1. No category

Løsninger
1T kapittel 6 Geometri
Løsninger til oppgavene i læreboka
Oppgave 6.1
a
Vi bruker pytagorassetningen.
2
h=
52 + 6 2
2
h=
25 + 36
h 2 = 61
h = ± 61
Hypotenusen er
b
61 .
Vi bruker pytagorassetningen.
=
h 2 2, 242 + 6, 712
=
h 2 5, 0176 + 45, 0241
h 2 = 50, 0417
h = ± 50, 0417
h = 7, 07
Hypotenusen er 7,07 m.
Oppgave 6.2
Vi bruker pytagorassetningen.
2
h=
k2 + K2
± k2 + K2
h=
h
Hypotenusen er gitt ved uttrykket=
k2 + K2 .
Oppgave 6.3
a
Vi setter den ukjente siden lik x og bruker pytagorassetningen.
2
x 2 + 42
5=
= x 2 + 16
25
2
x=
25 − 16
x2 = 9
x= ± 9
x=3
Den ukjente siden er 3.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 1 av 57
Løsninger
b
Vi setter den ukjente siden lik x cm og bruker pytagorassetningen.
2
9=
x 2 + 4,12
81
= x 2 + 16,81
2
x=
81 − 16,81
x 2 = 64,19
x = ± 64,19
x = 8, 0
Den ukjente siden er 8,0 cm.
Oppgave 6.4
a
Vi setter den ukjente avstanden lik x meter og bruker pytagorassetningen.
2
x 2 + 3,52
4=
= x 2 + 12, 25
16
2
x=
16 − 12, 25
x 2 = 3, 75
x = ± 3, 75
b
x = 1,9
Den nederste delen av stigen står 1,9 m unna veggen.
For å kunne bruke pytagorassetningen må vi gå ut fra at veggen, bakken og stigen danner en
rettvinklet trekant med stigen som hypotenus.
Oppgave 6.5
Vi bruker pytagorassetningen.
2
h=
k2 + K2
2
K=
h2 − k 2
± h2 − k 2
K=
K
Kateten K er gitt ved uttrykket=
h2 − k 2 .
Oppgave 6.6
Vi bruker pytagorassetningen.
2
2=
x 2 + 12
4 x2 + 1
=
x 2= 4 − 1
x2 = 3
x= ± 3
x= 3
Vi kontrollerer svaret med CAS-delen av GeoGebra.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 2 av 57
Løsninger
Oppgave 6.7
a
Vi setter den ukjente kateten lik x og bruker pytagorassetningen.
2
a2 + x2
(2a )=
2
a2 + x2
4a=
=
x 2 4a 2 − a 2
x 2 = 3a 2
x = ± 3a 2
=
x
3⋅a
Den ukjente kateten har lengden
b
3⋅a .
Halvsirkelen har radius a. Omkretsen av halvsirkelen er derfor
Omkretsen av hele figuren er dermed
a + 3 ⋅ a + πa=
(1 +
1
2
⋅ 2πa =πa .
)
3 + π ⋅a
Oppgave 6.8
a
b
Vi undersøker om tallene passer i pytagorassetningen. Hvis trekanten er rettvinklet, er det den
lengste siden som må være hypotenus, og de korteste sidene må være kateter.
2
=
h 2 8,9
=
79, 21
2
2
k + K = 3,92 + 8, 02 = 15, 21 + 64 = 79, 21
Tallene passer i pytagorassetningen. Trekanten er derfor rettvinklet.
Vi undersøker om tallene passer i pytagorassetningen.
2
=
h 2 681
=
463 761
2
2
k + K = 3562 + 5882 = 126 736 + 345 744 = 472 480
Tallene passer ikke i pytagorassetningen (463 761 ≠ 472 480) .
Trekanten er derfor ikke rettvinklet.
Oppgave 6.9
Vi undersøker om tallene passer i pytagorassetningen.
2
=
=
h 2 200
40 000
2
2
k + K = 1202 + 1602 = 14 400 + 25 600 = 40 000
Tallene passer i pytagorassetningen.
Hjørnevinkelen er derfor 90° .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 3 av 57
Løsninger
Oppgave 6.10
a
b
c
d
Hypotenusen i en rettvinklet trekant er den motstående siden til den rette vinkelen.
Altså er det siden c som er hypotenus.
1 Hosliggende katet til vinkel A er siden b.
2 Hosliggende katet til vinkel B er siden a.
1 Motstående katet til vinkel A er siden a.
2 Motstående katet til vinkel B er siden b.
Katetene er a og b, og hypotenusen er c.
Pytagorassetningen kan derfor uttrykkes som a 2 + b 2 =
c2 .
Oppgave 6.11
a
b
Vi bruker pytagorassetningen.
=
h 2 5, 02 + 10, 02
2
h=
25 + 100
h 2 = 125
h = ± 125
h = 11, 2
Hypotenusen er 11,2 cm.
Oppgave 6.12
Diagonalen er hypotenus i en rettvinklet trekant. Vi bruker derfor pytagorassetningen.
2
h=
152 + 122
=
h 2 225 + 144
h 2 = 369
h = ± 369
h = 19, 2
Størrelsen på skjermen er 19′′ .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 4 av 57
Løsninger
Oppgave 6.13
a
b
Den lengste siden i en rettvinklet
trekant er alltid hypotenusen.
Katetene er de to korteste sidene.
Vi setter den ukjente siden lik x cm
og bruker pytagorassetningen.
10,=
02 6, 02 + x 2
100
= 36 + x 2
x 2 100 − 36
=
x 2 = 64
x = ± 64
x = 8, 0
Den ukjente siden er 8,0 cm.
Oppgave 6.14
Vi undersøker om tallene passer i pytagorassetningen. Hvis trekanten er rettvinklet, er det den
lengste siden som må være hypotenus, og de korteste sidene må være kateter.
2
2
h=
3=
9
2
2
k + K =12 + 22 =1 + 4 =5
Tallene passer ikke i pytagorassetningen (9 ≠ 5) . Trekanten er derfor ikke rettvinklet.
Oppgave 6.15
BD er hypotenus i den rettvinklede trekanten ABD.
h 2 4,52 + 3, 02
=
h 2 20, 25 + 9
=
h 2 = 29, 25
h = ± 29, 25
h = 5, 41
Lengden av BD er 5,4 cm.
BC er korteste katet i den rettvinklede trekanten BCD. Vi setter BC = x cm .
2
x 2 + 5, 412
6, 28=
= x 2 + 29, 2681
39, 4384
=
x 2 39, 4384 − 29, 2681
x 2 = 10,1703
x = ± 10,1703
x = 3, 2
Lengden av BC er 3,2 cm.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 5 av 57
Løsninger
Oppgave 6.16
a
b
c
1
2
3
4
1
2
3
4
Motstående katet til vinkel v er siden c.
Motstående katet til vinkel v er siden d.
Motstående katet til vinkel v er siden h.
Motstående katet til vinkel v er siden m.
Hosliggende katet til vinkel v er siden a.
Hosliggende katet til vinkel v er siden f.
Hosliggende katet til vinkel v er siden g.
Hosliggende katet til vinkel v er siden k.
1
Hypotenusen er b, og katetene er a og c. Altså er a 2 + c 2 =
b2 .
2
Hypotenusen er e, og katetene er d og f. Altså er d 2 + f 2 =
e2 .
3
Hypotenusen er i, og katetene er g og h. Altså er g 2 + h 2 =
i2 .
4
Hypotenusen er l, og katetene er k og m. Altså er k 2 + m 2 =
l2 .
Oppgave 6.17
Bakken, stubben og treet danner en rettvinklet trekant med treet som hypotenus.
Vi bruker derfor pytagorassetningen til å finne høyden av den øverste delen av treet.
=
h 2 15, 22 + 2, 62
=
h 2 231, 04 + 6, 76
h 2 = 237,8
h = ± 237,8
h = 15, 4
Den øverste delen av treet er 15,4 m høyt.
Høyden av hele treet var dermed 15, 4 m + 2, 6 m =
18, 0 m .
Oppgave 6.18
a
Trekanten ABC er likebeint. Normalen fra A på BC deler derfor BC i to like store deler.
Vi bruker pytagorassetningen på den rettvinklede trekanten ABD.
=
h 2 9, 252 + 3, 002
=
h 2 85,5625 + 9
h 2 = 94,5625
h = ± 94,5625
h = 9, 72
Lengden av AB er 9,72 cm.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 6 av 57
Løsninger
b
Vi setter BC = x m og bruker pytagorassetningen på den rettvinklede trekanten BCD.
2
4,85
=
2,552 + x 2
23,5225
= 6,5025 + x 2
=
x 2 23,5225 − 6,5025
x 2 = 17, 02
x = ± 17, 02
x = 4,13
Lengden av BC er 4,13 m. Dermed er AB =7, 0 m − 4,13 m =2,9 m .
Oppgave 6.19
Vi setter den hosliggende kateten til vinkel A lik x.
Den motstående kateten er da 2x . Fra pytagorassetningen er
(
)
2
20 = x 2 + (2 x) 2
= x2 + 4x2
20
20 = 5 x 2
x2 = 4
x= ± 4
x=2
De to katetene har lengdene 2 og 4.
Oppgave 6.20
Vi setter den ukjente kateten lik x. Hypotenusen er da 2x .
Pytagorassetningen gir
2
x 2 + 92
(2 x)=
2
x 2 + 81
4 x=
3 x 2 = 81
x 2 = 27
x = ± 27
x = 27 = 9 ⋅ 3 = 9 ⋅ 3 = 3 3
Den ukjente kateten har lengden 3 3 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 7 av 57
Løsninger
Oppgave 6.21
a
Meterstaven har lengden 1 m = 100 cm . Vi setter den ukjente
avstanden lik x cm og bruker pytagorassetningen.
2
=
100
602 + x 2
10 =
000 3600 + x 2
x 2 = 6400
x = ± 6400
x = 80
Marit må måle ut 80 cm langs den andre veggen.
b
Vi setter den ukjente avstanden lik x cm og bruker pytagorassetningen.
2
100=
x2 + x2
10 000 = 2 x 2
x 2 = 5000
x = ± 5000
x = 71
Hun må måle ut 71 cm langs begge veggene.
Oppgave 6.22
Tenk at Nina svømte x meter ut fra stranden. Da svømte hun
3 x meter parallelt med stranden. Svømmeturen danner en
rettvinklet trekant. Vi bruker derfor pytagorassetningen.
2
x 2 + (3 x) 2
316=
= x2 + 9 x2
99 856
10 x 2 = 99 856
x 2 = 9985, 6
x = ± 9985, 6
x = 100
Nina svømte 100 m utover før hun svingte.
Oppgave 6.23
Høyden ned på grunnlinja deler grunnlinja i to like store deler.
Vi lar halvparten av grunnlinja være x, og bruker pytagorassetningen
på den rettvinklede trekanten ACD. Det gir
2
8=
x 2 + 52
64
= x 2 + 25
2
x=
64 − 25
x 2 = 39
x = 39
Lengden av grunnlinja er altså 2 39 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 8 av 57
Løsninger
Oppgave 6.24
Vi lar den ukjente kateten ha lengden x. Hypotenusen er da 2x .
Pytagorassetningen gir
2
(2 x)=
x 2 + 122
2
4 x=
x 2 + 144
3 x 2 = 144
x 2 = 48
x = ± 48
x= 48= 16 ⋅ 3= 16 ⋅ 3= 4 3
Den ukjente kateten har lengden 4 3 , og hypotenusen har lengden 8 3 .
Oppgave 6.25
a
Trekanten ABC er rettvinklet, der AB er hypotenusen. Pytagorassetningen gir dermed
2
62 + 62
h=
2
36 + 36
h=
h 2 = 72
h = ± 72
h=
72=
36 ⋅ 2=
36 ⋅ 2= 6 2
Siden AB har lengden 6 2 .
b
De to katetene har lengden 6. Omkretsen av trekanten er derfor 2 ⋅ 6 + 6 2 = 12 + 6 2 .
Oppgave 6.26
Trekanten ABC er rettvinklet. Hypotenusen er lik radien i sirkelen,
som er 3. Den ene kateten har lengden 2. Vi setter lengden av den
ukjente kateten lik x. Pytagorassetningen gir
2
x 2 + 22
3=
=
9 x2 + 4
x2 = 5
x= 5
Omkretsen av rektanglet er dermed 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 5 = 4 + 2 5 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 9 av 57
Løsninger
Oppgave 6.27
Trekanten ABD er rettvinklet. Vi finner derfor den ukjente kateten x fra pytagorassetningen.
2
55=
x 2 + 392
3025
= x 2 + 1521
=
x 2 3025 − 1521
x 2 = 1504
x = ± 1504
x = 38, 78
Dermed er DE= 38, 78 m − 32 m
= 6, 78 m .
Trekanten CDE er også rettvinklet. Det gir
=
y 2 6, 782 + 392
y 2 = 1566,97
y = ± 1566,97
y = 39,58
Omkretsen av firkanten er dermed (39 + 32 + 39,58 + 38, 78)
=
m 149,36 m ≈ 149 m .
Oppgave 6.28
Edderkoppen kan velge mellom to forskjellige ruter. Den kan starte
med å gå langs gulvet og så opp veggen til venstre (1), eller den kan
starte med å gå opp den nærmeste veggen og så bort langs taket (2).
Vi må regne ut korteste vei for begge alternativene.
Da tenker vi oss at vi bretter ut esken, se figurene.
Den korteste veien svarer til rette linjer på de utbrettede eskene.
Vi bruker derfor pytagorassetningen.
Alternativ 1: h 2 = 302 + 602 = 4500
, h =
4500 67
=
2
2
2
Alternativ 2: h = 50 + 40 = 4100
, h =
=
4100 64
Den korteste veien edderkoppen kan gå er altså alternativ 2, som til sammen er 64 cm.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 10 av 57
Løsninger
Oppgave 6.29
Vinkel D tilsvarer vinklene A og G. Derfor er ∠D = 80° .
Vinkel E tilsvarer vinklene B og I. Derfor er ∠B =∠I =40° .
Vinkelsummen i trekantene er 180° . Det gir ∠C = ∠F = ∠H = 180° − 80° − 40° = 60° .
Oppgave 6.30
a
Vinkel A tilsvarer vinkel H. Derfor er ∠A =
Vinkel C tilsvarer vinkel F. Derfor er ∠C =
Vinkel E tilsvarer vinkel B. Derfor er ∠E =
Vinkel G tilsvarer vinkel D. Derfor er ∠G =
60° .
100° .
90° .
110° .
b
Vinkelsummen er 60° + 90° + 100° + 110=
° 360° .
Oppgave 6.31
a
b
c
To av vinklene i trekantene er parvis like store. Da må den tredje vinkelen også være lik.
Siden vinklene er parvis like store, er trekantene formlike.
(Den tredje vinkelen er ∠C = ∠F = 180° − 50° − 70° = 60° .)
De tilsvarende sidene ligger mellom tilsvarende vinkler.
De tilsvarende sidene er derfor AB og DE, BC og EF, og AC og DF.
Vi kjenner lengden av BC, som er tilsvarende side med EF.
Vi kan derfor finne lengden av EF ved å bruke formlikhet.
EF og BC er tilsvarende sider, og DE og AB er tilsvarende sider.
Forholdet mellom tilsvarende sider skal være lik hverandre.
EF DE
=
BC AB
x
4, 0
=
4,5 5, 0
x ⋅ 4,5 4, 0 ⋅ 4,5
=
4,5
5, 0
x = 3, 6
Lengden av EF er 3,6 cm.
Oppgave 6.32
De tilsvarende sidene er AB og DE, BC og EF, og AC og DF.
Vi finner først BC, og setter da BC = x .
BC AB
=
EF DE
4, 60
x
=
4,90 6,90
x ⋅ 4,90 4, 60 ⋅ 4,90
=
4,90
6,90
x = 3, 27
Lengden av BC er 3,27 cm.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 11 av 57
Løsninger
Så finner vi DF, og setter da DF = x .
DF DE
=
AC AB
x
6,90
=
2,10 4, 60
x ⋅ 2,10 6,90 ⋅ 2,10
=
2,10
4, 60
x = 3,15
Lengden av DF er 3,15 cm.
Oppgave 6.33
Huset og garasjen har form som to formlike rektangler.
På figuren er AB og EF tilsvarende sider, og AD og EH er
tilsvarende sider. Forholdet mellom tilsvarende sider skal
være lik hverandre. Lengden av garasjen er EH = x .
EH EF
=
AD AB
x
6,30
=
13,30 10, 00
x ⋅ 13,30 6,30 ⋅ 13,30
=
13,30
10, 00
x = 8,38
Lengden av garasjen må være 8,38 m.
Oppgave 6.34
x 3
=
5 x
x ⋅ x =5⋅3
x 2 = 15
x = ± 15
Siden x må være positiv, er x = 15 .
Oppgave 6.35
a
Forholdet mellom tilsvarende sider i mangekantene er 5.
Forholdet mellom arealene er da 52 = 25 .
b
Forholdet mellom arealene er 25. Den minste trekanten har arealet 8, 0 cm 2 .
Den største trekanten har derfor arealet 25 ⋅ 8, 0 cm 2 =
200 cm 2 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 12 av 57
Løsninger
Oppgave 6.36
De to bildene er formlike rektangler. Sidene AB og EF er tilsvarende sider, og AD og EH er
tilsvarende sider. Vi setter forholdet mellom de tilsvarende sidene lik hverandre.
EH EF
=
AD AB
x
21
=
8, 0 12
x ⋅ 8, 0 21 ⋅ 8, 0
=
8, 0
12
x = 14
Høyden i det forstørrede bildet blir 14 cm.
Oppgave 6.37
a
b
6 cm
x
=
4 cm 3 cm
6
x=
⋅ 4 cm
3
x = 8 cm
y
3 cm
=
10 cm 6 cm
3
⋅ 10 cm
y=
6
y = 5 cm
Forholdet mellom tilsvarende sider i trekantene er 2.
Forholdet mellom arealene er derfor 22 = 4 .
Vi kan også kontrollere dette ved å regne ut arealene. Trekantene er rettvinklede.
Arealet av den største trekanten: 12 ⋅ 8 cm ⋅ 6 cm =
24 cm 2
Arealet av den minste trekanten:
Forholdet mellom arealene:
1
2
⋅ 4 cm ⋅ 3 cm =
6 cm 2
24 cm 2
=4
6 cm 2
Oppgave 6.38
De tilsvarende sidene er AB og DE, BC og EF, og AC og DF.
Vi setter forholdet mellom tilsvarende sider lik hverandre.
DE EF
=
AB BC
x 9
=
3 6
x ⋅3 9⋅3
=
3
6
x = 4,5
Lengden av DE er 4,5 m.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 13 av 57
Løsninger
DF EF
=
AC BC
x 9
=
4 6
x⋅4 9⋅4
=
4
6
x=6
Lengden av DF er 6 m.
Oppgave 6.39
a
Trekantene ABC og ACD er begge rettvinklede, og de har vinkel A felles.
Derfor er også ∠ACD =
∠B . Trekantene er altså formlike.
Sidene AC og AD er tilsvarende sider, og AB og AC er tilsvarende sider. Vi setter AC = x .
AC AB
=
AD AC
x 2+4
=
2
x
x⋅ x = 2⋅6
x 2 = 12
x = ± 12
x = 12 = 4 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 2 3
Lengden av siden AC er 2 3 .
b
Vi finner lengden av BC ved å bruke pytagorassetningen på trekanten ABC.
2
6=
x2 +
( )
2
12
= x 2 + 12
36
x 2 = 24
x = ± 24
x = 24 = 4 ⋅ 6 = 4 ⋅ 6 = 2 6
Altså er AB = 6 , AC = 2 3 og BC = 2 6 .
Omkretsen av trekanten er derfor 6 + 2 3 + 2 6 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 14 av 57
Løsninger
Oppgave 6.40
a
b
Trekantene ABC og EBD er rettvinklede, og de har vinkel B felles.
Trekantene har altså to vinkler felles. Den tredje vinkelen må derfor også være lik.
Siden vinklene er parvis like store, er trekantene formlike.
AC og DE er tilsvarende sider, og AB og BE er tilsvarende sider.
BE = AB − AE = 9 cm − 4 cm = 5 cm
Vi setter forholdet mellom tilsvarende sider lik hverandre.
DE BE
=
AC AB
x 5
=
6 9
x ⋅6 5⋅6
=
6
9
x = 3,3
Lengden av DE er 3,3 cm.
Oppgave 6.41
Forholdet mellom radiene i sirklene er r2 r1 = 3 . Forholdet mellom arealene er da
2
A2 πr22 r22  r2 
2
=
=
=
 = 3= 9
2
2
A1 πr1
r1  r1 
Oppgave 6.42
Sidene AB og DF i kvadratet er parallelle. Derfor er ∠ABC =
∠BED .
Siden trekantene ABC og BED er rettvinklede, er dermed også ∠BAC =
∠EBD .
Trekantene ABC og BED er altså formlike. DE og BC er tilsvarende sider, og
BD og AC er tilsvarende sider, der BD
= AB
= a . Fra pytagorassetningen er
a = b 2 + c 2 = 42 + 32 cm =
Dermed får vi
DE BD
=
BC AC
5 cm
x
=
3 cm 4 cm
5⋅3
cm
x=
4
x = 3, 75 cm
© Aschehoug
25 cm = 5 cm
www.lokus.no
Side 15 av 57
Løsninger
Oppgave 6.43
a
Siden ∠A = 31° er forholdet mellom motstående og
hosliggende katet lik 0,60:
BC
= 0, 60
AB
Dermed er
BC = 0, 60 ⋅ AB = 0, 60 ⋅ 12, 0 cm = 7, 2 cm
b
Nå er ∠C= 90° − ∠A= 90° − 59°= 31° . Derfor er
AB
= 0, 60
BC
AB = 0, 60 ⋅ BC = 0, 60 ⋅ 7,5 cm = 4,5 cm
Oppgave 6.44
a
tan 9° =0,1584
b
tan 37,5° =0, 7673
c
tan 85° =11, 4301
Oppgave 6.45
a
x
8,5
x =⋅
8,5 tan 35,5°
tan 35,5° =
=
x 8,5 ⋅ 0, 713
x = 6,1
b
tan v =
x
3 3
=
x 3 3 ⋅ tan v
=
x 3 3 ⋅ 0, 4
x = 1, 2 3
Oppgave 6.46
a
tan 52, 0° =
4,5
x
4,5
tan 52, 0°
4,5
x=
1, 280
x = 3,5
x=
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 16 av 57
Løsninger
b
8
x
2 8
=
3 x
2 ⋅ x = 3⋅8
tan v =
24
2
x = 12
x=
Oppgave 6.47
a
BC
AB
x
0, 45 =
5, 0
x 5, 0 ⋅ 0, 45
=
tan A =
x = 2, 25
Lengden av BC er 2,25.
b
AB
BC
x
1, 70 =
8, 0
=
x 8, 0 ⋅1, 70
x = 13, 6
Lengden av AB er 13,6.
tan C =
Oppgave 6.48
AB
AC
5, 6
2,8 =
AC
5, 6
AC =
2,8
AC = 2, 0
tan C =
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 17 av 57
Løsninger
Oppgave 6.49
Trekanten er likebeint. Høyden fra L på PK deler derfor PK i to like deler.
LQ
tan P =
PQ
x
tan 21,8° =
150
150 ⋅ tan 21,8°
x=
x = 60, 0
Kiteren er 60 meter fra land.
Oppgave 6.50
2, 0
5, 0
tan x = 0, 40
tan x =
x = tan −1 0, 40
=
x 21,8°
Oppgave 6.51
BC
AB
3
tan A= = 0, 75
4
=
A tan −1 0,=
75 36,9°
C= 90° − A
C= 90° − 36,9°= 53,1°
De spisse vinklene i trekanten er 36,9° og 53,1° .
tan A =
Oppgave 6.52
Vi bruker pytagorassetningen til å finne x.
x 2 + 12 =
22
x2 = 3
x= ± 3
x= 3
Dermed er
x
tan 60° =
1
tan 60° = 3
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 18 av 57
Løsninger
Oppgave 6.53
a
b
Vi måler på figuren og finner at AB ≈ 4, 6 cm og BC ≈ 1,8 cm . Dermed er
BC 1,8 cm
tan A = ≈
=
0,39
AB 4, 6 cm
AB 4, 6 cm
tan C = ≈
=
2, 6
BC 1,8 cm
Oppgave 6.54
x
6
x = 6 ⋅ tan 32,5° = 3,8
a
tan 32,5° =
b
tan 40, 0° =
=
x
c
d
e
2,5
= 3, 0
tan 40, 0°
tan 52,5° =
=
x
2,5
x
3
x
3
= 2,3
tan 52,5°
x
tan 35° =
10
x= 10 ⋅ tan 35°= 7, 0
tan=
v
3, 0
= 0,5455
5,5
v tan −1 0,5455
=
= 28, 6°
15
= 1,5
10
v tan −1 =
1,5 56,3°
=
f
tan=
v
g
tan
=
v
8, 4
= 3, 6522
2,3
=
v tan −1 3, 6522
= 74, 7°
Oppgave 6.55
Vi finner først høyden h på figuren.
h
tan 22° =
13 m
=
h 13 m ⋅ tan 22
=
° 5,3 m
Høyden av veggen er altså 1,5 m + 5,3 m =
6,8 m .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 19 av 57
Løsninger
Oppgave 6.56
a
tan B =
4
5
tan B =
4
3
b
Oppgave 6.57
AC
AB
x
0,80 =
5, 0
x = 0,80 ⋅ 5, 0 = 4, 0
Lengden av AC er 4,0.
tan B =
Oppgave 6.58
tan v =
8, 0 m
3, 4 m
 8, 0 
v = tan −1 

 3, 4 
v 67, 0°
=
Vinkelen mellom stigen og underlaget er 67, 0° .
Oppgave 6.59
AB
AC
3 3
3=
x
3 3
x=
3
x=3
Lengden av AC er 3.
tan C =
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 20 av 57
Løsninger
Oppgave 6.60
a
a
= 0, 08
c
=
α tan −1 0, 08
= 4, 6°
Stigningen er på 4, 6° .
tan α=
b
Stigningen er på 11 %. Det betyr at tan
=
α 11
=
% 0,11 .
−1
=
α tan 0,11
= 6,3°
En stigning på 11 % er det samme som en stigning på 6,3° .
c
=
tan α 100
=
% 1
α= tan −1=
1 45°
En stigning på 100 % svarer til 45° .
Oppgave 6.61
h
x
20 cm
tan 65° =
x
20 cm
=
x = 9,3 cm
tan 65°
h
tan B =
y
20 cm
tan 47° =
y
20 cm
=
y = 18, 7 cm
tan 47°
AB = x + y = 9,3 cm + 18, 7 cm = 28 cm
tan A =
Oppgave 6.62
tan A
=
1,8 + 2,1 3,9
=
5, 6
5, 6
 3,9 
=
A tan −1  =
 34,85°
 5, 6 
2,1
tan w =
5, 6
 2,1 
=
w tan −1  =
 20,56°
 5, 6 
v= A − w= 34,85° − 20,56°= 14, 29° ≈ 14,3°
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 21 av 57
Løsninger
Oppgave 6.63
Hvis vi lar normalen fra C ned på AB være 4,
ser vi at avstanden fra A til normalen blir 3,
og avstanden fra B til normalen blir 5.
Dermed er tan A = 4 3 og tan B = 4 5 .
(For øvrig er ikke trekanten rettvinklet.)
Oppgave 6.64
a
x er motstående katet til vinkelen som er oppgitt. Vi bruker derfor sinus.
x
sin 25,5° =
12,5
x=
12,5 ⋅ sin 25,5°
x = 5,38
b
Vi kjenner motstående katet til vinkelen som er oppgitt. Derfor bruker vi sinus.
3,5
sin 55, 0° =
x
3,5
x=
sin 55, 0°
x = 4,3
c
Vi kjenner hosliggende katet til vinkelen som er oppgitt. Derfor bruker vi cosinus.
12, 0
cos 51° =
x
12, 0
x=
cos 51°
x = 19,1
Oppgave 6.65
Vi vil finne motstående katet, og bruker derfor sinus.
x
sin 70° =
6, 0 m
x = 6, 0 m ⋅ sin 70°
x = 5, 6 m
Stigen når 5,6 m opp på veggen.
Oppgave 6.66
18 m
sin 70° =
x
18 m
x=
sin 70°
x = 19 m
Vaieren er 19 m lang.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 22 av 57
Løsninger
Oppgave 6.67
8, 0
h
8, 0
h = 16, 0
=
cos 60°
x
sin 60° =
16, 0
x 16, 0 ⋅ sin 60
=
=
° 13,9
Lengden av hypotenusen er 16,0, og lengden av den andre kateten er 13,9.
cos 60° =
Oppgave 6.68
Vi finner først den motstående kateten AC.
AC
sin B =
BC
3
y
=
2
4 3
2⋅ y = 3 ⋅4 3
2 y = 12
y=6
Så finner vi AB fra pytagorassetningen.
( 4 3 )=
2
62 + x 2
48
= 36 + x 2
x 2 = 12
x = ± 12
x = 12 = 4 ⋅ 3 =
Lengden av AB er 2 3 .
4⋅ 3= 2 3
Oppgave 6.69
a
BC
AC
3
y
=
3
4 3
cos C =
3⋅ y =
3⋅4 3
3 y = 12
y=4
Lengden av BC er 4.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 23 av 57
Løsninger
b
Vi finner AB fra pytagorassetningen.
( 4 3 )=
2
x 2 + 42
= x 2 + 16
48
x 2 = 32
x = ± 32
x= 32= 16 ⋅ 2= 16 ⋅ 2= 4 2
Omkretsen av trekanten er altså 4 + 4 2 + 4 3 .
Oppgave 6.70
sin x =
4, 0
13
 4, 0 
x = sin −1 

 13 
x 17,9°
=
Oppgave 6.71
cos x =
6, 0
9, 0
 6, 0 
x = cos −1 

 9, 0 
=
x 48, 2°
Oppgave 6.72
=
cos C
8, 0 cm
= 0, 64
12,5 cm
=
C cos −1 0,=
64 50, 2°
8, 0 cm
=
sin A = 0, 64
12,5 cm
=
A sin −1 0,=
64 39,8°
I tillegg til den rette vinkelen på 90° er vinklene i trekanten 50, 2° og 39,8° .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 24 av 57
Løsninger
Oppgave 6.73
a
b
Se figuren til høyre.
BC
sin A =
AC
1
sin 30° =
2
AB
cos A =
AC
cos 30° =
c
3
2
BC
AC
1
cos 60° =
2
cos C =
Oppgave 6.74
a
b
Fra pytagorassetningen finner vi at AC =
BC
sin A =
AC
1
1⋅ 2
2
sin 45=
°
=
=
2
2
2⋅ 2
AB
AC
1
cos 45=
°
=
2
12 + 12 =
2 . Det gir
cos A =
1⋅ 2
=
2⋅ 2
2
2
Oppgave 6.75
a
CD
AC
CD
sin 22° =
7, 0 m
CD = 7, 0 m ⋅ sin 22°
sin A =
CD = 2, 6 m
b
AD
AC
AD
cos 22° =
7, 0 m
AD = 7, 0 m ⋅ cos 22°
cos A =
AD = 6, 49 m
Dermed er AB =
2 ⋅ 6, 49 m =
12,98 m ≈ 13, 0 m .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 25 av 57
Løsninger
Oppgave 6.76
a
b
AD
tan ∠ABD =
AB
AD
tan 56, 0° =
2, 0
2, 0 tan 56, 0°
AD =⋅
AD = 2,965
Lengden av AD er 3,0.
AD
sin ∠ACD =
CD
2,965
sin ∠ACD =
8,5
 2,965 
∠ACD =
sin −1 

 8,5 
∠ACD = 20, 4°
Oppgave 6.77
a
b
DB
cos ∠CDB =
DC
DB
cos 50° =
30 m
DB = 30 m ⋅ cos 50°
=
DB 19, 28 m ≈ 19 m
Vi finner først BC ved å bruke sinus i trekanten BCD.
BC
sin ∠CDB =
DC
BC
sin 50° =
30 m
BC = 30 m ⋅ sin 50°
BC = 22,98 m
Så finner vi AB fra pytagorassetningen.
AB = AC 2 − BC 2 = 402 − 22,982 m = 32, 74 m
Dermed er AD = AB − DB = 32, 74 m − 19, 28 m = 13, 46 m ≈ 13 m .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 26 av 57
Løsninger
Oppgave 6.78
a
b
Vi skal finne motstående katet til vinkelen som er oppgitt, og bruker derfor sinus.
x
sin 40,5° =
13, 4
x=
13, 4 ⋅ sin 40,5°
x = 8, 7
12,5
sin 60° =
x
12,5
x=
sin 60°
x = 14, 4
13 m
24 m
 13 
v = sin −1  
 24 
=
v 32,8°
c
sin v =
d
Vi kjenner den hosliggende kateten til vinkelen v, og bruker derfor cosinus.
14 cm
cos v =
23 cm
 14 
v = cos −1  
 23 
v 52,5°
=
Oppgave 6.79
Sinus til vinkelen B er lik forholdet mellom motstående katet
og hypotenusen i trekanten. Hvis den motstående kateten har
lengde 3 og hypotenusen har lengde 5, vil derfor sin B = 3 5 .
Oppgave 6.80
AB
BC
x
0, 40 =
8, 0
=
x 8, 0 ⋅ 0, 40
cos B =
x = 3, 2
Lengden av AB er 3,2.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 27 av 57
Løsninger
Oppgave 6.81
Vi skal finne hosliggende katet til vinkelen, og bruker derfor cosinus.
a
cos 32° =
3,5 m
a = 3,5 m ⋅ cos 32°
a = 3, 0 m
Avstanden fra båten til brygga er 3,0 m.
Oppgave 6.82
a
b
5, 0 m
x
5, 0 m
x=
sin 75°
x = 5, 2 m
Stigen må være 5,2 m lang.
sin 75° =
x
600 m
x= 600 m ⋅ sin 9°
x = 94 m
Høydeforskjellen mellom høyeste og laveste punkt på veien er 94 m.
sin 9° =
Oppgave 6.83
x
7 cm
x = 7 cm ⋅ tan 23°
x = 3, 0 cm
a
tan 23° =
b
sin 33° =
c
cos x =
4,5 cm
x
4,5 cm
x=
sin 33°
x = 8,3 cm
9 cm
10 cm
cos x = 0,9
x = cos −1 0,9
=
x 25,8°
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 28 av 57
Løsninger
Oppgave 6.84
a
Vi bruker sinus på trekanten ABD.
BD
sin A =
AB
12 m
sin v =
60 m
v = sin −1 0, 2
v 11,5°
=
b
c
Vi bruker sinus på trekanten CBD.
BD
sin ∠BCD =
CB
12 m
sin 30° =
CB
12 m
CB =
sin 30°
CB = 24 m
Vi finner først AD fra pytagorassetningen på trekanten ABD,
og deretter CD ved å bruke tangens på trekanten CBD.
AD =
AB 2 − BD 2 = 602 − 122 m = 58,8 m
BD
tan ∠BCD =
CD
12 m
tan 30° =
CD
12 m
CD =
tan 30°
CD = 20,8 m
AC = AD − CD = 58,8 m − 20,8 m = 38 m
Lengden av AC er 38 m.
Oppgave 6.85
Sinus til vinkelen C er lik forholdet mellom motstående katet og hypotenusen i trekanten,
AB
sin C =
BC
Vi kan derfor finne lengden av BC.
3 4,5 cm
=
5
BC
5
=
BC 4,5 cm=
⋅
7,5 cm
3
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 29 av 57
Løsninger
Oppgave 6.86
Vi finner først lengden av AD ved å bruke tangens på trekanten ABD.
AD
tan ∠ABD =
AB
AD
tan 56, 0° =
2, 0
2, 0 tan 56, 0°
AD =⋅
AD = 2,97
Så finner vi AC ved å bruke pytagorassetningen på trekanten ACD.
AC = CD 2 − AD 2 = 8,52 − 2,97 2 = 7,96
Dermed er BC = AC − AB = 7,96 − 2, 0 = 5,96 ≈ 6, 0 .
Oppgave 6.87
a
Vi bruker tangens på trekanten ACD.
CD
tan A =
AD
h
tan 32° =
3,5 m
h = 3,5 m ⋅ tan 32°
h = 2, 2 m
Høyden av hemsen er 2,2 m.
b
Vi finner først avstanden på utsiden av veggen, og ser da på trekanten BEF.
EF
tan B =
BF
0, 40 m
tan 32° =
x
0, 40 m
x=
tan 32°
x = 0, 64 m
Mellom veggene er avstanden dermed
2 ⋅ 3,5 m − 2 ⋅ 0, 64
=
m 5, 72 m ≈ 5, 7 m
Bredden av hemsen mellom veggene er 5,7 m.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 30 av 57
Løsninger
Oppgave 6.88
Vi finner først høyden h fra båten opp til brygga før vannet stiger (figuren til venstre).
h
sin 32° =
3,5 m
=
h 3,5 m ⋅ sin=
32° 1,855 m
Etter at vannet har steget er denne høyden redusert til (figuren til høyre)
y=
h − 0,5 m =
1,855 m − 0,5 m =
1,355 m
Lengden av tauet, som danner hypotenusen i trekanten, er fortsatt 3,5 m.
Vi finner dermed x fra pytagorassetningen.
x =3,52 − 1,3552 m =
3, 2 m
Avstanden fra båten til brygga etter at vannet har steget vil være 3,2 m.
Oppgave 6.89
Vi begynner med å finne katetene i trekanten DGN.
DN
sin G =
GN
DN
sin 25° =
330 m
=
DN 330 m ⋅ sin=
25° 139, 46 m
DG
cos G =
GN
DG
cos 25° =
330 m
=
DG 330 m ⋅ cos=
25° 299, 08 m
Dermed er CD =
450 m − 299, 08 m =
150,92 m .
Til slutt bruker vi pytagorassetningen på trekanten CDN.
CN = CD 2 + DN 2 = 150,922 + 139, 462 m = 205, 49 m ≈ 205 m
Avstanden mellom Cornelia og Nanna er 205 m.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 31 av 57
Løsninger
Oppgave 6.90
a
Vi finner BC ved hjelp av tangens, og CA ved hjelp av sinus.
AB
tan C =
BC
4, 22 km
tan 65° =
BC
4, 22 km
=
BC = 1,968 km
tan 65°
AB
sin C =
CA
4, 22 km
sin 65° =
CA
4, 22 km
=
CA = 4, 656 km
sin 65°
Dermed er AB + BC +=
CA 4, 22 km + 1,968 km + 4, 656 =
km 10,844 km .
Lengden av løypa er 10,84 km.
b
Punktet M er midtpunktet på AC. Det betyr at normalen fra M på AB deler AB
i to like store deler, og normalen fra M på BC deler BC i to like store deler.
Trekantene ABM og BCM er derfor begge likebeinte.
Altså er BM
= CM
= MA , og følgelig BM + MA =
CA .
Vicky har derfor jogget 4,66 km.
Oppgave 6.91
På figuren er u= 30° og=
v 150° .
Vi ser derfor at cos 30° =0,87 og cos150° = −0,87 .
To vinkler som til sammen er 180° har altså
cosinusverdier med motsatt fortegn.
Oppgave 6.92
a
b
Punktet P har koordinatene (0,8 , 0, 6) .
Sinus til vinkelen er andrekoordinaten til punktet. Altså er sinus til vinkelen 0,6.
Cosinus til vinkelen er førstekoordinaten til punktet. Altså er cosinus til vinkelen 0,8.
Sinus til vinkelen er andrekoordinaten til punktet, altså b.
Cosinus til vinkelen er førstekoordinaten til punktet, altså a.
Oppgave 6.93
sin v sin (180° − v ) for alle vinkler v.
1 =
Altså har vinkelen 25° samme sinusverdi som vinkelen 180° − 25=
° 155° .
2
180° − 50=
° 130°
3
180° − 75=
° 105°
4
Vinklene v og 180° − v har samme sinusverdi.
(Hvis v ∈ 0° , 90° så vil 180° − v ∈ 90° , 180° .)
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 32 av 57
Løsninger
Oppgave 6.94
a
Når v = 0° faller venstre vinkelbein sammen
med den positive førsteaksen.
Vinkelbeinet skjærer enhetssirkelen i punktet (1 , 0) .
Dermed er sin 0° =0 og cos 0° =1 .
b
Når v= 90° faller venstre vinkelbein sammen
med den positive andreaksen.
Vinkelbeinet skjærer enhetssirkelen i punktet (0 , 1) .
Dermed er sin 90° =1 og cos 90° =0 .
c
Når=
v 180° faller venstre vinkelbein sammen med den negative førsteaksen.
Vinkelbeinet skjærer enhetssirkelen i punktet (−1 , 0) .
Dermed er sin180° =0 og cos180° = −1 .
Oppgave 6.95
a
Sinus er en monotont voksende funksjon i intervallet 0° , 90° .
Ettersom sin v > sin u er derfor v > u . Vinkelen v er størst.
b
Cosinus er en monotont synkende funksjon i intervallet 0° , 180° .
Ettersom cos u < cos v er derfor u > v . Vinkelen u er størst.
c
Sinus er en positiv funksjon i hele intervallet 0° , 180° , mens cosinus
er positiv i intervallet 0° , 90° og negativ i intervallet 90° , 180° .
Når sin v > 0 og cos v < 0 vet vi derfor at v ∈ 90° , 180° .
Oppgave 6.96
Arealet av trekanten er lik halve produktet av de to sidene og sinus til den mellomliggende
vinkelen.
1
1
15 ⋅ 0, 6 9, 0
F = ⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin A = ⋅ 5, 0 ⋅ 3, 0 ⋅ 0, 6 =
= =4,5
2
2
2
2
Arealet av trekanten er 4,5.
Oppgave 6.97
a
F=
1
⋅ 8, 0 ⋅ 12 ⋅ sin 36°= 28
2
b
F=
1
⋅ 14 ⋅ 11 ⋅ sin 28°= 36
2
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 33 av 57
Løsninger
Oppgave 6.98
a
b
Arealet av trekanten er gitt ved
1
1
F=
⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin A=
⋅ 15 ⋅ 12,5 ⋅ sin 35°= 54
2
2
Arealet av trekanten er 54 cm 2 .
1
Arealet av trekanten er gitt ved F = ⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin A .
2
1
36, 0 = ⋅ 12,5 ⋅ AC ⋅ sin 50°
2
2 ⋅ 36, 0
AC =
12,5 ⋅ sin 50°
AC = 7,5
Siden AC har lengden 7,5 cm.
Oppgave 6.99
Arealet av trekanten er lik halve produktet av de to sidene og sinus til den mellomliggende
vinkelen.
1
F=
⋅ 6,8 ⋅ 4,5 ⋅ sin100°= 15,1
2
Arealet av trekanten er 15,1 m 2 .
Oppgave 6.100
Tomta er satt sammen av to trekanter.
1
Trekant ABD: F =
⋅ 54, 2 ⋅ 78,3 ⋅ sin 32,9°= 1152, 6
2
1
Trekant BDC: F =⋅ 61, 7 ⋅ 78,3 ⋅ sin 44,5° =
1693,1
2
Samlet areal: 1152, 6 m 2 + 1693,1 m 2 = 2845, 7 m 2 ≈ 2850 m 2
Arealet av tomta er 2850 m 2 = 2,85 mål .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 34 av 57
Løsninger
Oppgave 6.101
a
Arealet av trekanten er gitt ved
1
F = ⋅ AC ⋅ BC ⋅ sin C
2
Det gir likningen
1
50 = ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ sin C
2
50
= 60 ⋅ sin C
50
= sin C
60
Vi må huske at likningen har to løsninger: én spiss vinkel og én stump vinkel.
 50 
 50 
C
= sin −1   ∨ C
= 180° − sin −1  
 60 
 60 
C
= 56, 4° ∨ C
= 180° − 56, 4°
C 56, 4° ∨ =
C 123, 6°
=
b
1
F = ⋅ AB ⋅ BC ⋅ sin B
2
1
10,5 = ⋅ AB ⋅ 7 ⋅ sin150°
2
2 ⋅ 10,5
AB =
7 ⋅ sin150°
AB = 6
Oppgave 6.102
a
b
c
Sinus er en monotont voksende funksjon i
intervallet 0° , 90° . Det kan vi se utfra
enhetssirkelen. Når vinkelen v øker, øker
andrekoordinaten til skjæringspunktet
mellom vinkelbeinet og enhetssirkelen.
Siden 35° > 33° er altså sin 35° > sin 33° .
Arealet av trekant I er gitt ved
1
FI = ⋅ 3, 2 ⋅ 4,8 ⋅ sin 35°
2
Arealet av trekant II er gitt ved
1
FII = ⋅ 3, 2 ⋅ 4,8 ⋅ sin 33°
2
Den eneste forskjellen mellom uttrykkene er vinkelen mellom de to sidene i trekanten.
Ettersom sin 35° > sin 33° er dermed FI > FII . Trekant I har størst areal.
1
⋅ 3, 2 ⋅ 4,8 ⋅ sin 35°= 4, 4
2
1
FII =
⋅ 3, 2 ⋅ 4,8 ⋅ sin 33°= 4, 2
2
FI =
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 35 av 57
Løsninger
Oppgave 6.103
a
sin v er definert som andrekoordinaten til skjæringspunktet P mellom vinkelbeinet og
enhetssirkelen. Altså er sin v = 0,92 .
cos v er definert som førstekoordinaten til skjæringspunktet P mellom vinkelbeinet og
enhetssirkelen. Altså er cos v = 0, 40 .
b
sin v er andrekoordinaten til punktet. Altså er sin v = t .
cos v er førstekoordinaten til punktet. Altså er cos v = s .
Oppgave 6.104
a
Arealet av trekanten er lik halve produktet av de to sidene og sinus til den mellomliggende
vinkelen.
1
F=
⋅ 5,8 ⋅ 8,1 ⋅ sin 53, 2°= 18,8
2
Arealet av trekanten er 18,8 m 2 .
b
1
2
1
F =⋅ 10, 0 ⋅ 12, 0 ⋅ sin 45,5° =
42,8
2
Arealet av trekanten er 42,8 cm 2 .
1
F =⋅ 10, 0 ⋅ 12, 0 ⋅ sin134,5° =
42,8
2
Arealet av trekanten er 42,8 cm 2 .
Oppgave 6.105
Tomta er satt sammen av to trekanter, som vist på figuren.
1
Arealet av trekant ABC: F =
⋅ 35, 4 ⋅ 20, 4 ⋅ sin106°= 347,1
2
1
Arealet av trekant ADC: F =
⋅ 27,1 ⋅ 38,9 ⋅ sin 85°= 525,1
2
Samlet areal: 347,1 m 2 + 525,1 m 2 = 872, 2 m 2 ≈ 872 m 2
Arealet av tomta er 872 m 2 .
Oppgave 6.106
a
Både sin v og cos v er mellom 0 og 1. Vinkelen er derfor i intervallet 0° , 90° .
v cos −1 0,559
=
= 56, 0°
b
sin v er positiv og cos v er negativ. Vinkelen er derfor i intervallet 90° , 180° .
v =cos −1 (−0,829) =146, 0°
c
sin v sin (180° − v ) . Når v > 90° er derfor =
Vi vet at=
v 180° − sin −1 0, 784
= 128, 4° .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 36 av 57
Løsninger
Oppgave 6.107
a
b
c
Trekanten ADC er rettvinklet. Da er
CD
tan ∠DAC =
AD
CD
tan 31° =
22 m
CD = 22 m ⋅ tan 31°
CD = 13, 22 m
Lengden av CD er 13,2 m.
Siden trekanten er rettvinklet, er arealet gitt ved
1
1
⋅ CD ⋅ AD = ⋅ 13, 22 m ⋅ 22 m =
145, 42 m 2 ≈ 145 m 2
2
2
Arealet av trekant ADC er 145 m 2 .
Vi finner lengden av AC fra pytagorassetningen på trekanten ADC.
AC =
AD 2 + CD 2 = 222 + 13, 222 m = 25, 67 m
1
1
Arealet av trekant ABC: ⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin ∠BAC =
⋅ 16 ⋅ 25, 67 ⋅ sin 32°= 108,82
2
2
Arealet av hele området: 145, 42 m 2 + 108,82 m 2 =
254, 24 m 2
254, 24
Antall trær:
= 28
9
Det vokser 28 trær på området.
Oppgave 6.108
a
1
Arealet av trekant I: FI = ⋅ 3,9 ⋅ 3, 0 ⋅ sin138°
2
1
Arealet av trekant II: FII = ⋅ 3,9 ⋅ 3, 0 ⋅ sin 40°
2
=
° sin (180° − 138
=
° ) sin 42° .
Vi vet at sin138
Sinus er en monotont voksende funksjon i intervallet 0° , 90° .
Derfor er sin 42° > sin 40° . Dette betyr at FI > FII . Trekant I har altså størst areal.
b
1
⋅ 3,9 ⋅ 3, 0 ⋅ sin138°= 3,9
2
1
FII =
⋅ 3,9 ⋅ 3, 0 ⋅ sin 40°= 3,8
2
FI =
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 37 av 57
Løsninger
Oppgave 6.109
Vi finner først lengden av AC ved hjelp av sinus, og deretter
lengden av AB fra pytagorassetningen.
BC
sin A =
AC
3 6 3
=
AC
2
2
= 12
AC = 6 3 ⋅
3
AB =
AC 2 − BC 2 =
(
122 − 6 3
Arealet av trekanten er dermed
)
2
=
144 − 108 =
36 = 6
1
1
⋅ AB ⋅ BC = ⋅ 6 ⋅ 6 3 = 18 3 .
2
2
Oppgave 6.110
Arealet av trekanten er gitt ved
1
F = ⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin A
2
Det gir likningen
1
20 = ⋅ 8 ⋅ 10 ⋅ sin A
2
20
= 40 ⋅ sin A
sin A = 0,5
Likningen har to løsninger:
=
A sin −1 0,5 ∨ =
A 180° − sin −1 0,5
A= 30° ∨ A= 180° − 30°
A = 30° ∨ A = 150°
Oppgave 6.111
Arealet av området er gitt ved
1
1
1
⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ sin v + ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ sin v + ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ sin
=
v 3sin v + 6sin v + 10sin
=
v 19sin v
2
2
2
Arealet skal være 6,5. Det gir likningen 19sin v = 6,5 .
6,5
sin v =
19
 6,5 
v= sin −1 
=
 20°
 19 
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 38 av 57
Løsninger
Oppgave 6.112
a
Summen av vinklene i trekanten skal være 180° .
Altså er C= 180° − 25° − 80°= 75° .
b
Her er AC = b og AB= c= 45 .
Vi bruker sinussetningen med utgangspunkt i vinklene B og C.
b
c
=
sin B sin C
b
45
=
sin 80° sin 75°
sin 80°
=
b 45 ⋅
sin 75°
b = 46
Lengden av siden AC er 46.
Oppgave 6.113
a
b
Vi bruker sinussetningen med utgangspunkt i vinklene A og B.
a
b
=
sin A sin B
a
25, 0 cm
=
sin 42° sin 28°
sin 42°
= 35, 6 cm
a = 25, 0 cm ⋅
sin 28°
Lengden av siden BC er 35,6 cm.
Vinkelsummen i trekanten er 180° . Altså er C
= 180° − 42° − 28=
° 110° .
c
b
=
sin C sin B
25, 0 cm
c
=
sin110° sin 28°
sin110°
c = 25, 0 cm ⋅
= 50, 0 cm
sin 28°
Lengden av siden AB er 50,0 cm.
Oppgave 6.114
Vi bruker sinussetningen med utgangspunkt i vinklene B og C.
b
c
=
sin B sin C
b
6, 0
=
0, 4 0,8
0, 4
1
= 6, 0 ⋅ = 3
b = 6, 0 ⋅
0,8
2
Lengden av siden AC er 3.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 39 av 57
Løsninger
Oppgave 6.115
Vi bruker sinussetningen med utgangspunkt i vinklene A og C.
sin A sin C
=
a
c
sin A sin125°
=
3,3
5,1
3,3
sin A = ⋅ sin125°
5,1
sin A = 0,530
A= sin −1 0,530= 32°
Dermed er B= 180° − 32° − 125°= 23° .
b
c
=
sin B sin C
b
5,1
=
sin 23° sin125°
sin 23°
=
b=
5,1 ⋅
2, 4
sin125°
Lengden av siden AC er 2,4.
Oppgave 6.116
a
Vi har oppgitt to sider i trekanten, og den motstående vinkelen til den lengste av de to sidene.
Vinkelen er dessuten større enn 90° . Da er det bare én trekant som passer til opplysningene.
b
Vi bruker sinussetningen med utgangspunkt i vinklene A og C.
sin C sin A
=
c
a
sin C sin130, 6°
=
12, 4
16, 2
 12, 4

⋅ sin130, 6° 
C= sin −1 
 16, 2

=
C 35,53° ≈ 35,5°
Dermed er =
B 180° − 130, 6° − 35,53=
° 13,87° ≈ 13,9° .
Til slutt finner vi b ved å bruke sinussetningen med utgangspunkt i vinklene A og B.
b
a
=
sin B sin A
16, 2
b
=
sin13,87° sin130, 6°
sin13,87°
16, 2 ⋅
5,1
b=
=
sin130, 6°
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 40 av 57
Løsninger
Oppgave 6.117
a
Vi starter med å tegne siden AB. Så tegner vi vinkel A,
der lengden av det venstre vinkelbeinet er ukjent.
Så tegner vi en sirkel med sentrum i punktet B og radius
8,5 cm. Da ser vi at sirkelen skjærer vinkelbeinet fra vinkel
A i to punkter, C1 og C2 . Dette betyr at det er to trekanter
som stemmer med opplysningene, én med den spisse
vinkelen C1 og én med den stumpe vinkelen C2 .
Vi legger også merke til at høyden fra B på AC er den
samme i de to trekantene. Derfor er sin C1 = sin C2 .
b
Vi må starte med å finne de ukjente vinklene.
Først bruker vi sinussetningen med utgangspunkt i vinklene A og C.
sin C sin A
=
c
a
sin C sin 50°
=
10, 0
8,5
Som vi vet fra oppgave a har likningen to løsninger:
 10, 0

 10, 0

⋅ sin 50°  ∨ C =
⋅ sin 50° 
C=
sin −1 
180° − sin −1 
 8,5

 8,5

=
C 64,32° ∨=
C 115, 68°
Trekant I:
=
C 64,32° ≈ 64,3°
=
° 65, 68° ≈ 65, 7°
B 180° − 50° − 64,32=
b
a
=
sin B sin A
b
8,5 cm
=
sin 65, 68° sin 50°
sin 65, 68°
b=
8,5 cm ⋅
=
10,1 cm
sin 50°
Lengden av siden AC er 10,1 cm.
Trekant II:
=
C 115, 68° ≈ 115, 7°
=
B 180° − 50° − 115, 68=
° 14,32° ≈ 14,3°
b
a
=
sin B sin A
b
8,5 cm
=
sin14,32° sin 50°
sin14,32°
b=
=
8,5 cm ⋅
2, 7 cm
sin 50°
Lengden av siden AC er 2,7 cm.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 41 av 57
Løsninger
Oppgave 6.118
Vi setter den ukjente siden lik x cm. Cosinussetningen gir
2
x=
3,32 + 4,52 − 2 ⋅ 3,3 ⋅ 4,5 ⋅ cos 41, 7°
x 2 = 8,965
x = ± 8,965
x = 3, 0
Den ukjente siden i trekanten har lengden 3,0 cm.
Oppgave 6.119
a
Vi bruker cosinussetningen med utgangspunkt i vinkel A.
62 = 7 2 + 102 − 2 ⋅ 7 ⋅ 10 ⋅ cos A
36 = 149 − 140 ⋅ cos A
140 ⋅ cos A =
149 − 36
113
cos A =
140
 113 
=
A cos −1  =
 36,18°
 140 
Så bruker vi cosinussetningen med utgangspunkt i vinkel B.
7 2 = 62 + 102 − 2 ⋅ 6 ⋅ 10 ⋅ cos B
49 = 136 − 120 ⋅ cos B
120 ⋅ cos B =
136 − 49
cos B =
87
120
 87 
B cos −1  =
=
 43,53°
 120 
Til slutt finner vi vinkel C: C
= 180° − 36,18° − 43,53=
° 100, 29°
Vinklene i trekanten er 36, 2° , 43,5° og 100,3° .
b
Vi bruker cosinussetningen med utgangspunkt i vinkel A.
2
4,5=
6, 02 + 7,52 − 2 ⋅ 6, 0 ⋅ 7,5 ⋅ cos A
90 ⋅ cos A =
72
 72 
=
A cos −1 =
 36,87°
 90 
Så bruker vi cosinussetningen med utgangspunkt i vinkel B.
2
6, 0=
4,52 + 7,52 − 2 ⋅ 4,5 ⋅ 7,5 ⋅ cos B
67,5 ⋅ cos B =
40,5
 40,5 
=
B cos −1  =
 53,13°
 67,5 
Dermed er C= 180° − 36,87° − 53,13°= 90° .
Vinklene i trekanten er 36,9° , 53,1° og 90° .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 42 av 57
Løsninger
Oppgave 6.120
Vi bruker cosinussetningen med utgangspunkt i vinkel A.
2
BC=
AB 2 + AC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cos A
3
BC 2 = 42 + 22 − 2 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅
4
2
BC = 16 + 4 − 12
BC 2 = 8
BC = ± 8
BC =
8=
4⋅2 =
4⋅ 2= 2 2
Lengden av siden BC er 2 2 .
Oppgave 6.121
a
Cosinussetningen med utgangspunkt i vinkel B gir
2
AC
=
21, 02 + 19,52 − 2 ⋅ 21, 0 ⋅ 19,5 ⋅ cos89°
AC 2 = 806,956
AC = ± 806,956
AC = 28, 407
Diagonalen AC har lengden 28,4 m.
b
Cosinussetningen med utgangspunkt i vinkel D gir
2
22,52 + 18, 02 − 2 ⋅ 22,5 ⋅ 18, 0 ⋅ cos D
AC
=
806,956
= 830, 25 − 810 ⋅ cos D
810 ⋅ cos D =
23, 294
 23, 294 
D cos −1 
=
=
 88,352° ≈ 88, 4°
 810 
c
Firkanten er satt sammen av de to trekantene ABC og ACD.
1
Trekant ABC: F =
⋅ 21, 0 ⋅ 19,5 ⋅ sin 89°= 204, 7
2
1
Trekant ACD: F =
⋅ 22,5 ⋅ 18, 0 ⋅ sin 88,352°= 202, 4
2
Samlet areal: 204, 7 m 2 + 202, 4 m 2 =
407,1 m 2
Arealet av firkanten er 407 m 2 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 43 av 57
Løsninger
Oppgave 6.122
a
Vi bruker sinussetningen.
x
2,9
=
sin 32° sin 25°
sin 32°
=
x 2,9 ⋅
sin 25°
x = 3, 6
b
Vi bruker sinussetningen.
sin x sin 53°
=
2, 4
5,1
2, 4
sin x = ⋅ sin 53°
5,1
sin x = 0,3758
x = sin −1 0,3758
=
x 22,1°
c
Vi bruker cosinussetningen.
x 2 = 3, 62 + 3, 02 − 2 ⋅ 3, 6 ⋅ 3, 0 ⋅ cos123°
x 2 = 33, 724
x = ± 33, 724
x = 5,8
d
Vi bruker cosinussetningen.
2
6, 0=
3, 02 + 5, 02 − 2 ⋅ 3, 0 ⋅ 5, 0 ⋅ cos x
36 = 34 − 30 ⋅ cos x
30 ⋅ cos x =
34 − 36
−2
cos x =
30
 2 
x cos −1  − 
=
 30 
x 93,8°
=
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 44 av 57
Løsninger
Oppgave 6.123
a
Vinkelsummen i trekanten er 180° . Altså er C= 180° − 45° − 60°= 75° .
Vi bruker sinussetningen med utgangspunkt i vinklene A og B.
b
a
=
sin B sin A
b
5,9
=
sin 60° sin 45°
sin 60°
=
b =⋅
5,9
7, 2
sin 45°
Så bruker vi sinussetningen med utgangspunkt i vinklene A og C.
c
a
=
sin C sin A
c
5,9
=
sin 75° sin 45°
sin 75°
=
c =⋅
5,9
8,1
sin 45°
b
Vi bruker sinussetningen med utgangspunkt i vinklene A og C.
sin C sin A
=
c
a
sin C sin 30, 7°
=
6, 21
8,36
6, 21
sin C = ⋅ sin 30, 7°
8,36
 6, 21

=
⋅ sin 30,=
C sin −1 
7°  22, 29° ≈ 22,3°
 8,36

Dermed er =
B 180° − 30, 7° − 22, 29=
° 127, 01° ≈ 127, 0° .
Til slutt finner vi b ved å bruke sinussetningen med utgangspunkt i vinklene A og B.
b
a
=
sin B sin A
b
8,36
=
sin127, 01° sin 30, 7°
sin127, 01°
=
b=
8,36 ⋅
13,1
sin 30, 7°
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 45 av 57
Løsninger
c
Vi bruker sinussetningen med utgangspunkt i vinklene A og B.
sin B sin A
=
b
a
sin B sin 60°
=
9
10
9

B sin −1  ⋅ sin 60
=
=
°  51, 21° ≈ 51, 2°
 10

Dermed er C
= 180° − 60° − 51, 21=
° 68, 79° ≈ 68,8° .
Til slutt finner vi c ved å bruke sinussetningen med utgangspunkt i vinklene A og C.
c
a
=
sin C sin A
c
10
=
sin 68, 79° sin 60°
sin 68, 79°
c=
10 ⋅
=
10,8
sin 60°
d
Vi bruker cosinussetningen med utgangspunkt i vinkelen A.
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos A
a 2 = 52 + 62 − 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ cos 20°
=
=
° 2,149 ≈ 2,1
a
25 + 36 − 60 ⋅ cos 20
Så bruker vi sinussetningen med utgangspunkt i vinklene A og B.
sin B sin 20°
=
5
2,149
 5

=
B sin −1 
⋅ sin 20
=
°  52, 73° ≈ 52, 7°
 2,149

Dermed er C
= 180° − 20° − 52, 73=
° 107, 27° ≈ 107,3° .
e
Vi bruker cosinussetningen med utgangspunkt i vinkelen A.
2
5, 6=
3,82 + 6,82 − 2 ⋅ 3,8 ⋅ 6,8 ⋅ cos A
2 ⋅ 3,8 ⋅ 6,8 ⋅ cos A = 3,82 + 6,82 − 5, 62
cos A =
3,82 + 6,82 − 5, 62
2 ⋅ 3,8 ⋅ 6,8
 3,82 + 6,82 − 5, 62 
A cos 
=
=
 55, 44° ≈ 55, 4°
2 ⋅ 3,8 ⋅ 6,8


Så bruker vi sinussetningen med utgangspunkt i vinklene A og B.
sin B sin 55, 44°
=
3,8
5, 6
−1
 3,8

=
B sin −1 
⋅ sin 55, 44
=
°  33,97° ≈ 34, 0°
 5, 6

Dermed er C
= 180° − 55, 44° − 33,97=
° 90,59° ≈ 90, 6° .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 46 av 57
Løsninger
Oppgave 6.124
a
b
Trekanten ACD er rettvinklet. Vi bruker derfor pytagorassetningen.
AC= 12, 02 + 9, 02= 15, 0
Lengden av siden AC er 15,0.
Vi bruker sinussetningen.
sin B sin ∠ACB
=
AC
AB
sin B sin 66, 7°
=
15, 0
14, 0
 15, 0

=
⋅ sin 66,=
B sin −1 
7°  79, 75° ≈ 79,8°
 14, 0

c
∠BAC
= 180° − 66, 7° − 79, 75=
° 33,55°
1
Arealet av trekant ACD: ⋅ 12, 0 ⋅ 9, 0 =
54, 0
2
1
Arealet av trekant ABC: ⋅ 14, 0 ⋅ 15, 0 ⋅ sin 33,55° =58, 0
2
Arealet av firkanten ABCD er dermed 54, 0 + 58, 0 =
112 .
Oppgave 6.125
Vi finner avstanden x fra Dueøya til Kråkeøya ved hjelp av
cosinussetningen.
x 2 = 16002 + 19502 − 2 ⋅ 1600 ⋅ 1950 ⋅ cos 40°
x=
16002 + 19502 − 2 ⋅ 1600 ⋅ 1950 ⋅ cos 40°
x = 1258
Avstanden fra Dueøya til Kråkeøya er 1258 m.
Omkretsen av trekanten er dermed
1950 m + 1258 m + 1600 m = 4808 m ≈ 4,81 km
Båtturen er på 4,81 km.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 47 av 57
Løsninger
Oppgave 6.126
a
Trekanten ABC er rettvinklet. Vi bruker derfor pytagorassetningen.
AC = 8, 02 − 3, 02 = 7, 42 ≈ 7, 4
Lengden av diagonalen AC er 7,4.
b
BC
AB
3, 0
cos B =
8, 0
cos B =
 3, 0 
B cos −1  =
=
 67,98° ≈ 68, 0°
 8, 0 
Vi finner vinkelen D fra cosinussetningen.
2
AC=
DC 2 + DA2 − 2 ⋅ DC ⋅ DA ⋅ cos D
2
7, 42=
3,52 + 5,52 − 2 ⋅ 3,5 ⋅ 5,5 ⋅ cos D
38,5 ⋅ cos D =
−12,56
 12,56 
=
D cos −1  − =
 109, 04° ≈ 109, 0°
 38,5 
c
∠BAC
= 180° − 90° − 67,98=
° 22, 02°
Vi finner ∠CAD fra sinussetningen.
sin ∠CAD sin D
=
CD
AC
sin ∠CAD sin109, 04°
=
3,5
7, 42
 3,5

∠CAD
= sin −1 
⋅ sin109, 04=
°  26, 48°
 7, 42

Dermed er
A = ∠BAC + ∠CAD = 22, 02° + 26, 48° = 48,50° ≈ 48,5°
=
C 360° − ( A + B + D=
) 360° − (48,50° + 67,98° + 109, 04=
°) 134, 48° ≈ 134,5°
Oppgave 6.127
a
Sinussetningen på trekanten BDC gir
sin ∠BDC sin B
=
BC
DC
sin ∠BDC sin 78°
=
4,3
5, 0
 4,3

∠BDC
= sin −1 
⋅ sin 78
=
°  57, 27° ≈ 57°
 5, 0

b
= 180° − 57, 27=
° 122, 73° .
∠ADC og ∠BDC er supplementvinkler. Altså er ∠ADC
Arealet av trekanten ADC er dermed gitt ved
F = 12 ⋅ 7,5 ⋅ 5, 0 ⋅ sin122, 73° = 15,8 ≈ 16
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 48 av 57
Løsninger
Oppgave 6.128
a
b
Vi bruker sinussetningen med utgangspunkt i vinklene A og C.
sin C sin16, 0°
=
5,5
2,5
 5,5

C sin −1 
=
⋅ sin16, 0=
°  37,33°
 2,5

B 180° − 16, 0° − 37,33=
=
° 126, 67°
Arealet av trekanten er dermed
1
F=
⋅ 5,5 ⋅ 2,5 ⋅ sin126, 67°= 5,5
2
Det finnes to forskjellige trekanter som begge stemmer med de tre opplysningene som er gitt
om trekanten. I den ene trekanten er vinkel B stump (og vinkel C spiss), og i den andre er
vinkel B spiss (og vinkel C stump). Vi må derfor vite om B > 90° eller B < 90° for å kunne
regne ut arealet av trekanten.
Oppgave 6.129
a
Vi ser av figuren at det er to trekanter som stemmer med opplysningene, én der vinkel C er
spiss og én der vinkel C er stump. Vi finner vinkel C fra sinussetningen.
sin C sin 51°
=
4,3
3,9
 4,3

 4,3

⋅ sin 51°  ∨ C =
⋅ sin 51° 
C=
sin −1 
180° − sin −1 
 3,9

 3,9

=
C 58,97° ∨=
C 121, 03°
Trekant I:
=
C 58,97° ≈ 59°
=
B 180° − 51° − 58,97=
° 70, 03° ≈ 70°
b
3,9
=
sin 70, 03° sin 51°
sin 70, 03°
b=
3,9 ⋅
=
4, 7
sin 51°
Trekant II:
=
C 121, 03° ≈ 121°
=
B 180° − 51° − 121, 03=
° 7,97° ≈ 8, 0°
b
3,9
=
sin 7,97° sin 51°
sin 7,97°
b=
=
3,9 ⋅
0, 70
sin 51°
b
1
⋅ 4,3 ⋅ 3,9 ⋅ sin 70, 03°= 7,9
2
1
Trekant II: F =
⋅ 4,3 ⋅ 3,9 ⋅ sin 7,97°= 1, 2
2
Trekant I: F =
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 49 av 57
Løsninger
Oppgave 6.130
a
Vi finner først vinkel B ved hjelp av cosinussetningen.
2
AC=
AB 2 + BC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ BC ⋅ cos B
2
6,5=
11, 02 + 5,52 − 2 ⋅ 11, 0 ⋅ 5,5 ⋅ cos B
11, 02 + 5,52 − 6,52
cos B =
2 ⋅ 11, 0 ⋅ 5,5
 11, 02 + 5,52 − 6,52 
=
B cos 
=
 25, 73°
2 ⋅ 11, 0 ⋅ 5,5


Arealet av trekanten er dermed gitt ved
1
1
F=
⋅ AB ⋅ BC ⋅ sin B=
⋅ 11, 0 ⋅ 5,5 ⋅ sin 25, 73°= 13,1
2
2
−1
b
∠BDC
= 180° − ∠ADC
= 180° − 120=
° 60°
∠DCB
= 180° − 60° − 25, 73=
° 94, 27°
Vi finner lengden av BD fra sinussetningen.
BD
BC
=
sin ∠DCB sin ∠BDC
5,5
BD
=
sin 94, 27° sin 60°
sin 94, 27°
5,5 ⋅
6,3
BD =
=
sin 60°
Lengden av BD er 6,3.
Oppgave 6.131
Trekanten ACD er rettvinklet. Vi finner derfor AC fra pytagorassetningen.
AC = 4,82 + 4, 22 m =6,38 m
Dermed kan vi finne vinkel B fra cosinussetningen.
2
6,38=
4,52 + 3,82 − 2 ⋅ 4,5 ⋅ 3,8 ⋅ cos B
 4,52 + 3,82 − 6,382 
=
=
B cos −1 
 100,13°
2 ⋅ 4,5 ⋅ 3,8


1
Arealet av trekant ACD: ⋅ 4,8 ⋅ 4, 2 =
10, 08
2
1
Arealet av trekant ABC: ⋅ 4,5 ⋅ 3,8 ⋅ sin100,13° =8, 42
2
Arealet av golvet er dermed 10, 08 m 2 + 8, 42 m 2 =
18,5 m 2 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 50 av 57
Løsninger
Oppgave 6.132
Vi finner først lengden av diagonalen AC fra cosinussetningen.
=
AC
=
° 19,97
12, 62 + 11, 7 2 − 2 ⋅ 12, 6 ⋅ 11, 7 ⋅ cos110,5
Så finner vi vinkel B fra sinussetningen, og husker da at vinkel B er stump.
sin B sin ∠BAC
=
AC
BC
sin B sin 20, 6°
=
19,97
8, 4
 19,97

=
⋅ sin 20, 6°=
B 180° − sin −1 
 123, 23°
 8, 4

Dermed er ∠ACB
= 180° − 20, 6° − 123, 23=
° 36,17° .
1
1
Arealet av trekant ABC: ⋅ AC ⋅ BC ⋅ sin ∠ACB=
⋅ 19,97 ⋅ 8, 4 ⋅ sin 36,17°= 49,50
2
2
1
1
Arealet av trekant ACD: ⋅ DC ⋅ DA ⋅ sin D=
⋅ 12, 6 ⋅ 11, 7 ⋅ sin110,5°= 69, 04
2
2
Arealet av firkanten er dermed 49,50 + 69, 04 = 118,54 ≈ 119 .
Oppgave 6.133
Vi finner først lengden av AC fra cosinussetningen.
AC
= 1052 + 1322 − 2 ⋅ 105 ⋅ 132 ⋅ cos102°=
m 184,97 m
Så finner vi ∠ACB fra sinussetningen.
sin ∠ACB
sin102°
=
105 m
184,97 m
 105

∠ACB
= sin −1 
⋅ sin102=
°  33, 73°
 184,97

Dermed er ∠ACD
= 135° − 33, 73=
° 101, 27° .
Til slutt finner vi lengden av AD fra cosinussetningen.
=
AD
184,97 2 + 1952 − 2 ⋅ 184,97 ⋅ 195 ⋅ cos101,=
27° m 294 m
Oppgave 6.134
Vi finner lengden av BC fra sinussetningen.
BC
AC
=
sin A sin B
BC
6
=
6
3
3
4
6
4 6⋅4 6
BC=
⋅6⋅ =
⋅ = 8 2
3
3
3
3
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 51 av 57
Løsninger
Oppgave 6.135
Vi bruker cosinussetningen med utgangspunkt i vinkel A.
2
BC=
AB 2 + AC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cos A
2
BC 2 = 62 + 42 − 2 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅
3
2
BC = 36 + 16 − 32
BC 2 = 20
BC = ± 20
BC = 20 = 4 ⋅ 5 = 4 ⋅ 5 = 2 5
Lengden av BC er 2 5 cm .
Oppgave 6.136
Vinklene u og A er supplementvinkler, siden u + A = 180° .
Da er sin u = sin A og cos u = − cos A .
Fra pytagorassetningen på trekanten ACD er
2
b=
x 2 + h2
2
h=
b2 − x 2
Dessuten er
x
cos u =
b
x = b cos u
x = −b cos A
der vi i siste linje har brukt cos u = − cos A .
Pytagorassetningen på trekanten DBC gir dermed
a 2 =(c + x) 2 + h 2
a 2 = (c + x ) 2 + b 2 − x 2
a 2 = c 2 + x 2 + 2cx + b 2 − x 2
a 2 = b 2 + c 2 + 2cx
a 2 = b 2 + c 2 + 2c ⋅ (−b cos A)
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
Kapitteltest
Del 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1
motstående katet til A
=
hypotenus
hosliggende katet til A
cos=
A
=
hypotenus
sin=
A
© Aschehoug
28
= 0, 28
100
96
= 0,96
100
www.lokus.no
Side 52 av 57
Løsninger
Oppgave 2
Den hosliggende kateten til vinkelen v har lengden 4.
Vi bruker definisjonen av tangens og finner den motstående kateten x.
motstående katet til v x
=
tan v =
hosliggende katet til v 4
Ettersom tan v = 3 4 gir dette likningen
x 3
=
4 4
x=3
Den motstående kateten har lengden 3.
Vi finner hypotenusen fra pytagorassetningen.
2
42 + 32
h=
2
16 + 9
h=
h 2 = 25
h = ± 25
h=5
Hypotenusen har lengden 5.
Oppgave 3
hosliggende katet til A 4
=
hypotenus
5
Hvis den hosliggende kateten til vinkelen A har lengden 4 og
hypotenusen har lengden 5, vil dette stemme med cos A = 4 5 .
a
cos A
=
b
Fra pytagorassetningen er
2
5=
42 + x 2
2
x=
25 − 16
x= ± 9
x=3
Dermed er
tan v
=
c
motstående katet til A 3
=
hosliggende katet til A 4
Vi bruker formlikhet.
8 x
=
4 5
4⋅ x =8⋅5
40
4
x = 10
Hvis AB har lengden 8, har AC lengden 10.
x=
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 53 av 57
Løsninger
Oppgave 4
1
Arealet av trekant I: FI =
⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ sin 25° =
6 ⋅ sin 25°
2
1
Arealet av trekant II: FII =
⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ sin150° =
6 ⋅ sin150°
2
=
° sin (180° − 150
=
° ) sin 30° .
Vi vet at sin150
Sinus er en monotont voksende funksjon i intervallet 0° , 90° . Altså er sin 30° > sin 25° .
Dette betyr at FII > FI . Trekant II har derfor størst areal.
Oppgave 5
a
Vi finner lengden av BC fra cosinussetningen.
2
BC=
AB 2 + AC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cos A
BC 2 = 7 2 + 32 − 2 ⋅ 7 ⋅ 3 ⋅
2
3
BC 2 = 49 + 9 − 28
BC 2 = 30
BC = ± 30
Lengden av siden BC er
b
30 .
Vi bruker arealsetningen med utgangspunkt i vinkelen B.
1
F = ⋅ AB ⋅ BC ⋅ sin B
2
7 5 1
= ⋅ 7 ⋅ 30 ⋅ sin B
2
2
7 5 ⋅2
sin B =
2 ⋅ 7 ⋅ 30
sin B =
5
30
sin B =
5
30
sin B =
1
6
sin B =
1⋅ 6
6⋅ 6
sin B =
6
6
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 54 av 57
Løsninger
Del 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 6
a
Vi bruker sinus.
BC
sin A =
AC
BC
sin 35° =
8, 6 m
BC = 8, 6 m ⋅ sin 35°
=
BC 4,93 m ≈ 4,9 m
Lengden av BC er 4,9 m.
C= 90° − 35°= 55°
b
1
F = ⋅ AC ⋅ BC ⋅ sin C
2
1
F =⋅8, 6 m ⋅ 4,93 m ⋅ sin 55°
2
=
F 17,37 m 2 ≈ 17, 4 m 2
Arealet av trekanten er 17, 4 m 2 .
c
Trekantene ABC og DEF har to vinkler felles.
Den siste vinkelen må derfor også være lik, ∠F =
∠C . Trekantene er altså formlike.
Forholdet mellom tilsvarende sider er 1,5, der trekant DEF er størst.
Forholdet mellom arealene er da 1,52 = 2, 25 .
Arealet av trekanten DEF er dermed 17,37 m 2 ⋅ 2, 25 =
39 m 2 .
Oppgave 7
a
b
x
8, 0 m
x = 8, 0 m ⋅ sin 70°
x = 7,5 m
Stigen når 7,5 m opp på veggen.
sin 70° =
sin v =
7m
8, 0 m
 7 
v = sin −1 

 8, 0 
v= 61°
Stigen danner vinkelen 61° med bakken.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 55 av 57
Løsninger
Oppgave 8
a
b
c
Vi bruker arealsetningen med utgangspunkt i vinkel A.
1
1
F=
⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin A=
⋅ 6,5 km ⋅ 4,3 km ⋅ sin 40°= 9, 0 km 2
2
2
Arealet av landområdet er 9, 0 km 2 .
x
4,3 km
=
x 4,3 km ⋅ sin
=
40° 2,8 km
Avstanden fra C til siden AB er 2,8 km.
Vi finner først lengden av BC fra cosinussetningen.
sin 40° =
BC
= 4,32 + 6,52 − 2 ⋅ 4,3 ⋅ 6,5 ⋅ cos 40° km
= 4, 23 km
Det naturlige nå er å bruke sinussetningen med utgangspunkt i vinklene A og C.
Men ∠C er nær 90° , og det er vanskelig å se fra figuren om vinkelen er spiss eller stump.
Det «tryggeste» er derfor å finne vinkel B først, som vi vet er spiss.
sin B sin A
=
AC
BC
sin B
sin 40°
=
4,3 km 4, 23 km
 4,3

= sin −1 
⋅ sin 40°=
B
 40,8°
 4, 23

Dermed er C
= 180° − 40° − 40,8=
° 99, 2° ≈ 99° .
Oppgave 9
a
Vi finner først lengden av AC fra cosinussetningen.
=
AC
252 + 532 − 2 ⋅ 25 ⋅ 53 ⋅ cos120
=
° 68,99
Så bruker vi sinussetningen med utgangspunkt i ∠ACD og ∠D
= 180° − 30° − 40=
° 110° .
AD
AC
=
sin ∠ACD sin D
AD
68,99
=
sin 40° sin110°
sin 40°
=
AD =
68,99 ⋅
47,19 ≈ 47
sin110°
Lengden av siden AD er 47.
b
1
1
⋅ AB ⋅ BC ⋅ sin B=
⋅ 25 ⋅ 53 ⋅ sin120°= 573, 74
2
2
1
1
Arealet av trekant ACD: ⋅ AC ⋅ AD ⋅ sin ∠CAD=
⋅ 68,99 ⋅ 47,19 ⋅ sin 30°= 813,91
2
2
Arealet av firkanten er dermed 573, 74 + 813,91 = 1387, 65 ≈ 1390 .
Arealet av trekant ABC:
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 56 av 57
Løsninger
Oppgave 10
a
Vi bruker sinussetningen med utgangspunkt i vinklene A og ∠ABD .
BD
AD
=
sin A sin ∠ABD
BD
2,5
=
sin 50° sin 25°
sin 50°
BD =
2,5 ⋅
=
4,53 ≈ 4,5
sin 25°
Lengden av siden BD er 4,5.
b
I  ADB bruker vi arealsetningen med utgangspunkt i ∠ADB
= 180° − 50° − 25=
° 105° .
1
1
FADB =
⋅ AD ⋅ BD ⋅ sin ∠ADB=
⋅ 2,5 ⋅ 4,53 ⋅ sin105°= 5, 47
2
2
Trekant BCD er rettvinklet. Vi finner derfor lengden av BC fra pytagorassetningen.
BC =
BD 2 − CD 2 =
4,532 − 4, 02 = 2,13
1
1
FBCD = ⋅ BC ⋅ CD = ⋅ 2,13 ⋅ 4, 0 =4, 26
2
2
Arealet av firkanten ABCD er dermed 5, 47 + 4, 26 = 9, 73 ≈ 9, 7 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 57 av 57