Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings Universitet Datum för tentamen Sal Tid Kurskod Provkod Kursnamn/benämning Institution Antal uppgifter som ingår i tentamen Antal sidor på tentamen (inkl. försättsbladet) Jour/Kursansvarig Telefon under skrivtid Besöker salen ca kl. 2015-06-03 Kursadministratör Lena Wide 013 - 28 1229 [email protected] (namn + tfnnr + mailadress) Tillåtna hjälpmedel TER2 G32 G34 GG32 8 – 13 TFYA13 TEN1 Elektromagnetism IFM 5 6 Peter Münger 013 - 28 5797 9:30 och 11:30 Physics Handbook; Carl Nordling, Jonny Österman Räknedosa (tömd på program och annan information) Formelblad (utgörs av de sista bladen på tentan) Matematiska tabeller, tex Beta, behövs dock ej Betyg: 8-11 poäng 3, 12-15 poäng 4, 16-20 poäng 5 Övrigt Elektromagnetism sommarkurs (TFYA61): Bonuspoäng steg 1 ger 1 poäng på denna tentamen Bonuspoäng steg 2 ger 2 poäng på denna tentamen Lösningar anslås på anslagstavlan utanför kursexpeditionen i fysikhuset och på kurshemsidan: http://www.ifm.liu.se/courses/TFYA13 Antal exemplar i påsen 1. En liten metallkula med radie a = 1,0 mm skall uppladdas till potentialen V0 relativt en oändligt avlägsen punkt. För att V0 skall kunna anta mycket höga värden omges metallkulan av ett koncentriskt lager av vanligt glas ut till en radie b. Glasets ledningsförmåga är noll, relativa dielektricitetskonstanten är εr = 7,0 och dess genomslagshållfasthet är Emax,g = 15 kV/mm. För luften antar vi att genomslagshållfastheten är Emax,` = 3,0 kV/mm. (a) Hur tjockt glaslager lönar det sig att lägga på? Svara genom att ange ett numeriskt värde på b. (2p) (b) Beräkna det största möjliga värdet på potentialen V0 . (2p) 2. En oändlig rak ledare ligger längs x-axeln och för strömmen I i positiv x̂-riktning, se figur nedan. En rektangulär trådslinga (ett varv) är belägen i planet z = c. Rektangeln har utsträckning a i x̂-riktningen och b i ŷ-riktningen. Rektangelns hörn ligger i punkterna (0,0,c), (a,0,c), (a,b,c) och (0,b,c). Sök det magnetiska flöde som strömmen orsakar i trådslingan. (4p) (0,b,c) (0,0,c) ẑ (a,b,c) (a,0,c) ŷ x̂ I 3. Ett Hall element med dimensioner enligt figuren nedan har ledningsförmågan σ och n laddningsbärare per volymselement var och en med laddningen q. Proben placeras i ett okänt homogent magnetfält B = B ŷ längs y-axeln. En extern potential Vext appliceras mellan två av elementets sidor så att ett homogent elektriskt fält E skapas i positiv ẑriktning. Mellan vilka två sidor av Hall proben kan vi observera Hall spänningen VHall vid jämvikt? Härled ett uttryck för B uttryckt i VHall , Vext , σ, n, q och Hall probens dimensioner som ges i figuren. (4p) x̂ ` h ẑ w ŷ B 4. Vi undersöker hur stor elektromotoriskspänning εems som induceras mellan rotationsaxeln och ett propellerblads spets då en propeller roterar i en konstant magnetisk flödestäthet B. Propellern vrider sig med konstant vinkelhastighet ω i det plan som har ẑ som normalriktning dvs φ = ωt där t anger tid, se figur nedan. Magnetiska flödestätheten är B = Bx x̂ + Bz ẑ och avståndet mellan axeln och bladets spets är a. (a) Beräkna ett uttryck för den elektromotoriskaspänningen εems . Antag att propellerns centrum är fix i rummet. Av lösningen skall det tydligt framgå i vilken riktning den elektromotoriskaspänningen ”vill” driva ström. (3p) (b) Med hjälp av a-uppgiften kan du ge ett numeriskt värde på beloppet av εems då en helikopter hovrar över geografiska nordpolen (ungefär densamma som magnetiska sydpolen). Jordens magnetiska moment är m = 0,824 · 1023 Am2 , jordradien är r0 = 640 mil, a = 5 m och propellern gör 5 varv per sekund. (1p) ẑ B a ŷ x̂ φ 5. Området mellan två koncentriska sfäriska skal av metall med radie a respektive b (a < b) är fyllt med ett medium med relativ dielektricitetskonstant εr och ledningsförmåga σ. Vid tiden t = 0 appliceras plötsligt en laddning Q0 sfäriskt symmetriskt på den inre sfären. (a) Beräkna den totala strömmen i(t) mellan sfärerna som funktion av tiden. (2p) (b) Beräkna den totala Joule-värme W som produceras av denna ström. (Totalt från t = 0 till t → ∞ i hela volymen mellan de sfäriska skalen.) (2p) Lycka till! FORMELBLAD TILL Y-LINJENS KURS I ELEKTROMAGNETISM. Maxwells ekvationer: ∇·D=ρ, ∇×E=− ∇ · P = −ρp , D = ε0 E + P , ∂B , ∂t P · n̂ = ρsp , ∇ × M = Jm , B = µ0 H + M , ∇·B=0, ∇×H=J+ Poyntingvektor: P = E × H M × n̂ = Jsm Potential och E-fält från elektriskt dipolmoment. V = p cos θ , 4πε0 r2 E= p 2 cos θ r̂ + sin θ θ̂ 4πε0 r3 Vektorpotential och B-fält från magnetiskt dipolmoment. A= µ0 m × r̂ , 4πr2 B= µ0 m 2 cos θ r̂ + sin θ θ̂ 4πr3 Kraftmoment: T = r × F , T=m×B ! ∂B dΦ Elektromotorisk spänning: ε = v × B · dl + − · dS = − ∂t dt C S I ∂D ∂t Z Några vanliga integraler: Z dx = ln(x + (x2 + a2 )1/2 ) 2 (x + a2 )1/2 ; Z (x2 dx x = 2 2 2 3/2 +a ) a (x + a2 )1/2 Z Z a2 dx x x2 dx x 2 1 2 1/2 2 2 1/2 (x + a ) − ln(x + (x + a ) ) ; = = arctan( ) 2 2 1/2 2 2 (x + a ) 2 2 x +a a a Z −x x2 dx = + ln(x + (x2 + a2 )1/2 ) (x2 + a2 )3/2 (x2 + a2 )1/2 Z x3 dx x2 2 2 1/2 = 2 (x + a ) − (x2 + a2 )3/2 (x2 + a2 )1/2 ; Z x2 dx x ) = x − a arctan( x 2 + a2 a Några användbara vektoridentiteter (V och f är skalära funktioner): A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B) A × (B × C) = B (A · C) − C (A · B) ∇(f V ) = f ∇V + V ∇f ∇ · (f A) = f ∇ · A + A · ∇f ∇ × (f A) = f ∇ × A + ∇f × A ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B) ∇ · (∇V ) = ∇2 V ∇ × (∇V ) = 0 ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A ∇ · (∇ × A) = 0 Gradient, divergens, rotation och Laplace-operator i olika koordinatsystem (V är en skalär funktion). Cartesiska koordinater (x,y,z): ∇V = ∂V ∂V ∂V x̂ + ŷ + ẑ ∂x ∂y ∂z ∇·A= ∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂x ∂y ∂z " # " # " # ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax ∇×A= − x̂ + − ŷ + − ẑ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ∇2 V = ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 Cylindriska koordinater (R,φ,z): ∇V = ∂V ∂V 1 ∂V φ̂ + ẑ R̂ + ∂R R ∂φ ∂z ∇·A= 1 ∂ 1 ∂Aφ ∂Az (R AR ) + + R ∂R R ∂φ ∂z # " # " 1 1 ∂Az ∂Aφ ∂AR ∂Az − − φ̂ + ∇×A= R̂ + R ∂φ ∂z ∂z ∂R R 1 ∂ ∂V ∇V = R R ∂R ∂R ! 2 + " # ∂ ∂AR (R Aφ ) − ẑ ∂R ∂φ 1 ∂ 2V ∂ 2V + R2 ∂φ2 ∂z 2 Sfäriska koordinater (r,θ,φ): ∇V = ∂V 1 ∂V 1 ∂V r̂ + θ̂ + φ̂ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ ∇·A= 1 ∂ 2 1 ∂Aφ 1 ∂ (sin θ Aθ ) + r Ar + 2 r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ 1 ∇×A = r sin θ 1 r " " " # 1 ∂Ar ∂ − (r Aφ ) θ̂ + sin θ ∂φ ∂r # ∂ ∂Ar φ̂ (r Aθ ) − ∂r ∂θ 1 ∂ ∂V ∇V = 2 r2 r ∂r ∂r 2 # ∂ ∂Aθ 1 (sin θ Aφ ) − r̂ + ∂θ ∂φ r ! 1 ∂ ∂V + 2 sin θ r sin θ ∂θ ∂θ ! + 1 ∂ 2V r2 sin2 θ ∂φ2
© Copyright 2024