Signalbehandling Andreas Fhager [email protected] Innehåll • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Modellering av fysiskt fenomen Analoga/digitala signaler Nervsignaler Periodiska funkBoner/Fourierserie Frekvensspektrum Filter Faltning Modell av fysiskt fenomen •  Fysiska system modelleras med matemaBska ekvaBoner •  Newtons 2’a lag är eH exempel på en matemaBsk modell av eH fysiskt system: 2
d x (t )
f (t ) =M
2
dt
KraL = massa * acceleraBon TG13, kap 1.1 Modell av fysiskt system En elektrisk krets är eH annat exempel på eH fysisk system Denna krets beskrivs av en matemaBsk modell: t
di (t )
1
L
+ Ri (t ) + ∫ i (τ )dτ = v(t )
dt
C −∞
TG13, kap 1.1 Modellering av fysiskt system Arbetsgång vid matemaBsk modellering: 1. Utveckla en matemaBsk modell 2. Lös ekvaBonerna 3. Gör experiment 4. Jämför resultatet från experimentet med lösningen av ekvaBonerna 5. FörbäHra eventuellt modellen TG13, kap 1.1 Modellering av fysiskt fenomen •  Fysiska signaler modelleras med matemaBska funkBoner v(t) En spänning ger signal Bll högtalaren TG13, kap 1.1 Signalbehandling Innan signalen går in i högtalaren vill man i regel förstärka den (signalbehandling): Man kan bygga en eﬀekBv förstärkare med hjälp av en OP-‐amp. TG13, kap 1.2 Två typer av signaler KonBnuerlig signal = Analog signal Diskret signal = Digital signal TG13, kap 1.1 Digital Bll analog konvertering En DAC tar emot eH binärt tal varje T sekund och matar ut en konstant spänning Blls nästa binära tal tas emot. TG13, kap 1.3 Hur låter utsignalen från en DAC? Verkligheten, tex tal och musik, består av analoga signaler. Men en CD lagrar digitala signaler och från en DAC får vi styckvis konstanta signaler ut. DeHa kan förvränga ljudet. Testa med hHp://www.falstad.com/fourier/ I appleten: Använd förinställda värden, välj ”sine”, välj ”sound”. Från början hörs då en ren sinuston. Om vi trycker upprepade gånger på ”resample” blir signaler mer och mer ”styckvis konstant”. Hur låter det? Några frågor aH fundera över: Är denna egenskap hos en DAC eH problem då vi spelar en CD-‐skiva? Hur kan vi lösa problemet? Analog Bll digital konvertering: Komparator En vikBg byggsten i en ADC är en komparator. FunkBonen är sådan aH om vi(t)>vr(t) blir utsignalen en logisk 1. (T.ex. 5 V). Om vi(t)<vr(t) blir utsignalen en logisk 0. (0 V) TG13, kap 1.3 Analog Bll digital konvertering: Counter-‐ramp ADC Räknaren stegar upp. Räknarsignalen jämförs i en komparator med den analoga signalen. När de är lika är räknarsignalen lika med den digitala utsignalen TG13, kap 1.3 Sampling av telefonsignal Ovan ﬁnns eH exempel på problemaBken i eH telefonsystem: Ju tätare sampels desto bäHre representaBon av den analoga signalen. DeHa leder Bll bäHre samtalkvalitet. Glesare sampling ger å andra sidan utrymme för ﬂer samtal på samma linje. TG13, kap 1.3 Sampling av telefonsignal Signalen från förra sidan indikeras i denna bild av eHorna ovanför staplarna. Alltså ﬁnns utrymme för ﬂer samtal (2-‐n) ”i samma tråd.” Så här kan signalen se ut i tråden Figure 1.23 Time-‐division mulBplexing TG13, kap 1.3 Transmission av telefonsignaler En mulBplexer tar in signalen från ﬂera telefoner och skickar ut dem på ledningen. En demulBplexer fördelar signalerna i andra änden. TG13, kap 1.3 Krets för datainsamling Så här kan en typisk krets för datainsamling vara designad TG13, kap 1.3 Samplingsintervall Hur samplingsintervallet påverkar en signal kan vi testa i följande java-‐applet: hHp://www.falstad.com/dﬁlter/ Välj
”input = valfriH” ”ﬁlter = none” Testa hur det låter vid olika ”Sampling Rate” Nervsignaler Bilden visar en typisk nervcell. Vi är intresserade av hur nervsignalerna i cellen beter sig. TG 1, sid 527 AkBonspotenBal En sBmuli vid Bden 0 ger en depolarisering av membranpotenBalen Om ingen annan mekanism fanns skulle membran-‐
potenBalen sakta återgå Bll ursprungsvärdet. (den gröna kurvan). Men Na+ kanalerna öppnas och släpper igenom Na+ joner som förstärker signalen. (den röda kurvan) Kanalerna inakBveras och stängs och är sen redo för en ny sBmuli. TG 1, sid 529 PropagaBon av akBonspotenBal längs axonen Nervsignalen propagerar med hjälp av en serie av akBonspotenBaler som steg för steg triggar igång nya akBonspotenBaler längre bort på axonen. Signalen kan bara propagera i en riktning eLersom inakBverade Na+ kanaler förhindrar spridning bakåt. TG 1, sid 530 Myelinesering av nervtrådar Myelinesering av nervtråden ökar dramaBskt propagaBons-‐
hasBgheten av nersignaler MulBpel scleros är en sjukdom där myelinet skadas, DeHa gör aH nervsignalerna propagerar långsammare. Konsekvenserna kan bli dramaBska. TG 1, sid 532 +
Mätning av ström i Na kanaler Med tekniken patch-‐clamp recording kan ström genom enskilda Na+ kanaler mätas. En pipeH ansluts täH mot nervcellen och därmed kan man fånga upp och mäta de joner som passerar genom enskilda kanaler. TG 1, sid 533 +
Mätning av ström i Na kanaler (A)  Depolarisering av membranet (B)  Mätning av strömmen i tre enskilda Na + kanaler med hjälp av patch-‐clamp tekniken (C)  Medelvärdesbildad ström över 144 kanaler TG 1, sid 533 Modellering av signaler •  Kom ihåg från början av föreläsningen: –  Fysiska system modelleras med matemaBska ekvaBoner –  Fysiska signaler modelleras med matemaBska funkBoner •  En vik0g klass av funk0oner är periodiska, tex en EKG-‐signal TG 13, kap 4.1 Periodiska signaler 1.  En periodisk funkBon existerar för alla Bder. 2.  En periodisk funkBon återupprepar sig med en viss periodBd T (och då även nT, där n är eH heltal). 3.  Minsta periodBden kallas för den fundamentala periodBden T0. Hur modellerar vi denna signal matema0skt? TG 13, kap 4.1 Frekvens •  En signals fundamentala frekvens deﬁnieras som 1
f0 =
T0
•  AlternBvt 2π
ω0 = 2πf 0 =
T0
TG 13, kap 4.1 ApproximaBon av periodisk signal Beroende på Bllämpning kan det vara prakBskt aH använda eH approximaBvt uHryck på signalen. Kanske en sinus-‐funkBon är Bllräckligt i deHa fall (men det beror på Bllämpningen): TG 13, kap 4.1 ApproximaBon av periodisk signal Fyrkantpuls: ApproximaBon med en sinussignal: FelfunkBon; den ska vara så liten som möjligt. Men vi är fria aH bestämma med vilket måH vi mäter. TG 13, kap 4.1 Fourierserie Med ﬂer än bara en sinussignal kan vi bygga allt bäHre approximaBoner av en signal. ApproximaBon av en fyrkantvåg med: 1 sinusterm
2 sinustermer Testa på hHp://www.falstad.com/fourier/ I appleten: Välj en signalform, dra i reglaget ”Number of Terms” för aH se hur man med ﬂer och ﬂer sinus/cosinustermer får en allt bäHre approximaBon. TG 13, kap 4.1 Fourierserien på matemaBsk form En reell periodisk signal kan uHryckas på tre alternaBva säH ∞
x(t ) = C e jkω t ; där C = C *
∑
k = −∞
k
0
k
−k
∞
x(t ) = C0 + ∑ 2 Ck cos(kω0t + θ k )
k =1
∞
x(t ) = A0 + ∑ [Ak cos kω0t + Bk sin kω0t ]
k =1
Återstår aH hiHa konstanterna Ak, Bk, Ck, θk för olika speciﬁka funkBoner. TG 13, kap 4.2 Fourierserien på matemaBsk form •  Man kan visa aH konstanterna Ck kan beräknas uBfrån den signal x(t) som man vill approximera 1
− jkω0t
Ck = ∫ x ( t ) e
dt
T0 T0
1
C0 = ∫ x (t )dt
T0 T0
TG 13, kap 4.2 Frekvensspektrum Genom aH ploHa koeﬃcienterna Ck (eller Ak, Bk, θk )som funkBon av frekvensen får vi vad som kallas eH frekvensspektrum Till höger visas frekvensspektrumet för en fyrkantpuls TG 13, kap 4.3 Fourierserier Man kan beräkna Fourierserier för alla möjliga olika funkBoner. Exempelvis de som visas här. TG 13, kap 4.3 Filtrering Fourierserier och Fourieranalys är eH användbart verktyg då man analyserar olika system. Nedan eH exempel på hur eH system som matas med en fyrkantvåg svarar med aH mata ut en förändrad signal. Denna process kallas ﬁltrering. Fourieranalysen kan användas för aH beskriva denna process. TG 13, kap 4.3 Filtrering i en pendel En pendelrörelse beskrivs av variabeln θ(t). Men kraLen som säHer igång rörelsen beskrivs av f(t). KraLen innehåller högre frekvenskomponenter än pendelrörelsen som beskrivs av en sinussignal. Pendeln kan alltså betraktas som eH ﬁlter. TG 13, kap 4.3 Karakterisering av ﬁlter-‐Bodediagram TG 8, kap II Karakterisering av ﬁlter-‐Bodediagram PloHar nu |H(ω)|och ϕ(ω), (använder även logaritmisk skala). Denna ploH visar hur överföringsfunkBonen ser ut vid olika frekvenser. TG 8, kap II Diskreta ﬁlter / FIR-‐ﬁlter •  FIR (Finite Impulse Response) •  I eH FIR ﬁlter är utsignalen en viktad summa av insignalen. TG 14, sid 101 Glidande medelvärde •  EH oLa användbart exempel på FIR ﬁlter är eH glidande medelvärde. Det beskrivs matemaBskt som x(n) y(n) TG 14, sid 102 Glidande medelvärde Den övre ploHen visar en funkBon som ﬁltreras med glidande medelvärde 3 punkters glidande medelvärde 7 punkters glidande medelvärde TG 14, sid 106 Egenskaper hos ﬁlter EH ﬁlter som bara använder historiska värden kallas eH ”kausalt ﬁlter.” Endast kausala ﬁlter kan användas i realBdsBllämpningar. Icke kausala ﬁlter kräver aH data ﬁnns lagrad. TG 14, sid 104 Impulsrespons EH ﬁlter kan karakteriseras fullständigt genom aH skicka in en impuls (delta-‐puls, δ[n]) och studera utsignalen, h[n]. Impulsrespons, 3pt glidande medelvärde Skickar vi in en delta-‐puls (bilden Bll vänster) i eH ﬁlter som beräknar eH 3 punkters glidande medelvärde får vi följande utsignal, (bilden Bll höger). FunkBonen h[n] kallas för impulsrespons och utgör en fullständig karakterisering av ﬁltret. Insignal, δ[n-‐2] Utsignal, h[n] Faltning – Generellt FIR-‐ﬁlter Filtret för glidande medelvärde är eH specialfall av den allmäna beskrivningen på eH FIR-‐ﬁlter som ges av: Denna ekvaBon kan skrivas på generell form som och den kallas för ”faltning” TG 14, sid 110