Repetition
• LR-faktorisering
A=LR, där L är undertriangulär och R övertriangulär.
L håller reda på vilka radoperationer man gjort i Gausselimineringen.
Linjär algebra
R är den trappmatris som vi får i slutet av Gausselimineringen och som
vi brukar beteckna med T.
Föreläsning 9
• Linjärt oberoende rader och kolonner i matris
IT-programmet, Chalmers
2006
Samuel Bengmark
Repetition
A har lika många linjärt oberoende rader som T. T har lika många
linjärt oberoende rader som det finns pivotelement. Alltså har en
matris lika många linjärt oberoende rader som linjärt oberoende
kolonner.
dim(Ker(A))+dim(Im(A)) = kolonner i A.
Idag
• Minsta kvadratmetoden
Kommer det bara handla om kvadratiska
matriser!
Om Ax=b saknar lösning så är en lösning till
AtAx0=Atb
den bästa approximationen …
• Kvadratiska ekvationssystem
• Egenvektorer och egenvärden.
… i meningen att
|Ax0-b| · |Ax-b| för alla x.
Unik lösning omm Det(T) ≠ 0
För ett Gausseliminerat kvadratiskt
ekvationssystem (T|b’) ser vi att följande är
ekvivalenta påståenden:
– Systemet har unik lösning
– T har pivotelement i varje rad, dvs
– Det(T) ≠ 0
De kolonner i A, som motsvarar kolonner i T med pivotelement, är
linjärt oberoende. Dessa kolonner spänner upp Im(A), dvs övriga
kolonner är linjärkombinationer av dem.
Hur ser
man det?
Obs: Det sista följer av att Det(T)=produkten av
diagonalelementen.
Det(A)=0 omm Det(T)=0
• Elementär radoperation: A∼B∼T
– B fås genom att multiplicera en rad i A med λ≠ 0.
Då är Det(B) = λDet(A).
– B fås genom att addera en rad i A till en annan rad i A.
Då är Det(B) = Det(A).
– B fås genom att byta plats på två intilliggande rader i A.
Då är Det(B) = -Det(A).
Detta kan tex ses genom att utveckla längs den rad i B
som modifierats i jämförelse med A.
• Alltså gäller att Det(A)=0 omm Det(T)=0.
1
Lösningsmängden, Det(A) och Im(A)
Slutsats: Ett kvadratiskt ekvationsystem Ax=b har
• Unik lösning omm
Det(A) ≠ 0.
• Har oändligt antal lösningar ( som utgör en hel
linje, plan osv ) omm
Det(A) = 0 och b ∈ Im(A).
• Saknar lösning omm
Det(A) = 0 och b ∉ Im(A).
Allt hänger ihop!
Invers till A och Det(A)
Sats: A inverterbar omm Det(A) ≠ 0!
• Om det Det(A)=0 saknas invers eftersom
1=Det(I)=Det(AA-1)=Det(A)Det(A-1)
medför att Det(A) ≠ 0.
• Omvänt, antag Det(A) ≠ 0. Vill nu lösa
.
– Löser successivt
– Då har
, unika lösningar.
– Dessa lösningar blir kolonner i X.
Visualisering av egenrum
För en kvadratisk matris är följande ekvivalenta
påståenden:
•
•
•
•
•
Det(A)≠ 0
Raderna i A är linjärt oberoende
Ker(A)={0}
Ax=b har unik lösning för varje högerled b
A ger injektiv avbildning
Förvissa dig
om att du
förstår varför!
Vilket även är ekvivalent med
Dynamiskt Matlabskript för matrisen
Linjer avbildas på linjer.
• Kolonner i A är linjärt oberoende
• A ger surjektiv avbildning
• A har invers.
De linjer som avbildas på sig själva (fixlinjer) är så kallade egenrum. En
godtycklig vektor i en sådan linjen kallas en egenvektor.
En sådan vektor v uppfyller Av=λv
Egenvektorer
•
•
v ≠ 0 kallas egenvektor om det finns tal λ så att Av=λv.
Talet λ kallas då för egenvektorns egenvärde.
Lustigt nog är det lättast att först räkna ut λ.
1.
2.
Av = λv ⇔ (A-λI)v = 0.
Det linjära ekvationssystemet (A-λI)v = 0 har icketrivial lösning
omm Det(A-λI)=0. Detta är en n:te-grads ekvation. Lösningarna till
denna polynomekvation är egenvärden.
Sedan använda detta för att finna v.
3.
För ett givet egenvärde λ1 finner man motsvarande egenrum, dvs
rummet av alla egenvektorer med egenvärde λ1, genom att lösa
ekvationssystemet (A-λ1I | 0), dvs finna Ker(A-λ1I).
2