Matematisk problemlösning i årskurs 1-3

Natur, miljö, samhälle
Examensarbete i fördjupningsämnet matematik och
lärande
15 högskolepoäng, avancerad nivå
Matematisk problemlösning i årskurs 1-3
-ur ett lärarperspektiv
Mathematical problem solving in grade 1-3
- based on a teacher’s perspective
Jannie Ekdahl
Emma Hallström
Grundlärarexamen med inriktning mot arbete i
förskoleklass och grundskolans 1-3, 240
högskolepoäng
2015-03-29
Examinator: Nanny Hartsmar
Handledare:
Handledare:
Adam Droppe
Ange handledare
Förord
Vi vill tacka samtliga respondenter som deltog i vår undersökning. Det var inte bara trevligt
att träffa er utan ni gav oss även ett rikt material att arbeta med. Vi vill även tacka varandra
för ett gott samarbete när vi gemensamt skrivit hela vårt arbete tillsammans i både med- och
motgångar. Till sist ett stort tack till vår handledare Adam Droppe som gett oss en god
handledning genom vårt arbete.
Malmö mars 2015
Emma & Jannie
2
3
Sammandrag
Under drygt fyra år på Malmö högskola har vårt intresse för problemlösning vuxit och synen
på undervisning med matematisk problemlösning förändrats. Vi har lärt oss att man kan få ut
så mycket mer av en undervisning med problemlösning om man bara gör det på ett bra sätt.
Men vad är ett bra sätt och hur fungerar det i grundskolan? Syftet med studien är att
undersöka hur matematiklärares uppfattning om problemlösning kan påverka hur de bedriver
sin undervisning samt hur undervisningen förhåller sig till aktuell forskning. I arbetet
presenterar vi forskning gällande problemlösning samt vår undersökning av hur lärare i
årskurs 1-3 uppfattar matematisk problemlösning och hur det kan påverka lärarnas sätt att
bedriva undervisningen i problemlösning. Med kvalitativa intervjuer har vi fått en bild av
fem lärares perspektiv på sin undervisning. Resultatet visar att lärarnas uppfattning om
matematisk problemlösning samspelar med vad forskning och läroplanen säger med avseende
på hur problemlösning kan bedrivas för en god kunskapsutveckling bland eleverna. Dock
visar även resultatet att lärarnas undervisningspraktik till viss del viker av från vad forskning
menar på hur man bör undervisa i matematisk problemlösning för en god kunskapsutveckling.
Att ändra sin undervisning kräver inte bara god kunskap utan det påverkas även av yttre
faktorer.
Nyckelord: Lärares perspektiv, matematik, problem, problemlösning, undervisning
4
Innehållsförteckning
Inledning och bakgrund........................................................................................................... 7 Syfte ........................................................................................................................................... 9 Frågeställning .................................................................................................................................... 9 Litteraturgenomgång ............................................................................................................. 10 Vad är problem och problemlösning? ........................................................................................... 10 Metod och strategi......................................................................................................................... 10 Problemtyper ................................................................................................................................. 11 Varför problemlösning i matematikundervisning? ..................................................................... 14 Styrdokument och kursplan .......................................................................................................... 15 Undervisning genom problemlösning ............................................................................................ 16 Lärarens roll .................................................................................................................................. 17 Introduktion av ett problem .......................................................................................................... 18 Strategier för att lösa ett problem .................................................................................................. 19 Arbetsformer ................................................................................................................................. 21 Problematik med problemlösning .................................................................................................. 22 Metod och genomförande ...................................................................................................... 24 Vetenskapsteoretisk utgångspunkt ................................................................................................ 24 Metodval ........................................................................................................................................... 24 Urval och undersökningsgrupp...................................................................................................... 25 Validitet och tillförlitlighet ............................................................................................................. 26 Genomförande av intervju ............................................................................................................. 26 Bearbetning av intervjudata .......................................................................................................... 27 Resultat .................................................................................................................................... 28 Lärarnas uppfattning om problemlösning .................................................................................... 28 Lärare A ........................................................................................................................................ 28 Lärare B ........................................................................................................................................ 29 Lärare C ........................................................................................................................................ 29 Lärare D ........................................................................................................................................ 30 Lärare E ......................................................................................................................................... 30 Introduktion av ett problem ........................................................................................................... 31 Arbetsformer ................................................................................................................................... 32 Olika lösningsstrategier .................................................................................................................. 34 Att hjälpa eleverna vid problemlösning ........................................................................................ 34 Analys och diskussion ............................................................................................................ 36 Slutsats..................................................................................................................................... 39 Undersökningen ............................................................................................................................... 40 Vidare forskning .............................................................................................................................. 40 Referenser ............................................................................................................................... 42 Bilagor ..................................................................................................................................... 44 5
6
Inledning och bakgrund
Synen på matematisk problemlösning har förändrats i de senaste läroplanerna. Det har gått
från att vara ett ämne att undervisa om till ett ämne att undervisa genom (Wyndhamn,
Riesbeck & Schoultz 2000). Ett problem ska innebära att eleverna kan komma fram till olika
lösningar utan en given metod och rika problem ska dessutom leda till flera olika svar. Det är
lösningsprocessen som ska vara i fokus då det främst är under den delen som elever utvecklar
sina matematiska kunskaper. Lösningsprocessen ska leda till att eleverna börjar resonera och
reflektera över sina valda strategier. Processen ska även inbjuda till rika diskussioner som gör
att eleverna får öva på sin kommunikationsförmåga och på så vis även utveckla sitt
matematiska språk. Problemlösning gör att eleverna utvecklar en vidare syn på matematik och
forskning visar att elever som arbetar med problemlösning har en ökad motivation och lust att
lära för matematik (Hagland, Hedrén & Taflin 2005).
Under vår utbildning på Malmö högskola har vi fått en annan uppfattning om vad
problemlösning inom matematik är och hur vi som framtida pedagoger kan arbeta med detta i
grundskolans tidigare år. Vi ser nu att problemlösning är ett sätt att arbeta genom för att ge
eleverna goda matematiska kunskaper med en bred begreppsuppfattning. Vi har blivit
medvetna om vikten av att ha ett öppet klassrum med rika diskussioner som utvecklar
elevernas kommunikationsförmåga och resonemangsförmåga (Hagland, Hedrén & Taflin
2005;
Kolovou
2011;
Säljö
2014;
Taflin
2007).
För
att
utveckla
en
god
problemlösningsförmåga bör man kontinuerligt arbeta med problemlösning under hela
skolgången och Taflin (2007) anser utifrån sin forskning att arbeta utifrån ett sociokulturellt
synsätt ger eleverna en bredare möjlighet att utveckla sin problemlösningsförmåga.
Utifrån våra erfarenheter på grundskolor har vi upplevt att många lärare arbetar med
problemlösning inom matematik som ett komplement till sin ordinarie undervisning. Även
Lester & Lambdin (2007) anser att problemlösning många gånger blir en sidoaktivet för
eleverna när de arbetat med matematik samt att den ofta saknar ett sammanhang. Vi har
uppmärksammat, vilket även styrks av Ahlberg (1992) och Johansson (2006) att
matematikundervisningen till mestadels är baserad på läroböcker. Vår uppfattning av
problemlösning i matematiska läroböcker är att de uppgifterna inte är tillräckligt utvecklande
för eleven. Eleven blir oftast lotsad till rätt lösning genom kapitlets ämne och
informationsrutor (Ahlberg 1992) vilket gör att eleverna till stor del inte behöver använda
7
varken logik eller resonemang under tiden som de löser det givna problemet. I kursplanen
(Skolverket 2011) för matematik belyses problemlösning både under det centrala innehållet
samt som ett kunskapskrav men ändå har problemlösning inte en central roll i dagens
undervisning.
Undervisningen ska bidra till att eleven utvecklar kunskaper för att kunna
formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda
strategier, metoder, modeller och resultat. Eleverna ska även ges
förutsättningar att utveckla (…) samt beskriva och formulera dessa med
hjälp av matematiska uttrycksformer.
(Skolverket 2011, s.62)
Grundskolan och högskolan ska vila på likvärdig forskning, ändå upplever vi en olikhet i hur
undervisningen inom matematisk problemlösning ter sig mot vad forskningen säger. Vårt
intresse för att undervisa genom matematisk problemlösning har förstärkts från kurser på
högskolan men då vi sett en annan typ av undervisning med problemlösning på verksamma
skolor ställer vi oss frågan hur det kan vara så olika när forskningen är densamma. Detta
väcker en fundering om vilken uppfattning verksamma lärare har angående problemlösning i
matematik samt hur eller om det kan påverkar deras matematikundervisning. När begreppet
problemlösning benämns i texten nedan menar vi problemlösning inom matematik.
8
Syfte
Vårt syfte med studien är att undersöka hur matematiklärares uppfattning av problemlösning
kan påverka hur de bedriver sin undervisning utifrån lärarens egna perspektiv. Vi vill även
undersöka hur lärarnas undervisning med matematisk problemlösning förhåller sig till hur
forskare beskriver olika faktorers påverkan av problemlösning i matematikundervisningen.
Enligt våra erfarenheter stämmer inte den dagliga verksamheten inom matematisk
problemlösning i grundskolan överens med vad vår utbildning menar att den ska göra trots att
båda verksamheter grundas på samma forskning. Genom vår undersökning vill vi bidra till
forskningsfältet problemlösning i matematik med en ökad förståelse för problemlösning ur ett
lärarperspektiv.
Frågeställning
Våra frågeställningar som vi kommer att besvara är:
Vilken uppfattning om problemlösning har matematiklärare i årskurs 1-3, och hur arbetar
lärarna med problemlösning i sin undervisning?
Hur förhåller sig lärarnas undervisningspraktik till vad forskning visar om olika faktorers
påverkan och dess betydelse inom problemlösning i matematikundervisning?
De faktorer vi avser att undersöka specifikt är:
•
Introduktion av ett problem
•
Undervisningens arbetsformer
•
Vilka strategier läraren lär ut
•
Vilken hjälp ger läraren och hur
9
Litteraturgenomgång
I följande avsnitt kommer vi att presentera vad forskning tar upp angående problemlösning
inom matematik för en god kunskapsutveckling. Med syftet för studien i åtanke kommer
fokus i litteraturgenomgången att vara utifrån ett lärarperspektiv med vilket vi menar är
aspekter som är av betydelse för lärarens kompetensutveckling.
Vad är problem och problemlösning?
I det vardagliga livet möts vi av problem som måste lösas. Med olika verktyg reder vi ut
problemen
och
går
vidare.
All
matematik
kan
relateras
till
problem
och
matematikundervisningen bygger på att lösa problem. Ett problem kan se olika ut och behöver
inte leda till att vara en problemlösningsuppgift (Möllehed 2001; Ahlberg 1992; Polya 2005).
Beroende på nivå och förkunskaper kan ett problem tas emot och uppfattas olika av individen
och således även problemlösningsuppgifter (Ahlberg 1992). Nationalencyklopedin definierar
problem som en svårighet där det kvävs ansträngning för att komma tillrätta med. Uppgiften
kräver tankearbete och en analytisk förmåga. Problem i samband med undervisning i
matematik
kan
alltså
vara
en
rutinuppgift
eller
en
icke
rutinuppgift.
En
problemlösningsuppgift ska kräva logiskt tänkande och där lämpliga metoder för att komma
fram till lösningen ej är givna. Från lärarens perspektiv är elevernas väg till svaret det som är
det väsentliga. Att kunna följa elevernas tankegång och val av strategier ger läraren en god
uppfattning av deras matematiska kunskaper (Ahlberg 1992; Möllehed 2001).
Metod och strategi
Inom matematisk problemlösning förkommer ofta begreppen metod och strategi. I texten
skiljer vi på dessa två begrepp genom att definiera metod som ett tillvägagångssätt för en
uträkning, det vill säga vilket eller vilka aritmetiska räknesätt eleverna väljer att använda när
de löser en problemlösningsuppgift. En strategi är ett tillvägagångssätt och ett hjälpmedel till
eleverna för att nå en lösningsprocess (Bruun 2010). En strategi kan alltså användas för att
komma fram till en lämplig metod. Vilka lösningsstrategier som kan användas inom
problemlösning kommer vi behandla längre ner i texten.
10
Problemtyper
Matematisk problemlösning är en praktisk verksamhet och en resonemangsprocess som kan
leda till många kunskaper och färdigheter (Taflin 2007). För att en uppgift ska leda till en
problemlösningsprocess får uppgiften inte vara en rutinuppgift, det vill säga att eleven inte
ska veta från början vilken metod eleven ska använda för att lösa uppgiften. För att klassas
som ett problem bör uppgiften uppfylla tre villkor:
1. En person vill eller behöver lösa.
2. Personen i fråga har inte en given procedur för att lösa.
3. Det krävs en ansträngning av henne eller honom att lösa.
(Hagland, Hedrén & Taflin 2005 s.27)
Forskare har olika definitioner på vad ett problem är och begreppet kan därför ofta definieras
på olika sätt men ändå räknas som ett problem. Definitionerna överlappar varandra och kan
skilja sig åt i olika grader. Vi väljer att följa Taflin (2007) som ger en nyanserad och
utvecklad beskrivning av begreppet problemlösning. Hennes så kallade rika problem bör
förhålla sig till alla sju kriterier för att få klassas som ett rikt problem. De olika kriterierna är
att ett problem ska 1) introducera till matematiska idéer och lösningsstrategier. Problemet ska
göra att eleverna kommer i kontakt med matematiska begrepp och inspirera dem att hitta olika
lösningar. 2) Problemet ska vara lättförståeligt och ge alla en chans att arbeta med det. Alla
elever ska känna att de förstår vad problemet går ut på och att de kan klara av att reda ut i alla
fall en bit av det. 3) Problemet ska vara en utmaning som kräver en ansträngning som tar tid
bland eleverna. Det ska alltså vara en djupare och bredare uppgift än en vanlig rutinuppgift. 4)
Problemet ska inte kunna lösas på enbart ett sätt utan eleverna ska kunna använda olika
strategier och även olika representationer. Det ska finnas både enklare och mer avancerade
lösningar. 5) Problemet ska kunna ge möjlighet till matematiska diskussioner utifrån
elevernas skilda lösningar. Därför är det viktigt att det finns olika lösningar och strategier för
att få rika diskussioner i klassen. 6) Problemet ska ge möjlighet att koppla ihop olika områden
inom matematiken. På detta sätt kan eleverna få hjälp att se sammanhang mellan de olika
områdena. 7) Problemet ska leda till att eleverna konstruerar och formulerar nya problem som
är intressanta för sammanhanget. Att eleverna skapar nya problem ger läraren en god
uppfattning om de har förstått tidigare problemlösningar och även om eleverna har utvecklat
nya kunskaper. Vidare skriver Taflin (2007) att det inte är svårt att hitta problem men att det
11
kräver mer av läraren för att hitta eller komma på rika problem. Dock anser hon att man med
mindre justeringar ofta kan göra om ett problem till ett rikt problem. Exempel på et rikt
problem är: På bondgården finns det många olika djur. Tillsammans har djuren 32 ben. Vilka
djur finns på bondgården?
Andra forskare (Ahlberg 1992; Möllehed 2001; Polya 2005) visar att problemuppgifter kan
delas upp i fyra grupper. De utgår då ifrån vilket innehåll samt vilken eller vilka
lösningsprocesser som behövs för att kunna lösa problemet eller problemen.
Enkla översättningsproblem som även kan benämnas som enstegsproblem är en
problemtyp som är vanligt förekommande i matematikböcker. I dessa uppgifter ska eleverna
översätta ord till matematiska uttryck och det finns oftast enbart ett rätt svar, det vill säga ett
slutet problem till exempel: Adam har 3 fotbollar och Hannes har 2 tennisbollar. Hur många
bollar har de tillsammans?
Komplexa översättningsproblem eller flerstegsproblem innebär att eleverna inte enbart ska
översätta ord till matematiska uttryck för att finna en lösning utan behöver även lägga till
ytterligare en beräkning för att komma fram till rätt svar. Ett exempel på en sådan uppgift är: I
affären kostar frukostbullarna 6 kronor styck eller så kan du köpa 4 stycken för 20 kronor.
Emma ska köpa 6 bullar. Hur mycket ska hon betala?
Processproblem är problem som kräver en djupare tankeverksamhet. För att hitta en
lösning behöver man resonera fram, gissa och försöka hitta mönster för att hitta en lösning.
Till exempel kan se ut såhär: Daniel ska köpa glass. Han vill ha en strut med två kulor. Det
finns fem olika smaker. På hur många sätt kan han välja sin glass?
Tillämpningsproblem är en problemtyp där problemet kan relateras till elevernas vardag
och är mer realistiska. Dessa problem ger en möjlighet att koppla in fler områden även om
matematik är huvudmomentet. Tillämpningsproblem kan även vara ett problem som skapats
av eleverna själva. Ett exempel kan vara: a) Hur många köttbullar gör köket på skolan varje
år? b) Gör själv ett liknande problem!
Riesbeck (2008) skriver i sin avhandling om standard problems och problematic problems.
Standard problems kan liknas med enstegsproblem där det enbart finns ett rätt svar och
eleverna kan lösa problemet genom en självklar uträkning. Det kan således bli en rutinuppgift
för eleverna och det krävs då mindre eller inget matematiskt resonemang. Problematic
problems är ett problem som av eleverna kan tolkas vara ett standardproblem men om man
lägger till realistiska resonemang som kräver logiskt tänkande blir det istället ett problematic
problem. Problemet får då en ny innebörd och leder till att eleverna kan komma fram till flera
12
lösningar och svar. Exempel på ett problematic problem kan konstrueras såhär: Jannie
springer 100 meter på 15 sekunder. Hur lång tid tar det för henne att springa 400 meter?
13
Varför problemlösning i matematikundervisning?
Det finns många fördelar med att arbeta med problemlösning. Taflin (2007) menar att
problemlösning kan vara en hjälp som visar att matematik finns ute i det verkliga livet och att
det hjälper elever att kunna lösa vardagliga problem som kan uppstå. Det ger läraren
möjlighet att visa tydliga kopplingar till elevernas vardag och det blir ett sätt att förbereda
eleverna tills de ska ut i samhället som demokratiska medborgare. Aritmetiska tal kan
formuleras tillsammans med text för att skapa exempel vilket oftast är den matematik
eleverna möter utanför skolan. Eleverna utvecklar en allmän kompetens i problemlösning
genom att arbeta med olika typer av problem i skolan och genom att använda en heuristisk
metod inom problemlösning utvecklar eleverna en metakognitiv förmåga vilket i sin tur
utvecklar resonemangs- och reflektionsförmågan. Detta instämmer Kolovou (2011) med som
anser att genom att eleverna utvecklar dessa förmågor stärks även deras tillit till den egna
kunskapen. Kolovou poängterar även vikten av att kontinuerligt arbeta med problemlösning
för att det ska ha en god effekt på kunskapsutvecklingen. Att ha problemlösningsprocesser i
klassrummet gör att lärare och elever ständigt har en matematisk dialog med varandra. Denna
dialog utvecklar det matematiska språket i både tal och skrift vilket även utvecklar elevernas
matematikkunskaper. Problemlösning behöver tränas kontinuerligt annars utvecklar inte
eleverna sina lösningsstrategier och då försvinner syftet med problemlösning (Lester &
Lambdin 2007).
Hagland, Hedrén & Taflin (2005) samt Taflin (2007) anser att när en lärare arbetar med ett
rikt problem involveras hela klassen. De blir aktiva deltagare då ett rikt problem är
konstruerat så att alla ska förstå oberoende av vilken nivå eleverna befinner sig i. Eftersom ett
problem är skapat så att det finns olika möjliga lösningar till det ger det läraren en mängd
möjligheter att uppmärksamma elevers tankar och idéer. Under tiden som eleverna löser
problem kan läraren fånga upp deras resonemang samt reflektioner och lyfta dessa i helklass
för att skapa diskussioner om tänkbara strategier till lösningsprocessen. Elever som diskuterar
både i helklass, grupp eller par får nya insikter från att lyssna på sina klasskamrater och kan
på så vis fördjupa sin kunskap inom matematik. Samarbetet som sker under diskussioner ger
även eleverna en möjlighet att utveckla sin formuleringsförmåga och låter dem öva på att
argumentera samt förklara sina egna tankar. Problemlösning ska leda till att eleverna skapar
egna problem och Hagland, Hedrén & Taflin (2005) vill poängtera vikten av att elevernas
egna problem tas upp i klassen och används i undervisningen genom diskussion och som
14
problemuppgifter. På så sätt får eleverna en meningsfullhet i det de gör. Meningsfullheten
tillsammans med problemlösning leder till en gemenskap i klassrummet som ökar elevernas
motivation till att lära.
I enlighet med Taflin (2007) anser även Ahlberg (1992) att problemlösning ger eleverna ett
sammanhang mellan matematik och deras vardag. Alla elever är olika och har beroende på
egna erfarenheter varierande sätt att möta och redovisa en problemlösningsuppgift. Genom att
knyta an till elevernas tidigare erfarenheter ökar deras intresse för matematik. Problemlösning
inbjuder till möjligheten att lyfta varje elevs tankar och reflektioner vilket höjer elevens
självkänsla och bidrar till att denne även utvecklar sin sociala förmåga.
Styrdokument och kursplan
Problemlösning har länge varit aktuellt i skolans läroplaner och har beskrivits som en viktig
del av matematiken. Men synen på hur eleverna ska arbeta med problem och varför har hela
tiden varit under utveckling och begreppet problemlösning förekom först som ett
huvudmoment i det centrala innehållet i Lgr80 (Wyndhamn Riesbeck & Schoultz 2000;
Hagland; Hedrén & Taflin 2005). Problemlösning var då något som lärarna undervisade om
och eleverna fick lära sig en mängd olika strategier där målet var att eleverna skulle tillämpa
sig en eller flera lämpliga lösningsstrategier för det valda problemet (Hagland, Hedrén &
Taflin 2005).
Det var först i Lpo94 (Skolverket 2006) och främst i den nu gällande
läroplanen Lgr11 (Skolverket 2011) som problemlösning ses som en förmåga som lärarna ska
undervisa genom och där eleverna samtidigt utvecklar andra förmågor samt nya matematiska
kunskaper. För årskurserna 1-3 är det först nu i Lgr11 som problemlösning finns med som ett
kunskapskrav att arbeta mot samt en förmåga att arbeta med (Skolverket 2006; Skolverket
2011). I Lgr11 kan man läsa att några av målen som skolan ska ha för varje elev är:
•
Att eleven ska kunna kan använda sig av matematiskt tänkande för vidare studier och i
vardagslivet.
•
Att eleven ska kunna kan lösa problem och omsätta idéer i handling på ett kreativt sätt.
•
Att eleven ska kunna lära, utforska och arbeta både självständigt och tillsammans med
andra och känna tillit till sin egen förmåga.
15
Vidare i Lgr11 under avsnittet kursplan och kunskapskrav beskrivs matematiken som en
aktivitet som är kreativ, reflekterande och problemlösande. Den beskrivs som en nära
koppling till den sociala och samhälleliga utvecklingen vilket ger eleverna rätt förutsättningar
till att fatta egna beslut i vardagslivet. Syftet med matematik är således att eleverna ska
utveckla kunskap om att använda sig av matematik i olika sammanhang. Kursplanen för
matematik betonar att arbetet ska ge förutsättningar att eleverna utvecklar förmåga att
formulera och lösa problem, förstå och använda matematiska begrepp, välja lämpliga
metoder, föra och följa matematiska resonemang samt kommunicera dem med matematiska
uttrycksformer.
Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna
formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda
strategier, metoder, modeller och resultat. Eleverna ska även ges
förutsättningar att utveckla kunskaper för att kunna tolka vardagliga och
matematiska situationer samt beskriva och formulera dessa med hjälp av
matematikens uttrycksformer.
(Skolverket 2011, s. 62)
Matematikundervisningen ska inte längre vara ett färdighetsämne utan ett mer
problematiserande ämne. Fokus ska ligga på att eleverna utvecklar en god förståelse för
matematiska uträkningar och ett matematiskt tänkande. Att arbeta med problemlösning
inbjuder till detta men undervisningen i problemlösning kan ha många olika karaktärer vilket
påverkar undervisningens möjligheter och utvecklingen hos eleverna (Laine, Näveri &
Pehkonen 2011).
Undervisning genom problemlösning
Problemlösning är ofta en sidoaktivitet i den ordinarie matematikundervisningen istället för
att vara en integrerad del. Eleverna får arbeta med problemlösning som en extrauppgift när de
är klara med huvudmomentet för lektionen (Ahlberg 1992, Taflin 2007). Lärarens förståelse
och kunskap inom ämnet kan komma att visa sig i hur man undervisar inom ämnet (Sakshaug
& Wohlhuter 2010). Något som även speglar undervisningen är givetvis lärarens
lärandeteorier och deras elevsyn och kunskapssyn. En lärare som har ett konstruktivistiskt
16
synsätt kan tycka att eleven inte är mogen för problemlösning innan den behärskar den
matematiska färdigheten (Piaget 2013). En lärare som har ett sociokulturellt synsätt och
arbetssätt, menar att elever utvecklas och lär sig i samarbete med andra och att man ser
problemlösning som en god möjlighet för att utveckla sina matematiska kunskaper och
problemlösningsförmåga (Vygotsky 1978). Redan innan skolåldern löser barn problem, men
när de kommer till skolan blir problemlösningen formell och det krävs en matematisk
uträkning. Detta upplever många lärare att eleverna har svårt med, men forskarna är eniga
med att man bör börja undervisa i problemlösning i tidig ålder (Ahlberg 1992).
Lärarens roll
Lärarens roll är ytterst viktigt i undervisning med problemlösning. Genom en lustfylld
undervisning ska de uppmuntra eleverna till att lära sig att arbeta med problemlösning (Lester
& Lambdin 2007). Läraren behöver bli en aktiv samtalspartner under undervisningen med
problemlösning som dessutom ska ha olika metoder för att hjälpa eleverna genom problemet
(Wyndhamn Riesbeck & Schoultz 2000). Att vara väl förberedd inför undervisningen med
problemlösning är av stor betydelse för elevers utveckling och läraren bör välja uppgifter
utifrån elevernas förförståelse och erfarenheter med lämplig svårighetsgrad som kan passa
samtliga elever (Ahlberg 1992; Polya 2005). Polya (2005) och Taflin (2007) lyfter även
vikten av att titta på uppgiften ur ett elevperspektiv dels för att se otydligheter med språket
men även för att vara förberedd för de olika matematiska idéer och lösningar som kan uppstå
hos eleverna. Då blir även läraren förberedd med den hjälp som kan komma att behövas till
eleverna.
Flera undersökningar inom problemlösning har visat att det är nödvändigt att läraren lär ut
problemlösningsprocessen till eleverna för att de ska förstå och kunna utveckla sina egna
kunskaper (Bruun 2010; Taflin 2007; Lester & Lambdin 2007). Enligt Polya (2005) finns det
fyra olika faser som man behöver gå igenom för att lösa en sådan uppgift. Den första fasen är
att förstå problemet. Eleven ska veta vad som krävs. Det är lärarens ansvar att se till att alla
eleverna förstår uppgiften. För att eleverna ska vilja lösa problemet behöver de känna att de
kommer kunna lösa problemet. Den andra fasen är att göra upp en plan, där eleverna tar reda
på vad det är som söks och vad som är givet. Den tredje fasen är att genomföra planen, där
eleven väljer lämpliga strategier för att lösa problemet. Fjärde fasen är att se tillbaka på
problemet där eleven kan granska och reflektera över sin lösning. Polya (2005) skriver även
17
att den viktigaste rollen som läraren har i arbetet med problemlösning är att hjälpa och stötta
eleverna. Att hjälpa eleverna till den grad att man som lärare inte ger dem lösningen kan dock
vara svårt och kräver en medvetenhet hos läraren. Därför beskriver han frågor som istället
provocerar fram en tankeoperation bland eleverna. Detta är en frågemetod för läraren som ska
hjälpa eleven att utveckla förmågan att angripa ett problem utan att man hjälper till för
mycket. Även Riesbeck (2008) poängterar att eleven får det lättare att lösa problemlösning
om läraren hjälper till med frågor och påståenden.
Rollen som läraren har när eleverna arbetar med problemlösning kan upplevas som passiv
för eleven. När eleverna arbetar har läraren möjlighet att gå runt bland eleverna och lyssna på
deras matematiska tankegångar, vilket ger läraren en referensram till kommande övningar
(Ahlberg 1992).
En skicklig lärare förväntas kunna organisera klassrummet och undervisningen så att
eleverna blir stimulerade till att lösa uppgiften och uttrycka sig på flera olika sätt. Läraren ska
uppmuntra eleverna till att kunna lyssna på samtliga i klassen, både läraren och andra elever
samt fördela ordet till eleverna så att de aktivt deltar i de diskussioner som uppkommer vid
problemlösning (Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz 2000). Författarna beskriver även vikten
av att sätta det matematiska innehållet i en kontext och att introducera innehållet på ett
lustfyllt sätt där läraren kan visa exempel för att ge eleverna ett matematiskt instrument.
Ahlberg (1992) skriver att innehållet i matematisk undervisning genom problemlösning
ska ge eleverna tillfälle att:
•
Använda sitt eget språk
•
Utföra olika handlingar
•
Variera sitt perspektiv på problemlösningen och det givna problemen
Eleverna ska få reda på att det finns olika sätt att lösa uppgifterna, att matematisk
problemlösning är något som vi människor möts inför i det dagliga livet, att vårt vardagsspråk
kan bli till ett symbolspråk och skolspråk, att olika verktyg behövs för att lösa ett problem
samt att det tar tid att lösa problem (Lester & Lambdin 2007).
Introduktion av ett problem
18
En introducering av en problemlösningsuppgift kan variera och strukturen och formuleringen
på uppgiften kan påverka hur elever löser den. En introduktion av problemet är viktig
eftersom att alla eleverna behöver veta vad problemet handlar om och vad det går ut på innan
de själva tar sig an problemet (Hagland, Hedrén & Taflin 2005; Kolovou 2010; Polya 2005).
Som tidigare nämnt har läroboken en stor del i matematikundervisningen och således även i
undervisningen med problemlösning. Om läroböcker innehåller problemlösningsuppgifter är
dessa ofta i senare delen av ett kapitel där problemet är avsett till att fortsätta träna de
matematiska kunskaperna inom samma område som tidigare uppgifter i kapitlet (Ahlberg
1992). Beroende på hur lärare arbetar med matematikböcker kan därför presentationen av ett
problem från läroboken forma sig olika och i värsta fall utebli.
Ahlberg (1992) berättar om hur ett problem kan introduceras genom berättelser som
succesivt ökar i svårighet. Ett annat sätt är att läraren skriver problemet på tavlan eller
använder sig av tekniska hjälpmedel (Hagland, Hedrén & Taflin 2005). På så vis får eleverna
en gemensam genomgång av problemet. Viktig del i detta är att låta eleverna upprepa
formuleringen, ta ut problemets viktiga delar samt titta på vad som är givet och vad som inte
är givet. För att eleverna ska få ytterligare stöttning vid kommande problemlösningar menar
Polya (2005) att meningsfulla frågor kan hjälpa eleverna vid lösningsprocessen. En lärare kan
ständigt arbeta och hjälpa eleverna att komma vidare i sin lösningsprocess, men syftet med
frågorna är att eleverna själva ska ta till sig dem och lägga in det i sitt arbete med
problemlösning. Ett sätt för läraren att visa hur frågorna kan användas som strategi, kan vara
vid en introduktion eller genomgång av ett problem. Tar läraren dessutom vara på elevernas
intresse och introducerar ett problem med vardagsnära och verkliga händelser för dem, kan
det göra att eleverna blir mer involverade och engagerade vilket ökar deras motivation till att
lösa problemet (Laine, Näveri & Pehkonen 2013).
Eleverna bör vara aktiva under introduktionen men de behöver också få se och höra olika
strategier från läraren. Med en genomgång där läraren visar och förklarar strategier leder det
till att eleven så småningom lär sig hur man kan ta sig an ett problem (Lester & Lambdin
2007).
Strategier för att lösa ett problem
Elever behöver träna upp sin förmåga och utveckla strategier för att kunna lösa olika problem
och en duktig problemlösare minns strukturer och bakomliggande principer från tidigare lösta
19
problem. Troligtvis kan det räcka med en enda lösning utav ett visst problem för att denna
elev ska kunna använda strategin som ett användbart verktyg i kommande problem (Dahl
2012).
Det råder delad uppfattning från forskarna om hur olika strategier ska tas i bruk av
eleverna. Taflin (2007) menar att det först är elevens roll att söka och prova sig fram till
lämpliga strategier. Lärarens roll blir att följa upp elevernas lösningar och strategier i helklass
genom att lyfta fram olika aspekter från eleverna och diskutera likheter och olikheter. Läraren
ska handleda eleverna till att själva utveckla olika strategier genom att avsluta med
helklassdiskussioner där samtliga får reflektera och argumentera. Ahlberg (1992), Bruun
(2010) och Polya (2005) menar däremot att det är upp till läraren att lära ut olika strategier till
eleverna. De anser att eleverna behöver bli visade de olika strategierna för att kunna ta till sig
dem. Vid problemlösning kan ett flödesschema användas. Detta schema kan likna Polyas
(2005) fyra olika faser och hjälper en till att nå en slutsats. Läraren ska lära eleverna de olika
faserna samt strategier som hjälper dem till att möta matematiska problemlösningar. Bruun
(2010) redovisar en lista på olika strategier en lärare bör använda sig av vid problemlösning,
vilka är:
•
Söka mönster
•
Rita bilder
•
Dramatisering
•
Tabeller och diagram
•
Arbeta baklänges
•
Gissa och pröva
•
Lösa ett enklare problem
•
Laborativt material
•
Konkretisera
•
Göra en lista
•
Ekvationer
Enligt Bruun använder lärare sig av en eller flera strategier men få lärare använder samtliga
strategierna i sin undervisning med problemlösning. Den vanligast förekommande
lösningsstrategin som lärs ut till yngre elever är att rita bilder följt av strategin att ta ut
nyckelorden. Den sistnämnda strategin förekom dock inte på Bruuns lista av rekommenderade
20
strategier som lärare bör lära ut. Eleverna bör lära sig att använda flera olika strategier vid
problemlösning så att de får en möjlighet att undersöka och själva välja lämpliga metoder.
Sakshaug & Wohlhuter (2010) påpekar även att om inte läraren experimenterar fram nya
strategier inför eleverna kommer troligtvis inte heller detta uppmärksammas bland eleverna.
När eleverna behöver hjälp ska läraren vara förberedd med att ta en ny strategi, för att
elever ska kunna gå vidare i problemet. En strategi kan till exempel vara ett hjälpande
laborativt material men det kan också vara en fråga som provocerar fram en tankeprogression
(Ahlberg 1992; Polya 2005). Enligt Polya kan lärare ha två olika avsikter när de ställer en
hjälpande fråga nämligen 1) att hjälpa eleven med att klara problemet. 2) Att hjälpa eleven
hur den ska klara denna och nästkommande uppgift. Meningsfulla frågor som stöttar eleven
att få en förståelse för att lösa uppgiften kan enligt Polya (2005) till exempel vara: Vad är det
som söks? Vad är det som är givet? och Hur lyder villkoren? Om läraren istället ställer en
ledande fråga med syftet att hjälpa eleven att klara problemet, ger den ledtrådar samt lotsar
eleven till en lösning eller till och med serverar en lösning leder detta till att elevernas egna
tankar och idéer går förlorade. Detta är även något som Taflin (2007) instämmer med.
Lotsning förekommer även i matematikböcker där det finns kapitel och informationsrutor som
leder eleverna till en viss metod för uträkning (Ahlberg 1992; Johansson 2006).
Arbetsformer
Lärarens organisering av sin undervisning är väldigt olika och valet av arbetsform kan till
exempel vara att läraren låter eleverna arbeta enskilt, i par och i grupp eller alla tillsammans.
De kan arbeta abstrakt eller konkret med en gemensam uppgift eller olika uppgifter beroende
på nivå eller intresse. (Ahlberg 1992; Hagland, Hedrén & Taflin 2005; Kolovou 2011;
Möllehed 2001). Det råder enighet bland forskarna att problemlösningsförmågan utvecklas
bäst då det ges tillfälle att samtala kring problemet. Samtidigt visar forskning att
problemlösning ofta sker enskilt och utan återkoppling i många klassrum runt om i svenska
skolor, framförallt i de klassrum där läroboken styr undervisningen (Johansson 2006).
En arbetsform som Taflin (2007) nämner är EPA-metoden. Denna arbetsform leder till att
eleven kan få möjlighet att utveckla goda kunskaper inom problemlösning. EPA- metoden
står för enskilt, par, alla. Med denna metod arbetar eleverna med samma uppgift. De gör först
problemlösningen enskilt, sedan i par där eleverna jämför sina lösningar och diskuterar
likheter och skillnader. Till sist görs en återkoppling av problemet där alla i klassen
21
tillsammans med läraren redovisar och jämför sina olika lösningar och strategier som
uppkommit. På så vis får eleverna reda på varandras olika strategier och möjligheten att föra
goda matematiska diskussioner samt att resonemang får ta plats (Taflin 2007; Riesbeck 2008).
Författarna anser även att eleverna är varandras resurser när de får höra, se och diskutera
andra metoder än sin egna. Vilket kan hjälpa dem att hitta en enklare och smidigare strategi
än sin egna.
Det är under lösningsprocessen som eleverna fångar upp nya begrepp och utvecklar ett
matematiskt språk. Vardagsspråk kan användas vid enskilt och par, men när alla deltar
tillsammans ger det läraren en stor möjlighet att introducera och få eleverna att börja använda
det matematiska skolspråket. Något som även visar sig när man arbetar på ett sådant sätt är att
eleverna blir medvetna om och märker själva att läraren är intresserad utav elevernas
tankegång. Läraren vill primärt höra lösningsprocessen samt vägen till en slutsats medan
svaret är det sekundära (Ahlberg 1992; Riesbeck 2008; Sakshaug & Wohlhuter 2010).
Forskning visar på att eleverna behöver få tillräckligt med god tid på sig för att lösa en
uppgift. Ahlberg (1992) menar att en uppgift per lektion är ett bra mått. Då får läraren god tid
till att höra och se eleverna och det finns gott om tid för diskussioner där man kan utveckla
elevernas resonemang.
Problematik med problemlösning
Trots att problemlösning har många fördelar är det ändå ett komplext område som kan vara
svårt att undervisa i (Hagland, Hedrén & Taflin 2005; Sakshaug & Wohlhuter 2010). Till
skillnad från undervisning med aritmetisk räkning, kan det bli svårt för en lärare att planera
och genomföra problemlösningar då oförutsägbara diskussioner och händelser ofta kan
förekomma (Ahlberg 1992).
Läraren är den avgörande faktorn för att undervisningen med problemlösning ska fungera
och vara utvecklande för samtliga elever. Att hitta en balans och nivå där en och samma
uppgift passar alla kan vara svårt och kräver stor kunskap både didaktiskt och i ämnet samt att
det kräver mycket förberedelser av läraren (Hagland, Hedrén & Taflin 2005; Taflin 2007).
Har läraren bristande kunskaper, förståelse och intresse för problemlösning visar sig detta i
undervisningen vilket påverkar elevernas utveckling av problemlösningsförmågan. Även
lärarens
förståelse
och
kunskapssyn
påverkar
undervisningen
och
således
även
problemlösningen (Taflin 2007). Det finns lärare som anser att alla textuppgifter är
22
problemlösningsuppgifter vilket forskning visar att det inte behöver vara (Ahlberg 1992;
Taflin 2007) och då får inte eleverna den kunskapsutveckling som de bör få. Bruun (2010)
menar på att elever som har en liten framgång i problemlösning kan bero på att de har en
lärare som använder sig av en och samma strategi genomgående i deras undervisning och då
blir det svårt att utvecklas till gedigna problemlösare.
Klyftan mellan barns tidigare kunskaper och den kunskap de ska lära sig i skolan är för
stor (Ahlberg 1992). Ahlberg menar att även yngre barn behöver få arbeta med verkliga
händelser och arbeta konkret. Blir arbetet med problemlösningen tidigt formellt och abstrakt
tappar eleverna motivation samt minskar sin utveckling för matematisk förståelse.
Problematik med problemlösning som inte enbart påverkas av lärarens kunskap inom
området och ens synsätt är praktiska problem som kan uppstå under eller inför en
undervisning. Det är viktigt att ha ett tryggt klassrumsklimat och att det finns en kamratlig
anda bland eleverna för att få diskussioner där alla elever känner sig delaktiga och framförallt
vågar vara delaktiga. Elever ska kunna våga framföra sin reflektion eller synpunkt utan att
riskera att pekas ut bland övriga elever. En bristande planering kan även göra att allt inte
hinns med under en lektion och ofta är det då den avslutande diskussionen, som är en viktig
del, som blir lidande (Hagland, Hedrén & Taflin 2005). Taflin (2007) poängterar även vikten
av att ha en god planering inför en lektion och ett klart syfte för att få ut det mesta från
problemlösning vilket många lärare anser kräver för mycket tid, som inte finns.
23
Metod och genomförande
I denna del av arbetet beskriver vi hur vi har gått till väga i vår forskningsprocess. Vi kommer
att redogöra och motivera vår undersökningsmetod samt redovisa hur insamling av data har
behandlats och bearbetats.
Vetenskapsteoretisk utgångspunkt
Det finns två relativt lika vetenskapsteorier där huvudmetoder är tolkning av andra individers
tänkande. Men det som skiljer dem åt är deras förhållningssätt till verkligheten. Den
fenomenografiska, grundar sig i fenomenologin, som studerar hur olika personer tolkar ett
visst fenomen ur ett objektivt anspråk. Hermeneutiken, är en vetenskapsteori där en subjektiv
tolkning av text är det analytiska redskapet. Man utvecklar en förståelse av sin förförståelse
och sina erfarenheter det vill säga att tolkningen av texten påverkas av det man redan kan och
vet samt ger en ny kunskap. Hermeneutiken förstår mänskliga fenomen och det är med hjälp
av vår förförståelse och teorier som vi tolkar verkligheten och får en ny utvecklad förståelse
(Bryman 2011). De olika huvudmetoderna är tolkningar och kan inte ge generella slutsatser
av det som studerats (Backman 2008; Bryman 2011; Möllehed 2001). Både fenomenografi
och hermeneutik har varit aktuella forskningsansatser under vår arbetsgång. Men då vår studie
syftar till att få en djupare förståelse för lärares handlingar kommer vi att tolka den med våra
egna erfarenheter och förförståelse, därför väljer vi att utgå från hermeneutiken.
Metodval
Hermeneutiken är en kvalitativ metod. Vår studie är en tvärsnittsstudie med kvalitativa
intervjuer som är gjorda under en begränsad period. Syftet med undersökningen är att
undersöka lärares förståelse för problemlösning och hur de undervisar inom detta.
Anledningen till att vi gjort en kvalitativ undersökning är för att vi söker en djupare förståelse
istället för att undersöka frekvenser som en kvantitativ undersökning skulle visat (Bryman
2011). Det empiriska materialet samlades in genom semistrukturerade intervjuer där
24
intervjufrågorna är korta, öppna och förbestämda. Här får respondenterna möjlighet att ge en
nyanserad bild av sina tolkningar och vi får där igenom ett rikt material att studera (Bryman
2011).
Urval och undersökningsgrupp
I vår studie har vi gjort ett målstyrt urval vilket även kännetecknar en kvalitativ undersökning
(Bryman, 2011). Utefter vårt syfte med studien har vi därför medvetet valt ut deltagare som är
verksamma lärare och som undervisar i matematik i årskurs 1-3. Vi ville även ha lärare som
är i olika skeden av deras karriär och som arbetar på olika skolor. Enligt Bryman (2011) görs
ofta ett bekvämlighetsurval i en kvalitativ undersökning eftersom studiens mål är att få en
djupare analys och för att säkerhetsställa att man får svar på de frågor man söker. Med detta i
åtanke har vi valt ut skolor som vi känner till sedan tidigare samt lärare som vi är bekanta
med. Vi kontaktade skolorna och lärarna via mail och fick ihop fem kvinnliga lärare som ville
ställa upp på att intervjuas. Lärarna arbetar på skolor i tre olika städer. Fyra lärare arbetar på
kommunala skolor och en lärare arbetar på en privat skola.
Från början var tanken att intervjua tio lärare men då vi insåg att vi var ute efter en mer
djupgående intervju smalnade vi ner det till fem lärare. Ett bekvämlighetsurval gör att vi
undviker bortfall och vi kan istället se till att få en bred variation och täckning inom dess
population. Vi måste dock ha i åtanke att vid ett så här pass litet urval kan vi inte dra några
generella slutsatser i vårt resultat.
Samtidigt måste vi vara medvetna om att de olika
upptagningsområdena kan ha betydelse för hur lärarna förhåller sig till undervisningen med
problemlösning.
Etiska överväganden
När man gör en vetenskaplig undersökning är det viktigt att ta hänsyn till olika etiska frågor.
Inför vår undersökning där vi intervjuar lärare var vi noga med att läsa på om detta område
innan vi tog kontakt med de olika skolorna och lärarna. Vi började med att informera samtliga
rektorer om att få tillstånd att genomföra studien. Vi har tagit hänsyn till fyra grundläggande
etiska faktorer när vi utformat vår studie som är informationskravet, samtyckeskravet,
konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Vetenskapsrådet u.å.; Bryman 2011). Vi har tagit
25
kontakt med skolor via mail. Först kontaktade vi skolans rektor (se bilaga 1) för att få ett
godkännande. När vi sedan skickade ut mail till respektive lärare och frågade om de var
intresserade av att delta i vår studie bifogade vi ett brev (se bilaga 2) där vi tydligt informerar
om syftet med undersökningen. Vi belyser även att det är ett helt frivilligt deltagande och att
personerna när som helst kan avbryta det. Vi skriver även att vi kommer att spela in intervjun,
detta informerar vi även om för att förbereda deltagaren då det ibland kan kännas
skrämmande att bli inspelad om man inte är medveten om det sedan tidigare (Bryman 2011).
Inspelningen sker för att kunna transkribera materialet och efter bearbetning kommer allt
material kasseras. Avslutningsvis informerar vi även om att intervjun är helt konfidentiell och
varken skolan eller läraren kommer att kunna pekas ut i den färdiga studien.
Validitet och tillförlitlighet
Validitet syftar till att man genom sin studie undersöker det som man avser att undersöka och
att man gör det utifrån sin frågeställning. Validiteten och reliabiliteten av ett empiriskt
material är ofta ifrågasatt, då forskarens tolkning av materialet kan vara missuppfattat
(Bryman 2011; Ahlberg 1992). Därför är en intern reliabilitet mellan kollegierna viktig för att
stärka undersökningens trovärdighet. Det är även viktigt att tydligt redogöra alla faser i
forskningsprocessen samt hur man bearbetar det empiriska materialet. Genom att göra
kvalitativa intervjuer med lärare kan vi få en djupare förståelse och insyn för lärarens
resonemang utifrån hennes svar. Samtidigt kan vi inte säkerställa hennes svar då vi inte kan
fastställa att det hon säger stämmer överens med verkligheten. I så fall skulle även en längre
klassrumsobservation vara nödvändig. Men då möjligheten till detta inte var genomförbart på
grund av tid fick detta väljas bort. Genom att ha inspelning från intervjuerna och ställa samma
intervjufrågor till samtliga lärare kan vi ändå stärka trovärdigheten i vårt resultat.
Med en liten respondentgrupp kan vi således inte dra några generella slutsatser. Vilket
ändå inte är vårt syfte med studien. Däremot kan man säga att det vi fått fram i resultaten är
något relevant vilket ger vår studie en hög validitet.
Genomförande av intervju
26
Vi har gjort enskilda semistrukturerade intervjuer med fem lärare och vi valde att ha max en
intervju per dag. Inför intervjuerna har vi förhållit oss till Brymans (2011) intervjuguide. Vi
såg till att vara väl pålästa för att få en djupare förståelse inom området och på så sätt kunde
vi konstruera relevanta intervjufrågor samt få en god bild på hur respondenterna kan komma
att besvara frågorna (Backman 2008; Bryman 2011). Vi gjorde medvetet enkla formuleringar
för att skapa en mer informell känsla under intervjuerna (se bilaga 3). Våra formuleringar var
inte specifika eller ledande utan mer öppna för att undersöka hur lärarna själva uppfattar sin
verklighet utan att påverkas av våra frågor. Detta ökade även möjligheten till att ställa
följdfrågor. Becker (2008) ger ett förslag att använda sig av uttrycket Hur kommer det sig...?
istället för Varför…? i en följdfråga. Detta visar på mer intresse för respondenten och kan leda
till att de berättar mer utförligt och ärligare.
Vår första intervju var tänkt som en testintervju men respondenten gav oss så pass utförlig
information och vi ansåg att våra frågor var bra som de var vilket gjorde att vi valde att ha
med även denna intervju i vårt resultat. Samtliga intervjuer spelades in med hjälp av våra
mobiltelefoner och tog cirka 45- 60 minuter. Som avslut på våra intervjuer informerade vi
våra deltagare om att de gärna fick återkomma till oss efteråt om de kom på något att tillägga
och så även vi.
Bearbetning av intervjudata
Det empiriska materialet har vi transkriberat och på så sätt har vi kunnat följa upp vad
respondenterna har sagt. Utifrån transkriberingen har vi lyft ut relevant information från
respondenternas utsagor genom att tematisera och markera det innehåll utifrån vårt syfte och
frågeställning. Vi har sammanställt de olika lärarnas svar för att sedan kunna jämföra och
analysera likheter och olikheter i deras utsagor. På detta sätt får vi en vidare syn av lärarnas
uppfattning (Backman 2008). Genom att vi såg till att ha en väl förbered intervju fick vi ett
rikt material att arbeta med där vi fick svar på vår frågeställning.
27
Resultat
Nedan kommer vi att presentera en sammanställning av vårt intervjumaterial från de fem
olika lärarna. Vi redovisar vårt resultat utifrån lärarsvaren som speglar vår frågeformulering
och sammanställningen är utarbetad efter vår tolkning av vad lärarna sagt. De olika
respondenterna har arbetat som grundskolelärare mellan 1-20 år och vi benämner dem i texten
som lärare A, B, C, D och E.
Lärarnas uppfattning om problemlösning
Lärare A
Lärare A anser att problemlösning är väldigt brett men lägger vikten vid själva
lösningsprocessen och att eleverna behöver olika strategier för att komma fram till en slutsats.
Hon anser att det är viktigt att tidigt börja arbeta med problemlösning för att eleverna ska
vänja sig vid det. Hon drar likheten att precis som med begrepp och termer, om eleverna hör
och ser olika lösningsprocesser kontinuerligt så befästs kunskapen tillslut. Eftersom man kan
använda olika räknesätt inom samma problemlösningsuppgift lär sig eleverna varför de ska
kunna olika räknesätt och hur de ska använda dessa. Lärare A beskriver problemlösning som
språkutvecklande eftersom eleverna diskuterar och får förklara mycket för varandra vilket
även leder till en bättre samarbetsförmåga. Ett arbete med problemlösning ger eleverna ett
vidare synsätt och lär dem tänka på olika sätt. Hon anser inte att hennes syn på
problemlösning har ändrats under hennes tid som lärare och anser att hon fick en god
utbildning inom området. Hur man arbetar eller inte arbetar både med problemlösning och
överlag tror lärare A beror på hur man är som person. Lärare A vill inte ändra på sitt sätt att
arbeta med problemlösning men hade önskat att de kunde vara fler pedagoger närvarande
under lektioner för att få ett mer utvecklande kollegialt lärande vilket hon påpekar är viktigt
för att utveckla sin problemlösningsundervisning.
28
Lärare B
Lärare B beskriver problemlösning som en händelse. Händelsen, det vill säga innehållet i
problemuppgiften
kan
vara
av
vardaglig
karaktär
eller
av
mer
fantasi.
En
problemlösningsuppgift är inget givet utan arbetas fram under lösningsprocessen. Hon anser
att problemlösning ofta kan kompletteras med bilder och att detta hjälper till att öka
förståelsen för matematik. Hon menar att problemlösning finns i hela ens omgivning och hon
använder sig ofta av elevernas när, hem, skol- samt lekmiljö när hon konstruerar
vardagsproblem. Hon utgår från elevernas gemensamma erfarenheter och skapar på så sätt ett
sammanhang för dem vilket är viktigt för att få en god kunskapsutveckling. Problemlösning
blir därför optimal om den grundas på händelser som eleverna haft tillsammans men även
variationen inom problemlösning är viktig för att nå ut till alla elever. Lärare B poängterar
även att utifrån detta är det fullt möjligt att börja arbeta med problemlösning redan i tidig
ålder men då med enkel problemlösning. Man kan komma bort från skrivandet samt läsandet
och istället diskutera om det man upplevt och på så vis komma fram till lösningar. Fördelen
med problemlösning är att man som lärare kan nivåanpassa problemlösning utefter elevernas
ålder och förkunskaper, vissa vill ha större utmaningar medan man får förenkla för andra.
Lärare B förklarar att hennes syn på problemlösning har förändrats under sin tid som lärare
och säger att hon tycker att färdighetsträning är viktigt men att man framförallt behöver ha
förståelsen för det man gör och att det är genom problemlösning som man till stor del kan få
det, i och med att språket kommer in. Hon anser även att problemlösning kan stärka svaga
elever om det utförs i grupp men att det blir för svårt för en svag elev att arbeta enskilt med
det.
Lärare C
Lärare C uttrycker spontant att hon upplever att problemlösning är väldigt svårt för eleverna
eftersom det ofta innefattar flera olika steg för att nå en lösning. Eleverna har svårt för att
skriva matematik och vill hellre enbart skriva ett svar. Därför är det viktigt att arbeta med
problemlösning gemensamt i skolan så eleverna får den hjälp de behöver jämfört med
färdighetsträning som eleverna kan arbeta med enskilt. Även om hon anser att eleverna tycker
det är svårt har hon märkt att när eleverna väl kommit igång med lösningsprocesser tycker de
att arbetet är roligt och de elever som förstår problemlösning är långt fram i deras
kunskapsutveckling. Hon beskriver att problemlösning innebär att ett problem kan lösas på
29
olika sätt och att det ofta är kopplat till vardagsproblem. Lärare C försöker alltid göra
problemlösningsuppgifterna verklighetsbaserade och tar ofta eleverna och deras samvaro som
exempel när hon hittar på olika uppgifter eftersom hon märkt att detta ökar elevernas
motivation.
Lärare D
Lärare D vill förklara problemlösning som en icke rutinuppgift och som en uppgift man ska
låta ta tid. Eleverna ska lära sig att prova olika strategier och våga misslyckas och kan på så
sätt utveckla sin kunskap. Lösningsprocessen gör att eleverna börjar reflektera och det är
viktigt att ge utrymme för detta. Eleverna får även träna uthållighet och tålamod när de provar
sig fram. Det fria arbetssättet gör att eleverna blir mer kreativa och använder sig av sina
kunskaper för att utveckla nya. Något som lärare D uppmärksammat är att svaga elever inom
matematik oftast uppskattat denna typ av arbete. Hon anser att man kan arbeta med
problemlösning redan från förskolan men att det då stannar vid att undersöka och reflektera.
När eleverna sedan börjar skolan blir problemlösningen mer formell och de utvecklar sin
kunskap inom matematik genom att skriva på mattespråk samt använda korrekta begrepp.
Lärare D anser att problemlösning är ett sätt för henne att nå alla sina elever men vill även
poängtera att det är viktigt att variera nivån på problemlösningsuppgifterna eftersom ett
problem för dig kanske inte är ett problem för någon annan. Det är även viktigt att man som
lärare planerar och är förberedd inför sina lektioner med problemlösning. Att man sätter sig in
hur det kan gå och vad som kan behövas för att inte stöta på några hinder.
Lärare E
Lärare E beskriver problemlösning som öppna uppgifter där det finns mer än ett rätt svar.
Problemlösning kan även vara integrerat i en saga eller en berättelse där eleverna får plocka ut
det matematiska. Det kan även vara svårt för eleverna eftersom de gärna vill ha rena
aritmetiktal men hon anser att problemlösning är en av de viktigaste faktorerna inom
matematik och jämför det med läsförståelsen. Alla kan lära sig att avkoda, både bokstäver
inom läsning och siffror för uträkning, men att skapa en förståelse är mycket svårare. Därför
ska problemlösningsuppgifter göra så att eleverna börjar fundera så att det i sin tur utvecklar
tankeförmågan och ger eleverna en förståelse. Under problemlösningsprocessen börjar
30
eleverna att tänka logiskt och får ett kreativt tänkande men det får inte bli för svårt för då ger
eleverna upp. Lärare E anser att man som lärare ska handleda eleverna och lotsa eleverna
framåt för att de ska kunna tänka vidare. Hon lägger stor vikt på att man som lärare måste
tänka igenom sina lektioner med problemlösning på ett strategiskt sätt. Att ha ett tydligt mål
om vad man vill att eleverna ska lära sig samt hur och hitta lämpliga problem då alla
elevgrupper är olika och alla behöver utmanas på olika sätt. Man måste ha en plan a, b, plan c,
plan d och ibland ännu fler. Det handlar om att se vilken nivå eleverna befinner sig på och var
och hur man ska fånga upp dem. Med problemlösning kan man utgå från det man arbetar med
i klassen just då vilket ger ett sammanhang för eleverna. Lärare E poängterar att all matematik
kan göras till problemlösning och att man kan arbeta med en uppgift en hel dag.
Resultatet från den empiriska undersökningen visar att lärare tycker att det är roligt att
undervisa i problemlösning och samtliga lärares uppfattning är att eleverna tycker att det blir
ännu roligare om man har verklighetsbaserade problem med vardagsnära uppgifter.
Problemlösning kan tolkas brett och man kan därigenom få många möjligheter till att ta vara
på elevernas intresse och erfarenheter. På detta vis kan man även nivåanpassa sin
undervisning så att varje elev tillgodoses. Dock upplever lärarna att många elever har svårt att
arbeta med hela problemlösningsprocessen då många elever vill räkna rena aritmetikuppgifter
för att snabbt kunna ge ett rätt svar. Samtliga lärare arbetar med en matematikbok där det
finns problemlösningsuppgifter men de anser ändå att det behövs kompletteras med annat
material för att kunna utveckla elevernas kunskaper och förmågor inom problemlösning.
Introduktion av ett problem
Lärare A beskriver att en introduktion av ett problem kan vara olika från gång till gång men
oftast presenterar hon ett problem genom att ha gemensamma diskussioner. Eleverna får rita
och hon skriver ner uttryck och ser till att de både pratar, jobbar med händerna och skriver
kring problemet. Hon anser att det är bra att ta exempel om något som eleverna känner igen,
men hon gör det inte alltid. Ibland när hon introducerar märker hon att hon inte får med alla
eleverna och får då ändra i efterhand. Läraren tror att det kan bero på att hon ibland har för
höga ambitioner.
Lärare B introducerar problem olika beroende på om de arbetar inne i klassrummet eller
om de är utomhus. När de är utomhus hittar hon ofta spontana problem som hon presenterar
muntligt. Är de i klassrummet anser hon att det är bäst att samla eleverna i en ring på golvet
31
som de är vana vid. Hon har då skrivit problemet på ett stort papper och läser det sen flera
gånger för eleverna. De kan då gå igenom vad texten handlar om och gemensamt plocka ut
viktigt innehåll som behövs för att kunna lösa problemet.
Lärare C brukar skriva upp ett problem på tavlan som hon läser tillsammans med eleverna.
De tar sedan ut de viktiga delarna och räknar ut det tillsammans. Ofta är problemet någon som
de kan relatera till och sedan får de ett liknande problem att arbeta själv med.
Lärare D introducerar oftast ett problem med en genomgång men även genom lekar och
liknande. Vid en genomgång leder hon undervisningen och styr den så att hon får med det hon
vill att de ska lära sig. Hon ser till att fördela ordet jämnt mellan alla elever och även henne
själv så att diskussion får fokus på det som hon vill ska vara centralt. De löser problemet
tillsammans genom att läsa det och skriva upp det på mattespråk. Hon visar och kontrollerar
olika strategier under lösningsprocessen och hon ser till att det alltid blir en diskussion och
lyfter elevernas resonemang. Lärare D lägger vikt på en god planering inför en introduktion,
tillexempel om hon ska använda bilder eller riktiga kläder. Detta är beroende på i vilken ålder
hon undervisar i, en bild kan kanske stimulera till mer än vad hon vill göra och för att inte
tappa fokus planerar hon då om.
Lärare E börjar oftast med att ge eleverna ett problem som de löser tillsammans på tavlan.
Hon visar då hur man ska göra vilket hon anser att man måste göra med elever i de yngre
åldrarna och man måste göra det kontinuerligt för att de ska förstå deras uppgift. Läraren ser
sig som en igångsättare och en ledare under lösningsprocessen.
Arbetsformer
Lärare As elever arbetar oftast två och två med en gemensam uppgift. Under tiden de arbetar
försöker hon gå runt och prata med eleverna och de får då ett tillfälle att förklara deras olika
lösningar. De har gemensamma diskussioner i helklass för att hon ska höra hur de tänkt och
om de har förstått uppgiften rätt. Paren delar här med sig av sina lösningar och läraren lyfter
olikheter i de olika lösningsprocesserna. Hennes lektioner med problemlösning är varierade så
eleverna ska orka hålla fokus på uppgiften. En halv lektion anser hon är lagom att arbeta med
ett problem. Hon berättar om när de arbetade med en bok där en saga bjöd in till
problemlösning, detta gjorde de alla tillsammans och muntligt. Ju äldre eleverna är desto mer
självständiga blir paren när de arbetar med problemlösning. Då kan de både läsa och skriva
uppgiften själva.
32
Lärare B tycker om att bedriva matematik utomhus. Hon anser att det finns mycket
problemlösning där och då blir problemen mer spontana och lösningarna sker muntligt i par
eller enskilt. Hon ger exempel på ett problem som hon kom på när de var ute och gick i deras
närmiljö. De gick förbi en blomsterhandel där hon gav eleverna detta problem: Det finns fem
blommor i varje bukett. Vi ska köpa fyra buketter. Hur många blommor köper vi totalt. Ibland
tar hon med sig händelsen eller problemet in till klassrummet och arbetar med det där. När
eleverna går i ettan brukar uppgifterna alltid vara muntliga och lösningen sker oftast enskilt.
När eleverna blir äldre och är i klassrummet arbetar eleverna mycket i par men även enskilt.
De brukar läsa uppgiften för varandra så de lättare ska förstå problemet och sedan får eleverna
enskilt rita och lösa problemet. Hon har ett öppet kamratklimat i klassrummet och eleverna tar
ofta hjälp av varandra. Som avslut på problemlösningen låter hon paren redovisa och jämföra
sina lösningar för varandra. Hon låter eleverna arbeta cirka tio minuter med ett problem för att
hålla motivationen uppe, arbetar de längre tröttnar de oftast.
Lärare C gör problemuppgifter som är inom det område de arbetar med i matematiken just
då. Läraren gör en uppgift tillsammans med eleverna på tavlan och låter de sedan räkna en
liknande uppgift enskilt. Eleverna brukar lösa ett problem på cirka fem minuter innan läraren
bryter för en gemensam återkoppling i helklass med olika svar och lösningar. De arbetar med
olika problemlösningar hela lektionen antingen enskilt eller i par. Arbetar de i par sätter hon
ihop dessa och oftast ser hon till att en starkare elev får arbeta tillsammans med en lite
svagare.
Lärare D arbetar bland annat med EPA metoden när hon undervisar i problemlösning. Hon
har först alltid en genomgång av problemet för samtliga elever för att ingen elev sedan ska
sitta enskilt och inte förstå uppgiften. Hon låter hela lektionstimmen gå åt arbetet med
problemlösningen och lägger mycket tid på att eleverna ska presentera sitt arbete och resonera
kring de olika lösningarna som framkommer. Hon nämner även att någon få gång väljer hon
ut några elever som får arbeta i mindre grupper en längre tid tillsammans med läraren. Då får
de chansen att diskutera och visa varandra när de löser problemet. Oftast går dock inte detta
rent praktiskt med en klass på över 20 elever. Det är mycket som kan störa i undervisningen
och hon vill alltid hinna med en summering och slutdiskussion tillsammans med eleverna.
Vissa gånger blir summeringen något kortare och då brukar hon välja ut vilka elevlösningar
som ska presenteras.
Lärare E organiserar klassrummet så att samtliga elever arbetar mycket tillsammans. De
brukar först lösa ett problem gemensamt på tavlan genom att läsa uppgiften tillsammans och
reder då ut oklarheter som kan uppstå. Efter att de löst uppgiften får eleverna arbeta med ett
33
liknande problem i par eller i grupp. Läraren bestämmer vem eleverna ska arbeta med och
belyser vikten av en genomtänkt sammansättning av paren. Hon anser att en svag elev kan få
stöd av en starkare elev men att glappet mellan dem inte får vara för stort. Paren får sedan
tilldelat olika problemlösningsuppgifter som de får arbeta med följt av en redovisning och
jämförelse med de andra paren. De arbetar med en uppgift så länge det behövs, men oftast
under en lektion.
Olika lösningsstrategier
Samtliga lärare lär ut samma eller liknande strategier till sina elever för deras väg mot att bli
kreativa problemlösare och vi har därför valt att sammanställa dessa strategier genom en
figur. I figuren nedan har vi rangordnat utifrån den mest förekommande strategin vilket är att
ta ut matematiken som nämns av samtliga lärare. De tre nedersta strategierna att göra
tabeller, göra ett liknande problem samt mattesaga är de som förkommer minst och varje
strategi nämns enbart en gång av olika lärare.
Ta ut matematiken
Rita
Skriva
Laborativt material
Titta efter nyckelord
Frågor
Tabell
Gör liknande problem
Mattesaga
Att hjälpa eleverna vid problemlösning
Lärare A ser sin hjälp till eleverna som en typ av coachning. När eleverna ställer frågor och
behöver hjälp ställer hon frågor tillbaka som ska hjälpa dem att se på problemet från ett annat
håll. Hon kan även föreslå att eleven ska använda något laborativt material för att få igång
34
eller driva på sin tankegång. Anser hon att det är en vanligt förekommande eller en relevant
svårighet lyfter hon denna i helklass för att skapa en diskussion.
Lärare B hjälper de yngre eleverna med att skriva svaret på mattespråket men vill att de
själva ska kunna förklara muntligt. Hon brukar säga till eleverna som inte kan förstå eller
förklara skriftligt att de istället ska rita uppgiften. Lärare B arbetar mot att få eleverna att
hjälpa varandra så mycket som möjligt genom att till exempel hänvisa dem till att läsa för
varandra. Hon skriver ofta upp hjälpande frågor på tavlan som eleverna kan ha i åtanke när de
fastnar i en lösningsprocess. Frågorna ska då göra att eleverna breddar sitt tänk och kan arbeta
vidare. Har eleven svårt att förstå begreppen i uppgiften brukar hon förklara dem tydligt och
på olika sätt men ibland även ändra till enklare begrepp som de redan behärskar. Hon påpekar
att det ofta är den språkliga förståelsen eleverna behöver hjälp med och att hon ser sig själv
som en igångsättare för eleverna inför deras uppgifter.
Lärare C beskriver sin hjälp till eleverna som stöttning. Ofta hjälper hon eleverna med att
strukturera upp uppgiften för att få en så god utgångspunkt som möjligt inför
lösningsprocessen. När de strukturerar upp uppgiften tar de oftast ut det matematiska i texten
som eleverna anser behöva för att kunna lösa problemet.
Lärare D hänvisar elever som behöver hjälp att prova något laborativ material tillsammans
med läraren. Hon anser att elever som inte förstår uppgiften behöver arbeta med det konkret.
Om eleverna behöver hjälp med läsförståelsen finns hon till hjälp med att förklara begreppen
med hon har även lärt eleverna att i första hand ta hjälp av varandra.
Lärare E går ofta runt bland eleverna och lyssnar när de arbetar med problemlösning dock
utan att störa dem. Då finns hon nära tillhands och kan läsa av om någon elev behöver hjälp
eller stöttning för att komma vidare. Hjälpen hon ger är olika beroende på eleven. Ibland
behöver hon lotsa eleverna vidare i lösningsprocessen och ibland handleder hon eleverna för
att de ska förstå just det hindret där de har stannat. Hon hjälper eleverna med strukturen och
att koda av matematiken i texten. Hon anser att eleverna har ett stort behov av att få hjälp med
det språkliga i texten men hon har vant eleverna vid att ta först ta hjälp av varandra så mycket
som möjligt. Hon hjälper eleverna även med att ställa motfrågor för att få ut den väsentliga
informationen i uppgiften. Eleverna har alltid tillgång till laborativt material vilket de själva är
vana vid att gå och hämta vid behov.
35
Analys och diskussion
Bruun (2010) visar vikten av en stor variation av lösningsstrategier för att alla eleverna ska
kunna tillgodoses med rik kunskap inom problemlösning. Hon menar alltså om elever
behärskar olika strategier blir de mer självgående i deras lösningsprocesser genom att själva
hitta lämpliga strategier för att lösa ett problem. Vi ser att lärare A och C har en bristande
undervisning av att lära ut olika lösningsstrategier. Enligt Bruun (2010) är det inte ovanligt att
en lärare lär ut samma enstaka strategier år efter år. Lärare A och Cs elever lär sig enbart
enstaka strategier som att rita eller ta ut matematiken och eleverna går därmed miste om att
utveckla sitt logiska tänkande när de arbetar med ett problem. Samtliga lärare lär ut strategier
i enlighet med Ahlberg (1992), Brunn (2010) och Polya (2005) med syftet att eleverna
behöver se strategin och hur man använder den innan de själva kan praktisera den. Utöver
detta är Lärarna D och E är medvetna om Taflins (2007) metod gällande strategier. Dock
används det som ett komplement och inte genomgående. Deras arbetssätt visar på att elever
möter problem där eleverna enbart får använda sig av deras redan befintliga matematiska
kunskaper. Lester & Lambdin (2007) menar på att man inte behöver ha grunderna i
matematik för att arbeta med problemlösning. De menar istället att eleverna ska lära sig nya
matematikkunskaper genom problemlösning vilket vi upplever att lärarna inte möjliggör för
eleverna. Kan eleverna dessutom inte tillräckligt många olika strategier kan det leda till att det
blir svårt för dem att prova sig fram och skapa en egen metod för att lösa ett problem (Bruun
2010; Sakshaug & Wohlhuter 2010).
Det typiska problem som lärare B beskriver passar in på Ahlbergs (1992) beskrivning av
ett enstegsproblem. Samtliga av våra respondenter anser att det är denna typ av problem man
arbetar med för elever de första skolåren. Ingen av lärarna arbetar således med
flerstegsproblem (Ahlberg 1992) i de tidiga åldrarna då de anser att eleverna ännu inte är
tillräcklig mogna för mer komplexa problem. Med enstegsproblem får eleverna en god insikt
till problemlösning men för att nå den bredd på elevernas kunskapsutveckling som
problemlösning ska ge bör man som lärare även i tidig ålder introducera det som Ahlberg
(1992) benämner som flerstegsproblem och Taflin (2007) benämner som rika problem.
Enstegsproblem kan vara en bra start i problemlösning men läraren måste se till att inte fastna
i att enbart undervisa i denna typ av problem. Vi kan se att lärarna hittar och konstruerar egna
problem som de kan individanpassa genom att förenkla eller försvåra men problemen når
ändå inte alla de sju kriterier som Taflin (2007) förespråkar för att ett problem ska bli ett rikt
36
problem. Lärarna är bra på att förbereda eleverna inför ett problem genom att låta eleverna se
och förstå lösningsprocessen utifrån Polyas (2005) fyra faser. Det som lärarna missar utifrån
Taflins (2007) sju kriterierna är att problemet ska kunna lösas på flera olika sätt med både
enklare och mer avancerade lösningar. Samtliga lärare upplever att elever lär sig av att se och
höra varandra men Lärare B och C låter dock eleverna oftast lösa problemen enskilt.
Samtliga lärare ser diskussioner som en viktig del i lösningsprocessen med möjlighet att
återkoppla och reflekterar över sina skilda lösningar och därmed ge möjlighet till rika
matematiska diskussioner. I enlighet med Ahlberg (1992) och Hagland, Hedrén & Taflin
(2005) anser Lärare D att det är viktigt att avsätta gott om tid för diskussioner då dessa anses
vara en ytterst viktig del av problemlösningsprocessen. Skillnaden på lärare D och de andra
lärarnas sätt att undervisa är att Lärare D följer EPA- metoden. Denna metod är ett bra sätt att
arbeta efter om man som lärare anser att man lär sig i en social samverkan där kommunikation
och interaktion ligger som grund. Av de lärare som alltid låter eleverna lösa problem i par är
det enbart lärare E som nämner att hon tar hänsyn till den proximala utvecklingszonen
(Möllehed 2001; Säljö 2014; Vygotsky 1978).
“De som är svaga ska inte arbeta med den som är bäst i klassen. Då blir det
ingen utmaning för någon av dem eftersom de är för långt ifrån varandra.
Den som är svagast ska arbeta med den som är medelmåttig. Det ska vara
en lagom nivåskillnad mellan dem för att de ska kunna hjälpa varandra.”
(Lärare E)
Polyas (2005) beskrivning av att ställa meningsfulla frågor om problemet, framförallt vid en
introduktion, är en metod som leder till att eleverna så småningom använder sig självmant av
frågorna som en effektiv lösningsstrategi till kommande problem. Lärare A och C använder
sig inte av Polyas (2005) frågemetod i sin undervisning vilket gör att deras elever går miste
om denna strategi. Lärare B använder sig av Polyas frågemetod under en introduktion av ett
problem och ser även till att ha frågorna synliga för eleverna under arbetets gång. Lärare D
och E använder meningsfulla frågor först när eleverna behöver hjälp.
Vår undersökning är viktig som ett bidrag till forskningsfältet problemlösning inom
matematikundervisning. Vad vi kan se utifrån vårt resultat och analys är att lärarna har en
relativt gemensam bild av vad problemlösning är. De ser problemlösning som en viktig del av
matematiken och är väl medvetna om att arbete med problemlösning leder till en god
37
kunskapsutveckling bland eleverna. Lärarna ska ge eleverna möjlighet att lära sig att
formulera och lösa problem samt även värdera de metoder och strategier de väljer (Skolverket
2011). Trots att lärarna är insatta i vad både forskning och läroplanen belyser inom
problemlösning kan vi se att de går miste om en del viktiga aspekter i deras praktiska
undervisning. Det är således deras uppfattning om hur de arbetar som skiljer dem åt.
38
Slutsats
Även om grundskolan och högskolan ska vila på likvärdig forskning upplever vi en skillnad i
de olika verksamheterna. Vi märker att lärarna har ett synsätt för problemlösning som passar
in i läroplanens föreställningar med problemlösning. Samtidigt ser vi dock att deras
undervisning inte samspelar med vad den aktuella forskningen säger. Respondenterna menar
på att den undervisningen, som lärs ut på högskolan, inte går att bedriva i verkligheten då det
händer så mycket oförutsägbara händelser i skolan och hos eleverna. Även om de anser att
problemlösning är viktigt prioriterar lärarna andra aktiviteter i sin undervisning. Syftet med
studien har varit att ta reda på hur lärares uppfattning om problemlösning kan påverka deras
undervisning. Att bristen på en bred kunskap inom problemlösning påverkar undervisningen
kan vi förstå men genom vår undersökning tyder det snarare på de kulturer och traditioner
som finns på skolorna och framförallt blir det en resursfråga. Detta påpekar lärare D när hon
beskriver en arbetssituation:
För en gångs skull fick jag lyxen att jobba med problemlösning med bara
fyra barn. Vi tyckte det var jätteroligt och lärorikt eftersom jag fick
chansen att gå in på djupet med uppgiften. Det är det man ibland saknar att
kunna göra eftersom man oftast har 20-25 elever i en klass och även i halv
klass är man ändå rätt så många.
Att arbeta med stora klasser och dess påverkan var något som framkom i samtliga intervjuer.
Att implementera en ny typ av undervissningsstil kan ta lång tid på en skola då den ska
accepteras utav många och det kräver det både mod och en trygghet från en lärare att ta steget
till att utveckla sin undervisning inom problemlösning. I undersökningen visade det sig även
att de lärare som är nyutexaminerade insocialiseras i att undervisa efter skolans traditioner,
det sitter i väggarna och är svåra att undgå. Vi märkte att de lärare som ändrat sin syn på
problemlösning har ändrat sin undervisning men att det tar lång tid och vi ser en skillnad på
hur
erfarna
lärare
som
arbetar
med
kollegialt
lärande
utvecklar
en
bättre
problemlösningsundervisning med en djupare utveckling för elevers problemlösningsförmåga.
Med vår nya förståelse för problemlösning upplever vi att det är fullt möjligt att bedriva en
god undervisning genom problemlösning i tidig ålder precis som högskolan menar. Även om
resursfrågan påverkar ligger en stor vikt i lärarens inställning till problemlösning och i vilken
39
mån läraren vågar utmana både sig själv och sina elever. Utifrån vår tolkning är det främst att
man som lärare kontinuerligt arbetar med problemlösning och om man introducerar tidigt blir
eleverna vana vid arbetssättet och fokus kan läggas på att utveckla elevernas förmågor istället
för att skapa dem.
Undersökningen
För att ytterligare stärka vår undersökning hade en önskan vara att utöver intervjuerna även
göra klassrumsobservationer men på grund av tiden blev detta inte genomförbart. Eftersom vi
genomförde intervjuer är medvetna om att respondenterna till viss del ger exempel utifrån
deras bästa undervisning med problemlösning. Genom klassrumsobservationer hade vi själva
kunnat se hur lärarna verkligen arbetar med problemlösning och därigenom kunnat skapa oss
en egen uppfattning av hur lärarna bedriver sin verksamhet och inte enbart behövt förlita oss
på utifrån vad lärarna sagt. Våra frågeställningar syftar dock till att ta reda på lärarnas
perspektiv på deras uppfattning om problemlösning och hur denna kan visa sig i deras
undervisning. Med enbart observationer hade vi kunnat se hur lärarnas undervisning ser ut
men vi hade ändå stått med en fråga om deras handlingar bottnar sig i olika förhållningssätt.
Därför valde vi att prioritera intervjuer före observationer för att få en hög validitet i vår
undersökning.
Vidare forskning
Utifrån vår undersökning framgick det att lärares undervisning inte fullt ut speglar den
undervisning som högskolan menar ska bedrivas. En vidare forskning kan vara att göra en
komparativ studie genom klassrumsobservationer. Forskaren får följa två klasser under tre år
där det i ena klassen praktiseras problemlösning där samtliga förutsättningar ges för att kunna
undervisa utifrån aktuell forskning. I den andra klassen görs inga förändringar av
undervisningen och den fortlöper som tidigare. Vårt syfte med forskningen blir att undersöka
betydelsen för elevernas utveckling beroende på vilken undervisningen de ges.
Klassrumsobservationen kan komma att visa vad som krävs eller inte krävs och vilka
konsekvenser problemlösning ger. Den vidare forskningen ska således undersöka betydelsen
av problemlösning så att verksamma lärare kan ges rätt förutsättningar för att själva kunna
40
bedriva samma undervisning. Målet ska vara att undervisa matematik genom problemlösning
för att utveckla goda matematiska kunskaper.
41
Referenser
Ahlberg, Ann (1992). Att möta matematiska problem- En belysning av barns lärande.
Göteborg: Göteborgs universitet.
Backman, Jan (2008). Rapporter och uppsatser Lund: Studentlitteratur.
Becker, Howard S. (2008). Tricks of the trade: Yrkesknep för samhällsvetare. Malmö: Liber.
Bruun, Faye (2013). Elementary teachers’ perspectives of mathematics problem solving
strategies. I The mathematics educator, Vol. 23, No. 1, pp. 45-59. Georgia:
University of Georgia.
Bryman, Alan (2011). Samhällsvetenskapliga metoder. Malmö: Liber.
Dahl, Tomas (2012). Problemlösning kan avslöja matematiska förmågor: Att upptäcka
matematiska förmågor i en matematisk aktivitet. Kalmar, Växjö: Linneuniversitetet.
Hagland, Kerstin, Hedrén, Rolf & Taflin, Eva (2005). Rika matematiska problem- inspiration
till variation. Liber: Stockholm.
Johansson, Madeleine (2006). Teaching mathematics with textbooks – A classroom and
curricular perspective. Luleå: Luleå universitet.
Kolovou, Angeliki (2011). Mathematical problem solving in primary school. Utrecht: Utrecht
University.
Laine, Anu, Näveri, Liisa & Pehkonen, Erkki (2013). On Teaching problem solving in school
mathematics. I CEPS Journal. Vol. 3, No. 4 pp. 9-23. Slovenia: University of
Ljubljana.
Lester, Frank K, & Lambdin, Diana V. (2007). Undervisa genom problemlösning. I Jesper,
Boesen, Göran, Emanuelsson, Anders, Wallby & Karin, Wallby (red). Lära och
undervisa matematik- internationella perspektiv. NCM, Göteborgs universitet.
Möllehed, Ebbe (2001). Problemlösning i matematik: En studie av påverkansfaktorer i
årskurserna 4-9. Malmö: Malmö högskola.
Piaget Jean (2013). Barnets själsliga utveckling. Lund: Studentlitteratur.
Polya, George (2005). Problemlösning: En handbok i rationellt tänkande av G. Polya.
Stockholm: Prisma.
Problem (2015). Nationalencyklopedin.
http://www.ne.se/uppslagsverk/ordbok/svensk/problem. (Hämtad 2015-02-14).
42
Riesbeck, Eva (2008). På tal om Matematik: Matematiken, vardagen och den
matematiskdidaktiska diskursen. Linköping: Linköpings universitet.
Sakshaug, Lynae E. & Wohlhuter, Kay A. (2010). Journey toward teaching mathematics
through problem solving. I School science and mathematics, Vol. 110, No. 8, pp.
397-409. Malden: Blackwell publishing inc.
Skolverket (2006). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och
fritidshemmet: Lpo 94. Stockholm: Skolverket.
Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011.
Stockholm: Skolverket.
Säljö, Roger. (2014). Lärande i praktiken: Ett sociokulturellt perspektiv. Lund:
Studentlitteratur.
Taflin, Eva (2007). Matematikproblem i skolan: för att skapa tillfällen till lärande. Umeå:
Umeå universitet.
Vetenskapsrådet (u.å.). Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig
forskning.
Vygotsky, Lev S. (1978). Mind in society: The development of higher psychological
processes. United stated of America: Harvard university press.
Wyndhamn, Jan, Riesbeck, Eva & Schoultz, Jan (2000). Problemlösning som metafor och
praktik: studier av styrdokument och klassrumsverksamhet i matematik- och
teknikundervisningen. Linköping: Linköpings universitet.
43
Bilagor
Bilaga 1
Till rektorn på xxxxxxskolan i xxxxxxx.
Vi är två lärarstudenter på Malmö högskola. I juni tar vi vår grundlärarexamen med inriktning
F-3 och matematik som fördjupningsämne. Nu under vårterminen 2015 skriver vi vårt
examensarbete.
Syftet med undersökningen är att få en inblick i hur verksamma lärare i årskurserna 1-3
bedriver sin matematikundervisning med ett fokus på problemlösning.
Vår studie innefattar semistrukturerade intervjuer med lärare från ett flertal skolor och skulle
vara mycket tacksam om några lärare från er skola kan delta i vår undersökning. Intervjun
kommer att vara helt konfidentiell och skolan eller läraren kommer inte att kunna pekas ut.
Vi uppskattar om ni hör av er inom kort med kontaktinformation till de aktuella lärarna.
Med Vänlig Hälsning
Jannie Ekdahl
Grundlärarstudent
Emma Hallström
Grundlärarstudent
[email protected]
[email protected]
Adam Droppe
Handledare
[email protected]
44
Bilaga 2
Information till dig som ska delta i intervjun.
Vi är två lärarstudenter på Malmö högskola. I juni tar vi vår grundlärarexamen med inriktning
F-3 och matematik som fördjupningsämne. Nu under vårterminen 2015 skriver vi vårt
examensarbete.
Studiens syfte är att reda ut begreppet problemlösning inom matematik och även undersöka
hur problemlösning bedrivs av dig som är en verksam lärare i årskurserna 1-3.
Studien innefattar en intervju där vi är intresserade utav dina svar och erfarenheter gällande
problemlösning inom matematik. Intervjun är frivillig och du kan avbryta när du vill. Men ditt
deltagande är viktigt för oss och vi skulle därför vara mycket tacksamma om du vill sätta av
tid för detta som vi beräknar att ta cirka en timme.
Intervjun kommer att spelas in för att sedan transkriberas och efter bearbetning kommer
materialet att kasseras. Den är helt konfidentiell och skolan eller du som lärare kommer inte
kunna pekas ut i den färdiga studien.
Återkom gärna med datum och tider som passar dig.
Med vänlig hälsning
Jannie Ekdahl
Grundlärarstudent
Emma Hallström
Grundlärarstudent
[email protected]
[email protected]
Adam Droppe
Handledare
[email protected]
45
Bilaga 3
Intervjufrågor
1. Hur länge har du jobbat som lärare?
2. Vad har du för grundutbildning?
3. Vad är det första du tänker på om jag säger matematisk problemlösning?
4. Hur vill du förklara begreppet problemlösning inom matematik?
5. När börjar du arbeta med problemlösning, har du någon strategi för det? (årskurs,
behärskar något visst talområde, läsa?)
a. Hur kommer det sig?
6. Hur låter du eleverna arbeta med problemlösning och hur kommer det sig att du väljer
de sätten?
a. Hur introducerar du problemlösning för eleverna?
b. Hur väljer du vilka uppgifter ni ska arbeta med?
c. Hur länge arbetar ni med problemlösning per gång?
7. Vilken är din roll som lärare när eleverna arbetar med problemlösningsuppgifter?
a. Vilken typ av hjälp brukar dina elever behöva när de arbetar med en
problemlösningsuppgift?
b. Hur hjälper du dem då?
c. Hur låter du eleverna synliggöra sin problemlösning för din bedömning?
8. Arbetar dina elever med en matematikbok? Finns där problemlösningsuppgifter och
hur värderar du dem?
b. Du nämnde att ni arbetar med matematikbok, vilken bok är det? Hur värderar du
bokens problemlösningsuppgifter?
9. Om du tänker på en lektion där ni har arbetat med problemlösning. Hur såg
planeringen ut inför den lektionen?
10. Har din syn på matematisk problemlösning förändrats under din tid som lärare och i så
fall på vilket sätt?
a. Vad är det som har påverkat detta?
11. Vad tycker du att problemlösning gör för eleverna? (Intresse, kunskap, motivation,
språk.)
12. Hur utvärderar du ditt arbete inom problemlösning?
a. Skulle du vilja arbeta på ett annat sätt med problemlösning?
13. Har du något material som ni arbetat med som vi kan få titta på?
46