1. No category

Øvinger uke 44 løsninger
Oppgave 1
Vis at disse grenseverdiene ikke eksisterer ved å velge ulike veier mot origo:
a) En strategi er å skifte til polarkoordinater:
limHx,yL®H0,0L
x-2 y
x+2 y
= limr®0
rHcos Θ - 2 sin ΘL
rHcos Θ+ 2 sin ΘL
cos Θ - 2 sin Θ
cos Θ+ 2 sin Θ
= limr®0
=
cos Θ - 2 sin Θ
cos Θ+ 2 sin Θ
Da grenserverdien avhenger av retningen Θ, vil en unik verdi ikke eksistere.
En annen strategi er å vise at stråler gjennom origo y = k x er nivålinjer med verdi som avhenger
av k.
x-2 k x
x+2 k x
=
1- 2 k
1+ 2 k
b) Samme to strategier som i pkt a) kan benyttes. y = k x er nivåkurve for flaten:
y 3 +x3
xy
2
=
1+ k 3
k3
. Grenseverdien er avheenig av k og ikke unik. Dvs. grensen eksisterer ikke.
Oppgave 2
Funksjonene i a), b) og c) er kontinuerlige i hele R2 unntatt muligens i origo. Det er derfor nok å
sjekke situasjonen nær origo.
a) limHx,yL®H0,0L
3xy
eksisterer ikke ( vises som i oppgave 1), derfoir er funksjonen diskontinuerlig i
x2 + y 2
origo. Du kan ikke tette “hullet i grafen” med en funksjonsverdi.
b) limHx,yL®H0,0L
sin Ix2 + y 2 M
= limu®0
x2 + y 2
sin u
u
= limu®0
cos u
1
=1
Grenseverdien eksisterer, men funksjonsverdien i origo er forskjellig fra denne verdien. Funksjonen
er ikke kontinuerlig slik den står, men kan “repareres” ved å definere f H0, 0L = 1.
c) f limHx,yL®H0,0L
1-cos Ix2 + y 2 M
x2 + y 2
= limu®0
1-cos u
u
= limu®0
Da f H0, 0L = 1, er funksjonen kontinuerlig i origo.
sin u
1
=0
d) Funksjonen er kontinuerlig i hele sitt definisjonsområde, som er 8x , y<
Oppgave 3
a)
¶f
¶x
= 6 x2 - 3 y,
b) Kjerneregelen gir
¶f
¶y
= 8 y 7 - 3 x,
¶f
¶x
=
y 1
x y
=
1
,
x
¶f
¶y
=
y
x
J- 2N = x
y
1
y
Resultatene fremkommer også ved forenklingen ln J N = ln x - ln y
x
y
y £ x<.
2
Regneøvinger fasit uke 44.nb
¶f
¶f
a)
= 6 x2 - 3 y,
¶x
¶y
b) Kjerneregelen gir
= 8 y 7 - 3 x,
¶f
¶x
y 1
x y
=
¶f
¶y
1
,
x
=
=
y
x
J- 2N = x
y
1
y
Resultatene fremkommer også ved forenklingen ln J N = ln x - ln y
x
y
¶f
¶x
c)
1
=
xy
2
¶f
¶y
.
x-y
1
=
2
Hx-yL y - x y
.
xy
x-y
Hx-yL
1
=-
2
xy
2
Hx-yL x + x y
Hx-yL2
.
x-y
1
=
2
.
xy
x-y
y2
Hx-yL2
x2
Hx-yL2
1
=-
x
2
J
1
=
2
y
J
y
x-y
N
32
x 32
N
x-y
Oppgave 4
¶f
¶x
¶f
¶y
= 10 x4 y 2 + 2 x y,
¶2 f
¶x ¶ x
= 40 x3 y 2 + 2 y,
Vi sjekker at
¶2 f
¶x ¶ y
=
= 4 x5 y + x2
¶2 f
¶y ¶ y
¶2 f
¶y ¶ x
¶2 f
¶x ¶ y
= 4 x5 ,
= 20 x4 y + 2 x,
¶2 f
¶y ¶ x
= 20 x4 y + 2 x
.
Oppgave 5
3xy
Hx, yL ¹ H0, 0L
Gitt funksjonen f Hx, yL =
0
¶f
¶x
f H0+h,0L- f H0,0L
h
h®0
= lim 0 = 0 .
f H0,0+hL- f H0,0L
h
h®0
= lim 0 = 0
¶f
¶y
H0.0L = lim
H0.0L = lim
x2 + y 2
Hx, yL = H0, 0L
h®0
Vi har sett i oppgave 2 a) at f Hx, yL ikke er kontinuerlig i (0,0). Da er ikke funksjonen deriverbar i
(0,0), til tross for at de partielt deriverte eksisterer.
h®0
Oppgave 6
a) Ñf Hx, yL = J
¶f ¶f
, N
¶x ¶x
= I2 y 2 cosI 2 x y 2 M , 4 x y cosI 2 x y 2 MM
b) Ñf Hx, yL = H2 x - 2 y , -2 x - 2 yL
Oppgave 7
Vi gjenkjenner funksjonene fra oppgave 6 og kan derfor bruke resultatene derfra:
a)
Du f H1, 1L =
Ñf H1, 1L.
u
u
= H2 cos 2, 4 cos 2L.J
b) Du f H1, 1L = Ñf H1, 1L.
u
u
1
,
5
= H0, -4L.I ,
3
5
2
5
4
M
5
N=
=-
2
5
16
,
5
cos 2 +
8
5
cos 2 =
10
5
cos 2 = 2
5 cos 2
Vi gjenkjenner funksjonene fra oppgave 6 og kan derfor bruke resultatene derfra:
Regneøvinger fasit uke 44.nb
a)
Du f H1, 1L =
Ñf H1, 1L.
u
u
= H2 cos 2, 4 cos 2L.J
b) Du f H1, 1L = Ñf H1, 1L.
u
u
1
2
,
5
= H0, -4L.I ,
3
5
5
4
M
5
N=
=-
2
5
cos 2 +
8
cos 2 =
5
16
,
5
Oppgave 8
a) Det er brattest i den retning gradienten
peker:
Ñf Hx, yL = I3 x2 y - 2, x3 + 2 yM ” Ñf H1, 1L = H1, 3L
tan Φ = | Ñf(x,y) | = 1 + 9 =
Dette gir oss Φ = 72.5°
b) z = 3 +
c) n = J®
¶f
¶x
¶f
,
¶x
Hx - 1L +
-
¶f
,
¶y
¶f
¶y
10
Hy - 1L = 3 + Hx - 1L + 3 Hy - 1L = x + 3 y - 1
1N = H-1, -3, 1L
10
5
cos 2 = 2
5 cos 2
3