Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2015-10-21 Sal (2) TER2 TERE Tid 8-13 TFYA13 TEN1 Elektromagnetism Skriftlig tentamen IFM Kurskod Provkod Kursnamn/benämning Provnamn/benämning Institution Antal uppgifter som ingår i tentamen Jour/Kursansvarig Ange vem som besöker salen Telefon under skrivtiden Besöker salen ca klockan 5 Peter Münger 013 - 28 5797 9:30 och 11:30 Lena Wide Kursadministratör/kontaktperson 013 - 28 1229 (namn + tfnr + mailaddress) [email protected] Physics Handbook; Carl Nordling, Jonny Österman Räknedosa (tömd på program och annan information) Tillåtna hjälpmedel Formelblad (utgörs av de sista bladen på tentan) Matematiska tabeller, tex Beta, behövs dock ej Betyg: 8-11 poäng 3, 12-15 poäng 4, 16-20 poäng 5 Övrigt Elektromagnetism sommarkurs (TFYA61): Bonuspoäng steg 1 ger 1 poäng på denna tentamen Bonuspoäng steg 2 ger 2 poäng på denna tentamen Lösningar anslås på anslagstavlan utanför kursexpeditionen i fysikhuset och på kurshemsidan: http://www.ifm.liu.se/courses/TFYA13 Antal exemplar i påsen 1. Antag att man vill mäta vattenflödet i ett ledningsrör av plast. Hur går du till väga om du har tillgång till en hästskoformad permanentmagnet med ett luftgap som precis passar utanpå plaströret? Förutom permanentmagneten har du tillgång till en högohmig voltmeter. Dessutom råkar det sitta två kopparnitar mitt emot varandra så som visas i figuren nedan. (Såväl plast som koppar är omagnetiskt. Naturligt vatten innehåller alltid joner, lika många positiva som negativa.) plaströr kopparnit a (a) Redogör för hur du går tillväga och rita en tydlig figur. Härled ett analytiskt uttryck för vattenflödet i röret. Med vattenflöde avses den volym vatten som per tidsenhet passerar ett tvärsnitt av röret. Plastmaterialet i röret är tunt och även nitarnas tjocklek kan försummas. Beteckna rörets radie a och den högohmiga voltmeterns utslag U0 . Antag att permanentmagneten ger en konstant homogen magnetisk flödestäthet B över hela röret. Magnetfältets och vattenflödets riktningar samt spänningens polaritet ska tydligt framgå ur figuren. (2p) (b) Ge ett numeriskt värde på vattenflödet om permanentmagnetens magnetiska egenskaper ges av tabellen nedan, dess medelväglängd är ` = 4,00 dm, rörets radie är a = 1,00 cm och voltmetern visar U0 = 2,00 mV. Antag att tvärsnittsarean är densamma i permanentmagneten som den är i luftgapet där röret är placerat. 0,0 0,3 0,4 0,5 B (T) H (A/m) -5000 -4000 -3000 -2000 0,6 0 (2p) 2. En mycket lång rak tunn platt ledare är placerad parallellt med en mycket lång rak trådformig ledare enligt tvärsnittet i figuren nedan. I1 a I2 b Bredden på den tunna platta ledaren är a. Avståndet från den trådformade ledaren till den platta ledarens närmaste långa kant är b och avståndet till den andra långa kanten är a + b. Antag att strömmen i den platta ledare är I1 och att den är I2 i den trådformade ledaren samt att strömmarna är motriktade. Strömmen I1 antas vara jämtfördelad i den platta ledaren. Bestäm till storlek och riktning kraften per längdsenhet mellan ledarna. Av lösningen skall det tydligt framgå varför kraften får den framräknade riktningen. (4p) 3. En kondensators belägg utgörs av två koaxiella metallcylindrar med längden L. Den inre har ytterradie a och den yttre har innerradie b L. Mellanrummet är helt fyllt med en elektret vars polarisation ges av P = ε0 χE + P0 R̂ i cylinderkoordinater där χ och P0 är konstanter. Elektretens ledningsförmåga är σ = 0, det vill säga den är en perfekt isolator. Beräkna kondensatorns differentiella kapacitans. Ledning: differentiell kapacitans definieras som Cdiff ≡ dQ vilket kan jämföras med dU Q den vanliga definitionen av kapacitans C ≡ U . (4p) 4. En lång homogen cylindrisk ledare med radien a beskrivs av relativa permeabiliteten µr , ledningsförmågan σ och relativa dielektricitetskonstanten εr . Cylindern för en harmoniskt tidsvarierande ström i(t) = I0 cos(ω t) i cylinderaxelns riktningen. Låt z-axeln sammanfalla med cylinderaxeln och gör den komplexa ansatsen för strömtätheten, J = Jz ẑ med Jz = <e{Jc (R) · ejωt }, för att studera skinn-effekten. Härled en differentialekvation för den komplexa strömtätheten Jc dvs härled ett samband 2 c och ∂∂RJ2c med avsende på radien R. Det är mellan Jc och dess partiella derivator ∂J ∂R tillåtet att anta att ω ε0 εr /σ 1 för att göra en lämplig approximation. (4p) i(t) a 5. Figuren illustrerar en volym för vilken vi skall beräkna resistansen mm. Volymen definieras i sfäriska koordinater av a ≤ r ≤ b, θ0 ≤ θ ≤ π − θ0 , 0 ≤ φ ≤ 2π. Värdet på konstanten θ0 ligger strikt mellan 0 och π/2. Materialet har en konstant ledningsförmåga σ. De skuggade ytorna är metalliserade, dessa definieras av att φ är godtycklig, radien ligger mellan a och b och att θ är fixerad till θ0 , i den övre ytan, och π − θ0 i den nedre. r̂ σ θ0 a J θ r θ̂ b (a) Vi förutsätter att strömtätheten J kan skrivas J = J(r,θ)θ̂. Vidare förutsätts stationärt tillstånd dvs ∇ · J = 0. Hur beror J av θ? Motivera tydligt! (2p) (b) Beräkna resistansen mellan de netalliserade (skuggade) ytorna. För att slututtrycket skall bli kompakt specialiserar vi till θ0 = π/3. (2p) Ledning: Någon integraler kan vara användbar. av nedanstående R dx R dx R dx x 1 cos x 1 x = ln tan , = − cot x, = − + ln tan . 2 3 2 sin x 2 2 sin x 2 2 sin x sin x Lycka till! FORMELBLAD TILL Y-LINJENS KURS I ELEKTROMAGNETISM. Maxwells ekvationer: ∇·D=ρ, ∇×E=− ∇ · P = −ρp , D = ε0 E + P , ∂B , ∂t P · n̂ = ρsp , ∇ × M = Jm , B = µ0 H + M , ∇·B=0, ∇×H=J+ Poyntingvektor: P = E × H M × n̂ = Jsm Potential och E-fält från elektriskt dipolmoment. V = p cos θ , 4πε0 r2 E= p 2 cos θ r̂ + sin θ θ̂ 4πε0 r3 Vektorpotential och B-fält från magnetiskt dipolmoment. A= µ0 m × r̂ , 4πr2 B= µ0 m 2 cos θ r̂ + sin θ θ̂ 4πr3 Kraftmoment: T = r × F , T=m×B ! ∂B dΦ − Elektromotorisk spänning: ε = v × B · dl + · dS = − ∂t dt C S I ∂D ∂t Z Några vanliga integraler: Z dx = ln(x + (x2 + a2 )1/2 ) 2 (x + a2 )1/2 ; Z (x2 dx x = 2 2 2 3/2 +a ) a (x + a2 )1/2 Z Z x2 dx a2 dx x x 2 1 2 1/2 2 2 1/2 (x + a ) − ln(x + (x + a ) ) ; = = arctan( ) 2 2 1/2 2 2 (x + a ) 2 2 x +a a a Z x2 dx −x = 2 + ln(x + (x2 + a2 )1/2 ) 2 2 3/2 2 1/2 (x + a ) (x + a ) Z x3 dx x2 2 2 1/2 = 2 (x + a ) − (x2 + a2 )3/2 (x2 + a2 )1/2 ; Z x2 dx x = x − a arctan( ) 2 2 x +a a Några användbara vektoridentiteter (V och f är skalära funktioner): A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B) A × (B × C) = B (A · C) − C (A · B) ∇(f V ) = f ∇V + V ∇f ∇ · (f A) = f ∇ · A + A · ∇f ∇ × (f A) = f ∇ × A + ∇f × A ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B) ∇ · (∇V ) = ∇2 V ∇ × (∇V ) = 0 ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A ∇ · (∇ × A) = 0 Gradient, divergens, rotation och Laplace-operator i olika koordinatsystem (V är en skalär funktion). Cartesiska koordinater (x,y,z): ∇V = ∂V ∂V ∂V x̂ + ŷ + ẑ ∂x ∂y ∂z ∇·A= ∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂x ∂y ∂z " # " # " # ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax ∇×A= − x̂ + − ŷ + − ẑ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ∇2 V = ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 Cylindriska koordinater (R,φ,z): ∇V = ∂V ∂V 1 ∂V φ̂ + ẑ R̂ + ∂R R ∂φ ∂z ∇·A= 1 ∂ 1 ∂Aφ ∂Az (R AR ) + + R ∂R R ∂φ ∂z " # " # 1 ∂Az ∂Aφ ∂AR ∂Az 1 ∇×A= − R̂ + − φ̂ + R ∂φ ∂z ∂z ∂R R ∂V 1 ∂ R ∇V = R ∂R ∂R ! 2 + " # ∂ ∂AR (R Aφ ) − ẑ ∂R ∂φ 1 ∂ 2V ∂ 2V + R2 ∂φ2 ∂z 2 Sfäriska koordinater (r,θ,φ): ∇V = 1 ∂V 1 ∂V ∂V r̂ + θ̂ + φ̂ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ ∇·A= 1 ∂ 1 ∂Aφ 1 ∂ 2 r Ar + (sin θ Aθ ) + 2 r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ 1 ∇×A = r sin θ 1 r " " " # ∂ 1 ∂Ar − (r Aφ ) θ̂ + sin θ ∂φ ∂r # ∂Ar ∂ (r Aθ ) − φ̂ ∂r ∂θ 1 ∂ ∂V ∇V = 2 r2 r ∂r ∂r 2 # ∂Aθ 1 ∂ (sin θ Aφ ) − r̂ + ∂θ ∂φ r ! 1 ∂ ∂V + 2 sin θ r sin θ ∂θ ∂θ ! + 1 ∂ 2V r2 sin2 θ ∂φ2
© Copyright 2024