1. Bestäm det komplexa tal z som löser ekvationen 2 + i 2
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA121 Matematisk grundkurs TEN2 Datum: 2015-03-25 Skrivtid: 3 timmar Hjälpmedel: Skrivdon Denna tentamen TEN2 består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 3 poäng. För betyget godkänd krävs en erhållen poängsumma om minst 13 poäng. Om den erhållna poängen benämns S2 , och den vid tentamen TEN1 erhållna S1 , bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt S1 , S2 ≥ 13 och S1 + 2S2 ≤ 60 → godkänd (g) S1 + 2S2 ≥ 61 → väl godkänd (vg) Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. 1. Bestäm det komplexa tal z som löser ekvationen 2+i = 1 + i, 2 − z̄ där z̄ är komplexkonjugatet till z. 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna γ1 : y = 2 − x och γ2 : y = 4 − x2 . Skissa och bestäm arean av området Ω. q 3. Bestäm sin(2x + π6 ) då cos(x) = 4. Låt funktionen f vara definierad enligt f (x) = F , med F (x) = 1 3 och sin(x) = q 2 3 . 2 . Bestäm talen a och b så att (x + 3)2 ax + b , är den primitiva funktion till f vilken satisfierar F (−2) = 0. x+3 5. Skissa minst en period av funktionskurvan y + 1 = sin(3x/5). Tydliggör i skissen det som karakteriserar kurvan. 6. Gör en geometrisk tolkning av ekvationen 4(x + x2 + y) = 5, och skissa resultatet. 7. cos( π3 ) + i sin( π3 ) Skriv det komplexa talet på polär form. cos( π6 ) + i sin( π6 ) 8. Bestäm en ekvation för den räta linje λ som går genom punkten P : (1, 0), och som √ är parallell med tangenten τ till kurvan γ : y = 2/ x i punkten med x-koordinaten 4. Gör även en skiss av kurvan tillsammans med tangenten och den räta linjen. 9. Lös ekvationen cos(3x − π4 ) = − √12 . MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA121 Matematisk grundkurs TEN2 BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 2014/15 Tentamen TEN2 – 2015-03-25 POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter 1. z 12 12 i 1p: Korrekt löst ut z som 2 (2 i) (1 i) 1p: Korrekt rett ut divisionen med ett komplext tal 1p: Korrekt tolkat komplexkonjugatet z som x iy utifrån att z x iy , där x, y R 2. 9 a.e. 2 1p: Korrekt bestämt skärningen av de två inneslutande kurvorna, och korrekt skissat det inneslutna området 1p: Korrekt formulerat en integral för den sökta arean, samt korrekt bestämt en primitiv till integranden 1p: Korrekt gjort insättningar av gränser, och korrekt utfört en avslutande summering 3. 4. 1p: Korrekt utvecklat sin(2 x 6 ) som sin(2 x) cos( 6 ) cos(2 x) sin( 6 ) 1p: Korrekt utvecklat sin(2 x) och cos(2 x) uttryckta i sin(x) och cos(x) 1p: Angett korrekta värden på cos( 6 ) och sin( 6 ) , samt korrekt evaluerat värdet på hela uttrycket för sin(2 x 6 ) 2 1 3 6 a 2 b 4 x2 dvs F ( x) 2 x3 Scenario 1 1p: Korrekt deriverat F 1p: Korrekt från identiteten f F ' identifierat att 3a b 2 , samt från från villkoret F (2) 0 funnit att 2a b 0 1p: Korrekt bestämt a och b från det uppkomna ekvationssystemet Scenario 2 1p: Korrekt primitivtagit f (x) till F ( x) 2 ( x 3) C 1p: Korrekt från villkoret F (2) 0 funnit att C 2 1p: Korrekt bestämt a och b 5. 1p: Korrekt illustrerat fasen (sin-kurveform) 1p: Korrekt illustrerat ”medelnivån” ( 1) och amplituden ( 1) 1p: Korrekt illustrerat vinkelfrekvensen ( 3 5) , dvs korrekt illustrerat perioden ( 10 3) 1 (2) MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson Tentamen TEN2 – 2015-03-25 6. TENTAMEN I MATEMATIK MMA121 Matematisk grundkurs TEN2 BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 2014/15 POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter Scenario 1 y 32 ( x 12 ) 2 , dvs en med y-axeln parallell och upp-och-nedåtvänd parabel 1p: Korrekt omskrivit ekvationen till en tolkningsbar form 1p: Korrekt tolkat att det är en med y-axeln parallell och uppmed vertex i punkten V : ( 12 , 32 ) och-nedåtvänd parabel med vertex i punkten i V : ( 12 , 32 ) 1p: Korrekt skissat parabeln Scenario 2 1p: Korrekt tolkat ekvationen som en med y-axeln parallell parabel, samt korrekt funnit x-koordinaten för vertex 1p: Korrekt tolkat att parabeln är upp-och-nedåtvänd, samt funnit y-koordinaten för vertex 1p: Korrekt skissat parabeln 7. cos( 6 ) i sin( 6 ) e i 6 1p: Korrekt bestämt absolutbeloppet av det komplexa talet 1p: Korrekt bestämt argumentet för det komplexa talet 1p: Korrekt, på polär form, skrivit det komplexa talet 8. : y 18 ( x 1) x 8 y 1 1p: Korrekt bestämt riktningskoefficienten för tangenten 1p: Korrekt bestämt en ekvation för linjen 1p: Korrekt skissat kurvan tillsammans med tangenten och den räta linjen 9. ( x 3 n 23 ) ( x 2 n 23 ) där n Z 1p: Korrekt funnit att 12 kan uttryckas som t.ex. cos( 34 ) 1p: Korrekt funnit alla rötter av typen x 3 n 23 1p: Korrekt funnit alla rötter av typen x 2 n 23 Den som till lösningar endast har angivit ”representativa grundvinklar”, t.ex. ( x 3 ) ( x 2 ) , kan som mest få totalt 2p. 2 (2)
© Copyright 2024