Problem 1. Figuren nedan är ett 2-dimensionellt mönster ritat av Lauren Grande
(fortheloveofgeorge.com.au).
a) Rita en translationsvektor T i figuren som lämnar mönstret oförändrat. (1p)
Lösning: Det finns förstås oändligt många möjligheter.
1
b) Rita två primitiva basvektorer a och b samt en primitiv enhetscell. (1p)
Lösning:
1
c) Markera minst tio gitterpunkter i figuren som genereras av a och b. (1p)
Lösning: Var konsekvent: R= na+mb.
1
d) Rita en rektangulär enhetscell i figuren. Hur många gitterpunkter innehåller
den? (1p)
Lösning: 2
1
2
Problem 2. Figuren visar energi per jonpar i en jonär kristall med NaCl-struktur
som funktion av deras inbördes avstånd. Jonernas massor är båda
ungefär 40 amu.
a) Hur stor är jämnviktavståndet mellan närmaste grannar? (1p)
Lösning: Jämnviktsavståndet r0 = 252 pm. Där är energin minimal.
1
b) Hur stor är kristallens bindningsenergi uttryckt i joule per mol?(1p)
Lösning: Vi läser av 8,7 eV/par = 8,7 × 1,6.10−19 × 6,02.1023 = 839 kJ/mol.
1
c) Hur stor är jonernas laddning? (1p)
Lösning:
Vid stort inbördes avstånd är energin helt elektrostatiskt. Vid 350 pm är bindningsenergin enligt grafen ungefär 7,1 eV. Alltså
UCoul = αM
1
1 q2
q2
⇔ 7,1×1,6.10−19 = 1,74×9.109
⇔ q = 1,59.10−19 C ≈ e.
4π0 r
3,5.10−10
Laddningen är alltså en elementarladdning.
d) Rita i figuren en kurva av energin kring jämnviktsavståndet om kraftkonstanten
är given som γ = 180 N/m. (1p)
Lösning:
Vid små utvikelser gäller den harmoniska approximationenen U = γ2 (x − x0 )2 . För
−11 2
en utvikelse på ±50 pm får vi U = 180
) = 2,25.10−20 J = 1,4 eV.
2 × (5.10
Därmed kan vi skissa parabelen.
1
e) Hur många vibrationskvanter finns det per oscillator vid rumstemperatur? (1p)
Lösning:
p
Vibrationskvanternas energi är h̄ω = h̄ γ/m. Om vi tar massan som 40 amu blir
svängningsfrekvensen 5,2 · 1013 rad/s och energin 0,034 eV. Vid RT = 0,025 eV blir
det nästan en kvant per oscillator (men varje atom har tre oscillationsriktningar).
3
1
Problem 3. Aluminium (atomnummer 13, tre valenselektroner, atomvikt 27 amu,
molär volym 10,00 cm3 ) är ett populärt material for att använda i
förnsterkarmar. Det finns dock ett problem: aluminium är en mycket bra värmeledare.
Konstruktionsaluminium har en värmeledningskoefficient på 160 W/(m·K), tio gånger
högre än rostfritt stål.
a) Vad är materialets elektriska resistivitet? (1p)
Lösning: Enligt Wiedemann-Franz-lag: % = LT /κ = 2,45 · 10−8 × 300/160 ≈ 4,6 ·
10−8 Ωm, ungefär dubbelt så högt som tabellvärdet för ren aluminium.
1
b) Betrakta ett fyrkant fönster på 1 m2 där karmen kan betraktas som U-balkar.
Aluminiumet är 2 mm tjockt. U-profilen är 16 mm bred och u-et är 10 mm högt
(båda utsidesmått). Om karmens temperatur på utsidan är 0◦ C och på insidan
15◦ C, hur stort blir då värmeflödet genom karmen? (1p)
Lösning:
Avståndet mellan u-ets insidor är L = 12 mm. Värmeflödets tvärsnittsarea är A =
2 · 10−3 × 4 = 8 · 10−3 m2 . Värmeflödet är Φ = κ∆T A/L = 160 × 15 × 8/12 = 1600
W. Detta är förstås inte acceptabelt och därför ser aluminiumkarmar inte ut så.
Det ska alltid finnas en termisk barriär av plast.
1
c) Om man bockar aluminium plåt (2 mm tjock) i en kantpress till en 90◦ vinkel
med krökningsradie på 2 mm och en kraft på 160 kN per meter bockat material,
hur stor blir då materialets uppvärmning? (1p)
Lösning:
Arbetet på ett 1 meter långt veck är W = F ∆s = 160·103 ×2·10−3 = 320 J. Volymen
som deformeras är V = π/2×2·10−3 ×2·10−3 ×1 = 6,28×10−6 m3 = 6,26 cm3 som
motsvarar 0,623 mol. Dess värmekapacitet är 0,628×3R = 15,7 J/K. Temperaturen
höjs med ungefär 20 grader.
1
d) Hur stor är stor är de snabbaste elektronernas hastighet i aluminium? (1p)
Lösning:
Aluminium har tre valenselektroner per atom så att vF =
h̄
me
√
3
1
3π 2 n = 2,03·106 m/s.
Problem 4. a) För vilka ljusvåglängder är en kiselfotodiod känslig? (1p)
Lösning: hν > E
1
gap
b) Förklara hur en halvledarsolcell genererar elektrisk effekt. (1p)
Lösning:
When a photon is absorbed in the depletion layer of the pn-junction, an electronhole pair is created that gets pulled apart by the strong electric field there; this
gives an open-circuit voltage that is approximately equal to the built-in potential,
and in a closed circuit this causes a photoelectric current; a sketch may be helpful.
1
c) För en vis ideal fotodiod gäller att mättnadsströmmen i mörker är 10 nA
och vid belysning med en viss ljusstyrka 100 nA. Beräkna tomgångsspänningen vid
denna ljusstyrka. Och hur stor blir tomgångsspänningen när ljusintensiteten är 104
gånger större? (1p)
Lösning:
Från diodekvationen I = I0 (exp(eV /kB T )−1) får vi eV /kB T = ln 11 ⇔ V = 0,025×
ln 11 = 0,06 V. För den större ljusstyrkan blir spänningen V = 0,025 × ln 105 = 0,30
V.
4
1
Problem 5. a) Förklara i ord och grafiskt vad skillnaden är mellan permanenta
magneter och vanligt järn. (1p)
Lösning:
Permanenta magneter görs av hårda magnetiska material, dvs material med stort
koercitiv fält, det man grafiskt kan återge i hystereskurvan. Bredden på hysteresen är hundratals gånger större än i järn. Orsaken är att domängränser är mycket
mindre rörliga i hårda magnetiska material. (Och det beror på att domängränserna
är smalare, pga större magnetokristallin anisotropi; rörligheten beror också på metallurgisk struktur.)
1
b) Ge exempel på tillämpningar av hårda respektiva mjuka magneter. (1p)
1
Lösning:
c) Förklara vad som händer kring Curie-temperaturen av ferromagneter. (1p)
Lösning:
Den spontana magnetiseringen går mot noll. Vid T > Tc är materialet paramagnetiskt, atomernas spinnriktningar har ingen ordning med lång räckvidd. (Exakt vid
Curie-temperaturen finns kritiska fluktuationer på alla längdskalor och susceptibiliteten är divergent.)
5
1