Institutionen för Mekanik Nicholas Apazidis tel: 790 7148 epost: [email protected] hemsida: http://www.mech.kth.se/~nap/ SG1113-150119 Tentamen i SG1113 Mekanik, fortsättningskurskurs Inga hjälpmedel. Varje uppgift ger högst 3 poäng. För godkänt fordras minst 4 poäng på vardera problem- och teoridelen. Skrivtid: 4h. OBS! Uppgifterna 1- 8 skall inlämnas på separata papper. Lycka till! Problem 1) w0 ey O ex ez b Armen OA med längden b roterar med en konstant vinkelhastighet 0 kring den fixa änden O. Den andra änden A, är länkad med en hävstång AB med längden l. Änden B av hävstången driver en kolv som kan glida i en horisontell cylinder. Bestäm kolvens acceleration a B i ögonblicket då OA är horisontell och AB bildar vinkeln 45 med horisontallen. A l 45 o B 2) En kvadratisk ram tillverkad av fyra lika homogena stänger vardera med längden b och är fast med hjälp av två lätta ekrar i ramens mittpunkt A i en stång OA med längden l som roterar i vertikalplanet med vinkelhastigheten 0 kring en fix punkt O. Ramen roterar i sin tur med vinkelhastigheten 1 relativt rumsfixa riktningar. Bestäm kvoten 1 / 0 så att ramens translationsenergi blir lika med dess rotationsenergi. b w1 A l w0 O 3) P R x x2 x1 4) k k q l En homogen cirkulär cylinder med radien R och massan m kan rulla på en vagn med lika massa. Vagnen i sin tur rullar fritt på en horisontell yta. Ett rep som är lindat kring cylindern påverkas av en konstant horisontell kraft P som gör att systemet kommer i rörelse. Förutsatt att cylindern rullar utan att slira på vagnen bestäm accelerationerna av cylinderns och vagnens masscentra, x1 resp x2 . En homogen stång AB med massan m och längden l kan röra sig friktionsfritt i ett vertikalplan enligt figuren. Änden A av stången är fäst i en två lätta fjädrar vardera med fjäderkonstanten k. Fjädrarna är ospända då stången är vertikal. Uppställ rörelseekvationen för stången, linearisera denna samt bestäm perioden för små svängningar kring jämviktsläget. B V.g. vänd! Teori 5) a. Utgå från det allmänna sambandet mellan accelerationerna i två godtyckliga punkter i en stel kropp och härled dess motsvarighet vid plan rörelse. Rita en figur som visar de olika accelerationstermerna i detta uttryck och förklara deras kinematiska innebörd. (1p) b. Betrakta tre koordinatsystem S0 , S1 och S 2 , inför nödvändiga vinkelhastigheter och definiera nödvändiga vinkelaccelerationer. Utgå från additionsformeln för vinkelhastigheter och härled additionsformeln för vinkelaccelerationerna: α 2,0 α 2,1 α1,0 ω1,0 ω2,1 . (1p) c. Betrakta cylindern med radien R som rullar utan glidning på ett horisontellt underlag. Stången AB med längden 2R är fäst med en led i punkten A på cylinderns periA R O v feri. Stångens andra ändpunkt B rullar på underlaget. I 2R det ögonblick som visas i figuren är hastigheten för cylinderns mittpunkt O lika med v och riktad åt vänster. För B detta ögonblick bestäm momentancentrums läge för stången AB, och stångens vinkelhastighet kring momentancentrum. (1p) 6) a. Betrakta ett partikelsystem, definiera vad som menas för ett masscentrumsystem och härled uttrycket för kinetiska energins två delar. (1p) ' b. Betrakta ett partikelsystem, inför ett masscentrumsystem och visa att HG HG . (1p) c. Visa att de inre krafternas arbete i ett stelt partikelsystem är noll. (1p) 1 7) a. Härled uttrycket för arbete U 01 M z d vid stel kropps rotation kring en fix axel. (1p) 0 x z y A b. Betrakta en tunn homogen ring med massan m och radien r som är fastsatt i punkten A och roterar kring en vertikal axel med vinkelhastigheten ω . Ringen ligger i xy-planet av det kroppsfixa koordinatsystemet Oxyz där xaxeln sammanfaller med ringens diameter och z-axeln bildar vinkeln med vertikalriktningen enligt figuren. Bestäm komponenterna av ringens rörelsemängdsmoment H A i det kroppsfixa systemet. (2p) 8) a. Definiera vad som menas med variationen q(t ) av en generaliserad koordinat q(t ) . Formulera Hamiltons variationsprincip. b. c. Härled Lagranges ekvationer från Hamiltons variationsprincip. (1p) (1p) (1p)
© Copyright 2024