לוגיקה ותורת הקבוצות ־ תרגול 10 משפט השלמות משפט השלמות :לכל קבוצת פסוקים Σמתקיים ,אם ,Σ |= αאז .Σ ` α בצרוף משפט הנאותות נקבל כי .Σ α ⇔ Σ ` α מסקנה ממשפט משלמות :אם ,Σ 6` αאז .Σ 6|= α משפט :1לכל קבוצת פסוקים ,Σאם Σעקבית אז Σספיקה. בצרוף משפט מתרגול קודם נקבל כי Σעקבית אמ"מ Σספיקה. תרגיל :1נגדיר מערכת הוכחה חדשה לתחשיב הפסוקים מעל }→.WFF{¬, • קבוצת האקסיומות מכילה את הפסוקים מהצורה הבאה: לכל }→,α, β, γ ∈ WFF{¬, – α → (β → α) : A1 – (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) :A2 • קבוצת כללי ההיסק: – M P (α, α → β) = β – MV נסמן ב־ Σ `N αאת הטענה שפסוק αיכיח מתוך Σבמערכת החדשה. .1נגדיר .M V (α → (β → α)) = α הוכיחו /הפריכו :המערכת החדשה שלמה. כלומר ,לכל קבוצת פסוקים }→ Σ ⊆ WFF{¬,ולכל פסוק }→ ,α ∈ WFF{¬,אם Σ αאז .Σ ` α N .2נגדיר ).M V (α → (β → α)) = ((¬α) → (¬β)) → (β → α הוכיחו /הפריכו :המערכת החדשה שלמה. תרגיל :2נגדיר מערכת הוכחה חדשה לתחשיב הפסוקים מעל }¬.WFF{∧, • קבוצת האקסיומות מכילה את הפסוקים מהצורה הבאה: – ¬ (α ∧ (β ∧ ¬α)) :A1 1 • קבוצת כללי ההיסק: – M1 (α, ¬(α ∧ β)) = ¬β נסמן ב־ `N αאת הטענה שפסוק αיכיח במערכת החדשה. הוכיחו /הפריכו :אם ,|= αאז .`N α גדירות הגדרה :1השמה המספקת קבוצת פסוקים Σנקראת מודל של .Σ קבוצת המודלים של Σהיא הקבוצהM (Σ) = {z ∈ Ass | z |= Σ} : )סימונים נוספים לקבוצת המודלים של (Ass (Σ) , M od (Σ) , MΣ :Σ ניתן לראות שלכל קבוצת פסוקים Σמתאימה קבוצת מודלים ) M (Σיחידה ,כלומר Σמגדירה את ).M (Σ דוגמאות ללא הוכחה: Σ־ קבוצת פסוקים ) M (Σ־ קבוצת המודלים של Σ }{pi | i ∈ N } {z1 קבוצת כל הטאוטולוגיות{p1 ∨ ¬p1 } ,∅ , ) Assקבוצת כל הההשמות( קבוצת סתירותWFF , ∅ }{pi | i > 0 }{z1 , 0111 . . . } {p15 }{z ∈ Ass | z(p15 ) = 1 } {p15 , p1 ∨ p2 }z(p2 ) = 1 or {z ∈ Ass | z(p15 ) = 1} ∩ {z ∈ Ass | z(p1 ) = 1 הגדרה :2קבוצת השמות Kנקראת גדירה אם קיימת קבוצת פסוקים Σכך ש־ .M (Σ) = Kאחרת Kנקראת לא גדירה. הוכחת גדירות איך מוכיחים שקבוצת השמות Kהיא גדירה? .1מראים קבוצת פסוקים Σמפורשת. .2מוכיחים כי M (Σ) = Kעל ידי הכלה דו־כיוונית. תרגיל :3לכל j ∈ Nנגדיר את קבוצת ההשמות z} :נותנת 1לכל היותר ל־ jאטומים | .Kj = { z הוכיחו כי לכל Kj ,j ∈ Nגדירה. הוכחת אי־גדירות איך מוכיחים שקבוצת השמות Kאינה גדירה? .1מניחים בשלילה ש־ Kגדירה ו־ Xהיא קבוצת הפסוקים המגדירה אותה .M (X) = K )לשים לב :לא ניתן להניח דבר על Xפרט לכך שהיא מגדירה את .(K 2 .2בוחרים קבוצת פסוקים מפורשת Yשעבורה ידוע )או שניתן להוכיח בקלות( מהו ) ) M (Yקבוצות שכדאי לנסות.({¬pi | i ∈ N} ,{pi | i ∈ N} : .3מוכיחים ש־ X ∪Yאיננה ספיקה על ידי כך שמראים ש־∅ = ) .M (X ∪ Y ) = M (X)∩M (Y ) = K ∩M (Y .4מוכיחים ש־ X ∪ Yספיקה על ידי שימוש במשפט הקומפקטיות. )תזכורת מההרצאה :לכל קבוצת פסוקים Σמתקיים Σ ,ספיקה אמ"מ כל תת־קבוצה סופית של Σספיקה(. .5מ־ 3+4מקבלים סתירה ולכן Kאינה גדירה. תרגיל :4 הוכיחו כי } zנותנת 1לאינסוף אטומים | Kinf = {z ∈ Assאינה גדירה. 3
© Copyright 2024