1. No category

FYS1120 Elektromagnetisme, ukesoppgavesett 7
18. oktober 2015
I FYS1120-undervisningen legger vi mer vekt på matematikk og numeriske
metoder enn det oppgavene i læreboka gjør. Det gjelder også oppgavene som
blir gitt til eksamen. Derfor er det viktig at du gjør ukesoppgavene
som blir gitt. Dersom du syns det er vanskelig å komme i gang med dem,
eller hvis du ikke syns det er nok oppgaver, så kan du godt gjøre følgende
oppgavene fra boka i tillegg.
Fra kapittelet ’Direct-Current Circuits’ (oppgaver på s. 215 og utover): Exercises 3,13, 44
Fra kapittelet ‘Magnetic Field and Magnetic Forces’ (oppgaver på s. 258 og
utover):1, 4, 10, 18
Figur 1: En Wheatstone-bro
Oppgave 1 Wheatstone-broen Kretsen i figur 1 kalles en Weatstonebro. Denne kan brukes til å bestemme resistans til en ukjent motstand R. Det
er tre variable motsander R1 , R2 og R3 , verdiene til disse motstandene er til
enhver tid kjent. Med bryterne S1 og S2 lukket, varieres de tre motstandene
til galvanometeret måler null strøm. Da sier vi at broen er balansert. Vis at
under disse forholdene er resistansen til den ukjente motstanden gitt ved
R=
R1 R3
.
R2
Svar: Dersom det ikke går noen strøm gjennom galvanometeret, må vi
fra Kirchoffs 1. lov ha at IR2 = IR3 og IR1 = IR . Vi kaller strømmen gjennom
R2 og R3 for IV (venstre) og strømmen gjennom R1 og R for IH (høyre).
For at kirchoffs slyngeregel skal være oppfylt må vi ha:
Dermed må
IV R2 = IH R1
(1)
IV R3 = IH R
(2)
IH R1
IV R 2
=
IV R3
IH R
(3)
Slik at
R=
R1 R3
R2
(4)
Oppgave 2 Sfærisk symmetrisk strøm
Vi skal nå se på to konsentriske kuleskall, laget av metall, med radius a og b
(a < b). I sjiktet mellom kuleskallene er det et svakt ledende materiale med
konduktivitet σ. Husk at konduktivitet er definert som σ ≡ 1/ρ, der ρ er
resistiviteten til materialet.
a) Anta at ved tiden t = 0 finnes det en ladning +Q på det innerste
kuleskallet, og en ladnig −Q på det ytterse skallet. Finn strømtettheten
~
som funksjon av posisjon mellom kuleskallene, J~ = J(r).
Svar: Stømtetthet J = I/A. Resistiviteten er definert som ρ = E/J.
Vi bruker Gauss lov til å finne det elektriske feltet mellom kuleskallene.
Feltet er E(r) = 4πQ0 r2 for a < r < b. Dermed er strømtettheten
J(r) = E(r)/ρ = σE(r) =
σQ
4π0 r2
(5)
b) Finn strømmen I(t = 0) fra det innerste kuleskallet til det ytterste.
Svar: Når vi kjenner strømtettheten over et kuleskall kan vi finne
strømmen:
σQ
σQ
I = JA =
× 4πr2 =
(6)
4π0 r2
0
c) Finn resistansen i materialet mellom kuleskallene.
Svar: Resistansen kan beregnes på flere måter. Her velger vi å integrere
resistiviteten.
Z b
ρdr
ρ 1 b
ρ 1 1
1
1 1
=
R=
=−
−
=
−
(7)
2
4π r a 4π a b
4πσ a b
a 4πr
d) Finn ladningen på det innerste kuleskallet som funksjon av tiden t.
Hint: Sammenlingn denne situasjonen med en kondensator som utlades.
Svar: Situasjonen er akkurat som en kondensator koblet i en krets
med en motstand. Vi bruker kirchoffs slyngeregel for spenningsfallet.
Spenningsfallet over motstanden er IR og spenningsfallet over konden4π0
satoren er V = Q
C der C = 1 − 1 er kapasitansen til en kulekondensator.
a
b
Vi setter opp likningen for ladning på det positive kuleskallet og strømmen fra det positive kuleskallet til det negative.
Q
dQ
+R
=0
C
dt
(8)
Denne likningen har løsning Q(t) = Q0 e−t/RC og I(t) = QC0 e−t/RC
der Q0 er den initielle ladningen på kondensatorkuleskallene og R er
motstanden fra forrige oppgave.
Oppgave 3 Det magnetiske momentet til hydrogenatomet
I Bohrs atommodell for hydrogenatomet går et elektron som er i laveste
energitilstand, i en sirkulær bane rundt et proton. Hastigheten til elektronet
er da 2.2 × 106 m/s, radius til banen (også kalt Bohrradien) er
a0 = 5.3 × 10−11 m.
a) Finn omløpstiden T til elektronet.
Svar: Omløpstiden er den tiden det tar elektronet å gå én runde rundt
protonet.
T =
2π × 5.3 × 10−11 m
strekning
=
= 1.5 × 10−16 s
hastighet
2.2 × 106 m s−1
(9)
b) Ved å betrakte på elektronets bane som en strømsløyfe, hva blir da
strømmen?
Svar: Elektronet vil passere et gitt sted i banen hvert 1.5 × 10−16 s.
Dermed blir strømmen
I=
1.6 × 10−19 C
= 1.1 mA
1.5 × 10−16 s
(10)
c) Elektronets bevegelse gir opphav til et magnetisk dipolmoment. Finn
dette magnetiske dipolmomentet.
Svar: Det magnetiske dipolmomentet til en strømsløyfe er µ = IA.
For den lille strømsløyfen elektronet rundt protonet utgjør blir dette
µ = 1.1 mA × π × (5.3 × 10−11 m)2 = 9.7 × 10−24 A m2
(11)
Om vi hadde regnet mer presis her hattt flere gjeldende siffer), ville vi
fått verdien til et bohr-magneton: µB = 9.27 × 10−24 J T−1 .
d) Vi plasserer et hydrogenatom i et magnetfelt på 1 T. Finn den potensielle energien til hydrogenatomet for disse to tilfellene:
(i) Magnetfeltet har samme retning som det magnetiske dipolmomentet til hydrogenatomet.
(ii) Magnetfeltet har retning normalt på det magnetiske dipolmomentet til hydrogenatomet.
I hvilken av situasjonene, (i) og (ii), vil det magnetiske dipolomomentet
innrette seg etter magnetfeltet?
Svar: Den potensielle energien til et magnetisk dipolmoment som befinner seg i et magnetfelt er gitt ved
~
U = −~
µ•B
(12)
(i) Dersom dipolen er parallell med magnetfeltet, kan absoluttverdiene til
magnetfeltet og dipolmomentet multipliseres:
~ = −µ×B = −9.7 × 10−24 A m2 ×1 T = 9.7 × 10−24 J (13)
U = −~
µ• B
(ii) Står dipolen vinkelrett på magnetfeltet er
U =0
(14)
Siden den parallelle konfigurasjonen har lavest energi, vil dipolen vri seg til
den har oppnådd denne konfigurasjonen. Altså vil tilfelle (ii) innrette seg
etter magnetfeltet.
Figur 2: En strømførende ledning som delvis ligger i et magnetfelt. Retningen
til magnetfeltet er ut av arket.
Oppgave 4 Kraft på en strømførende ledning
I figur 2 ser vi en strømførende ledning. Den delen av ledningen som har
formen til en halvsirkel ligger inne i en region med et uniformt magnetfelt
som peker rett ut fra oppgavearket. Retningen til ladningsbærerne indikeres
av retningen til pilene. Finn kraften som virker på ledningen på grunn av
magnetfeltet.
Svar:
Figur 3:
Ledningen føler bare en kraft hvor magnetfeltet virker. Et infinitesimalt
segment av ledningen føler kraften dF = Id~l × B. y-komponenten av denne
kraften (se figur 3) er gitt ved
dFy = |dF| sin θ
(15)
der |dF| = IBdl = IBRdθ slik at størrelsen til den totale y-komponenten av
kraften er gitt ved
Z
Z π
Fy = dFy = IBR
sin θdθ = 2IBR.
(16)
0
x-komponenten er gitt ved
Z
Fx = IBR
π
cos θdθ = 0
(17)
0
noe vi også kunne sett ut i fra symmetrien til problemet. Videre må
kraften peke i negativ y-retning (jmf. høyrehåndsregelen). Dermed
F = −2IBRĵ
(18)