1. No category

Algebra II: Lösningar Tenta 2015-08-26
Hjälpmedel: Papper + skrivdon + miniräknare.
1. (a) Hitta alla heltal a, b ∈ Z med 41a − 67b = 1.
Svar: (a, b) = (18, 11) + k(67, 41); k ∈ Z.
−1
(b) Beräkna 61
Svar: 25.
∈ Z127 .
2. Given den offentliga nyckeln (253, 71) avkoda 127 ∈ Z253 .
Lösning: Avkodningen funkar så här:
Z253 −→ Z253 , b 7→ bd ,
där 71d ≡ 1 mod (220) pga. ϕ(253) = ϕ(11)ϕ(23) = 220. Euklidiska
algoritmen ger d = 31 som den minsta exponenten. Så vi måste beräkna
31
127
∈ Z253 ∼
= Z11 × Z23 .
Kinesiska isomorfismen fungerar så här
Z253 Z11 × Z23
23
(1, 0)
−22
(0, 1)
127
(6, 12)
31
31
31
127
(6 , 12 )
31
127
(6, 4)
50
(6, 4)
31
Vi har Z11 3 6
9
9
3 · 4 = 4.
30
=6
.
31
· 6 = 6 samt Z23 3 12
22
= 12
9
9
· 12 = 12 =
3. Ange alla idempotenta resp. nilpotenta element i restklassringen Z768 .
Lösning: Vi har 768 = 28 · 3. De nilpotenta elementen är restklasserna
6m, m ∈ N.
De idempotenta elementen motsvarar paren i Z28 × Z3 ∼
= Z768 med
nollor och ettor som komponenter:
1
·Z768 Z256 × Z3
0
(0, 0)
513
(1, 0)
256
(0, 1)
1
(1, 1)
.
4. Hitta α + βi ∈ Z19 [i] med (α + βi)2 = 2 − 8i.
Lösning: Vi får ekvationerna
α2 − β 2 = 2, 2αβ = −8
och således β = −4α−1 och
α2 + 3α−2 = 2
resp.
0 = α4 − 2α2 + 3 = (α2 − 1)2 + 2.
Eftersom −2 = (±6)2 ∈ Z19 har vi:
α2 = 7, −5.
Vi har 7 = (±8)2 ∈ Z19 , medan −5 ∈ Z19 inte är en kvadrat. Till sist
α = ±8, β = −4 · (±8)−1 = ±9.
Således är ±(8 + 9i) kvadratrötterna till 2 − 8i ∈ Z19 [i].
5. Finns det en kropp F med 4, 27, 289 eller 768 element? Om ja, ange
en sådan!
Lösning: Ordningen till en ändlig kropp är en primtalspotens pn . I så
fall har vi Fpn ∼
= Zp [X]/(f ), där f ∈ Zp [X] är irreducibelt.
(a) 4 = 22 , alltså ja: Ta f = X 2 + X + 1, ett irreducibelt polynom,
eftersom det saknar nollställe i Z2 .
(b) 27 = 33 , alltså ja: Ta f = X 3 − X − 1, ett irreducibelt polynom,
eftersom det saknar nollställe i Z3 .
(c) 289 = 172 , alltså ja: Ta f = X 2 − 3, ett irreducibelt polynom,
eftersom det saknar nollställe i Z17 . Restklassen 3 ∈ Z17 är en
”icke-kvadrat”. Kvadraterna är ju 0, ±1, ±2, ±4, ±8.
2
(d) 768 = 28 · 3, alltså nej.
6. Ange alla irreducibla polynom f ∈ Z2 [X] med grad(f ) ≤ 4!
Lösning: Ett irreducibelt polynom f av grad > 1 har en konstant
term 6= 0 resp. = 1. För grad(f ) ≤ 3 räcker det att f inte har något
nollställe i Z2 , dvs. två X-potenser måste vara med. Om ett reducibelt
polynom av grad 4 inte har något nollställe, kan det bara faktoriseras
som (X 2 + X + 1)2 = X 4 + X 2 + 1. Således får vi följande lista:
(a)
(b)
(c)
(d)
X, X + 1,
X 2 + X + 1,
X 3 + X + 1, X 3 + X 2 + 1,
X 4 + X + 1, X 4 + X 3 + 1, X 4 + X 3 + X 2 + X + 1.
7. (a) Visa: Polynomet f = X 3 − X + 1 ∈ Q[X] är irreducibelt.
Lösning: Eftersom polynomet har grad 3, räcker det att visa att
f inte har ett rationellt nollställe a. Det är normerat och således
a ∈ Z, a|1, dvs. a = ±1. Men f (±1) = 1 6= 0.
(b) Visa: Det finns ett reellt tal a ∈ R med f (a) = 0.
Lösning: Vi har f (−2) = −5 och f (−1) = 1. Således finns det
ett mellanvärde a ∈ R, −2 < a < −1, med f (a) = 0.
(c) Skriv a7 ∈ Q[a] på formen αa2 +βα+γ med rationella tal α, β, γ ∈
Q.
Lösning: Vi har X 7 = (X 4 + X 2 − X + 1) · f − 2X 2 + 2X − 1.
Stoppa in a! Det ger a7 = −2a2 + 2a − 1.
8. (a) Faktorisera 14 − 8i som produkt av irreducibla Gaußiska heltal!
Lösning: Vi har 14 − 8i = 2 · (7 − 4)i och
|7 − 4i|2 = 65 = 5 · 13
och således
7 − 4i = η(2 ± i)(3 ± 2i), η 4 = 1.
Vi har (7 − 4i)(2 − i)/5 = (10 − 15i)/5 = 2 − 3i = −i(3 + 2i) och
således
7 − 4i = −i(2 + i)(3 + 2i)
samt
14 − 8i = −(1 + i)2 (2 + i)(3 + 2i).
3
(b) Skissera beviset för det faktum att Z[i] är ett principalidealområde.
Lösning: Låt a 6= {0} vara ett nollskilt ideal. Ta d ∈ a \ {0} av
minimal längd. Uppenbarligen gäller Z[i]d ⊂ a. Å andra sidan
givet ett element u ∈ a, approximera det komplexa talet ud−1 ∈ C
genom ett Gaußiskt heltal b ∈ Z[i], sådant att
|ud−1 − b| < 1.
Detta är möjligt, eftersom varje komplext tal ligger i en enhetskvadrat vars hörn är gitterpunkter. Avståndet
av en punkt i
√
kvadraten till närmaste hörn är högst 1/ 2 < 1. I symmerhet
|u − bd| < |d|.
Eftersom u − bd ∈ a, får vi u − bd = 0 resp. u = bd.
4