Sidor i boken
128-129, 130-134
Rationella uttryck. Förlängning och förkortning
Först några begrepp.
Aritmetik eller räknelära är den mest grundläggande formen av matematik. Ett aritmetiskt uttryck
innehåller tal, men inga variabler och de grundläggande räkneoperationerna är addition, subtraktion, multiplikation och division. Även andra räkneoperationer som procenträkning, potenser,
rotutdragning och logaritmer kan förekomma. Här några exempel på aritmetiska uttryck
1
3
+
2
5
1
3(2+5)
−
1
2(3+7)
1+1
1+2+3+4
1
2
3
5
3(4 + 5) − 2(4 − 1)
√
121
√1
9
+
32 + 43
√2
3
1
3
1
7
+
+
2
5
3
5
Alla dessa uttryck kan ersättas med ett enda tal — heltal, bråk eller approximativt decimaltal
11
15
2
≈ 0.733
1
≈ −0.00238
− 420
10
21
5
6
11
≈ 1.48803
≈ 0.833
73
77
78
≈ 0.987
Algebra (elementär algebra) eller, i vår mening, populärt uttryckt bokstavsräkning. Skillnaden från
aritmetiken är att man här ersätter alla eller en del av talen med variabler (med bokstäver). Här
några exempel på algebraiska uttryck
1
a
a+b
3a+a
4
+
1
b
√
a·b
a
b
c
d
(x + y)2
3x2 + 4x + 1
a + 2a + 3a
3(a + b) − 2a − b
3a2 + 3ab
a(a + b)
Algebraiska uttryck kan ibland förenklas och i undantagsfall leda fram till ett enda tal. Vi förenklar
det som går av uttrycken ovan:
a+b
b+a
ab
6a
a
a + 2b
3
√
a·b
x2 + 2xy + y2
ad
bc
3x2 + 4x + 1
En del av uttrycken kan inte förenklas, andra kan förändras men det är inte helt klart om förändringen innebär en förenkling. Resten är verkligen förenklingar. En stor del av vårt arbete fram till
KS:en går ut på att förenkla algebraiska uttryck.
Ekvationer, i vår mening, är två algebraiska uttryck som sätts lika med varandra. Ekvationer
innehåller alltid ett likhetstecken, (=). Att lösa en ekvation innebär i allmänhet att först förenkla de
algebraiska uttrycken på båda sidor om likhetstecknet.
Håkan Strömberg
1
KTH STH
En förstagradsekvation kan alltid förenklas till ax + b = 0 där a och b är konstanter. Till exempel
kan ekvationen
3x + 4 − 2x + 3 + x = 5 − x + 3x + 4 − 4x
förenklas till 2x − 1 = 0, med lösningen x = 21 .
En andragradsekvation kan alltid förenklas till ax2 + bx + c = 0, där a, b och c är konstanter till
exempel kan ekvationen
(x + 1)2 + 3(x2 − x − 1) = (2 + x)2
förenklas till 3x2 − 5x − 6 = 0.
Båda dessa ekvationer kräver förenkling av algebraiska uttryck.
Förenkling av algebraiska uttryck
2
3
5
3
2 5
+ ≡
+
≡
3 6
2
3a 6a
2a
Om man inte klarar av att beräkna uttrycket till vänster ovan klarar man förmodligen inte av att
förenkla uttrycket till höger. Det vill säga man måste behärska aritmetiken för att kunna ta sig an
algebran.
De mesta av aritmetiken har ni med er från tidigare skolår. Här några exempel som kan behöva
fräschas upp. Först addition av bråk
2
3
+
2·4
3·4
1
4
+
+
1·3
4·3
5
6
+
5·2
6·2
2·4+1·3+5·2
12
8+3+10
12
21
12
7·3
4·3
7
4
I första föreläsningen gick vi igenom hur man finner en gemensam nämnare, speciellt den minsta
MGN. Här är MGN= 12. När vi förlänger bråken med ett lämpligt tal får alla bråken samma nämnare
och vi kan addera de ’nya’ täljarna. Det är snyggt, om inte nödvändigt, att förkorta resultatet så
långt möjligt.
3
7
2
9
≡
3 9
27
· ≡
7 2
14
Detta är ett dubbelbråk. Bråket i täljaren multipliceras med det inverterade värdet av bråket i
nämnaren.
2 + 3 · 4 ≡ 14
Multiplikation (och division) går före addition (och subtraktion). Vill man att uttrycket ovan ska bli
20 måste man använda parenteser
(2 + 3) · 4 ≡ 20
När vi nu ska gå vidare med förenkling av algebraiska uttryck måste vi kunna förlänga, förkorta
och bryta ut.
Bryta ut och förkorta. Tre exempel
3x2 + 3x ≡ 3x(x + 1)
Håkan Strömberg
2
KTH STH
och
4x + 4
4(x + 1)
4
≡
=
3x + 3
3(x + 1)
3
och
3(a + b) + 2a(a + b)
(a + b)(3 + 2a)
3(a + b) + 2(a2 + ab)
≡
≡
≡ 3 + 2a
a+b
a+b
a+b
För att man ska kunna förkorta måste ett bråk vara inblandat. I första exemplet finns inget bråk.
Ett rationellt uttryck är division av två algebraiska uttryck
2a + 3
4b + 1
Ibland kan de förenklas
x2 + 2x + 1
x+1
2a + 3
4b + 1
x+1
a 2 − b2
a+b
a−b
Rationella uttryck kan förstås också adderas och subtraheras
2b
a
+
2b
a
Precis som i aritmetiken måste vi finna en gemensam nämnare. Den måste vara 2ab eftersom de
två nämnarna inte har någon gemensam faktor.
a·a
2b · 2b
a2 + 4b2
+
≡
2b · a
a · 2b
2ab
Om detta resultat kan anses vara en förenkling av det ursprungliga uttrycket är en smaksak, men vi
har i alla adderat de två uttrycken
Problem 1. Addera uttrycken
1
1
+
1 + a 1 + 2a
Lösning: Uttryckets gemensamma nämnare är (1 + a)(1 + 2a). Vi får
1(1 + a)
1(1 + 2a)
+
(1 + a)(1 + 2a) (1 + 2a)(1 + a)
(1 + 2a) + (1 + a)
(1 + 2a)(1 + a)
2 + 3a
(1 + 2a)(1 + a)
2 + 3a
1 + a + 2a + 2a2
2 + 3a
1 + 3a + 2a2
Om man ska låta nämnaren stanna vid (1+2a)(1+a) eller om man ska utveckla den till 1+3a+2a2
är en smaksak.
2 + 3a
Svar:
1 + 3a + 2a2
Håkan Strömberg
3
KTH STH
Problem 2. Addera uttrycken
a b a 2 b2
+ +
+
b a
b
a
Lösning: Med addition menas att termerna ska slås samman till ett rationellt uttryck. Vi ser direkt
att MGN= ab
a b a 2 b2
+ +
+
b a
b
a
a · a b · b a 2 · a b2 · b
+
+
+
b·a a·b
b·a
a·b
a · a + b · b + a 2 · a + b2 · b
ab
a 2 + b2 + a 3 + b3
ab
Svar:
a 2 + b2 + a 3 + b3
ab
Problem 3. Lös ekvationen
2 3
−
3 x =− 1
2 3
17
+
3 4
Lösning: En ekvation innehållande ett dubbelbråk, men x bara på ett ställe. Starta med att förenkla
vänstra ledet. Avsluta den förenklingen med att ersätta divisionen av bråken i täljare och nämnare
med multiplikation av täljaren och nämnaren inverterad. Sedan har vi nått till en ekvation, som är
enkel att lösa.
3
2
1
3 − x
= −
2
3
17
+
3
4
2x
3x
4·2
4·3
− 3·3
3x
+ 3·3
3·4
= −
1
17
2x−9
3x
8+9
12
= −
1
17
1
2x − 9 12
·
= −
3x
17
17
1
2x − 9 12
= 51x −
·
51x
3x
17
17
51x(2x − 9)12
3x · 17
12(2x − 9)
24x − 108)
27x
x
= −
=
=
=
=
51x
17
−3x
−3x
108
4
Svar: x = 4
Håkan Strömberg
4
KTH STH
Problem 4. Lös ekvationen
1
= 12
1 2 1
− +
2 x 4
Lösning:
1
1
2
2x·1
2x·2
−
=
12
=
12
1
1
2x−8+x
4x
=
12
4x
3x − 8
=
12
4x
=
12(3x − 8)
4x
=
36x − 96
32x
=
96
x
=
3
−
1
2
x
4·2
4·x
+
+
1
4
x·1
x·4
Problem 5. Förenkla så långt möjligt
2 2
1
1
− x−
x+
4x
4x
Lösning: Ett sätt att lösa detta problem är med hjälp av konjugatregeln A2 − B2 = (A − B)(A + B).
Detta ger
2 2 1
1
1
1
2
1
1
x+
− x−
·
x+
+ x−
≡
− x−
≡
x+
· 2x ≡ 1
4x
4x
4x
4x
4x
4x
4x
Självklart kan problemet lösas även ’den långa vägen’.
Problem 6. Förenkla
y
x
+
xy − y2 xy − x2
Lösning:
y
x
y
x
y
x2
y2
x
+
≡
+
≡
−
≡
−
≡
xy − y2 xy − x2
y(x − y) x(y − x)
y(x − y) x(x − y)
xy(x − y) xy(x − y)
x2 − y2
(x − y)(x + y)
x+y
≡
≡
xy(x − y)
xy(x − y)
xy
Håkan Strömberg
5
KTH STH
Läxa 1. Beräkna
1
3
1
3
+
−
1
4
1
4
Läxa 2. Förenkla så långt möjligt
(2a − 3b)2 + 3(b + 2a)2 − (4a − 2b)(4a + 2b)
Läxa 3. Vilket är störst: summan, differensen, produkten eller kvoten av
3
7
och −
5
9
Läxa 4. Lös ekvationen
2
3
1
+
=
x 2x
8
Läxa 5. Lös ekvationen
√
x + 55 = x − 1
Läxa Lösning 1. Beräkna
1
3
1
3
+
−
1
4
1
4
=
4·1
4·3
4·1
4·3
+
−
3·1
3·4
3·1
3·4
=
4+3
12
4−3
12
=
7
12
1
12
=
7 12
·
=7
12 1
Kommentar: Ett lite mer komplicerat dubbelbråk. Vi hanterar inledningsvis täljare och nämnare
för sig.
Läxa Lösning 2.
(2a − 3b)2 + 3(b + 2a)2 − (4a − 2b)(4a + 2b)
(4a2 − 12ab + 9b2 ) + 3(b2 + 4ab + 4a2 ) − (16a2 + 8ab − 8ab − 4b2 )
4a2 − 12ab + 9b2 + 3b2 + 12ab + 12a2 − 16a2 − 8ab + 8ab + 4b2
16b2
Svar: 16b2
Läxa Lösning 3.
Summan:
Produkten:
Diffrensen:
Kvoten:
3
7
≈ −0.177778
+ −
5
9
7
3
· −
≈ −0.466667
5
9
3
7
≈ 1.37778
− −
5
9
3
5
−
≈ −0.771429
7
9
Svar: Differensen är störst
Håkan Strömberg
6
KTH STH
Läxa Lösning 4.
3
2
+
=
x 2x
3
2
=
+
8x
x 2x
1
8
1
8x
8
8x · 2 8x · 3
+
x
2x
=
8x · 1
8
16 + 12
=
x
x
=
28
Svar: x = 28
Läxa Lösning 5.
√
x + 55
2
√
x + 55
x + 55
x2 − 3x − 54
=
=
=
=
x
=
x−1
2
(x − 1)
x2 − 2x + 1
0 q
3
2
±
9
q4
+
4·54
4
x = 23 ± 225
4
x = 23 ± 15
2
x1 = 9
(x2 = −6)
√
Vi
√ ser att x = −6 är en falsk rot eftersom −6 + 55 6= −7. Däremot är x = 9 en äkta rot eftersom
9 + 55 ≡ 9 − 1
Svar: x = 9
Problem 7.
a 2 − b2
b2 − c2
c−a
1
+
+ 2
−
2
a+b
c −a
b−c
c+a
Lösning:
b2 − c2
c−a
1
a 2 − b2
+
+ 2
−
≡
a+b
c − a2
b−c
c+a
1
(a + b)(a − b)
c−a
(b − c)(b + c)
1
+
+
−
≡
a+b
(c − a)(c + a)
b−c
c+a
2
a−b+
3
a−b+b+c≡
4
a+c
1
1
+b+c−
≡
c+a
c+a
Här gäller det att tänka en liten stund innan man sätter igång att hitta en gemensam nämnare.
Genom att använda konjugatregeln inte mindre än tre gånger kan vi skriva om uttrycket som i (1).
Håkan Strömberg
7
KTH STH
Efter möjliga förkortningar får vi ett betydligt enklare uttryck (2). De två termerna med nämnare tar
ut varandra och kvar blir Svar: a + c
Problem 8.
2ab
2a − b 3a2 + 5ab + 2b2
−
+
2
−b
a−b
(a + b)2
a2
Lösning:
2ab
2a − b 3a2 + 5ab + 2b2
+
−
≡
2
−b
a−b
(a + b)2
a2
1
2a − b 3a2 + 5ab + 2b2
2ab
−
+
≡
(a − b)(a + b)
a−b
(a + b)(a + b)
2
(2a − b)(a + b)2
(3a2 + 5ab + 2b2 )(a − b)
2ab(a + b)
−
+
≡
(a − b)(a + b)2
(a − b)(a + b)2
(a − b)(a + b)2
3
(2a2 b + 2ab2 ) − (2a − b)(a2 + b2 + 2ab) + (3a2 + 5ab + 2b2 )(a − b)
≡
(a − b)(a + b)2
4
2a2 b + 2ab2 − (2a3 + 2ab2 + 4a2 b − a2 b − b3 − 2ab2 ) + (3a2 + 5ab + 2b2 )(a − b)
≡
(a − b)(a + b)2
5
2a2 b + 2ab2 − 2a3 − 2ab2 − 4a2 b + a2 b + b3 + 2ab2 + 3a3 + 5a2 b + 2ab2 − 3a2 b − 5ab2 − 2b3
≡
(a − b)(a + b)2
6
−2a3 + 3a3 + 2a2 b − 4a2 b + a2 b + 5a2 b − 3a2 b + 2ab2 − 2ab2 + 2ab2 + 2ab2 − 5ab2 + b3 − 2b3
≡
(a − b)(a + b)2
7
a3 + a2 b − ab2 − b3
≡
(a − b)(a + b)2
8
a3 + a2 b − ab2 − b3
≡
a3 + a2 b − ab2 − b3
9
1
En riktigt jobbig uppgift. Till att börja med ser vi att minsta gemensamma nämnaren är
(a + b)2 (a − b) (1). Med utgångspunkt från det förlänger vi de tre bråken med lämpliga uttryck
(2) och kan slå samman hela uttrycket till ett bråk (3). Vi står nu inför en mängd beräkningar vars
framgång präglas av noggrannhet och en administrativ känsla. Håller vi tungan rätt i mun kommer
vi så småningom hit (7). Om vi inte visste att samtliga svar bland dessa 30 uppgifter var betydligt
mindre komplicerade kanske vi skulle stanna här. Vår enda chans är nu att utveckla nämnaren (8)
och se det gav frukt! Svar: 1
Problem 9.
Uppgift 15
9a2
Håkan Strömberg
3a
2
3(a − 1)
1
−
+
−
2
− 6a + 1 3a + 1
9a − 1
(3a − 1)2
8
KTH STH
Lösning:
9a2
2
3(a − 1)
1
3a
≡
−
+
−
2
− 6a + 1 3a + 1
9a − 1
(3a − 1)2
1
3a
2
3(a − 1)
1
−
≡
+
−
2
(3a − 1)
3a + 1 (3a − 1)(3a + 1) (3a − 1)2
2
3a(3a + 1) − 2(3a − 1)2 + 3(a − 1)(3a − 1) − (3a + 1)
≡
(3a + 1)(3a − 1)2
3
(3a + 9a2 ) − (2 − 12a + 18a2 ) + (3 − 12a + 9a2 ) − (3a + 1)
≡
(3a + 1)(3a − 1)2
4
3a + 9a2 − 2 + 12a − 18a2 + 3 − 12a + 9a2 − 3a − 1
≡
(3a + 1)(3a − 1)2
5
9a2 − 18a2 + 9a2 + 3a + 12a − 12a − 3a − 2 + 3 − 1
≡
(3a + 1)(3a − 1)2
6
0
≡
(3a + 1)(3a − 1)2
7
0
Åter en uppgift som kräver precision. För att finna en lämplig gemensam nämnare behöver man se
att 9a2 − 6a + 1 ≡ (3a − 1)2 och att 9a2 − 1 = (3a − 1)(3a + 1) (1). När väl detta är genomskådat får
vi den minsta gemensamma nämnaren (3a + 1)(3a − 1)2 som leder till en del förlängningar innan
vi kan skriva hela uttrycket på gemensamt bråkstreck (2). Med tålamod och noggrannhet får vi först
(3), sedan (4) och (5), för att till slut upptäcka att hela täljaren blir 0. Svar: 0.
Figur 1:
Håkan Strömberg
9
KTH STH
Problem 10.
b a
+ +2
a b
(a + b)2
2ab
Lösning:
b a
+ +2
a b
≡
(a + b)2
2ab
1
b2 + a2 + 2ab
ab
≡
(a + b)2
2ab
2
2ab
b2 + a2 + 2ab
≡
·
ab
(a + b)2
3
(a + b)2
2ab
≡
·
ab
(a + b)2
4
2
Division av två bråk, som vi också kallar dubbelbråk. Vi inleder med att skriva de tre termerna i
täljaren på gemensamt bråkstreck (1). Vi går över från division till multiplikation på ett numera känt
sätt (2). Vi upptäcker att b2 + a2 + 2ab ≡ (a + b)2 i (3) och avslutar med att förkorta. Svar: 2
Figur 2:
Håkan Strömberg
10
KTH STH