1. No category

UNIVERSITETET I BERGEN
Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
Obligatorisk innlevering 2 i emnet MAT111, høsten 2016
Innleveringsfrist: Mandag 24. oktober 2016, kl. 14,
i Infosenterskranken i inngangsetasjen på Realfagbygget.
Husk forside!
Oppgavesettet er på 4 sider (med oppgavene 1-7) og består av 31 deloppgaver som
alle teller likt ved sensurering (eksempelvis teller oppgave 1(a) like mye som oppgave
3(b)).
Les nøye gjennom oppgavesettet. Alle svar skal begrunnes, men begrunnelsene skal
være korte. Det må være med nok mellomregning til at fremgangsmåten fremgår
tydelig av besvarelsen.
Direkte avskrift fra hverandre er ikke tillatt. Men det er fullt mulig og
sterkt anbefalt å diskutere oppgavene.
Oppgave 1
Hvilke(n) av de fire funksjonene f i (a-d) nedenunder, med den oppgitte definisjonsmengde D(f ), har en invers funksjon? Begrunn svaret.
(a) f (x) = x tan πx
, D(f ) = (−1, 1);
2 πx
(b) f (x) = x tan 2 , D(f ) = [0, 1);
3x2 −1
(c) f (x) = (
, D(f ) = (−∞, 0) ∪ (0, ∞);
x
(d) f (x) =
1,
0,
x rasjonal;
D(f ) = R.
x irrasjonal,
(e) I tilfellene ovenfor der f har en invers funksjon, finn definisjonsmengden til den
inverse funksjonen.
1
2
Oppgave 2
La T (t) være temperaturen til et legeme ved tiden t, og la A være den konstante
temperaturen til omgivelsene. Newtons avkjølingslov sier:
(∗)
T 0 (t) = k(T (t) − A),
der k er en konstant. La T0 være temperaturen til legemet ved tiden t = 0.
(a) Omskriv differensialligningen (∗) ved hjelp av substitusjonen u(t) = T (t) − A
og bruk dette til å finne T (t) uttrykt ved T0 , A og k.
(b) Du kommer hjem til studentkollektivet og finner en av dine samboere myrdet
på gulvet. Du merker at termostaten i rommet er satt på 22◦ C. Mens du
venter på politiets ankomst, tar du frem C.S.I.-begynnersettet du fikk til jul
og måler kroppstemperaturene 25, 5◦ C kl 22:11 og 24, 2◦ C kl 23:11 på den
døde kroppen. Når ble din samboer drept, dersom vi regner med at hans
vanlige kroppstemperatur er 37◦ C ?
Oppgave 3
Husk at en funksjon f kalles begrenset (=”bounded”) på et intervall I dersom det
finnes en konstant K slik at |f (x)| ≤ K for alle x ∈ I.
(a) La f være en derivérbar funksjon på et lukket intervall [x1 , x2 ], der x1 og x2
er reelle tall slik at x1 < x2 . Begrunn at f da er begrenset.
(b) La f være en derivérbar funksjon på et åpent intervall (x1 , x2 ), der x1 og x2
er reelle tall slik at x1 < x2 . Vis at dersom den deriverte f 0 er begrenset på
(x1 , x2 ), så er f det også.
Oppgave 4
(a) En radar er plassert i en stolpe 7 meter over bakken. En bil nærmer seg stolpen
(se figur). I det øyeblikket avstanden fra bilen til stolpen er 24 meter, viser
radaren at avstanden fra bilen til radaren avtar med 30 meter per sekund.
Hvor fort kjører bilen?
3
(b) To punkter A og B på en motorvei ligger 75 km fra hverandre. To biler
passerer begge punkt A kl 10 og punkt B kl 11.
Vis at bilene må ha hatt nøyaktig samme hastighet på minst ett tidspunkt
mellom de to klokkeslettene.
Hvor mye informasjon trenger du egentlig for å løse oppgaven?
Oppgave 5
I denne oppgaven studerer vi ligningen
(∗) e−x = x3 ,
der x ∈ R.
(a) Begrunn at ligningen (∗) har en løsning mellom 0 og 1.
(b) Begrunn at ligningen (∗) ikke har flere enn denne ene løsningen.
I resten av oppgaven kaller vi (den entydige) løsningen til (∗) for r.
(c) Bruk Newtons metode én gang med startverdi x0 = 12 til å finne en tilnærmet
verdi for r.
(d) Begrunn om den tilnærmede verdien du fant i (c) er større eller mindre enn
r, uten bruk av kalkulator og uten å sette inn verdien i (∗). (Hint: tenk på
hvordan Newtons metode fungerer rent geometrisk.)√
(e) Begrunn at r er et fikspunkt til funksjonen f (x) = 3 e−x .
(f) Bruk fikspunktiterasjon én gang med startverdi x0 = 12 til å finne en tilnærmet
verdi for r.
(g) Vil fikspunktiterasjonen med et hvilket som helst startpunkt x0 i intervallet
I = [0, 1] konvergere mot r? Begrunn svaret ved å vise til egnede matematiske
setninger.
(h) Begrunn at r også er et fikspunkt til funksjonen g(x) = −3 ln x. Hvorfor
fungerer ikke fikspunkiterasjon på denne funksjonen så bra?
Oppgave 6
(a) Avgjør om funksjonen
(
f (x) =
er kontinuerlig i 0.
arctan x
sin x
1
for x ∈ (− π2 , 0) ∪ (0, π2 )
for x = 0
4
(b) Vis at
arctan x − sin x
= 0.
x→0
x sin x
(c) Avgjør om funksjonen f fra (a) er derivérbar i 0. (Du får bruk for grensen i
(b).)
(d) Finn den horisontale asymptoten til funksjonen
lim
g(x) = x
√1
x
, x > 0.
(e) Finn feilen(e) i følgende resonnement: “Vi har ved L’Hôpital at
x + sin x
lim
= lim
x→∞
x→∞
x
d
(x + sin x)
dx
d
(x)
dx
= lim
x→∞
1 + cos x
= lim (1 + cos x),
x→∞
1
men denne siste grensen eksisterer ikke, og er hverken ∞ eller −∞, derfor
x
eksisterer heller ikke limx→∞ x+sin
, og er heller ikke ∞ eller −∞.”
x
Regn så ut grensen på korrekt måte.
Oppgave 7
La f være funksjonen definert ved
√
3
f (x) = 3x2 − x3 , x ∈ R.
(a)
(b)
(c)
(d)
Finn nullpunktene til f og avgjør hvor den er positiv og hvor den er negativ.
Avgjør hvor funksjonen er voksende og hvor den er avtagende.
Bestem eventuelle lokale og globale ekstremalverdier til f .
Avgjør hvor (grafen til) f er oppoverkrummet (=konveks/”concave up”) og
hvor den er nedoverkrummet (=konkav/”concave down”).
(e) Finn eventuelle vertikale og horisontale asymptoter til f .
(f) Vis at linjen y = 1 − x er en skrå asymptote til f .
(g) Finn det største intervallet I som inneholder 3 slik at f har en invers funksjon
f −1 på I. Finn også
lim
(f −1 )0 (x).
√ −
x→ 3 4
Hva er den geometriske forklaringen på resultatet?
LYKKE TIL!
Andreas Leopold Knutsen