1. No category

Linköpings universitet
tekniska högskolan
IEI/mekanik
Tentamen – Mekanik MI, TMMI39, Ten 1
Onsdagen den 19 augusti 2015, klockan 8–13
Kursadministratör
Anna Wahlund, [email protected], 013-281157
Examinator
Joakim Holmberg
Tentamensjour
Joakim Holmberg, [email protected], 013-282338
Besöker salen
9:15
Antal uppgifter
5 stycken uppgifter, där varje uppgift ger maximalt 3 poäng
Antal sidor
7 stycken (inklusive försättsblad)
Hjälpmedel
Formelblad (medföljer tentamenstesen) samt räknedosa
Betygsgränser
Summa poäng
0–5
6–8
9–11
12–15
Betyg
UK
3
4
5
Svar
Anslås på kurshemsidan efter skrivtidens slut
http://www.solidmechanics.iei.liu.se/Examiners/Courses/Bachelor_Level/tmmi39/
2015-08-19
Tentamen i Mekanik f.k. (TMMI39)
1 En ställning består av tre stänger. I varje knutpunkt sitter det en kulled, vilken kan ta upp
krafter i alla tre axelriktningar. Ställningen belastas med kraften F = 3000 N enligt figur.
Relationerna för måtten är: h = b = 32 a = 32 c. Bestäm storleken på stångkrafterna S1 , S2
och S3 . (3p)
2 I det läge som figuren visar har punkten A hastigheten vA = 0.2i m/s. Punkten B är styrd till
att röra sig längs den cirkulära bana som figuren visar. Bestäm hastighetsvektorn vB . (3p)
3 Stången AB, med massan m = 62 kg och längden L = 3 m, hänger horisontellt i två snören
och befinner sig i vila. Bestäm stångens vinkelaccelerationsvektor, αAB , och dragkraften i
snöret BD, SBD , omedelbart efter att snöret AC klipps av. (3p)
4 Den vertikala axeln med fastsatt klyka roterar med vinkelhastigheten ω och vinkelaccelerationen ω̇. Koordinatsystemet xyz sitter fast i den vertikala axeln och följer klykans rotation.
Samtidigt roterar stången OA kring klykans sprint i O. Vinkeln θ ökar med vinkelhastigheten θ̇ och vinkelaccelerationen θ̈. Bestäm både vinkelhastighetsvektorn och vinkelaccelerationsvektorn för stången OA, dvs ωOA och αOA . (3p)
5 Stången OA med massan m och längden L är via en friktionsfri sprint i O fastsatt i det
vertikala skaftet som roterar med den konstanta vinkelhastigheten ω. Bestäm vinkeln θ
mellan OA och vertikalen. Koordinatsystemet xyz sitter fast i stången OA vid punkten
O. x-axeln löper axiellt längs stången OA och z-axeln löper axiellt längs sprinten. (3p)
punkt.
Formelblad TMMI39
Beteckningar:
A, B: godtyckliga punkter
P: fix punkt i rummet
O: fix punkt i kroppen och i rummet
G: masscentrum
V : godtycklig vektor
d⊥v : vinkelräta avståndet mellan A och vG
d⊥a : vinkelräta avståndet mellan A och aG
IG−G : masströghetsmoment m.a.p. axeln G −G genom masscentrum
ID−D : masströghetsmoment m.a.p. axeln D−D parallell med axeln G −G
d: vinkelräta avståndet mellan axlarna G −G och D−D
Kinematik
• Naturliga komponenter:
v = ṡet = ρβ̇et ,
a=
ṡ2
e + s̈et
ρ n
• Polära koordinater:
a = r̈ − rθ̇2 er + rθ̈ + 2ṙθ̇ eθ
v = ṙer + rθ̇eθ ,
• Derivering i roterande koordinatsystem (xyz)
dV
dV
V˙ ≡
=
+Ω×V
dt /XYZ
dt /xyz
där Ω är vinkelhastigheten hos xyz relativt XY Z
• Hastighet och accelerationssamband: Låt A och B vara fixa punkter i en stel
kropp. Då gäller
vB = vA + ω × AB
aB = aA + ω × ω × AB + ω̇ × AB
Kinetik
• Kraft- och momentlagar
˙ = ma
ΣF = G
G
˙ ,
ΣMG = H
G
˙ ,
ΣMP = H
P
˙ + AG × ma
ΣMA = H
G
G
ΣMO = IO α,
ΣMA = IG α ± maG d⊥a
• Momentlagar (2D)
ΣMG = IG α,
• Förflyttningssatser
HB = HA + BA × mvG
ΣMB = ΣMA + BA × ΣF
• Rörelsemängdsmoment
HG = IG ω,
HO = I O ω
HA = IG ω ± mvG d⊥v
(2D)
• Arbete och energi
Energibalans
′
T1 + Vg1 + Ve1 + U1−2
= T2 + Vg2 + Ve2
där En kraft F resp. ett kraftparsmoment C utför arbetet
Z 2
Z 2
′
′
F ·dr resp. U1−2 =
C·ωdt
U1−2 =
1
1
Z 2
Z 2
′
′
C dθ
(2D)
F ·dr resp. U1−2
=
U1−2
=
1
1
Plan rörelse
1
1
T = mvG2 + IG ω 2
2
2
1
2
T = IO ω
2
Tredimensionell rörelse
1
1
T = mvG ·vG + ω·HG
2
2
1
T = ω·HO
2
• Impuls och impulsmoment
Z t2
G1 +
ΣF dt = G2 , G = mvG
t1
HP 1 +
Z
t2
t1
ΣMP dt = HP 2 ,
HG 1 +
Z
t2
t1
ΣMG dt = HG 2
• Tröghetssamband


Ixx −Ixy −Ixz
I =  −Ixy Iyy −Iyz 
−Ixz −Iyz Izz
Z
Z
Ixx =
y 2 + z 2 dm,
Ixy = xy dm

dy 2 + dz 2
−dx dy
−dx dz
IA = IG + m  −dx dy
dx 2 + dz 2
−dy dz 
−dx dz
−dy dz
dx 2 + dy 2

där


dx
 dy  = GA (eller AG)
dz
ID−D = IG−G + md2 ,
IDxy = IG xy + mdx dy
Algebra
a · (b × c) = b · (c × a)
a × (b × c) = b (a · c) − c (a · b)
|a × b| = |a||b| sin ϕ
IGxx = IGzz =
2
IGxx = 0,
IGyy = IGzz =
ml
12
m
(6r 2 + h2 ) ,
12
IGyy = mr 2
2
IGxx = IGyy =
mr
,
4
IGzz =
mr
2
2
IGxx = IGyy = IGzz = mr 2
5
2
IGxx = IGyy
mr 2
,
=
2
2
IGxx = IGyy = IGzz = mr 2
3
IGzz = mr 2
IGxx =
IGxx = IGzz =
m
(3r 2 + h2 ) ,
12
IGyy =
mr 2
2
m 2
(b + c2 ),
12
IGyy =
m 2
(a + c2 ),
12
IGzz =
m 2
(a + b2 )
12