1. No category

Institutt for matematiske fag
Eksamensoppgave i MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I
Faglig kontakt under eksamen: John Erik Fornæss
Tlf: 46419414
Eksamensdato:
Eksamenstid (fra–til):
Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler: D: Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Bestemte, enkle kalkulatorer tillatt.
Annen informasjon:
KONTE EKSAMEN AUGUST 2015
Målform/språk: bokmål
Antall sider: 1
Antall sider vedlegg: 1
Kontrollert av:
Dato
Sign
Merk! Studenter finner sensur i Studentweb. Har du spørsmål om din sensur må du kontakte instituttet ditt.
Eksamenskontoret vil ikke kunne svare på slike spørsmål.
MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I: KONTE August 2015
Oppgave 1
Side 1 av 1
Gitt funksjonen f (x) = ln x − x2 + x + 5, x > 0.
a) Finn alle ekstremalpunktene til f og avgjør hvor f er voksende og hvor f er
avtagende.
b) Hvor mange nullpunkter har f ? (Husk å begrunne.)
Oppgave 2
La g(x) = tan x − x, 0 < x <
π
2
Vis at g har en invers function g −1 og finn (g −1 )0 (1 − π4 ).
1
Oppgave 3
Området under grafen til f (x) = √1+x
2 og over x aksen, 1 ≤ x <
∞ bli rotert om x aksen. Finn volumet at omdreiningslegemet.
Oppgave 4
En båt går vinkelrett ut fra en rettlinjet brygge. En gutt står på
brygga 100 meter unna startpunktet til båten. I det båten er 50 meter fra brygga
observerer han at avstanden mellom han og båten øker med 2 meter per sekund.
Hva er båtens hastighet i dette tidspunktet?
Oppgave 5
Hint: Regn ut
Oppgave 6
Løs det ubestemte integralet
Z
xdx
(x − 1)2 (x2 + 1)
1
(x−1)2
−
1
.
x2 +1
Løs differensialligningen
xy 0 − 2y = x3 , y(2) = 1.
Oppgave 7
gelsene
Finn følgen som oppfyller differensligningen og begynner betinxn+2 − 7xn+1 + 12xn = 1, x0 = 1, x1 = 2
Oppgave 8
La h(x) =

 sin x−x ,
x3
1
− ,
6
x 6= 0
=0
Vis at h er kontinuerlig. Finn også om mulig h0 (0).
Formelark for MA1101/MA6101
Eksponentialfunksjoner
Derivasjon:
Identiteter:
(ax )0 = ax ln a
ax ay = ax+y
spesielt
= ax−y
ax
ay
(ex )0 = ex
a−x = a1x
(ax )y = axy
Logaritmefunksjonen
Derivasjon:
Identiteter:
(ln |x|)0 = x1
ln(xy) = ln x + ln y
ln( xy ) = ln x − ln y
ln(xa ) = a ln x for x, y > 0
ln x1 = − ln x
Trigonometriske funksjoner
Derivasjon:
Identiteter:
(sin x)0 = cos x
(cos x)0 = − sin x
(tan x)0 = cos12 x = 1 + tan2 x
(cot x)0 = − sin12 x
2
2
sin x + cos x = 1
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x
cos x = ± √ 1
sin x = ± √ tan x
1+tan2 x
1+tan2 x
Eksakte verdier:
v
sin v
cos v
tan v
0 π/6
π/4
π/3 π/2
√
√
0 √1/2 √2/2
3/2
1
1 √3/2
2/2 1/2
0
√
0
3/3
1
3
−
Arcusfunksjoner
Derivasjon;
1
(arcsin x)0 = √1−x
2
1
(arctan x)0 = 1+x
2
1
(arccos x)0 = − √1−x
2
Annenordens differensligning



xn+2 + bxn+1 + cxn = 0
(r2 + br + c = 0)
Cr1n + Dr2n hvis to reelle røtter r1 6= r2
xn = Crn + Dnrn hvis én reell rot r 6= 0


hvis to komplekse røtter r, r
Crn + Crn