‫מכללת הדסה ־ תשע"ז‬
‫תרגיל ‪ 7‬־ לוגיקה‬
‫‪ .1‬תהי ‪ L‬שפת הפסוקים במקלדת הכוללת את הקשרים }∧ ‪ ,{¬, →,‬ובנוסף ל־‪ 3‬קבוצות האקסיומות‬
‫הקודמות נוסיף גם את האקסיומות‪:‬‬
‫)א( )‪((α ∧ β) → α‬‬
‫)ב( )‪((α ∧ β) → β‬‬
‫)ג( )))‪(α → (β → (α ∧ β‬‬
‫הוכיחו שגם בשפה זו עם האקסיומות הנוספות מתקיים‪ :‬קבוצת פסוקים ‪ K‬שהיא תורה שלמה‬
‫היא ספיקה )כלומר בעלת מודל(‪.‬‬
‫‪ .2‬צביעה של גרף ‪ G‬פירושה צביעה של קדקודי הגרף כך שכל קדקוד של הגרף צבוע בצבע אחד וכל‬
‫שני קדקודים שכנים צבועים בצבעים שונים‪ .‬יהי ‪ n‬מספר גדול מ־‪ .1‬הוכיחו שאם ‪ G‬גרף כך שכל‬
‫תת־גרף סופי שלו ניתן לצביעה ב־‪ n‬צבעים אז גם ‪ G‬עצמו ניתן לצביעה ב־‪ n‬צבעים‪.‬‬
‫רמז‪ :‬נסמן את הצבעים במספרים ‪ .1, 2, . . . , n‬לכל קדקוד ‪ v‬של ‪ G‬ולכל ‪ 1 ≤ i ≤ n‬יהי ‪Pv,i‬‬
‫פסוק אלמנטרי שנבין אותו כאומר שהקדקוד ‪ v‬צבוע בצבע ‪ .i‬כתבו קבוצת פסוקים שאומרת‬
‫שכל קדקוד בגרף צבוע בצבע אחד ורק אחד וששני שכנים אינם צבועים באותו הצבע‪) .‬קבוצת‬
‫פסוקים זו תלויה בגרף ‪ ,G‬כלומר עבור גרפים שונים‪ ,‬הקבוצות תהיינה שונות(‪ .‬השתמשו במשפט‬
‫הקומפקטיות‪.‬‬
‫‪ .3‬נתונות קבוצת בנים ‪ B‬וקבוצת בנות ‪ .G‬נתון יחס הכרות ‪ .H ⊆ B × G‬לכל ‪ b ∈ B‬נסמן ב־ ‪Gb‬‬
‫את כל הבנות ש־‪ b‬מכיר‪ .‬כלומר }‪ .Gb = {g ∈ G | (b, g) ∈ H‬שידוך של בנים‪ ,‬הוא פונקציה‬
‫חח"ע ‪ f : B → G‬כך שלכל ‪.f (b) ∈ Gb ,b ∈ B‬‬
‫‪0‬‬
‫נניח כי לכל ‪ b ∈ B‬הקבוצה ‪ Gb‬היא קבוצה סופית‪ ,‬ולכל תת־קבוצה סופית ‪ B‬של ‪ B‬מתקיים‬
‫| ‪) |B 0 | ≤ |∪b∈B 0 Gb‬כלומר מספר הבנות שהבנים ב־ ‪ B 0‬מכירים ביחד גדול‪/‬שווה למספר הבנים‬
‫ב־ ‪.(B 0‬‬
‫בקורס מבוא לתיאוריה של מדמ"ח הוכחתם שבהנחה ש־‪ B‬קבוצה סופית אז קיים שידוך של הבנים‪.‬‬
‫הוכיחו כי אם ‪ B‬קבוצה אינסופית אז קיים שידוך של הבנים‪ .‬רמז‪ :‬לכל ‪ b ∈ B‬ולכל ‪ g ∈ G‬יהי‬
‫‪ Pb,g‬פסוק אלמנטרי שנבין אותו כאומר ש־‪ b‬משודך ל־‪ .g‬כתבו קבוצת פסוקים )שתלויה ביחס‬
‫ההיכרות( שאומרת שכל בן משודך לבת מתוך הבנות שהוא מכיר‪ ,‬ורק לאחת‪ ,‬וששני בנים אינם‬
‫משודכים לאותה בת‪ .‬השתמשו במשפט הקומפקטיות‪.‬‬
‫‪) .4‬א( תנו דוגמא לקבוצה בת ‪ n‬פסוקים שכל תת קבוצה ממש שלה היא ספיקה )בעלת מודל( אבל‬
‫הקבוצה כולה אינה ספיקה‪.‬‬
‫)ב( האם דוגמא זאת סותרת את משפט הקומפקטיות?‬
‫‪1‬‬