Institutionen för Mekanik
Nicholas Apazidis
tel: 790 7148
epost: [email protected]
hemsida: http://www.mech.kth.se/~nap/
SG1113-150119
Tentamen i SG1113 Mekanik, fortsättningskurskurs
Inga hjälpmedel. Varje uppgift ger högst 3 poäng. För godkänt fordras minst 4 poäng på vardera problem- och teoridelen.
Skrivtid: 4h. OBS! Uppgifterna 1- 8 skall inlämnas på separata papper.
Lycka till!
Problem
1)
w0
ey
O
ex
ez
b
Armen OA med längden b roterar med en konstant
vinkelhastighet  0 kring den fixa änden O. Den
andra änden A, är länkad med en hävstång AB med
längden l. Änden B av hävstången driver en kolv
som kan glida i en horisontell cylinder. Bestäm
kolvens acceleration a B i ögonblicket då OA är
horisontell och AB bildar vinkeln 45 med horisontallen.
A
l
45 o
B
2)
En kvadratisk ram tillverkad av fyra lika homogena
stänger vardera med längden b och är fast med
hjälp av två lätta ekrar i ramens mittpunkt A i en
stång OA med längden l som roterar i vertikalplanet med vinkelhastigheten 0 kring en fix punkt O.
Ramen roterar i sin tur med vinkelhastigheten 1
relativt rumsfixa riktningar. Bestäm kvoten 1 / 0
så att ramens translationsenergi blir lika med dess
rotationsenergi.
b
w1
A
l
w0
O
3)
P
R
x
x2 x1
4)
k
k
q
l
En homogen cirkulär cylinder med radien R och
massan m kan rulla på en vagn med lika massa.
Vagnen i sin tur rullar fritt på en horisontell yta.
Ett rep som är lindat kring cylindern påverkas av
en konstant horisontell kraft P som gör att systemet
kommer i rörelse. Förutsatt att cylindern rullar utan
att slira på vagnen bestäm accelerationerna av cylinderns och vagnens masscentra, x1 resp x2 .
En homogen stång AB med massan m och längden l
kan röra sig friktionsfritt i ett vertikalplan enligt
figuren. Änden A av stången är fäst i en två lätta
fjädrar vardera med fjäderkonstanten k. Fjädrarna
är ospända då stången är vertikal. Uppställ rörelseekvationen för stången, linearisera denna samt bestäm perioden  för små svängningar kring jämviktsläget.
B
V.g. vänd!
Teori
5) a. Utgå från det allmänna sambandet mellan accelerationerna i två godtyckliga punkter i en
stel kropp och härled dess motsvarighet vid plan rörelse. Rita en figur som visar de olika accelerationstermerna i detta uttryck och förklara deras kinematiska innebörd.
(1p)
b. Betrakta tre koordinatsystem S0 , S1 och S 2 , inför nödvändiga vinkelhastigheter och definiera
nödvändiga vinkelaccelerationer. Utgå från additionsformeln för vinkelhastigheter och härled
additionsformeln för vinkelaccelerationerna: α 2,0  α 2,1  α1,0  ω1,0  ω2,1 .
(1p)
c.
Betrakta cylindern med radien R som rullar utan glidning
på ett horisontellt underlag. Stången AB med längden
2R är fäst med en led i punkten A på cylinderns periA
R
O
v
feri. Stångens andra ändpunkt B rullar på underlaget. I
2R
det ögonblick som visas i figuren är hastigheten för cylinderns mittpunkt O lika med v och riktad åt vänster. För
B
detta ögonblick bestäm momentancentrums läge för
stången AB, och stångens vinkelhastighet  kring momentancentrum.
(1p)
6) a. Betrakta ett partikelsystem, definiera vad som menas för ett masscentrumsystem och härled
uttrycket för kinetiska energins två delar.
(1p)
'
b. Betrakta ett partikelsystem, inför ett masscentrumsystem och visa att HG  HG .
(1p)
c. Visa att de inre krafternas arbete i ett stelt partikelsystem är noll.
(1p)
1
7) a. Härled uttrycket för arbete U 01   M z d vid stel kropps rotation kring en fix axel.
(1p)
0
x
z
y

A
b. Betrakta en tunn homogen ring med massan m och
radien r som är fastsatt i punkten A och roterar kring en
vertikal axel med vinkelhastigheten ω . Ringen ligger i
xy-planet av det kroppsfixa koordinatsystemet Oxyz där xaxeln sammanfaller med ringens diameter och z-axeln
bildar vinkeln  med vertikalriktningen enligt figuren.
Bestäm komponenterna av ringens rörelsemängdsmoment
H A i det kroppsfixa systemet.
(2p)
8) a. Definiera vad som menas med variationen q(t ) av en generaliserad koordinat q(t ) .
Formulera Hamiltons variationsprincip.
b.
c.
Härled Lagranges ekvationer från Hamiltons variationsprincip.
(1p)
(1p)
(1p)