1. No category

OPPGAVE 1
Temperaturen i et punkt (x, y, z) i rommet er gitt ved
T (x, y, z) = z + xy.
1. Hvor mye endres temperaturen i retningen [1, 1, 2] fra punktet (0, 1, 3)?
2. Finn tangentplanet til nivåflaten T (x, y, z) = 2 i punktet (1, 1, 0).
3. Finn de kritiske punktene til f (x, y) = T (x, y, 1), og avgjør om de er
lokale maksimum eller minimum.
OPPGAVE 2
En partikkel følger en kurve C der posisjonen ved tiden t ∈ [0, 2π] er gitt
ved
→
r (t) = [cos t, 1, 1].
→
1. Finn hastigheten v (t) til partikkelen ved tiden t.
2. Hva er vinkelen mellom akselerasjonen og hastigheten ved t = π?
3. Beregn kurveintegralet
Z
cos(t)ds.
C
OPPGAVE 3
1. Beregn dobbeltintegralet
Z 1Z x
0
ey dydx
0
ved å bytte integrasjonsrekkefølgen.
2. Beregn dobbeltintegralet
Z Z
dA,
D
der D er disken i xy-planet med radius 4 og sentrum i origo.
1
OPPGAVE 4
→
Gitt kraftfeltet F (x, y, z) = [0, y, 2z].
→
1. Finn en potensialfunksjon f til F .
→
2. Bestem arbeidet W som F utfører langs en kurve fra punktet (0, 1, 0)
til (1, 0, 0).
3. Finn volumet V av området T avgrenset av planet z = 4 og flaten
z = x2 + y 2 .
4. Bruk divergensteoremet til å beregne fluksen
→
Z Z
S
→
F · n dS
→
til F ut av T gjennom overflaten S til T .
5. La D være lokket til S, og la C være randen til D med retning mot
klokken sett ovenifra. Finn
Z
C
→
der G (x, y, z) = [3y, 2x, 0].
2
→
→
G · T ds,
Løsningsforslag til eksamen 2014 i MaIIIB.
OPPGAVE 1.
1. Har ∇T = [y, x, 1]. Den retningsderiverte
T (0, 1, 3) = √
D→
u
1
3
√ ,
[1,
0,
1]
·
[1,
1,
2]
=
12 + 12 + 22
6
dvs. at temperaturen øker med
√3
6
(grader).
2. Har 0 = ∇T (1, 1, 0) · [x − 1, y − 1, z − 0] = [1, 1, 1] · [x − 1, y − 1, z] =
x + y + z − 2, så tangentplanet er x + y + z = 2.
3. Har f (x, y) = 1 + xy, og fx = y = 0 og fy = x = 0 gir origo som
eneste kritiske punkt. Dette er et sadelpunkt ved 2-deriverttesten fordi
2
= 2 · 0 − 12 = −1 < 0.
fxx fyy − fxy
OPPGAVE 2.
→
1. v (t) = [− sin t, 0, 0].
→
→
→
2. Har a (t) = [− cos t, 0, 0], så v (π)· a (π) = 0 fra 1., så de står vinkelrett
på hverandre.
3.
Z
cos(t)ds =
=
→
cos(t)| v (t)|dt
0
C
Z 2π
Z 2π
2
1/2
cos(t)(sin (t))
dt =
Z 0√
u2 du = 0.
0
0
OPPGAVE 3.
1. Vi har 01 0x ey dydx = 01 y1 ey dxdy =
ved delvis integrasjon blir e − 2.
R R
R R
R1
0
[xey ]1y dy =
2. Dobbeltintegralet blir
Z 2π Z 4
0
0
3
rdrdθ = 16π.
R1
0
(1 − y)ey dy som
OPPGAVE 4.
→
1. f (x, y, z) = y 2 /2 + z 2 har ∇f =F .
2. W = f (1, 0, 0) − f (0, 1, 0) = −1/2, så kraftfeltet tar energi.
3.
V =
Z 2π Z 2 Z 4
0
0
r2
rdzdrdθ = 2π[2r2 −
r4 2
] = 8π.
4 0
→
4. Har ∇· F = 3, så
→
Z Z
S
→
F · n dS =
Z Z Z
T
→
∇· F dV = 3V = 24π.
5.
Z
C
→
→
G · T ds =
Z Z
Z Z
∂G2 ∂G1
(2 − 3)dA = −π22 = −4π.
−
)dA =
(
∂y
D
D ∂x
4