1. No category

1
Jon Vislie; 12. mai 2015
Oppgave til plenumsøvelse i ECON 2200 – 23. april, med forslag til svar:
En person, som vi kan kalle en student, lever i to perioder, med preferanser for konsum og
anvendelse av tid i hver periode. I første periode har studenten en gitt tilgjengelig tid T som kan
anvendes til fritid ( L ), arbeidstid ( H ) og/eller studier, målt i tid, ved S , slik at tidsbudsjettet i
1.periode er T = L + H + S . I første periode mottar studenten en stønad I , som sammen med
en mulig arbeidsinntekt med lønn pr tidsenhet som W , gir en disponibel inntekt WH + I som
brukes til konsum i 1.periode, avregnet til pris lik én; slik at=
C WH + I .
I periode 2 kan studenten få en jobb til en lønn w(S ) som avhenger positivt av studietiden eller
studieforløpet i 1. periode, med w(0) = W og w′(S ) > 0 . (Det er ingen grunn til å studere i 2.
periode, og det er heller ingen stønader i 2.periode.) Den tilgjengelige tiden i 2. periode er T som
anvendes til arbeid ( h ) og fritid l ; slik at T= h + l . De økonomiske rammebetingelsene for 2.
periode, med c som konsum i 2.periode, er følgelig: c = w(S )h .
Anta også at vår student har preferanser for de to periodene gitt som
=
U u(C , L) + cu(c, l) , der
b er en positiv diskonteringsfaktor, mindre enn én.
a) Utled den optimale tilpasningen ved Lagranges metode. (Hint: Du skal bestemme
konsum og fritid i hver periode, samt S .)
Svar: Vi ordner informasjonen og får: C = W ⋅ (T − L − S ) + I ⇔ C + WL + WS = WT + I ,
og konsumenten vil i 1.periode måte avveie fritid, arbeidstid og tid på utdanning. I
2.periode har =
vi c w(S )(T − l ) ⇔ c + w=
(S )l w(S )T
Før bruk av Lagranges metode, vil jeg løse problemet direkte ved innsetting; på den
måten får vi frem avveiningene direkte. Setter vi inn for C og c i nyttefunksjonen U ,
får vi følgende maksimeringsproblem:
Max (L,S ,l )
{u(W (T − L − S ) + I , L) + bu(w(S )(T − l ), l )) :=
V (L, S , l )}
Vi må ha tre førsteordensbetingesler:
u
∂u
∂u
0
W +
=
W
(1) VL =
0⇒ L =
∂C
∂L
uC
2
Denne viser oss, for gitt S, avveiingen mellom konsum og fritid (eller arbeid) i 1.periode:
Det antall enheter av konsum som er å ha for å kompensere for bortfallet av en times
fritid (eller kompensasjon for en times ekstra arbeid), er akkurat lik markedslønna i
1.periode, som er W og som viser antall enheter av konsumvaren per times arbeid.
I 2.periode har vi en tilsvarende avveining:
(2)
u
Vl =c  0ucw(S ) + ul  =0 ⇔ l =w(S )
uc
Hva med valg av studietid i 1.period? Denne tiden kan betraktes som investering i
humankapital, ved at tid som kunne ha vært anvendt til enten arbeid eller fritid, nå
brukes til studier med det for øye å øke avkastningen av arbeid i 2.periode. Vi finner da:
(3)
VS =0uCW + cuchw ′(S ) ≤ 0 ⇔
uC
cuc
≥
u
w ′(S )h
w ′(S )h 0 W
⇔ C 01 ≥
W
cuc
W
der vi tar med muligheten for at ingen studietid velges, med S = 0, slik at w(0) = W . (Da
gjelder ulikheten, med hjørneløsning.) Øker jeg S med en time, vil jeg måtte forsake en
times fritid eller en times arbeidstid som i enheter av konsumvaren er verdsatt til W
konsumenheter; dvs. lavere inntekt. Da forteller den første delen av (3) at nyttetapet av
lavere inntekt som følge av én times økning i studietid og som alternativt kunne ha
vært anvendt til arbeid eller fritid (per times økt studietid, taper vi W enheter av Cvaren, som hver for seg verdsettes i nytteenheter til uC ), må veies mot fremtidig
nyttegevinst, som er nåverdi eller neddiskontert nyttegevinst av høyere inntekt i
2.periode. For gitt arbeidstid h i 2.periode, vil inntektsøkningen være w ¢(S ) × h i enheter
av konsumvaren. Økning i nytte per enhet konsum i 2.periode er uc ; og som må
vurderes ved begynnelsen av 1.periode, altså diskontering med b . (Vi kan også lese
dette som: Ved indre løsning; S > 0 har vi «Nytteverdi i 2. periode av
grenseproduktivitet av utdanning, verdsatt ved begynnelsen av 1.periode, må veies mot
merkostnaden av økt utdanningstid i 1. periode»; dvs. cuchw ′(S ) = uCW .)
Den midtre delen av (3) viser ved S > 0 og dermed likhet, at
uC
cuc
, som er MSB mellom
konsum i de to periodene; dvs. hvor mye mer konsum en må ha i 2. periode per enhets
3
w ′(S )h
.
W
Tolkningen av denne er: Ved å redusere konsumet i 1.periode med én enhet, kan vi
lavere konsum i 1. periode, uten at nyttenivået skal gå ned, må være lik
1
= DS , som er
W
det ekstra antall timer som da han brukes til studier. Det MSB da må veies mot er
jobbe mindre, siden vi da har DC = -1 = W DH ; dvs. vi har -DH =
følgende marginalgevinst: Per marginale time på studier i 1.periode, og med gitt
arbeidstid i 2.periode, vil en ha w ¢(S )h høyere inntekt eller konsum i 2.periode. Siden vi
alt i alt øker S med
1
timer, vil samlet økning i inntekt eller konsum i 2.periode være
W
w ′(S )h
, per enhets lavere konsum i 1.periode.
W
Siste del i (3) er skrevet som relativ avkastning eller «renteform»: Trekker vi fra tallet én
fra MSB, får vi et subjektivt avkastningskrav på konsumunnlatelse (sparing) i 1.period
og som må avstemmes eller balanseres mot faktisk markedsavkastning av sparing.
Det følger av de uttrykkene vi har utledet hva som er motiverende for valg av studietid,
og dermed også hva som gjør at det ikke er privatøkonomisk lønnsomt å studere.
Med Lagrange har vi, der bibetingelser og tilhørende multiplikatorer i parentes er
markert:
Max (C ,H ,L,S ,c,h ,l )
ì
ï
C = WH , I (l)
ï
ï
ï
ïT = H , L , S (m)
[u(C , L) , cu(c, l ) gitt ï
í
ï
c = w(S )h (M)
ï
ï
ï
T = h , l (q)
ï
ï
î
W = u(C , L) , cu(c, l ) - l éëêC -WH - I ùúû - m éëêL , H , S - T ùúû - L éëêc - w(S )h ùûú - q éëêl , h - T ùûú
Stasjonærpunktene er, når vi antar indre løsning for alle variable unntatt S:
WC = uC - l = 0
WL = uL - m = 0
4
WH = lW - m = 0
WS = -m +Lw ¢(S )h £ 0
Wc = cuc - L = 0
Wl = bul - q = 0
Wh = Lw(S ) - q = 0
Syv variable pluss fire lagrangemultiplikatorer, i alt 11 variable som sammen må
oppfylle syv førsteordensbetingelser og fire bibetingelser.
Vi finner
samt
u
m
m uL
q
= w ¢(S )h , = w(S ) = l ,
=
= W , samt (ved indre løsning)
l
uC
L
uc
L
u
l
= C =
L cuc
l
m
L
m
=
1
W
1
w ¢(S )h
=
w ¢(S )h
W
Vi får da til slutt de samme tre marginalbetingelser som over, og som sammen med de
fire bibetingelsene bestemmer entydige verdier på våre syv endogene variable.