1. No category

Kapittel 5: Nåverdi og internrente
• Hovedmomenter i kapitlet:
–
–
–
–
–
–
–
Beregning av nåverdi (NPV)
Økonomisk tolkning av nåverdi
Beregning av internrente (IRR)
Problemer med internrentemetoden
Sammenligning av NPV og IRR
Annuitetsmetoden
Investeringskjeder
Investeringsanalyse – kunst og vitenskap
Pengenes tidsverdi og avkastningskrav
• En krone i fremtiden er mindre verdt enn en krone i dag
på grunn av:
– Man taper rente.
– Inflasjonen spiser opp pengeverdien.
– Risiko.
• Pengenes tidsverdi må tas hensyn til i
investeringsanalysen ved å diskontere kontantstrømmer
med et avkastningskrav som tar hensyn til disse
elementene.
• Avkastningskrav består av:
– Risikofri rente for å ta hensyn til rentetap og inflasjon i pengenes
tidskostnad.
– Risikopremie for å ta hensyn til risiko.
Nåverdi – hvilken kontantstrøm?
• Nåverdi kan beregnes ut fra flere kontantstrømmer
– Kontantstrøm til prosjektet (betalinger til kapitalyterne
tas ikke med)
– Kontantstrøm til egenkapitalen (eierne) – viser hva som
er igjen til eierne etter at renter og avdrag er betalt
• Hvis vi bruker prosjektets kontantstrøm, skal
avkastningskravet reflektere et veid gjennomsnitt av
kostnadene for egenkapital og gjeld
• Bruker vi kontantstrøm til egenkapitalen, skal
egenkapitalkostnad brukes som avkastningskrav
• Korrekt gjennomført blir nåverdi uansett den samme
Hvordan beregne nåverdi (NPV)?
• Verdien av et prosjekt eller en bedrift er teoretisk lik
nåverdien av alle fremtidige kontantstrømmer.
• La oss bruke følgende symboler:
NPV
CF0
CFt
i
n
= (netto) nåverdi (Net Present Value)
= investering på tidspunkt 0
= prosjektets kontantstrøm på tidspunkt t
= avkastningskrav totalkapitalen
= totalt antall perioder
NPV  CF0 
CFn
CF1
CF2


...
(1  i)1 (1  i)2
(1  i)n
CFt
NPV  CF0  
t
t 1 (1  i)
n
Nåverdi - beslutningsregel
• Nåverdi viser aksjonærenes formuesendring dersom
et prosjekt gjennomføres
• Aksepter alle prosjekter med positiv nåverdi, under
forutsetning av at:
– Prosjektene er uavhengige
– Vi har ubegrenset med kapital
• Hvis prosjektene ikke er uavhengige men gjensidig
utelukkende, velger vi prosjektet med høyest nåverdi
• Hvis det er begrenset med kapital, må reglene
justeres noe – mer om dette i neste kapittel
Netto nåverdi (NPV) - eksempel
• En bedrift analyserer et prosjekt med levetid på 3 år
– Investeringsutgift 10 000 000
– Omsetning er 7 000 000, 12 000 000 og 9 000 000 i år 1, 2
og 3
– Lønnskostnader er 25 % av omsetningen, og
materialkostnader er 15 % av omsetningen
– Betalbare faste kostnader er 700 000, 1 200 000 og
900 000 i år 1, 2 og 3
– Prosjektet skal finansieres med 50 % egenkapital og 50 %
gjeld
– Egenkapitalkostnad er 14 % og gjeldskostnad er 6 %
Prosjektets kontantstrøm og NPV
År
Investeringsutgift
Omsetning
Lønn
Materialer
Faste kostnader
Kontantstrøm
0
-10 000 000
-10 000 000
1
7 000 000
-1 750 000
-1 050 000
-700 000
3 500 000
2
12 000 000
-3 000 000
-1 800 000
-1 200 000
6 000 000
3
9 000 000
-2 250 000
-1 350 000
-900 000
4 500 000
WACC  i  0,5  14 %  0,5  6 %  10 %
NPV  10 000 000 
3 500 000 6 000 000 4 500 000


 1 521 412
2
3
1,1
1,1
1,1
NPV – rentetabell 2
• Det er også mulig å beregne NPV ved hjelp av
rentetabell 2:
1
NPV  10 000 000  3 500 000  R1,10
 6 000 000  R 2,110  4 500 000  R3,110 
 10 000 000  3 500 000  0,9091  6 000 000  0,8264  4 500 000  0,7513 
 10 000 000  3 181 850  4 958 400  3 380 850 
1 521100
AS Trevare – kontantstrøm og NPV
År
Omsetning
Materialkostnader
Lønnskostnader
Betalbare faste kostnader
Anleggsmidler
Arbeidskapital
Fri kontantstrøm
Nåverdi
0
-2 200 000
-720 000
-2 920 000
1
2 400 000
-600 000
-540 000
-360 000
2
2 520 000
-630 000
-567 000
-360 000
3
2 520 000
-630 000
-567 000
-360 000
4
2 460 000
-615 000
-553 500
-360 000
-36 000
864 000
963 000
18 000
981 000
54 000
985 500
5
2 280 000
-570 000
-513 000
-360 000
500 000
684 000
2 021 000
772 751
864 000 963 000 981 000
NPV  2 920 000 


2
1,15
1,15
1,153
985 500 2 021 000


 772 751
4
5
1,15
1,15
Eierne har oppnådd en avkastning på 15 %, pluss
kr 772 751, regnet i dagens verdi. Formuesøkningen
er kr 772 751.
Nåverdiprofil – AS Trevare
3000 000
2500 000
2000 000
1500 000
1000 000
500 000
-
2%
-500 000
-1000 000
4%
6%
8 % 10 % 12 % 14 % 16 % 18 % 20 % 22 % 24 % 26 % 28 % 30 % 32 %
Annuitetsmetoden
• Nåverdi (NPV) er nåverdien i løpet av hele prosjektets
levetid
• Nåverdi pr. år i levetiden betegnes årlig nåverdiannuitet
• Et prosjekt er lønnsomt hvis den årlige
kontantstrømmen overskrider årlig kapitalforbruk +
renter, og differansen kalles nåverdiannuitet
• Årlig kapitalforbruk + renter:
CF0  A
-1
n,i
Lønnsomt hvis CF  CF0  A -1
n,i
Eksempel - annuitetsmetoden
År
Kontantstrøm
0
-1 000 000
1
450 000
2
450 000
Er prosjektet lønnsomt hvis
avkastningskravet er 15 %
Hva er prosjektets nåverdi og den årlige
nåverdiannuiteten?
3
450 000
Annuitetsmetoden
• Årlig kapitalforbruk + renter for anleggsmidlene er
dermed 1 000 000 • 0,4380 = 438 000
• Årlig nåverdiannuitet = 450 000 – 438 000 = 12 000
• Prosjektets nåverdi kan vi finne slik:
– NPV = - 1 000 000 + (450 000 • A3,15) =
- 1 000 000 + (450 000 • 2,2832) = 27 440
• Sammenheng mellom årlig nåverdiannuitet og
nåverdi:
– NPV = 12 000 • A3,15 = 12 000 • 2,2832 = 27 440
Kjede av investeringer
• Et anleggsmiddel med en kostpris på
kr 1 000 000 fornyes kontinuerlig.
• Teknisk levetid: 5 år, avkastningskrav er 15 %.
• Kontantstrøm og restverdi er slik:
År
Kontantstrøm
Restverdi
1
600 000
800 000
2
600 000
650 000
3
600 000
550 000
4
400 000
300 000
• Hvor ofte bør anleggsmidlet skiftes ut?
5
400 000
0
Investeringskjede - nåverdi
År
Levetid 1 år
Levetid 2 år
Levetid 3 år
Levetid 4 år
Levetid 5 år
0
-1 000 000
-1 000 000
-1 000 000
-1 000 000
-1 000 000
1
1 400 000
600 000
600 000
600 000
600 000
2
1 250 000
600 000
600 000
600 000
3
1 150 000
600 000
600 000
4
700 000
400 000
5
400 000
NB: Vi kan ikke sammenligne nåverdier for ulike
levetider, siden investeringen gjentas.
For å kunne sammenligne alternativene, må vi
beregne årlig nåverdiannuitet ved hjelp av den
inverse annuitetsfaktoren A-1 fra rentetabell 4.
NPV
217 391
466 919
731 569
770 162
797 507
Nåverdiannuitet
• Gjør om nåverdiene til årlige annuiteter ved bruk av
invers annuitetsfaktor.
Levetid
1 år
2 år
3 år
4 år
5 år
Total nåverdi
217 391
466 919
731 569
770 162
797 507
Invers annuitetsfaktor
1,150000
0,615116
0,437977
0,350265
0,298316
Nåverdiannuitet
250 000
287 209
320 410
269 761
237 909
• Optimalt utskiftingsintervall er hvert 3. år.
Nåverdiannuitet
• En bedrift vurderer to maskiner, A og B:
– Maskin A koster kr 270 000 å anskaffe og levetiden er 4
år. Driftskostnadene (betalbare) pr. år er beregnet å beløpe
seg til kr 100 000, og man regner med at
utrangeringsverdien ved levetidens slutt er kr 70 000
– Maskin B er dyrere i innkjøp med en anskaffelseskostnad
på kr 420 000, men levetiden er 7 år. Driftskostnadene er
dessuten lavere og beregnet til å bli kr 90 000 pr. år, og
man regner ikke med at maskinen har noen salgsverdi ved
levetidens slutt
– Avkastningskravet er 10 %. Hvilken bør velges?
Nåverdi av kostnader
År
Investering A
Driftskostnader
Kontantstrøm
0
-270 000
Nåverdi
-539 176
År
Investering B
Driftskostnader
Kontantstrøm
0
-420 000
Nåverdi
-858 158
-270 000
-420 000
1
-100 000
-100 000
2
-100 000
-100 000
3
-100 000
-100 000
4
70 000
-100 000
-30 000
1
2
3
4
5
6
7
-90 000
-90 000
-90 000
-90 000
-90 000
-90 000
-90 000
-90 000
-90 000
-90 000
-90 000
-90 000
-90 000
-90 000
Maskin A : -539176  A-14 år, 10 %  539 176  0,315471  170 094
Maskin B : - 858 158  A-17 år, 10 %  539 176  0,205405  176270
Internrentemetoden (IRR)
• Internrenten (IRR) er et relativt avkastningsmål og viser
hvilken avkastning (%) som oppnås på kapitalen som er
investert i prosjektet
• Prosjekt er lønnsomt hvis IRR > avkastningskrav
• IRR er definert som det avkastningskravet som gir nåverdi
lik 0:
CFn
CF1
CF2
CF0 

 ...
1
2
(1  IRR) (1  IRR)
(1  IRR) n
n
CFt
CF0  
t
(
1

IRR
)
t 1
Intuitivt er det kanskje enklere å forholde seg til et
relativt avkastningsmål (%) enn et absolutt lønnsomhetsmål som NPV, men det kan være enkelte problemer med
IRR metoden (som vi skal komme tilbake til om litt)
Internrente – eksempel to perioder
• Anta at vi har et prosjekt som medfører en
investeringsutgift på 100, og årlig kontantstrøm på
60 i 2 år
• IRR kan finnes vha abc-regelen, men ofte enklere å
finne fra følgende uttrykk:
60
60
100 

2
1  IRR (1  IRR )
Nåverdi ved ulike avkastningskrav
År
Kontantstrøm
0
-100
Avkastningskrav
Nåverdi
2%
16,49
4%
13,17
6%
10,00
8%
7,00
10 %
4,13
12 %
1,40
14 %
-1,20
16 %
-3,69
18 %
-6,06
20 %
-8,33
1
2
60
60
Fra tabellen ser vi at
nåverdien går fra
positiv til negativ
mellom 12 % og
14 %, internrenten er
derfor mellom 12 %
og 14 %
Nåverdiprofil – tilnærmet IRR
20
Nåverdi
15
10
IRR ca 13%
5
0
2%
4%
6%
8%
10 % 12 % 14 % 16 % 18 % 20 %
-5
-10
Rente
Internrente - annuitet
• Dersom kontantstrømmen er en annuitet, kan
internrenten finnes enklere ved hjelp av
annuitetsfaktoren A
• Eks et prosjekt med investeringsutgift
kr 29 900, gir årlig kontantstrøm 10 000 i 5 år
• 29 900 = 10 000 • A5,IRR, dvs A5,IRR =
29 900/10 000 = 2,99
• Fra rentetabell 3 ser vi at dette tilsvarer en
rente på 20 %
Beregning av internrente
• Hvis kontantstrømmen strekker seg over flere enn to
perioder, er det normalt ikke mulig å beregne
internrenten direkte
• Vi kan da:
– Bruke finansiell kalkulator eller regneark
– Interpolere evt bruke nåverdiprofil
– Prøve og feile, som kan være litt arbeidskrevende
i starten, men øvelse gjør mester!
Internrente - AS Trevare
864 000 963 000
981 000
NPV  2 920 000 


2
1  IRR (1  IRR) (1  IRR)3
985 500 2 021 000


0
4
5
(1  IRR)
(1  IRR)
IRR  0, 243 det vil si 24,3 %
Tilnærmet internrente - AS Trevare
3000 000
2500 000
2000 000
1500 000
1000 000
Internrente ca.
24.3 %
500 000
-
2%
-500 000
-1000 000
4%
6%
8 % 10 % 12 % 14 % 16 % 18 % 20 % 22 % 24 % 26 % 28 % 30 % 32 %
Problemer med internrentemetoden
• Internrente metoden gir som regel korrekte signaler
om lønnsomhet, men problemer kan oppstå bl.a. i
forbindelse med
– Gjensidig utelukkende prosjekter
– Kontantstrøm skifter fortegn mer enn en gang
– Det er begrenset med kapital
– Ulik levetid
Gjensidig utelukkende investeringer
• Gjensidig utelukkende prosjekter er prosjekter
hvor man bare kan gjennomføre ett av flere mulige
prosjekter.
• I eksemplet under gir NPV (10 %) og IRR metoden
ulik rangering av to ettårige prosjekter A og B:
Prosjekt
Prosjekt A
Prosjekt B
Investeringsutgift Kontantstrøm
-200 000
260 000
-400 000
500 000
Nåverdi Internrente
36 364
30 %
54 545
25 %
Skalaproblemet – ulik prosjektstørrelse
irr  i
NPV 
S
1i
0,30  0,10
NPVA 
 200 000 = 36 364
1,10
0,25  0,10
NPVB 
 400 000 = 54 545
1,10
Differanseinvestering
• Finn prosjektet som gir størst ”netto” kontantstrøm
– A: - 200 000 + 260 000 = 60 000
– B: - 400 000 + 500 000 = 100 000
• Ta kontantstrømmen til prosjektet med størst positiv
kontantstrøm (B) og trekk fra kontantstrømmen fra
det andre prosjektet (A)
• Denne kontantstrømmen (B - A) kaller vi
differanseinvesteringen
Differanseinvestering
• Beregn differanseinvesteringens internrente
• Hvis differanseinvesteringens internrente er større enn
avkastningskravet, velges det største prosjektet. Hvis ikke,
det minste.
Prosjekt
Investeringsutgift Kontantstrøm
Prosjekt B
-400 000
500 000
Prosjekt A
-200 000
260 000
Prosjekt B - A
-200 000
240 000
Nåverdi Internrente
54 545
25 %
36 364
30 %
18 181
20 %
Vi velger B, siden differanseinvesteringens
internrente er høyere enn avkastningskravet
Nåverdi ved ulike avkastningskrav
100 000
Nåverdi A
80 000
Nåverdi B
B-A
60 000
40 000
20 000
0
-20 000
-40 000
2%
6%
10 % 14 % 18 % 22 % 26 % 30 % 34 %
Prosjekter med ulik levetid
• Prosjekt C og D har ulik levetid, og ulik rangering
mellom NPV og IRR metoden. Prosjekt D er mest
lønnsomt, siden NPV er høyest
Prosjekt
Investeringsutgift
Årlig kontantstrøm
Levetid
Nåverdi (10 %)
Internrente
C
-200 000
240 000
1 år
18 182
20 %
D
-200 000
60 000
5 år
27 447
15 %
Fortegnskifte i kontantstrøm
• Et prosjekt har en kontantstrøm med to fortegnskift:
År
Vedlikehold
Kontantstrøm drift
Rivingskostnader
Kontantstrøm
0
-100 000
1
625 000
-100 000
625 000
2
625 000
-1 125 000
-500 000
Flere internrenter
150 000
100 000
IRR2 = 431%
50 000
0
-25 %
0%
50 % 100 % 150 % 200 % 250 % 300 % 350 % 400 % 450 %
-50 000
-100 000
-150 000
-200 000
IRR1 = -5,8%
Modifisert internrente (MODIR)
•
•
Et problem med internrente metoden er
forutsetningen om at frigjort kapital kan plasseres
til en avkastning til internrenten
Et alternativ til IRR er modifisert internrente
(MODIR), hvor man selv kan spesifisere
avkastning på frigjort kapital
–
–
Beregn prosjektets terminalverdi eller sluttverdi (FV)
ved å finne sluttverdien til alle kontantstrømmene etter år
0. Vi bruker en rentesats lik avkastningskravet når
sluttverdiene skal beregnes.
Deretter finner vi hvilken rente den totale sluttverdien
må diskonteres med, for at den skal bli lik
investeringsutgiften. Denne rentesatsen er den
modifiserte internrenten.
Modifisert internrente (MODIR)
År
0
1
2
3
4
Total
SluttverdiKontantstrøm
faktor
Sluttverdi
-60 000
25 000
1,4049
35 123
25 000
1,2544
31 360
20 000
1,1200
22 400
20 000
1,0000
20 000
sluttverdi CF etter år 0
108 883
108 883
 60 000
4
(1  MODIR )
(1  MODIR) 4  108 883/60 000  1,8147
1  MODIR  1,81471/4  1,16065; MODIR 16,07%