fasit

FYS-MEK 1110 / VΓ₯r 2016 / Ukesoppgaver #3 (8.-12.2.)
1. DiskusjonsspΓΈrsmΓ₯l: Er det mulig at et legeme beveger seg med akselerasjon som er
ikke null og konstant fart (𝑣 = |𝑣⃗| = konst.)?
Ja, for eksempel etlegeme som beveger seg med konstant fart pΓ₯ en sirkelbane.
2. En tynn aluminiumtrΓ₯d strekker seg 1 mm nΓ₯r du henger pΓ₯ en vekt som veier 10 kg.
Anta at trΓ₯den kan beskrives som en fjΓ¦r. Hva er fjΓ¦rkonstanten?
TrΓ₯den holder loddet opp med en fjΓ¦rkraft 𝐹 = π‘˜βˆ†πΏ. Loddet trekker ned med
gravitasjonskraften 𝐺 = π‘šπ‘”. I likevekt er loddet i ro og kreftene kompenserer
hverandre:
π‘˜βˆ†πΏ βˆ’ π‘šπ‘” = 0
π‘šπ‘” 10 kg βˆ™ 9.81 m/s2
π‘˜=
=
= 98.1 kN/m
βˆ†πΏ
0.001 m
3. Du prΓΈver Γ₯ styre et fly mot nord. Lufthastigheten av flyet er 300 km/t. Det er en
sterk vind fra vest med en vindhastighet pΓ₯ 60 km/t.
a. I hvilken retning bΓΈr du styre flyet slik at det beveger seg mot nord? Tegn et
diagram.
b. Hva er hastigheten av flyet i forhold til bakken?
Hastighet til flyet relativ til bakken: 𝑣⃗ = 𝑣𝑗̂ med ukjent
fart 𝑣.
Hastighet til vinden relativ til bakken: 𝑀
βƒ—βƒ—βƒ— = 𝑀𝑖̂ med
𝑀 = 60 km/t
Hastighet til flyet relativ til vinden i system 𝑆′ som
beveger seg med vinden:
𝑣⃗ β€² = 𝑣⃗ βˆ’ 𝑀
βƒ—βƒ—βƒ— = 𝑣𝑗̂ βˆ’ 𝑀𝑖̂ = βˆ’π‘£β€² sin πœƒ 𝑖̂ + 𝑣′ cos πœƒ 𝑗̂
Vi vet at farten relativ til vinden er 𝑣 β€² = 300 km/t.
𝑀
I π‘₯ retning: = 𝑣′ sin πœƒ οƒž πœƒ = sinβˆ’1 (𝑣′) = 11.5Β°
I 𝑦 retning: = 𝑣′ cos πœƒ = 293.9 km/t
4. En homogen kule med masse m = 45 kg og radius R = 32 cm er
festet i en vegg med en masselΓΈs strikk som vist i figuren.
a. Tegn et fri-legeme diagram for kulen.
b. Finn snordraget.
Vi finner fΓΈrst vinkelen mellom snoren og veggen. Det kan vi gjΓΈre ved hjelp
av radius til kulen π‘Ÿ = 32 cm og lengden 𝑙 = π‘Ÿ + 30 cm = 62 cm.
π‘Ÿ
32
sin πœƒ =
⟹ πœƒ = sinβˆ’1 ( ) = 31.1Β°
𝑙
62
Under antagelsen at kulen holdes i ro er snordragets 𝑦 komponent: 𝑆𝑦 = βˆ’πΊ.
βˆ’π‘šπ‘”
𝑆𝑦 = 𝑆 cos πœƒ ⟹
𝑆=
= 515 N
cos πœƒ
c. Hva er normalkraften fra veggen til ballen?
Under antagelsen at kulen holdes i ro er normalkraften fra veggen til kulen:
𝑁 = βˆ’π‘†π‘₯ = βˆ’π‘† sin πœƒ = βˆ’266 N
5. To klosser pΓ₯ to forskjellige skrΓ₯planer er knyttet sammen med en tynn, masselΓΈs
snor som gΓ₯r over en trinse som vist i figuren. Vi antar at det er ingen friksjon mellom
klossene og overflaten, og at trinsen ogsΓ₯
er uten friksjon.
a. Hvilken vei vil systemet beveger seg etter vi slipper klossene?
𝐺1π‘₯ = π‘š1 𝑔 sin 𝛼1 = 490.5 N
𝐺2𝑦 = π‘š2 𝑔 sin 𝛼2 = 391.7 N
Siden snordraget er det samme for begge klossene vil systemet bevege seg
mot venstre langs planene.
b. Finn akselerasjon pΓ₯ klossene.
Begge klosser har samme akselerasjon. Vi bruker Newtons andre lov:
𝐺1π‘₯ βˆ’ 𝑆 = π‘š1 π‘Ž
𝑆 βˆ’ 𝐺1𝑦 = π‘š2 π‘Ž
𝐺1π‘₯ βˆ’ 𝐺1𝑦 = (π‘š1 + π‘š2 )π‘Ž
π‘Ž = 0.66 N
c. Hva er snordraget?
𝑆 = 𝐺1π‘₯ βˆ’ π‘š1 π‘Ž = 424.7 N
6. Du kaster en basketball som forlater hΓ₯nden med en hastighet pΓ₯ 9.4 m/s og en
vinkel av 60Β° med horisonten. Du scorer fra 7 m avstand og kurven henger i 3.5 m
hΓΈyde. Du kan ignorere luftmotstand.
a. Tegn et frilegeme diagram av ballen.
Uten luftmotstand er gravitasjon den eneste kraften som virker pΓ₯ ballen.
b. Finn posisjon og hastighet av ballen som en funksjon av tid.
Ingen kraft i horisontal retning, π‘Žπ‘₯ = 0.
Gravitasjon i vertikal retning: π‘Žπ‘¦ = βˆ’π‘”.
Initialbetingelser: π‘Ÿβƒ—0 = π‘₯0 𝑖̂ + 𝑦0 𝑗̂ = 𝑦0 𝑗̂
1
√3
𝑣⃗0 = 𝑣0 cos πœƒ 𝑖̂ + 𝑣0 sin πœƒ 𝑗̂ = 𝑣0 𝑖̂ +
𝑣 𝑗̂
2
2 0
1
Bevegelsen i horisontal retning: 𝑣π‘₯ (𝑑) = 𝑣π‘₯ (0) = 2 𝑣0
𝑑
π‘₯(𝑑) = π‘₯0 + ∫ 𝑣π‘₯ (𝑑) 𝑑𝑑 =
Vertikal: 𝑣𝑦 (𝑑) = 𝑣𝑦 (0) +
𝑑
∫0 π‘Žπ‘¦
𝑑
𝑑𝑑
0
√3
= 2 𝑣0
βˆ’ 𝑔𝑑
𝑦(𝑑) = 𝑦0 + ∫ 𝑣𝑦 (𝑑) 𝑑𝑑 = 𝑦0 +
0
1
𝑣 𝑑
2 0
1
√3
𝑣0 𝑑 βˆ’ 𝑔𝑑 2
2
2
c. Fra hvilken hΓΈyde kastet du ballen?
Vi kjenner posisjonen til ballen nΓ₯r den treffer kurven og leter etter posisjon i
utgangspunkt. FΓΈrst finner vi tiden 𝑑1 nΓ₯r ballen treffer kurven:
1
π‘₯(𝑑1 ) = 𝑣0 𝑑1 = 7 m
2
2𝑣0
𝑑1 =
= 1.49 s
π‘₯(𝑑1 )
Vi vet at kurven er i posisjon 𝑦(𝑑1 ) = 𝑦1 = 3.5 m over bakken:
1
√3
𝑣0 𝑑1 βˆ’ 𝑔𝑑12
2
2
1
√3
𝑦0 = 𝑦(𝑑1 ) βˆ’
𝑣0 𝑑1 + 𝑔𝑑12 = 2.26 m
2
2
𝑦(𝑑1 ) = 𝑦0 +
d. Hva er hastigheten nΓ₯r ballen treffer kurven?
Vi setter inn:
1
𝑣π‘₯ (𝑑1 ) = 𝑣0 = 4.7 m/s
2
√3
𝑣𝑦 (𝑑1 ) =
𝑣 βˆ’ 𝑔𝑑1 = βˆ’6.5 m/s
2 0
𝑣⃗(𝑑1 ) = (4.7𝑖̂ βˆ’ 6.5𝑗̂) m/s