Endimensionell analys (FMAA05)
Anders Källén
Föreläsning 7
Innehåll: Invers funktion
Anmärkning Notera att det är kurvan x = f (y) som ger grafen till den
inversa funktionen f −1 .
Kapitel 7.2 (s116-119), 8.1-8.3, 8.5
1. Vad menas med en invers funktion?
2. Logaritmer
3. Inversa trigonometriska funktioner
Definition (Injektiv) En funktion är injektiv om det till varje y ∈ Vf
finns precis ett x ∈ D f sådant att f ( x ) = y, d.v.s.
f ( x ) = f (y) ⇒ x = y.
Efter dagens föreläsning måste du kunna
- förklara vad en invers funktion är, och vad som krävs för att den
ska finnas
- logaritmlagarna utan och innan
- de inversa trigonometriska funktionerna
En funktion som är strängt monoton är injektiv.
Exempel Potensfunktionen f ( x ) = x α , x ≥ 0 (obs definitionsområdet) har inversen
f −1 ( x ) = x1/α
Anmärkning Innan dagens föreläsning ska du ha gått igenom och
kunna arbetsblad 4 och 5.
Vad menas med en invers funktion?
Att bestämma en invers funktion är detsamma som att bestämma lösningarna till en ekvation f ( x ) = y. Men lösningen x blir en funktion
av y bara om det finns precis en sådan lösning.
om α 6= 0. Även inversen är alltså en potensfunktion.
Logaritmer
En exponentialfunktion är en funktion på formen f ( x ) = a x , x ∈ R
där a > 0 kallas basen för funktionen. Vi vet att
Exempel För funktionen f ( x ) = x2 , x ∈ R, gäller att ekvationen
√
f ( x ) = y har lösningarna ± y om y ≥ 0. Vi har alltså två lösningar,
så det finns inte någon sådan en funktion.
- f är strängt växande om a > 1 och strängt avtagande om a < 1.
- Vf =]0, ∞[ om a 6= 1.
Däremot gäller att för funktionen f ( x ) = x2 , x ≥ 0, har ekvationen
√
f ( x ) = y lösningen x = y (för y ≥ 0).
Inverserna till exponentialfunktionerna kallas logaritmfunktioner:
y = ax
Den inversa funktionen till en given funktion är just lösningen på denna ekvation. Invers funktion
- svarar mot att läsa tabellen som beskriver funktionen baklänges
- blir en funktion endast om varje värde i andra kolonnen bara förekommer en gång. (Injektiv – se nedan)
- inversen till f betecknas f −1 , men ibland används speciella beteckningar (som då är desto viktigare!)
- y = f ( x ) ⇔ x = f −1 (y). Detta betyder att kurvan y = f ( x )
också kan skrivas x = f −1 (y)
- Vf −1 = D f , D f −1 = Vf , ( f ◦ f −1 )( x ) = x, ( f −1 ◦ f )( x ) = x.
Man kan rita grafen för den inversa funktionen utifrån grafen för den
ursprungliga funktionen. Två sätt att tänka är
1. Rotera kurvan y = f ( x ) 90◦ moturs och spegla sedan i den vertikala axeln. Döp sedan om axlarna. [( x, y) → (−y, x ) → (y, x )].
2. Spegla i linjen y = x.
8
y
Talet a kallas logaritmens bas. Logaritmfunktioner blir
- strängt växande om a > 1, strängt avtagande om a < 1.
- D f =]0, ∞[ om a 6= 1 och Vf = R.
Logaritmerna måste tabuleras för att bli användbara! Dock räcker det
med att göra en tabell för en logaritmfunktion eftersom
b
a log x
log x =
a log b
.
Man brukar som a välja någon av
1. e = 2.718 . . ., kallad Eulers konstant och bas för mycket analys!
Logaritmen skrivs då ln x (logaritm naturelle).
2. 10 som används ofta som bas när man hanterar mätdata. Den
logaritmen kallas ofta lg x.
3. 2, om du är binär
Egenskaper hos logaritmerna som följer direkt ur definitionen:
a
6
x = a log y.
⇔
y = f (x)
log 1 = 0,
a
log a x = x,
a
a log x = x.
Dessa observationer måste sitta i ryggraden/muskelminnet!!!
Detsamma gäller logaritmlagarna. Till varje potenslag finns en motsvarande logaritmlag:
4
aα · a β = aα+ β
⇔
a
log( xy) = a log x + a log y,
x = f (y)
2
( aα ) β = aαβ
x
2
4
6
8
⇔
a
log( x y ) = y a log x.
Dessa lagar måste kunnas i sömnen! Liksom deras bevis (utifrån motsvarande potenslag)!!! Ibland säger en bild mer än tusen ord:
Invers till hyperbolisk funktion
y
För att bestämma inversen till funktionen f ( x ) = sinh x ska vi lösa
ekvationen sinh x = y:
y = f (x)
y1 y2
e x − e− x
= y ⇔ e2x − 1 = 2ye x .
2
Sätt t = e x . Då blir ekvationen
y2
t2 − 2yt − 1 = 0 ⇔ (t − y)2 = y2 + 1 ⇔ t = y ±
y1
x2
x1 + x2
x = ln(y +
Figuren visar att
a
x
log( ) = a log x − a log y.
y
De trigonometriska funktionerna är periodiska och ekvationer som
sin x = y har oändligt många lösningar. För att definiera inverser måste vi därför titta på endast en del av funktionen, omfattande endast en
period.
Exempel f ( x ) = sin x, − π2 ≤ x ≤ π2 är monotont växande, och
alltså inverterbar. Dess invers betecknas arcsin x:
x = arcsin y.
2π
3 )?
D f −1 = [−1, 1]; Vf −1 = [−
π π
, ].
2 2
Svar: π/3!
y
y
3
1
2
x
−1.5
−1
−0.5
0.5
1
1
1.5
x
−1
−1
1
2
3
−1
Exempel f ( x ) = cos x, 0 ≤ x ≤ π är monotont växande, och alltså
inverterbar. Dess invers betecknas arccos x:
⇔
f (x) = y
x = arccos y.
D f −1 = [−1, 1]; Vf −1 = [0, π ]
Exempel f ( x ) = tan x, − π2 ≤ x ≤ π2 är monotont växande, och
alltså inverterbar. Dess invers betecknas arctan x:
f (x) = y
⇔
x = arctan y.
D f −1 = [−∞, ∞]; Vf −1 = [−
π π
, ]
2 2
Exempel Vilken är den allmänna lösningen till ekvationen sin x = y?
En lösning ges av x = arcsin y (ligger till höger om y-axlen). En annan
fås som x = π − arcsin y (ligger till vänster om y-axeln). Den allmänna lösningen ges därför av
x = arcsin y + k2π
där k är heltal.
eller
sinh−1 ( x ) = ln( x +
p
x 2 + 1).
Att fundera på till nästa gång
Inversa trigonometriska funktioner
Vad är arcsin(sin
y2 + 1).
Betecknas ibland arcsinh, men det är bättre att skriva som ovan.
Notera att ur lagarna följer också att
⇔
q
Med andra ord:
f ( x 1 + x 2 ) = f ( x 1 ) f ( x 2 ) ⇔ f −1 ( y 1 y 2 ) = f −1 ( y 1 ) + f −1 ( y 2 )
f (x) = y
y2 + 1.
Med minustecknet får vi ett negativt t, och eftersom vi vet att t > 0
måste vi välja plustecknet. Vi får
x
x1
q
x = π − arcsin y + k2π,
1. Varför är arcsin x + arccos x = π2 ? Vad gäller för arctan x +
arccot x? (Rita en figur som förklarar det då 0 < x < π/2.)
2. En funktion f : R2 → R kan inte vara inverterbar. Varför? (Kurvorna f ( x, y) = z, z fixt, kallas nivåkurvor till funktionen.)
3. Ett exempel på en funktion f : R2 → R2 ges av
f (r, θ ) = (r cos θ, r sin θ ).
Vi definierar den då r > 0 och 0 ≤ θ < 2π. Kan du hitta ett
uttryck för inversen (i x, y))? (Här dyker upp lite problem med
arcusfunktioner).