1. No category

Noen aktuelle formler
Derivasjonsregler
(xn )0 = nxn−1
(ax )0 = ax ln a
spesielt
(ex )0 = ex
1
0
(ln x) = x
(sin x)0 = cos x
(cos x)0 = − sin x
1
0
2
(tan x) = cos2 x = 1 + tan x
(cot x)0 = − sin12 x
Generelle:
(f (x) + g(x))0 = f 0 (x) + g 0 (x)
(f (x) · g(x))0 = f (x) · g 0 (x) + f 0 (x) · g(x)
0
(x) 0
(x)·g 0 (x)
( fg(x)
) = g(x)·f (x)−f
2
g(x)
(f (g(x)))0 = f 0 (g(x)) · g 0 (x)
Spesielle:
Spesielle funksjoner
x
Eksponensialfunksj.: ax ay = ax+y aay = ax−y a−x = a1x (ax )y = axy
Logaritmer:
ln(xy) = ln x + ln y
ln( xy ) = ln x − ln y
ln(xa ) = a ln x
ln x1 = − ln x
2
2
Trigonometriske:
sin x + cos x = 1
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 x − sin2 x
sin2 x = 21 (1 − cos 2x) cos2 x = 12 (1 + cos 2x)
Eksakte verdier:
v
sin v
cos v
tan v
0 π/6
π/4
π/3 π/2
√
√
0 √1/2 √2/2
3/2
1
1 √3/2
2/2 1/2
0
√
0
3/3
1
3
−
Integrasjonsregler
Spesielle:
R 1
1
xn dx = n+1
xn+1 + C n 6= −1
dx = ln x + C, x > 0
R x
R x x
1 x
e dx = ex + C
R a dx = ln a a + C spesielt
R
sin x dx = − cos x + C
cos x dx = sin x + C
R
1
R
R
R
Generelle: R f (x) + g(x) dx = f (x) Rdx + g(x) dx
0
(x) dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x) dx
R f (x)g
f 0 (g(x))g 0 (x) dx = f (g(x)) + C
Rc
Rb
Rc
Bestemte integraler:
f (x) dx = a f (x) dx + b f (x) dx
a
Rb
Ra
f
(x)
dx
=
−
f (x) dx
a
b
Differens- og differensialligninger
Første ordens differensialligning, y 0 + f (x)y = g(x):
Z R
R
− f dx
y(x) = e
e f dx g(x) dx
Andre ordens differensialligning, y 00 + py 0 + qy = 0:

hvis to reelle røtter r1 6= r2
 Cer1 x + Der2 x
Cerx + Dxerx
hvis én reell rot r
y(x) =

Ceax cos(bx) + Deax sin(bx) hvis to komplekse røtter r = a ± ib
Første ordens homogen differenslikning;
xn − kxn−1 = 0 :
xn = Ck n
Andre ordens homogen differenslikning;
xn+2 + bxn+1 + cxn = 0, karakteristisk polynom: r2 + br + c,

hvis to reelle røtter r1 6= r2
 Cr1n + Dr2n
Crn + Dnrn
hvis én reell rot r
xn =

n
n
Cρ cos(nθ) + Dρ sin(nθ) hvis to komplekse røtter r = ρe±iθ
Matriseregning og komplekse tall
Komplekse tall:
z = a + ib = r(cos θ + i sin θ) = reiθ ,
Realdel : Re(z) = a,
r=
√
a2 + b 2
Imaginærdel : Im(z) = b
2
Kompleks konjugert : z = a − ib = re−iθ
De Moivres formel : (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)
Matriseprodukt:
(xij ) · (yij ) = (zij ),
, zij =
n
X
xik ykj
k=1
a b
c d
Determinanter:
= ad − bc
a1 a2 a3 b 1 b 2 b 3 = a1 b 2 c 3 + a2 b 3 c 1 + a3 b 1 c 2 − a1 b 3 c 2 − a2 b 1 c 3 − a3 b 2 c 1
c1 c2 c3 det(AB) = det(A) det(B),
det(A−1 ) =
1
,
det(A)
det(AT ) = det(A)
Egenvektor/egenverdi:
Ax = λx,
Invers matrise:
a b
c d
karakteristisk polynom: det(λIn − A)
−1
=
1
ad−bc
3
d −b
−c a