1 / 14
Föreläsningar
1
2
3
4
5
6
7•
8
9
10
11
12
13
TSRT91 Reglerteknik:
Föreläsning 7
Martin Enqvist
Reglerteknik
Institutionen för systemteknik
Linköpings universitet
Inledning, grundläggande begrepp.
Matematiska modeller. Stabilitet. PID-reglering.
Specifikationer. Rotort.
Nyquistkriteriet. Frekvensbeskrivning.
Tidsdiskreta system.
Specifikationer i frekvensplanet.
Kompensering i bodediagram.
Bodes integralsats. Känslighet. Robusthet.
Regulatorstrukturer. Tillståndsbeskrivning.
Lösningar. Stabilitet. Styr- och observerbarhet.
Återkoppling, polplacering, LQ-optimering.
Rekonstruktion av tillstånd, observatörer.
Tillståndsåterkoppling (forts). Sammanfattning.
2 / 14
Repetition: Frekvenssvaret
3 / 14
Repetition: Stabilitetsmarginaler
Im
Bode Diagram
60
50
Magnitude (dB)
40
30
20
Fasmarginalen ϕm
(vid skärfrekvensen ωc )
10
0
Ett bodediagram är en plott
av frekvenssvaret G(iω).
−10
−20
0
Amplitudmarginalen Am
(vid fasskärfrekvensen ωp )
Phase (deg)
−45
−90
−135
−180
−3
10
−2
10
−1
10
Frequency (rad/sec)
0
10
1
10
1/Am
1
Re
Go
ϕm
4 / 14
Repetition: Stabilitetsmarginaler. . .
1
5 / 14
Repetition: Kretsförstärkningens egenskaper
Am
Önskvärda egenskaper hos Go :
|Go |
arg Go
ϕm
• Tillräckligt stor fasmarginal ϕm och amplitudmarginal Am
• Lagom hög skärfrekvens ωc
◦
−180
• Tillräckligt stor förstärkning för små frekvenser
ωc
Fasmarginalen ϕm
vid skärfrekvensen ωc
ωp
ω [rad/s]
Amplitudmarginalen Am
vid fasskärfrekvensen ωp
6 / 14
Fasavancerande kompenseringslänk (lead)
7 / 14
Designmetod för Flead (s)
Givet: Önskad skärfrekvens ωc,d och önskad fasmarginal ϕm,d
K
β
1. Bestäm den nödvändiga fasavanceringen ϕ genom att jämföra ϕm,d
och arg G(iωc,d ) (från bodediagram)
|Flead |
2. Välj ett (maximalt) β så att
K
√
β
ϕmax = arctan
K
ϕmax
arg Flead
1√
τD β
1
τD β
1−β
√
2 β
=ϕ
√
3. Välj τD = 1/(ωc,d β) (så att den maximala fasavanceringen fås vid
ωc,d )
4. Välj K så att
0◦
1
τD
ω [rad/s]
K
|Go (iωc,d )| = |Flead (iωc,d )||G(iωc,d )| = √
β
|G(iωc,d )|
| {z }
från bodediagram
=1
8 / 14
Maximal fasavancering
9 / 14
Exempel: Tippvinkelreglering
Maximal fasavancering som funktion av β:
60◦
Bode Diagram
15
50◦
Magnitude (dB)
10
40◦
5
0
−5
−10
−15
◦
1.15s + 0.177
G(s) = 3
s + 0.739s2 + 0.921s
ϕmax
−25
−90
Phase (deg)
30
−20
20◦
−135
−180
10◦
−1
0
10
10
Frequency (rad/sec)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
β
10 / 14
Exempel: Tippvinkelreglering. . .
11 / 14
Fasretarderande kompenseringslänk (lag)
1
γ
1.4
Stegsvar från
1.2
|Flag |
1
GFlead
(heldragen)
1 + GFlead
och
1
0.8
0.6
G
(streckad)
1+G
0◦
0.4
0.2
arg Flag
0
0
5
10
15
20
25
30
γ
τI
1
τI
ω [rad/s]
12 / 14
Designmetod för Flag (s)
13 / 14
Exempel: Tippvinkelreglering. . .
1.4
1.2
Givet: Krav på det stationära reglerfelet
1
1. Välj γ så att felkoefficienterna blir tillräckligt små
2. Välj τI så att insvängningen mot stationäritet blir tillräckligt snabb
utan att fasminskningen vid ωc blir för stor (testa t.ex. τI = 10/ωc som
ger 5.7◦ fasminskning vid ωc )
Stegsvar från
GFlead Flag
1 + GFlead Flag
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
14 / 14
Sammanfattning (lead-lag)
1. Rita bodediagram för G(s). Räcker en P-regulator?
2. Vid behov, inför en lead-länk (PD) för att få rätt ωc och ϕm :
•
•
•
•
Bestäm nödvändig fasavancering m.h.a. arg G(iωc,d )
(tänk på att lag-länken minskar fasen)
Välj β så att fasavanceringen
blir tillräckligt stor
√
Välj τD = 1/(ωc,d β) så att fasavanceringen sker vid ωc,d
Välj K så att skärfrekvensen blir den önskade
3. Vid behov, inför en lag-länk (PI) för att minska det stationära
reglerfelet:
•
•
Välj γ så att det stationära felet blir tillräckligt litet
Välj τI så att insvängningen blir tillräckligt snabb utan att
fasminskningen vid ωc blir för stor (testa t.ex. τI = 10/ωc )
4. Utvärdera regulatorn (m.h.a. bodediagram och stegsvar)
5. Gå ev. tillbaka och justera någon parameter
www.liu.se
10
15
20
25
30