1. No category

Sidor i boken
8-9, 90-93
Absolutbelopp
Men först lite om Absolutbelopp. |x|, kallas absolutbeloppet av x, och är avståndet för x till origo
på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta gäller för talet −4. Vi skriver
|4| ≡ | − 4| ≡ 4.
Exempel 1. Från figuren får vi
| − 3 − 0| ≡ |0 − (−3)| ≡ 3
| − 4 − 1| ≡ |1 − (−4)| ≡ 5
| − 4 − (−2)| ≡ | − 2 − (−4)| ≡ 2
|4 − 2)| ≡ |2 − 4| ≡ 2
Från detta ser vi att om vi har två tal a och b och vill bestämma avståndet på tallinjen mellan dem
skriver vi |a − b|. Detta fungerar även om vi inte vet vilket av talen som är störst.
Exempel 2. Värdet hos de två talen a 6= 0 och b 6= 0 är hemliga. Vilket är då troligtvis störst |a + b|,
|b + a| eller |a| + |b|?
För det första |a + b| ≡ |b + a|. Återstår att jämföra |a + b| och |a| + |b|.
a > 0, b > 0
a < 0, b < 0
a < 0, b > 0
a > 0, b < 0
|a + b| = |a| + |b|
|a + b| = |a| + |b|
|a + b| < |a| + |b|
|a + b| < |a| + |b|
⇒
⇒
⇒
⇒
Exempel 3. Lös ekvationen
|x + 3| = 8
Det är enkelt att se att x = 5 är en lösning. Men finns det fler? Ja, om x = −11 är ju | − 11 + 3| = 8
Svar: x = 5 och x = −11
Håkan Strömberg
1
KTH STH
Exempel 4. Lös ekvationen
|x + 3| + |x − 4| = 11
Lösning:
Plan:
1 Ta reda på de xi för vilka var och en av de två termerna = 0.
2 Sortera de tre ’brytpunkterna’ och skapa fyra intervall, man kan finna utefter x-axeln.
3 Lös upp absolutbeloppen inom varje intervall och bilda på så sätt tre ekvationer.
4 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i aktuellt intervall.
Genomförande:
1,2 De två eftersökta x-värdena är x1 = −3 och x2 = 4
3 Vi har nu att studera följande tre intervall
x < −3
−3 ≤ x < 4
x≥4
4 Detta ger oss följande ekvationer
Då
x < −3
−3 ≤ x < 4
x≥4
Ekvation
−(x + 3) − (x − 4) = 11
(x + 3) − (x − 4) = 11
(x + 3) + (x − 4) = 11
Rot
x = −5
Ingen lösning
x=6
OK
Ja
Nej
Ja
Svar: x1 = −5 och x2 = 6 (se grafen nedan)
Avrundning och gällande siffror
Detta är inte matematik! Här handlar det om tillämpningar av matematiken inom till exempel fysik
och kemi. Däremot finns det ett ämne, numerisk analys, som handlar om detta.
Vi kopierar den text som finns i boken.
• Alla siffror skilda från 0 är gällande
• 0:or är gällande
– inuti ett tal
– i slutet av ett decimaltal
• 0:or är inte gällande i början av ett decimaltal
• 0:or i slutet av ett heltal kan vara gällande. Avgörs från fall till fall.
Svara exakt om du kan, så slipper du alla problem.
• Vid multiplikation och division av närmevärden (ej exakta värden). Låt det närmevärde som
har minst antal gällande siffror bestämma antalet siffror i slutresultatet.
• Vid addition och subtraktion av närmevärden (ej exakta värden). Låt det närmevärde som
har minst antal decimaler siffror bestämma antalet siffror i slutresultatet.
Håkan Strömberg
2
KTH STH
Exempel 5. Om vi säger att Sveriges folkmängd är 9 000 000 är det troligtvis inte 7 gällande siffror
(synonym signifikanta siffror ).
Om jag säger att jag förlorade 100 kr på ett vad, är sannolikheten ganska stor att beloppet har 3
gällande siffror.
Exempel 6. Kalle som mäter noga fick fram måtten
3.156
≈ 30.06
2.841 − 2.736
Pelle som är lite slarvigare avrundade innan han beräknade slutresultatet
3.16
≈ 31.60
2.84 − 2.74
Av detta ser vi att man inte ska avrunda för tidigt.
Exempel 7. Med hur många siffror ska man svara
0.0003 · 12.6 · 25.7 = 0.097146
Enligt reglerna är svaret 0.1
Likformighet
Om linjerna l1 och l2 är parallella, så är de två vinklarna v och u lika stora. u och v kallas likbelägna
vinklar.
Givet △ABC. Linjen l2 är en transversal som skär triangeln. Linjen l1 är en parallelltransversal som
också skär triangeln, men som dessutom är parallell med en av sidorna, BC i triangeln. △ADE är en
topptriangel till △ABC. ∠BAC är gemensam för △ABC och △ADE. Dessutom är ∠AED = ∠ABC
och ∠ADE = ∠ACB. De två trianglarna har lika stora vinklar, vilket innebär att trianglarna är
likformiga. Man skriver då △ABC ∼ △ADE. Tecknet ∼ betecknar just likformig.
Vi kan nu ställa upp följande förhållanden
AE
AD
ED
=
=
BC
AB
AC
Håkan Strömberg
3
KTH STH
Transversalsatsen: En transversal, som är parallell med en sida i en triangel delar de övriga sidorna
i samma förhållande.
Topptriangelsatsen: En transversal, som är parallell med en sida i en triangel, avskär en topptriangel som är likformig med den förra.
Exempel 8. I △ABC är sidorna a = 10, b = 12 och c = 8. En transversal är parallell med sidan
AB och skär sidan CB i D och sidan CA i E. Sträckan DE = 4. Bestäm CE och CD
Först måste vi rita en figur med beteckningar insatta. Sidan a = BC är den sida som står mot ∠A.
Sidan b = AC är den sida som står mot ∠B. Sidan c = AB är den sida som står mot ∠C.
Vi ställer nu upp förhållandena
CD
4
4
CE
=
=
12
8
10
8
De två ekvationerna ger direkt CE = 6 och CD = 5. Antag att storheten är cm
Svar: CE = 6 cm och CD = 5 cm.
Exempel 9. △ABC är rätvinklig, med sidorna AB = 3 cm, BC = 4 cm. Bestäm höjden BD
Lösning: Hur många trianglar ser du i figuren? Hur många av dem är rätvinkliga? Hur många är
likformiga?
Alla tre trianglarna är likformiga, △ABC ∼ △ADB ∼ △BDC, eftersom de alla innehåller dels en rät
vinkel och ytterligare en vinkel som ingår i en annan triangel.
Antag att BD = x. Sidan AC kan vi bestämma med hjälp av Pythagoras sats
p
AC = 32 + 42 ≡ 5
Betrakta nu trianglarna △ABC och △ADB. Vi får förhållandena
x
3
=
4
5
x = 12
5 .
Svar: BD =
12
5
Håkan Strömberg
cm
4
KTH STH
Problem 1. Beräkna
f(x) = |3x2 − 10x + 2|
för x = 5 och för x = 1
Lösning:
x=5
x=1
|3 · 52 − 10 · 5 + 2| ≡ |75 − 50 + 2| ≡ |27| ≡ 27
|3 · 12 − 10 · 1 + 2| ≡ |3 − 10 + 2| ≡ | − 5| ≡ 5
Svar: f(5) = 27 och f(1) = 5
Problem 2. Lös ekvationen
|3 − x| = 10
Lösning: Då x > 3 är det ekvationen
−(3 − x) = 10
som gäller, med roten x = 13. Då x ≤ 3 gäller ekvationen
(3 − x) = 10
med roten x = −7
Svar: x = 13 och x = −7.
Problem 3. Ht1953. I fyrhörningen ABCD är sidorna AB och AD vardera 12 cm, sidorna CB och
CD vardera 5 cm samt diagonalen AC 13 cm. Hur lång är diagonalen BD?
Lösning:
Eftersom 122 + 52 = 132 måste △ADC och △CBA vara rätvinkliga och dessutom kongruenta, med
de räta vinklarna ∠ADC och ∠ABC.
△ADO ∼ △ADC, eftersom de båda är rätvinkliga och har ∠CAD gemensam. Antag att OD = x.
Vi får förhållandet
12
x
=
5
13
som ger x =
60
13 .
Detta betyder att BD =
120
13
≈ 9.23
Svar: 9.23 cm
Håkan Strömberg
5
KTH STH
Problem 4. Vt1954. I en rektangel ABCD är sidan AB 4 cm och sidan BC 2 cm. På sidan AB är
en punkt E så belägen, att AE är 1 cm. Från E drages parallellt med diagonalen AC en linje, som
skär sidan BC i punkten F. Beräkna längden av sträckan EF.
Lösning:
△ABC ∼ △EBF. EB = 4 − 1 = 3. AC =
√
√
22 + 42 = 2 5. Antag att EF = x och vi får
x
3
√ =
4
2 5
ger x =
√
3 5
2
≈ 3.3541
Svar: EF = 3.35 cm
Problem 5. Ht1954. I ett parallelltrapets är de parallella sidorna 4 cm och 6 cm samt en av
diagonalerna 5.5 cm. Bestäm de delar, i vilka denna diagonal delas av den andra diagonalen.
Lösning:
55
. ∠COD = ∠AOB, ∠ODC = ∠OBA vilket betyder att △AOB ∼ △COD. Antag att
AC = 10
AO = x. Då är CO = 55
10 − x. Vi får då följande förhållande
55
10
som ger x =
x
4
=
6
−x
11
5
Svar: Diagonalen delas i delarna 2.2 och 3.3 cm
Problem 6. Ht1926. Från mittpunkterna D och E på respektive kateterna AB och AC i en rätvinklig triangel drages normalerna DF och EG mot hypotenusan BC. Hur stora är de delar BF, FG
och GC, vari hypotenusan är delad, om AB = 3 dm och AC = 4 dm?
Lösning:
Håkan Strömberg
6
KTH STH
√
BC = 32 + 42 = 5. △CGE ∼ △ABC, då de båda är rätvinkliga och har ∠ACB gemensam. Antag
CG = x. Vi får
x
2
=
4
5
som ger x =
FB = y. Vi får
8
5.
△FBD ∼ △ABC, då de båda är rätvinkliga och har ∠ABC gemensam. Antag
3
y
= 2
3
5
som ger y =
9
10 .
Vi bestämmer så GF
5−
8
9
+
5 10
≡
5
2
Svar: Delarna är 2.5, 1.6 och 0.9 dm
Problem 7. Vt1920. I en rätvinklig triangel, vars kateter är 15 cm och 20 cm, är en kvadrat
inskriven, så att en av dess vinklar sammanfaller med triangelns räta vinkel och motstående hörn
är beläget på hypotenusan. Hur stor är kvadratens sida?
Lösning:
∠ADE = ∠ACB, betyder att △ABC ∼ △AED ∼ △DFC. Antag att kvadraten har sidan ED = BF =
x. Genom likformighet får vi
DF
AE
=
ED
FC
ger
15−x
x
=
(20 − x)(15 − x) =
x
20−x
x·x
300 − 35x + x2
=
x2
x
=
300
35
x
=
60
7
Svar: Kvadratens sida är 8.57 cm
Läxa 1. Beräkna
f(x) = |x3 − 8x2 − x|
för x = 1 och x = 3.
Läxa 2. Lös ekvationen
|2x − 4| = 12
Håkan Strömberg
7
KTH STH
Läxa 3. Hur många gällande siffror har
a) 120003
d) 0.0007
b) 2.0000
e) 123.400
c)
f)
0.10003
304040.0
Läxa 4. Vt1915. Skuggan av en flaggstång på den horisontella marken är 17.2 m lång, samtidigt
som en lodrät, meterlång käpp kastar en skugga av 1.23 m. Hur hög är flaggstången?
Läxa 5. Ht1924. I en triangel, vars omkrets är 3 dm, är summan av de båda största sidorna 2.4 dm,
och de båda minsta sidorna förhåller sig som 3 : 5. Hur stora är sidorna i en annan triangel, som är
likformig med den förra och vars omkrets är 4.8 dm?
Läxa 6. Vt1929. En person står 20 m från ett träd. För att bestämma trädets höjd håller han en
käpp lodrätt och så, att syftlinjen från ögat till trädets topp går genom käppens övre ändpunkt
A. Syftlinjen till trädets rotända skär käppen i en punkt, vars avstånd från A uppmätes till 31 cm.
Käppens avstånd från ögat uppmätes till 40 cm. Hur högt var trädet?
Läxa 7. Vt1930. Ett åkerfält har formen av en △ABC, där AB = 108 m, AC = 144 m och BC = 180
m. Från en punkt D på AB, belägen 48 m från B, vill man tvärs över fältet sätta en gärdesgård DE
parallell med BC. Hur lång blir gärdesgården?
Läxa 8. Ht1937. I en △ABC är AB = 12 cm och AC = 9 cm. Höjden mot AB träffar AB i D, 7
cm från A. Höjden mot AC träffar AC, eller dess förlängning, i E. Beräkna AE.
Läxa Lösning 1.
x = 1 |13 − 8 · 12 − 1| ≡ |1 − 8 − 1| ≡ | − 8| ≡ 8
x = 3 |33 − 8 · 32 − 3| ≡ |27 − 72 + 3| ≡ | − 48| ≡ 48
Svar: f(5) = 8 och f(1) = 48
Läxa Lösning 2. Då x < 2 är det ekvationen
−(2x − 4) = 12
som gäller, med roten x = −4. Då x ≥ 2 gäller ekvationen
(2x − 4) = 12
med roten x = 8
Svar: x = −4 och x = 8.
Läxa Lösning 3.
a) 6
d) 1
b) 5 c)
e) 6 f)
5
7
Läxa Lösning 4.
Håkan Strömberg
8
KTH STH
AC
AB
= ′ ′
A ′B ′
AC
Antag att AC = x
1720
x
=
100
123
med roten x = 172000
≈ 1398.37 cm
123
Svar: Flaggstången är 14 m
Läxa Lösning 5. Antag att sidorna är x > y > z. Vi


x+y


x+y+z


y

får då ekvationssystemet
z
=
24
10
=
3
=
5
3
ger z = 35 , y = 1 och x = 75 . Sidorna i den andra triangeln är
48
10
3
≡
8
5
gånger större än i den första triangeln. Sidorna är då
24 8 112
25 , 5 , 25 .
Svar: De efterlysta sidorna är 0.96 dm, 1.6 dm och 2.24 dm
Läxa Lösning 6.
Antag att trädet är x cm. Med hjälp av likformighet får vi förhållandena
x
2000
=
31
40
med roten x = 1550 cm.
Svar: Trädet är 15.5 m högt.
Läxa Lösning 7.
ED är en parallelltransversal. Topptriangelsatsen ger
60
x
=
180
108
ger x = 100
Svar: 100 m
Håkan Strömberg
9
KTH STH
Läxa Lösning 8.
Antag att AE = x. △AEB ∼ △ACD, ty ∠CAD är gemensam och ∠CDA = ∠AEB = 90◦ . Förhållandet blir då
12
x
=
7
9
som ger x =
28
3
Svar: AE =
28
≈ 9.33 cm
3
Håkan Strömberg
10
KTH STH