Sinusformig stationär kretsanalys Sedan tidigare… Sedan tidigare
Sedan tidigare… Sinusformig stationär kretsanalys DEL 2 Industrial Electrical Engineering and Automation i (t ) = iˆ sin ωt φ Z ωL ⎞ ⎛ 2 u (t ) = R 2 + (ωL ) ⋅ iˆ sin ⎜ ωt + arctan ⎟ R ⎠ ⎝ XL Strömmen φº efter spänningen Z φ 1 ⎞⎞ ⎛ 1 ⎞ ˆ ⎛ ⎛ u (t ) = R 2 + ⎜ ⎟ ⋅ i sin ⎜⎜ ωt + arctan⎜ − ⎟ ⎟⎟ ω ω C CR ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ 2 XC Spänningen φº efter strömmen Sedan tidigare… Visardiagram R Z L X L = ωL ϕ R R R C ϕ Z XC = 1 ωC om man nu bara kunde bli av med sin och cos … Industrial Electrical Engineering and Automation Industrial Electrical Engineering and Automation Impedanstriangel û u ωt ωt Spänningens ögonblicksvärde ges av projektionen på vertikala axeln u = uˆ sin (ωt ) Visardiagram Industrial Electrical Engineering and Automation Industrial Electrical Engineering and Automation Visardiagram i ϕ u ωt ωt ϕ Spänningens och strömmens ögonblicksvärden ges av projektionen på vertikala axeln u = uˆ sin (ωt ) Visardiagram i = iˆ sin (ωt + ϕ ) Visardiagram u ϕ 2 ϕ1 u2 ωt u1 ωt ϕ1 ϕ2 Alla storheter har samma frekvens: -Visare adderas genom vektoraddition -Ögonblicksvärden ej nödvändiga -Utelämna rotationen ωt -En av storheterna väljs som riktfas u = u1 + u 2 Industrial Electrical Engineering and Automation Industrial Electrical Engineering and Automation Välj strömmen som riktfas i L u uˆ = ωLiˆ iˆ iˆ i u C uˆ = iˆ ωC Industrial Electrical Engineering and Automation i1 Visardiagram R û L ϕ u1 u1 = Riˆ1 sin ωt + ωLiˆ1 cos ωt i2 R u R = Riˆ iˆ u R = Riˆ iˆ ϕ u2 C u L = ωLiˆ û iˆ uC = ωC Industrial Electrical Engineering and Automation Visardiagram OBS: Från och med nu används alltid effektivvärde istället för toppvärde. Alla visare skalas med 1 2 U= iˆ UR = R 2 I = iˆ 2 iˆ 2 Vinklar i grader Komplex impedans Industrial Electrical Engineering and Automation Komplexa metoden jω-metoden Industrial Electrical Engineering and Automation U L = ωL ϕ 1 ˆ u2 (t ) = Riˆ2 sin ωt − i2 cos ωt ωC Man kan alltså representera strömmar och spänningar med visare Dessa visare kan representeras med komplexa tal OBS: i elläran används j istället för i û 2 Vi kan nu representera impedansen Z med ett komplext tal Z = R + jX Induktiv Resistiv Kapacitiv Om även spänning och ström representeras med komplexa tal gäller fortfarande: Representation av komplexa tal Industrial Electrical Engineering and Automation Industrial Electrical Engineering and Automation Komplexa spänningar och strömmar Spänningen U kan alltså delas upp i en del som är i fas med strömmen och en som är 90º före strömmen Rektangulär form U = Re(U ) + j Im(U ) = U R + jU X Polär form U = U e j ϕ = U ∠ϕ Omvandling U e jϕ = U cos ϕ + j U sin ϕ U R + jU X = U + jU ⋅ e 2 R j = −1 Z = R + jX L + jX C Multiplikation och division U1 ⋅ U 2 = U1 ⋅ U 2 e j (arg (U1 )+ arg (U 2 )) U1 U1 j (arg (U1 )−arg (U 2 )) = e U2 U2 Industrial Electrical Engineering and Automation Industrial Electrical Engineering and Automation U1 − U 2 = Re(U1 ) − Re(U 2 ) + j (Im(U1 ) − Im(U 2 )) ⎞ ⎟⎟ ⎠ Serieresonanskrets RLC 2 U1 + U 2 = Re(U1 ) + Re(U 2 ) + j (Im(U1 ) + Im(U 2 )) ⎛U j arctan ⎜⎜ X ⎝ UR OBS: Effektivvärde Beräkningar med komplexa tal Addition och subtraktion 2 X 1 ⎞ ⎛ Z = R + j ⎜ ωL − ⎟ ωC ⎠ ⎝ U I= Z 1 ωC 1 ωL = Resonans: ωC 1 Kapacitiv krets: ωL < ωC Induktiv krets: ωL > ω stor Im(Z ) = 0 I i fas med U |I| maximal ω liten Serieresonanskrets RLC U L = I ⋅ j ωL Industrial Electrical Engineering and Automation U = U R + j (U L − U C ) Induktiv krets: ωL > 1 ωC Resonans: ωL = 1 ωC Kapacitiv krets: ωL < 1 ωC I UR = I ⋅ R 1 UC = −I ⋅ jωC I U =UR = I ⋅ R I U = U R + j (U L − U C )
© Copyright 2024