskaper
I
2 / 11
Hur svarar ett (slutet) system på oscillerande signaler?
Frekvensegenskaper
I
I
Hur svarar ett (slutet) system på oscillerande signaler?
Insignaler brytas ner till summa av cosinus- och sinussignaler:
Z
1
R(iω)eiωt dω,
r(t) =
2π
där
eiωt = cos(ωt) + i sin(ωt) och ω = 2πf
2 / 11
(frekvens)
Frekvensegenskaper
I
I
Hur svarar ett (slutet) system på oscillerande signaler?
Insignaler brytas ner till summa av cosinus- och sinussignaler:
Z
1
R(iω)eiωt dω,
r(t) =
2π
där
eiωt = cos(ωt) + i sin(ωt) och ω = 2πf
I
eiωt är egenfunktion till linjära tidsinvarianta system:
eiωt
2 / 11
(frekvens)
G
αei(ωt+φ)
Frekvensegenskaper
I
I
Hur svarar ett (slutet) system på oscillerande signaler?
Insignaler brytas ner till summa av cosinus- och sinussignaler:
Z
1
R(iω)eiωt dω,
r(t) =
2π
där
eiωt = cos(ωt) + i sin(ωt) och ω = 2πf
I
eiωt är egenfunktion till linjära tidsinvarianta system:
eiωt
I
2 / 11
(frekvens)
G
αei(ωt+φ)
Utsignaler y(t) till linjära tidsinvarianta system blir summa av
ingående cosinus- och sinussignaler!
Frekvenssvar
Exempel på (slutet) system
r
e
+
−
F
u
Gc
Y (s) = Gc (s)R(s)
3 / 11
G
y
Frekvenssvar
Exempel på (slutet) system
Gc (s)
s=iω
= Gc (iω) kallas för frekvenssvar
Exempel: Frekvenssvarets beloppskurva
|Gc (iω)|
ω
3 / 11
Frekvenssvar
Exempel på (slutet) system
Signal som viktad summa av cosinus- och sinussignaler:
Z
1
r(t) =
R(iω)eiωt dω.
2π
Exempel: Signalens frekvensinnehåll
|R(iω)|
ω
3 / 11
Notera att grafen är symmetrisk |X(iω)| = |X(−iω)|
Frekvenssvar
Exempel på (slutet) system
Signal som viktad summa av cosinus- och sinussignaler:
Z
1
y(t) =
Y (iω)eiωt dω.
2π
Exempel: Utsignalens frekvensinnehåll
|Y (iω)| = |Gc (iω)||R(iω)|
ω
3 / 11
Frekvenssvar
Exempel på (slutet) system
|R(iω)|
|Y (iω)| = |Gc (iω)||R(iω)|
ω
Jmfr. “sinus-in sinus-ut”
3 / 11
ω
Frekvenssvar
Exempel på (slutet) system
|R(iω)|
|Y (iω)| = |Gc (iω)||R(iω)|
ω
ω
Kom ihåg målet med reglering: y(t) ≈ r(t) ⇔ Y (iω) ≈ R(iω)
I
I
I
3 / 11
Y (iω) = Gc (iω)R(iω)
Frekvenssvarets belopp och fas Gc (iω) = |Gc (iω)|eiarg{Gc (iω)}
Ideal: |Gc (iω)| ≈ 1 och arg{Gc (iω)} ≈ 0
Poler/nollställen och frekvenssvar
Bodediagram: beloppskurvan
Omskrivning av standard form:
b0 sm + · · · + bm
(s + z1 ) · · · (s + zm )
= K0
n
n−1
s + a1 s
+ · · · + an
(s + p1 ) · · · (s + pn )
s
s
(1 + z1 ) · · · (1 + z 0 )
m
=K q
s (1 + ps1 ) · · · (1 + ps 0 )
G(s) =
n
4 / 11
Poler/nollställen och frekvenssvar
Bodediagram: beloppskurvan
System på omskriven form:
G(s) = K
s
z1 ) · · ·
+ ps1 ) · · ·
(1 +
sq (1
Logaritmen av |frekvenssvar|:
log10 |G(iω)| = log10 |K| − q log10 |ω|
iω
iω
+ log10 |1 + | + · · · − log10 |1 + | − · · ·
z1
p1
Intuition:
4 / 11
I
När ω |zk | eller ω |pk | är effekten på log10 |G(iω)|
försumbar
I
När ω |zk | eller ω |pk | ökar/minskar log10 |G(iω)| med ω
Poler/nollställen och frekvenssvar
Bodediagram: beloppskurvan
Rita beloppskurvan
log10 |G(iω)| = log10 |K| − q log10 |ω|
iω
iω
+ log10 |1 + | + · · · − log10 |1 + | − · · ·
z1
p1
1. Sortera |zk | eller |pk | efter avstånd från origo.
2. Utvärdera log |G(iω)| vid första |z1 | eller |p1 | efter origo.
3. Rita kurvan längs ω → ∞:
I
I
I
4 / 11
För varje nollställe ω |zk | ändras lutningen med +1.
För varje pol ω |pk | ändras lutningen med −1.
Komplexvärda poler ger en resonanstopp vid ω ≈ |pk | om
ζ 1.
Bodediagram
Exempel
1:a ordningenssystem med enkla poler.
Exempel:
1
0.2
,
G2 (s) =
,
G1 (s) =
s + 0.2
s+1
5
G3 (s) =
,
(FP D (s) = 1 + s)
s+5
2
90
1
60
10
fas (grader)
10
belopp
0
10
−1
10
−2
10
−3
10 −2
10
5 / 11
G1
30
G1
G2
0
G3
FPD
−30
G2
G3
−60
FPD
−1
10
0
10
ω (rad/s)
1
10
2
10
−90 −2
10
−1
10
0
10
ω (rad/s)
1
10
2
10
Bodediagram
Exempel
2:a ordningenssystem med komplexkonjugerade poler:
G(s) =
Poler −ω0 ζ ± iω0
ω02
s2 + 2ζω0 s + ω02
p
1 − ζ 2 där |p1 | = |p2 | = ω0 .
1
10
0
ζ = 0.1
ζ = 0.05
−30
ζ = 0.3
ζ = 0.5
Fasen ( o)
Beloppet
0
10
ζ = 1 ζ = 0.5
−1
10
−60
ζ = 0.05
ζ = 0.1
ζ = 0.3
ζ=1
−90
−120
−150
−2
10 −1
10
5 / 11
0
10
ω/ω0
1
10
−180 −1
10
ζ 1 ⇒ ger resonanstopp ≥ |G(iω0 )| =
1
2ζ
0
10 ω/ω
0
1
10
Bodediagram
Exempel
G(s) =
I
I
100(s + 1)
s(s2 + 6s + 100)
Nollställen: −1
Poler:
0
och
√
− 3 ± i 91
där ω0 = 10 och relativa dämpningen ζ = 0.3.
[Tavla: skissa beloppskurva]
5 / 11
Bodediagram
Exempel
G(s) =
100(s + 1)
s(s2 + 6s + 100)
Nollställen: −1
Poler:
I
I
0
√
− 3 ± i 91
och
där ω0 = 10 och relativa dämpningen ζ = 0.3.
1
0
10
Resonanstopp
−30
lutning 0
lutning −1
0
−60
|G(iω)|
arg G(iω) ( o)
10
−1
−90
−120
10
lutning −2
−150
−2
10
−1
10
0
1
10
10
ω (rad/s)
5 / 11
2
10
−180 −1
10
0
1
10
10
ω (rad/s)
2
10
Poler/nollställen och frekvenssvar
Bodediagram: faskurvan
System på omskriven form:
G(s) = K
s
z1 ) · · ·
+ ps1 ) · · ·
(1 +
sq (1
Argumentet av frekvenssvar (i radianer):
ω
ω
arg{G(iω)} = −q · π + arctan + · · · − arctan − · · ·
z1
p1
6 / 11
Poler/nollställen och frekvenssvar
Bodediagram: faskurvan
System på omskriven form:
G(s) = K
s
z1 ) · · ·
+ ps1 ) · · ·
(1 +
sq (1
Argumentet av frekvenssvar (i radianer):
ω
ω
arg{G(iω)} = −q · π + arctan + · · · − arctan − · · ·
z1
p1
Rita faskurvan Om G(s) inte har några poler/nollställen i HHP
gäller:
I ω → 0: arg G(iω) → 0 om ing 1 och G(0) > 0
s
I ω → ∞: varje nollställe bidrar med + π i fas, och varje pol
2
bidrar med − π2 i fas
I Varje pol i origo bidrar med − π i fas ∀ω
2
Nollställen i HHP ger negativt fasbidrag.
6 / 11
Gc (s) stabilitet via Go (iω)
Frekvenssvar och Nyquistkurvan
Återkopplat system:
r
e
+
−
I
I
7 / 11
F
u
G
Slutna systemets överföringsfunktion: Gc (s) =
Kretsförstärkningen: G0 (s) = F (s)G(s)
y
G0 (s)
1+G0 (s)
Gc (s) stabilitet via Go (iω)
Frekvenssvar och Nyquistkurvan
Återkopplat system:
r
e
+
−
I
I
I
F
u
G
y
G0 (s)
Slutna systemets överföringsfunktion: Gc (s) = 1+G
0 (s)
Kretsförstärkningen: G0 (s) = F (s)G(s)
Gc (s) stabilt ⇐⇒ 1 + G0 (s) har inga nollställen i HHP.
Definition:
Komplexvärt frekvenssvar, G0 (iω) där 0 ≤ ω < ∞, kallas för
Nyquistkurvan.
7 / 11
Nyquistkurvan
Exempel
DC-motor G(s) =
8 / 11
1
s(s+1)
styrs med förstärkaren F (s) =
K
s+2 .
Nyquistkurvan
Exempel
1
styrs med förstärkaren F (s) =
DC-motor G(s) = s(s+1)
Nyquistkurva för G0 (iω) = G(iω)F (iω):
K
s+2 .
Im
Re
0
−1
K=9
−2
K=6
K=3
−3
−4
−3
−2
−1
0
1
Slutna systemet stabilt för K = 3, instabilt för K = 9, och på
stabilitetsgränsen för K = 6.
8 / 11
Nyquistkriteriet
Im
Re
0
−1
K=9
−2
K=6
K=3
−3
−4
−3
−2
−1
0
1
(Resultat 3.3) Förenklade Nyquistkriteriet:
Om G0 (s) inte har poler i HHP: Gc (s) stabilt ⇔ Nyquistkurvan
G0 (iω) omsluter ej −1
9 / 11
Nyquistkriteriet
Mer generellt: Låt s bilda halvcirkel γ, med radie R → ∞. Då
avbildas av Go (s) på γ 0 .
10 / 11
Nyquistkriteriet
Mer generellt: Låt s bilda halvcirkel γ, med radie R → ∞. Då
avbildas av Go (s) på γ 0 .
(Resultat 3.3) Nyquistkriteriet via argumentvariationsprincipen:
10 / 11
#poler{Gc (s)} i HHP = #poler{G0 (s)} i HHP + Antal gånger γ 0
omcirklar −1 positivt
Återblick
11 / 11
I
Poler/nollställer och frekvenssvar
I
Bodediagram
I
Stabilitet hos Gc (s) via Nyquistkriteriet för G0 (s)