1. No category

Algebra II: Lösningar Inlupp 3
1. Låt ϕ : N −→ N vara Eulers ϕ-funktion. Bestäm alla n ∈ N med
ϕ(n) = 24 resp. ϕ(2n) = ϕ(n).
Lösning: Svar: n = 90, 84, 78, 72, 70, 56, 52, 45, 39, 35.
(a) Låt p vara det största primtal som delar n. Skriv n = p` m, sgd(p, m) =
1. Sedan
23 · 3 = 24 = ϕ(n) = p`−1 (p − 1)ϕ(m).
Om ` > 1, så har vi p = 2 eller p = 3. Det första är uppenbarligen
inte möljigt, 24 är ju inte en 2-potens, och det andra leder till
` = 2 till n = 72.
Om ` = 1, finns det möjligheterna p = d + 1, d|24, dvs.
i. p = 13 =⇒ ϕ(m) = 2 =⇒ m = 3, 4, 6 =⇒ n = 39, 52, 78.
ii. eller p = 7 =⇒ ϕ(m) = 4 =⇒ m = 5, 8, 10, 12 =⇒ n =
35, 56, 70, 84.
iii. eller p = 5 =⇒ ϕ(m) = 6 =⇒ m = 9, 18 =⇒ n = 45, 90.
(Fallet m = 7 är inte med, eftersom p = 5 är den största
primdelaren av n.)
iv. eller p = 3: Omöjligt.
Implikationen ϕ(m) = ... =⇒ m = ... funkar på samma sätt
som förut; Man börjar med den största primdelaren q till m och
utnyttjar q < p osv.
(b) Vi har ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) för a, b ∈ N>0 , sgd(a, b) = 1. Skriv
n = 2` b med ett udda tal b. För ` = 0 gäller ekvationen, medan
för ` > 0 har vi
ϕ(2n) = ϕ(2`+1 b) = 2` ϕ(b) 6= 2`−1 ϕ(b) = ϕ(2` b) = ϕ(n).
M.a.o. det handlar om alla udda tal n.
2. Hitta alla x ∈ Z, sådant att samtidigt 2x ≡ 3 mod (9), 4x ≡ 6
mod (10), 6x ≡ 9 mod (11). Svaret ges på formen: Alla x i en eller
fler restklasser Rn (a) med n = ..., a = ....
Lösning: Vi har 4x ≡ 6 mod (10) ⇐⇒ 2x ≡ 3 mod (5). Kongruensernas lösningar ligger sedan i restklasserna −3 + Z9, 4 + Z5, 7 + Z11.
1
Kinesiska tabellen ser så här ut:
·Z495 Z5 × Z9 × Z11
396
(1, 0, 0)
55
(0, 1, 0)
45
(0, 0, 1)
249
(4, −3, 7)
,
Svar: Lösningarna är heltalen på formen x = 249 + 495n, n ∈ Z.
3. Idempotenta element: Visa
(a) I restklassringen Zpk , där p är ett primtal, är 0 och 1 de enda
idempotenta elementen.
Lösning: En idempotent restklass ε ∈ Zpk , ε 6= 1, är en nolldelare
pga. ε(1 − ε) = 0, således ε = α · p samt
ε = εk = 0.
(b) Ange alla idempotenta element i restklassringen Z1001 .
Lösning: Vi har Z1001 ∼
= Z7 × Z11 × Z13 . De idempotenta elementen i Z7 × Z11 × Z13 är tripplarna med komponenter 0 eller 1.
Kinesiska tabellen ser sedan så här ut:
·Z1001 Z7 × Z11 × Z13
0
(0, 0, 0)
−286
(1, 0, 0)
364
(0, 1, 0)
−77
(0, 0, 1)
287
(0, 1, 1)
−363
(1, 0, 1)
78
(1, 1, 0)
1
(1, 1, 1)
,
4. Låt n = 143. Given den offentliga nyckeln e = 47 dechiffrera 50 ∈ Z143 .
Lösning: Avkodningen funkar så här:
Z143 −→ Z143 , b 7→ bd ,
2
där 47d ≡ 1 mod (120) pga. ϕ(143) = 120. Euklidiska algoritmen ger
d = 23 som den minsta exponenten. Så vi måste beräkna
23
∈ Z143 ∼
= Z11 × Z13 .
50
Kinesiska isomorfismen fungerar så här
·Z143 Z11 × Z13
−65
(1, 0)
66
(0, 1)
50
(6, −2)
23
3
−1
50
(6 , −2 )
23
50
(7, −7)
84
(7, −7)
,
10
så avkodningen ger 84. Vi har utnyttjad att 6
1 ∈ Z13 och således
23
6
3
23
−1
= 6 ,2
=2
12
= 1 ∈ Z11 och 2
=
= 7.
5. Låt
A=
1 1
1 0
∈ (Z2 )2,2 ,
samt B = E + A med enhetsmatrisen E.
(a) Visa att
F4 := {0, E, A, B} ⊂ (Z2 )2,2
tillsammans med matrisadditionen och -multiplikationen utgör en
kropp. Ställ upp en additions- och en multiplikationstabell!
Lösning: Additionstabellen för F4 blir
+ 0 E A
0 0 E A
E E 0 B
A A B 0
B B A E
3
B
B
A
E
0
,
medan multiplikationstabellen ser så här ut
·
0
E
A
B
0
0
0
0
0
E
0
E
A
B
A
0
A
B
E
B
0
B
E
A
.
F4 är en ring, eftersom (Z2 )2,2 är en ring, och även en kropp, eftersom varje element i F∗4 är inverterbar, se multiplikationstabellen.
(b) Beräkna Frobeniushomomorfismen ϕ : F4 −→ F4 , C 7→ C 2 .
Lösning: 02 = 0, E 2 = E, A2 = B, B 2 = A.
(c) Gäller F4 ∼
= Z4 ?
Svar: Nej, Z4 är ju inte någon kropp,; där finns ju icketriviala
nilpotenta element, t.ex. 2.
4