1. No category

‫‪GMAT‬‬
‫חדש! אפליקציית‬
‫”יואל גבע בגרויות“‬
‫בגרויות‬
‫‪+‬‬
‫)‪5‬‬
‫פתרונות וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב‪MY.GEVA.CO.IL-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪GEVA.CO.IL | 1-800-20-40-60‬‬
‫‪MY.GEVA.CO.IL‬‬
‫‪2017-2016‬‬
‫‪GMAT‬‬
‫חדש! אפליקציית‬
‫”יואל גבע בגרויות“‬
‫בגרויות‬
‫‪+‬‬
‫)‪5‬‬
‫פתרונות וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב‪MY.GEVA.CO.IL-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪GEVA.CO.IL | 1-800-20-40-60‬‬
‫‪MY.GEVA.CO.IL‬‬
‫‪2017-2016‬‬
‫הקדמה‬
‫מורים ותלמידים יקרים‪,‬‬
‫א‪‬ו שמחים להגיש לכם חוברת הכ‪‬ה ל קראת ה בגרות במתמטיקה‬
‫לשאלון ‪ 5 ) 806‬יחידות לימוד(‪.‬‬
‫ב ח וברת תמצאו את ‪ 24‬מבח‪‬י הבגרות ש‪‬ערכו עד היום בשאלון ‪806‬‬
‫)מועדי חורף וקיץ(‪ ,‬עד ו כולל מועד ב ' ‪ ,‬קיץ ‪. 2016‬‬
‫מה מיוחד בחוברת זו?‬
‫לכל השאלות בחוברת קיימים סרטו‪‬י וידאו הכוללים פתרו‪‬ות מלאים‬
‫באתר ‪my.geva.co.il‬‬
‫כיצד צופים בסרטון פתרון?‬
‫‪‬כ‪‬סים לאתר ‪my.geva.co.il‬‬
‫בוחרים את מספר יחידות הלימוד ו‪‬כ‪‬סים לפתרו‪‬ות וידאו למבח‪‬י‬
‫בגרות ‪. 806‬‬
‫כעת ‪‬יתן לראות את פתרו‪‬ות הווידאו לכל השאלות ממבח‪‬י הבגרות‪.‬‬
‫ה פתרו‪‬ות לש‪‬י המבח‪‬ים הראשו‪‬ים הם בחי‪‬ם!‬
‫כיצד א‪‬ו ממליצים להיעזר בסרטו‪‬י הפתרון שבאתר ‪? my.geva‬‬
‫בכל שאלה שבה אתם מתקשים ‪ ,‬או שהתשובה הסופית שקיבלתם‬
‫אי‪‬ה תואמת את התשובות המופיעות בסוף המבחן ‪ ,‬מומלץ לצפות‬
‫בסרטון ה פתרון המתאים ‪ .‬כמו כן‪ ,‬אם קיים ‪‬ושא שבו אתם מרגישים‬
‫צורך בחיזוק ‪‬וסף‪ ,‬מומלץ לצפות בכל סרטו‪‬י ה פתרו ן באותו ‪‬ושא‪.‬‬
‫) מיון שאלות המבח‪‬ים לפי ‪‬ושאים מופיע בהמשך החוברת ‪( .‬‬
‫ב‪‬וסף‪ ,‬יתן לרכוש באתר ‪ my.geva.co.il‬מ‪‬וי לסרטו‪‬י פתרון‬
‫לשאלות מתוך ספרי הלימוד לשאלון ‪ , 806‬בהוצאת יואל גבע‪.‬‬
‫לתשומת ליבכם!‬
‫החל ממועד קיץ תשע"ד‪ , 2014 ,‬שאלון ‪ 806‬כולל ‪ 8‬שאלות ולא ‪ 9‬שאלות‬
‫כפי שהיה בעבר ‪.‬‬
‫)הפרק הש‪‬י בשאלון כולל ‪ 2‬שאלות במקום ‪( . 3‬‬
‫כמו כן‪ ,‬ה ‪‬ושאים אי‪‬דוקציה מתמטית‪ ,‬בעיות תערובת וסדרות מעורבות‬
‫אי‪ ‬ם ‪‬כלל ים עוד בתכ‪‬ית הלימודים‪ .‬כדי להתאים את מבח‪‬י הבגרות‬
‫למב‪‬ה הבחי‪‬ה העדכ‪‬י ולתכ‪‬ית הלימודים החלפ‪‬ו את השאלות ב‪‬ושא ים‬
‫ה‪"‬ל בשאלות אחרות ה‪‬כללות בתכ‪‬ית הלימודים‪.‬‬
‫זכו ת היוצרים על שאלות הלקוחות ממ בח‪‬י בגרות שמורות למדי‪‬ת ישראל‪.‬‬
‫כל הזכויות על השאלות האחרות שמורות להוצאת הספרים יואל גבע‪.‬‬
‫א‪‬ו מאחלים לכם הצלחה רבה בבחי‪‬ת הבגרות‪.‬‬
‫יואל גבע – הוצאת הספרים‪ ,‬צוות האתר ‪my.geva.co.il‬‬
‫המב‪‬ה של שאלון ‪806‬‬
‫תלמידי ‪ 5‬יחידות לימוד ‪‬בח‪‬ים בש‪‬י שאלו‪‬ים‪.‬‬
‫השאלון הראשון הוא ‪ 035806‬והשאלון הש‪‬י הוא ‪. 035807‬‬
‫בשאלון ‪ 806‬שלושה פרקים‪.‬‬
‫משך הבחי‪‬ה‪ :‬שלוש שעות וחצי‪.‬‬
‫בסך הכול צריך לע‪‬ות על ‪ 5‬שאלות מתוך ‪ 8‬שאלות‪.‬‬
‫המב‪‬ה של שאלון ‪: 035806‬‬
‫פרק ראשון – בעיות מילוליות‪ ,‬סדרות ‪ ,‬הסתבר ות‬
‫) ‪ 40‬קודות(‪.‬‬
‫הפרק כולל ‪ 3‬שאלות‪ ,‬מתוכן יש לע‪‬ות על ‪ 2‬שאלות‬
‫)לכל שאלה – ‪ 20‬קודות(‪.‬‬
‫פרק ש‪‬י – גיאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור ) ‪ 20‬קודות( ‪.‬‬
‫הפרק כולל ‪ 2‬שאלות‪ ,‬מתוכן יש לע‪‬ות על שאלה אחת‬
‫)לכל שאלה – ‪ 20‬קודות(‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות עם שורשים ריבועיים ‪,‬‬
‫ושל פו‪‬קציות טריגו‪‬ומטריות ) ‪ 40‬קודות( ‪.‬‬
‫הפרק כולל ‪ 3‬שאלות‪ ,‬מתוכן יש לע‪‬ות על ‪ 2‬שאלות‪.‬‬
‫)לכל שאלה – ‪ 20‬קודות(‪.‬‬
‫בעמוד הבא מצור ף דף ההוראות ל‪‬בחן כפי שמופיע בטופס הבגרות‬
‫של שאלון ‪. 806‬‬
‫מיון שאלות המבח‪‬ים לפי ‪‬ושאים‬
‫בעיות מילוליות‬
‫בעיות ת‪‬ועה‬
‫עמוד ‪ 1‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 5‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 13‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 18‬שאלה ‪, 1‬‬
‫עמוד ‪ 22‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 30‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 35‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 43‬שאלה ‪, 1‬‬
‫עמוד ‪ 47‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 61‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 66‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 70‬שאלה ‪, 1‬‬
‫עמוד ‪ 84‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 89‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 94‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 99‬שאלה ‪. 1‬‬
‫בעיות הספק‬
‫עמוד ‪ 9‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 26‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 39‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 52‬שאלה ‪, 1‬‬
‫עמוד ‪ 57‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 75‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 80‬שאלה ‪ , 1‬עמוד ‪ 104‬שאלה ‪. 1‬‬
‫סדרות‬
‫סדרה חשבו‪‬ית‬
‫עמוד ‪ 1‬שאלה ‪ 2‬סעיף ב‪ ,‬עמוד ‪ 13‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 18‬שאלה ‪, 2‬‬
‫עמוד ‪ 35‬שאלה ‪ 2‬סעיף א‪ ,‬עמוד ‪ 39‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 47‬שאלה ‪ 2‬סעיף ב‪,‬‬
‫עמוד ‪ 52‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 66‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 70‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 75‬שאלה ‪, 2‬‬
‫עמוד ‪ 104‬שאלה ‪. 2‬‬
‫סדרה ה‪‬דסית‬
‫עמוד ‪ 5‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 9‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 94‬שאלה ‪. 2‬‬
‫סדרה ה‪‬דסית אי‪‬סופית‬
‫עמוד ‪ 1‬שאלה ‪ 2‬סעיף א‪ ,‬עמוד ‪ 26‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 30‬שאלה ‪ 2‬סעיף א‪,‬‬
‫עמוד ‪ 57‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 61‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 84‬שאלה ‪. 2‬‬
‫סדר ות כלליות וכלל ‪‬סיגה‬
‫עמוד ‪ 22‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 30‬שאלה ‪ 2‬סעיף ב‪ ,‬עמוד ‪ 35‬שאלה ‪ 2‬סעיף ב‪,‬‬
‫עמוד ‪ 43‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 47‬שאלה ‪ 2‬סעיף א‪ ,‬עמוד ‪ 80‬שאלה ‪, 2‬‬
‫עמוד ‪ 89‬שאלה ‪ , 2‬עמוד ‪ 99‬שאלה ‪. 2‬‬
‫הסתברות‬
‫טבלה דו ממדית‬
‫עמוד ‪ 36‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 58‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 100‬שאלה ‪ 3‬סעיף א‪.‬‬
‫כפל וחיבור הסתברויות‪ ,‬דיאגרמת עץ‬
‫עמוד ‪ 2‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 5‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 40‬שאלה ‪ 3‬סעיף א‪,‬‬
‫עמוד ‪ 48‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 53‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 85‬שאלה ‪. 3‬‬
‫‪‬וסחת בר‪‬ולי – התפלגות בי‪‬ומית‬
‫עמוד ‪ 22‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 40‬שאלה ‪ 3‬סעיף ב ‪ ,‬עמוד ‪ 81‬שאלה ‪. 3‬‬
‫בעיות המשלבות טבלה דו ממדית או דיאגרמת עץ‬
‫עם ‪‬וסחת בר‪‬ולי‬
‫עמוד ‪ 10‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 14‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 19‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 26‬שאלה ‪, 3‬‬
‫עמוד ‪ 31‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 43‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 62‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 66‬שאלה ‪, 3‬‬
‫עמוד ‪ 71‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 76‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 90‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 95‬שאלה ‪, 3‬‬
‫עמוד ‪ 100‬שאלה ‪ , 3‬עמוד ‪ 105‬שאלה ‪. 3‬‬
‫גאומטריה‬
‫בעיות עם משולשים ומרובעים )עם או בלי פרופורציה ודמיון(‬
‫עמוד ‪ 6‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 14‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 19‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 27‬שאלה ‪, 4‬‬
‫עמוד ‪ 36‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 48‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 95‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 100‬שאלה ‪. 4‬‬
‫בעיות עם מעגל )ללא פרופורציה ודמיון(‬
‫עמוד ‪ 2‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 53‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 58‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 62‬שאלה ‪. 4‬‬
‫בעיות עם מעגל )כולל פרופורציה ודמיון(‬
‫עמוד ‪ 10‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 23‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 31‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 40‬שאלה ‪, 4‬‬
‫עמוד ‪ 44‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 67‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 71‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 76‬שאלה ‪, 4‬‬
‫עמוד ‪ 81‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 85‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 90‬שאלה ‪ , 4‬עמוד ‪ 105‬שאלה ‪. 4‬‬
‫טריגו‪‬ומטריה‬
‫הערה‪ :‬ברוב הבעיות ‪‬דרש ידע בזהויות ומשוואות טריגו‪‬ומטריות‪.‬‬
‫בעיות עם משולשים ומרובעים‬
‫עמוד ‪ 2‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 6‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 15‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 20‬שאלה ‪, 5‬‬
‫עמוד ‪ 44‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 49‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 76‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 81‬שאלה ‪, 5‬‬
‫עמוד ‪ 86‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 100‬שאלה ‪. 5‬‬
‫בעיות עם מעגל‬
‫עמוד ‪ 10‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 23‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 27‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 31‬שאלה ‪, 5‬‬
‫עמוד ‪ 36‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 40‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 54‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 58‬שאלה ‪, 5‬‬
‫עמוד ‪ 63‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 67‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 72‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 91‬שאלה ‪, 5‬‬
‫עמוד ‪ 96‬שאלה ‪ , 5‬עמוד ‪ 106‬שאלה ‪. 5‬‬
‫חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי‬
‫חקירת פו‪‬קציות‬
‫פולי‪‬ומים‬
‫עמוד ‪ 87‬שאלה ‪. 8‬‬
‫פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‬
‫עמוד ‪ 7‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 11‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 20‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 24‬שאלה ‪, 6‬‬
‫עמוד ‪ 73‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 87‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 102‬שאלה ‪. 8‬‬
‫פו‪‬קציות עם שורשים‬
‫עמוד ‪ 28‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 37‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 55‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 72‬שאלה ‪, 6‬‬
‫עמוד ‪ 77‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 82‬שאלה ‪. 7‬‬
‫פו‪‬קציות ללא תב‪‬ית אלגברית מפורשת‬
‫עמוד ‪ 3‬שאלה ‪ 6‬סעיפים א‪ ,‬ב‪ ,‬ג ‪ ,‬עמוד ‪ 41‬שאלה ‪, 6‬‬
‫עמוד ‪ 45‬שאלה ‪ 8‬סעיפים א‪ ,‬ב ‪ ,‬עמוד ‪ 64‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 69‬שאלה ‪ 8‬סעיף א‪,‬‬
‫עמוד ‪ 92‬שאלה ‪. 8‬‬
‫פו‪‬קציות טריגו‪‬ומטריות‬
‫עמוד ‪ 3‬שאלה ‪ 7‬סעיפים א ו‪ -‬ב‪ ,‬עמוד ‪ 11‬שאלה ‪ 7‬סעיפים א‪ ,‬ב ו‪ -‬ג‪,‬‬
‫עמוד ‪ 25‬שאלה ‪ 8‬סעיף א‪ ,‬עמוד ‪ 28‬שאלה ‪ 7‬סעיפים א ו‪ -‬ב‪,‬‬
‫עמוד ‪ 32‬שאלה ‪ 6‬סעיפים א‪ ,‬ב‪ ,‬ג‪ ,‬ה‪ ,‬עמוד ‪ 44‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 50‬שאלה ‪, 7‬‬
‫עמוד ‪ 91‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 101‬שאלה ‪. 6‬‬
‫בעיות קיצון‬
‫בעיות קיצון גאומטריות‬
‫עמוד ‪ 3‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 37‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 50‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 107‬שאלה ‪. 8‬‬
‫בעיות קיצון בפו‪‬קציות וגרפים‬
‫עמוד ‪ 7‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 11‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 97‬שאלה ‪. 8‬‬
‫בעיות קיצון עם בעיות ת‪‬ועה‬
‫עמוד ‪ 29‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 60‬שאלה ‪. 8‬‬
‫בעיות קיצון עם פו‪‬קציות טריגו‪‬ומטריות‬
‫עמוד ‪ 54‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 64‬תרגיל ‪ , 7‬עמוד ‪ 73‬תרגיל ‪ , 8‬עמוד ‪ 77‬תרגיל ‪, 6‬‬
‫עמוד ‪ 82‬תרגיל ‪ , 6‬עמוד ‪ 101‬שאלה ‪ 6‬סעיף א‪.‬‬
‫אי‪‬טגרלים‬
‫הערה‪ :‬חלק מהסעיפים בנושא זה נרשמו גם תחת הכותרת חקירת פונקציות‪.‬‬
‫פולי‪‬ומים‬
‫עמוד ‪ 55‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 59‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 78‬שאלה ‪. 8‬‬
‫פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‬
‫עמוד ‪ 49‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 63‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 69‬שאלה ‪. 8‬‬
‫פו‪‬קציות עם שורשים‬
‫עמוד ‪ 16‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 33‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 45‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 68‬שאלה ‪. 7‬‬
‫חילוק פולי‪‬ומים‬
‫עמוד ‪ 15‬שאלה ‪. 6‬‬
‫פו‪‬קציות ללא תב‪‬ית אלגברית מפורשת‬
‫עמוד ‪ 3‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 45‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 107‬שאלה ‪. 7‬‬
‫פו‪‬קציות טריגו‪‬ומטריות‬
‫עמוד ‪ 3‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 11‬שאלה ‪ 7‬סעיף ד‪ ,‬עמוד ‪ 16‬שאלה ‪, 7‬‬
‫עמוד ‪ 25‬שאלה ‪ 8‬סעיף ב‪ ,‬עמוד ‪ 28‬שאלה ‪ 7‬סעיף ג‪ ,‬עמוד ‪ 41‬שאלה ‪, 7‬‬
‫עמוד ‪ 59‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 68‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 96‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 106‬שאלה ‪. 6‬‬
‫אי‪‬טגרל הכולל את זיהוי ה‪‬גזרת הפ‪‬ימית של פו‪‬קציה מורכבת‬
‫הערה‪ :‬חלק זה כולל פולינומים‪ ,‬פונקציות רציונליות‪ ,‬פונקציות עם שורשים‬
‫ופונקציות טריגונומטריות ‪ ,‬שבה ן לצורך מציאת האינטגרל יש לזהות‬
‫את הנגזרת הפנימית של פונקציה מורכבת‪.‬‬
‫עמוד ‪ 7‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 21‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 37‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 83‬שאלה ‪, 8‬‬
‫עמוד ‪ 86‬שאלה ‪ , 6‬עמוד ‪ 92‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 97‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 101‬שאלה ‪. 7‬‬
‫‪‬פח גוף סיבוב‬
‫עמוד ‪ 24‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 32‬שאלה ‪ 6‬סעיף ד‪.‬‬
‫בעיות קיצון עם אי‪‬טגרלים‬
‫עמוד ‪ 20‬שאלה ‪ , 7‬עמוד ‪ 33‬שאלה ‪ , 8‬עמוד ‪ 41‬שאלה ‪. 8‬‬
‫פו‪‬קציות עם ערך מוחלט‬
‫הערה‪ :‬השאלות הבאות נרשמו גם תחת כותרות אחרות‪.‬‬
‫עמוד ‪ 15‬שאלה ‪ 6‬סעיף ג‪ ,‬עמוד ‪ 83‬שאלה ‪ 8‬סעיף ב‪.‬‬
‫תוכן ע‪‬יי‪‬ים‬
‫מבח‪‬י בגרות – שאלון ‪806‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 1‬קיץ תשס"ט‪ , 2009 ,‬מועד א ‪1 . ........ . ...................‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 2‬קיץ תשס"ט‪ , 2009 ,‬מועד ב ‪5 . . .. . .............. .. ........‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 3‬חורף תש"ע‪9 .......... . .. . ........ . .................. 2010 ,‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 4‬קיץ תש"ע‪ , 2010 ,‬מועד א ‪13 .......... . .....................‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 5‬קיץ תש"ע‪ , 2010 ,‬מועד ב ‪18 ........... .. ....................‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 6‬חורף תשע"א‪22 ....... . ................................ 2011 ,‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 7‬קיץ תשע"א‪ , 2011 ,‬מועד א ‪26 .... . . . .......................‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 8‬קיץ תשע"א‪ , 2011 ,‬מועד ב ‪30 ..... . . . ......................‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 9‬חורף תשע"ב‪35 .... .. .................................. 2012 ,‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 10‬קיץ תשע"ב‪ , 2012 ,‬מועד א ‪39 ... . .... . ....................‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 11‬קיץ תשע"ב‪ , 2012 ,‬מועד ב ‪43 .............................‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 12‬חורף תשע"ג‪47 . . . ......... ........................... 2013 ,‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 13‬קיץ תשע"ג‪ , 2013 ,‬מועד א ‪52 . ........ .... . ...............‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 14‬קיץ תשע"ג‪ , 2013 ,‬מועד ב ‪57 ... .... ......................‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 15‬חורף תשע"ד‪61 .. ...... ...... .. ..... . ................ 2014 ,‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 16‬קיץ תשע"ד‪ , 2014 ,‬מועד א‪66 ... ...... .......... . ....... .‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 17‬קיץ תשע"ד‪ , 2014 ,‬מועד ב‪70 ... ...... ........... . ....... .‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 18‬קיץ תשע"ד‪ , 2014 ,‬מועד ג‪75 ... ...... ........... . ....... .‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 19‬חורף תשע" ה ‪80 .. ...... ........... . .................. 2015 ,‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 20‬קיץ תשע" ה ‪ , 2015 ,‬מועד א‪84 ... ...... ........... . ...... .‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 21‬קיץ תשע" ה ‪ , 2015 ,‬מועד ב‪89 ... ...... ........... . ....... .‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 22‬חורף תשע" ו ‪94 .. ...... ......... . .. . .................. 2016 ,‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 23‬קיץ תשע" ו ‪ , 2016 ,‬מועד א‪99 ... ...... ....... . .... . ...... .‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪ – 24‬קיץ תשע" ו ‪ , 2016 ,‬מועד ב‪104 ... ...... .......... . ....... .‬‬
‫דף ‪‬וסחאות – ‪ 5‬יחידות לימוד‬
‫מבחן בגרות מספר ‪1‬‬
‫קיץ תשס"ט‪ ,2009 ,‬מועד א‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫רוכב אופניים יצא בשעה ‪ 08 : 00‬מעיר ‪ , A‬ורוכב אופניים שני יצא‬
‫בשעה ‪ 09 : 00‬מעיר ‪ . A‬כל אחד מהרוכבים רכב במהירות קבועה לעיר ‪. B‬‬
‫המרחק בין ‪ A‬ל‪ B -‬הוא ‪ 45‬ק"מ‪ .‬כאשר הרוכב הראשון הגיע לעיר ‪, B‬‬
‫הרוכב השני עדיין לא הגיע לעיר ‪ B‬והיה במרחק של ‪ 25‬ק"מ ממנה‪.‬‬
‫מהירות הרוכב הראשון גדולה ב‪ m -‬קמ"ש ממהירות הרוכב השני‪,‬‬
‫וידוע כי ‪. 0  m  5‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ m‬את שני הפתרונות האפשריים למהירות הרוכב השני‪.‬‬
‫ב‪ .‬נסמן את שני הפתרונות שהבעת בסעיף א' ב‪ x1 -‬וב‪. x 2 -‬‬
‫מצא עבור אילו ערכי ‪ m‬מתקיים ‪. x1  x 2  11‬‬
‫‪.2‬‬
‫א ‪ .‬נתונות שתי סדרות הנדסיות אינסופיות‪:‬‬
‫‪ a1 , a 2 , a 3 , ...‬ו‪. b1 , b 2 , b3 , ... -‬‬
‫מנת הסדרה האחת היא ‪ q1‬ומנת הסדרה השנייה היא ‪. q 2‬‬
‫נסמן‪. M  a1b1  a 2 b 2  a 3b3  ... , K  b1  b 2  b3  ... , S  a1  a 2  a 3  ... :‬‬
‫נתון‪ . S  K  M :‬הוכח‪. q1  q 2  2q1q 2 :‬‬
‫ב ‪ .‬בסדרה חשבונית האיבר התשיעי גדול פי ‪ 4‬מהאיבר הראשון‪.‬‬
‫אם מחלקים את האיבר השישי באיבר השני מקבלים ‪ 2‬ושארית ‪. 1‬‬
‫מצא את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרה‪.‬‬
‫הערה ‪ :‬אין קשר בין סעיף א לסעיף ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.3‬‬
‫ידוע כי בכפר מסוים ‪ 20%‬מהתושבים חולים במחלת מעיים‪.‬‬
‫רופא הכפר בדק את כל התושבים‪.‬‬
‫‪ 90%‬מהחולים בכפר אובחנו על ידו כחולים‪ ,‬ו‪ 10% -‬מהבריאים בכפר‬
‫אובחנו על ידו כחולים‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ו אחוז התושבים בכפר שלגביהם הרופא ביצע אבחנה שגויה?‬
‫הרופא נתן תרופה לכל מי שאובחן על ידו כחולה‪.‬‬
‫התרופה גרמה לפריחה אצל ‪ 60%‬מהחולים שאובחנו כחולים‪,‬‬
‫ואצל ‪ 25%‬מהבריאים שאובחנו כחולים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שתושב בכ פר הוא חולה‪ ,‬אם ידוע שיש לו פריחה?‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ ABC‬הוא משולש שווה‪ -‬צלעות החסום במעגל‪.‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ N‬ו‪ P -‬הן נקודות על המעגל‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ BN‬ו‪ AP -‬נפגשים בנקודה ‪) S‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪ . PC  BN :‬הוכח כי‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬המשולש ‪ BSP‬הוא שווה‪ -‬צלעות‪.‬‬
‫ב‪ .‬המרובע ‪ SPCN‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫ג‪. AN  PC .‬‬
‫‪.5‬‬
‫בטרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪(AB  DC) ABCD‬‬
‫אורך הבסיס הגדול ‪ CD‬הוא ‪, a‬‬
‫אורך הבסיס הקטן ‪ AB‬הוא ‪b‬‬
‫ואורך השוק הוא ‪. d‬‬
‫הזווית ליד הבסיס הגדול ‪DC‬‬
‫היא ‪) ‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי אורך אלכסון הטרפז הוא ‪ab  d 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪b‬‬
‫‪A‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫ב‪ .‬הזווית בין אלכסון הטרפז ובין הבסיס הגדו ל של הטרפז היא ‪. ‬‬
‫הוכח כי אם ‪ ,     90‬אז ‪sin   a 2  ab‬‬
‫)‪sin(  ‬‬
‫‪2b 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪y‬‬
‫בציור שלפניך מוצגות סקיצות‬
‫של שני גרפים‪ :‬גרף ‪ I‬וגרף ‪. II‬‬
‫אחד הגרפים הוא הגרף של פונקציית‬
‫‪I‬‬
‫הנגזרת )‪ , f '(x‬והגרף האחר הוא הגרף‬
‫‪II‬‬
‫של פונקציית הנגזרת השנייה )‪. f "(x‬‬
‫א‪ .‬איזה גרף הוא של )‪, f '(x‬‬
‫ואיזה גרף הוא של )‪ ? f "(x‬נמק‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקיצון‬
‫של הפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הפיתול של הפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬הוכח שהשטח המוגבל על ידי גרף ‪ II‬וציר ה‪) x -‬השטח המקווקו בציור(‬
‫שווה לשטח המוגבל על ידי גרף ‪ II‬והצירים )השטח המנוקד בציור(‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫)‪sin(2x‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬הראה כי ‪. f '(x)  2sin 2 x‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬האם לפונקציה )‪ f (x‬יש נקודות קיצון?‬
‫‪y‬‬
‫‪. f (x)  x ‬‬
‫נמק‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪ ( 2‬האם לפונקציה )‪ f (x‬יש נקודות פיתול? נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬בציור שלפניך מוצג הגרף של הפונקציה‬
‫‪ g(x)  x  sin 2 x‬בתחום ‪.   x  ‬‬
‫בתחום הנתון מצא את כל השטח המוגבל‬
‫על ידי הגרף של )‪ g(x‬ועל ידי היש ר ‪. y  x‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתון משולש שאחת מצלעותיו היא ‪ 10‬ס"מ‪ ,‬וגובה המשולש לצלע זו‬
‫הוא ‪ 5‬ס"מ ‪) .‬המשולש אינו קהה‪ -‬זווית ‪(.‬‬
‫א‪ .‬מבין כל המשולשים שהם כאלה‪ ,‬מצא את צלעות המשולש‬
‫שהיקפו מינימלי‪.‬‬
‫ב ‪ .‬מה הן תכונות המשולש שאת צלעותיו מצאת בסעיף א'?‬
‫‪3‬‬
‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 1‬קיץ תשס"ט‪ , 2009 ,‬מועד א ‪:‬‬
‫‪ . 1‬א‪25  m  m 2  130m  625 , x  25  m  m 2  130m  625 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪. 4  m  5 .‬‬
‫‪ . 2‬ב‪. d  3 , a1  8 .‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 10% .‬ב‪. 27 .‬‬
‫‪32‬‬
‫‪ . 6‬א‪ .‬גרף ‪ , f '(x) – I‬גרף ‪. f "(x) – II‬‬
‫ב‪ x  0 .‬מינימום‪ x  1 ,‬מקסימום‪.‬‬
‫ג‪. x  0.6 , x  0.4 , x  1 .‬‬
‫‪ . 7‬ב‪ ( 1 ) .‬לא ‪ ( 2 ) .‬כן‪ .‬ג‪.  .‬‬
‫‪ . 8‬א‪ 10 .‬ס"מ‪ 5 2 ,‬ס"מ‪ 5 2 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪ .‬המשולש הוא ישר זווית ושווה‪ -‬שוקיים‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪. x2 ‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪2‬‬
‫קיץ תשס"ט‪ ,2009 ,‬מועד ב‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫הולך רגל יוצא כל בוקר להליכה לאורך‬
‫מסלול שאורכו הכולל הוא ‪ 24‬ק"מ‪.‬‬
‫הדרך חזרה‬
‫הוא יוצא מביתו לכיוון מזרח והולך ‪ m‬ק"מ‪.‬‬
‫אחר כך הוא פונה צפונה והולך ‪ 1.5‬שעות‪.‬‬
‫לאחר מכן הוא חוזר לביתו בדרך הקצרה‬
‫צפו‪‬ה‬
‫ביותר )ראה ציור(‪ .‬בדרכו חזרה הוא הולך‬
‫‪ 60‬דקות פחות מהזמן שבו הוא הולך‬
‫יציאה‬
‫מזרחה‬
‫בשני הכיוונים יחד‪ ,‬מזרחה וצפונה‪.‬‬
‫בכל קטעי הד רך הוא הולך באותה מהירות קבועה‪ .‬חשב את ‪. m‬‬
‫‪.2‬‬
‫נתונה סדרה הנדסית שכל ‪ n‬האיברים שלה הם חיוביים‪ .‬סכום ‪n  3‬‬
‫האיברים האחרונים גדול פי ‪ 8‬מסכום ‪ n  3‬האיברים הראשונים‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את מנת הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי ‪ n‬הוא מספר זוגי‪ .‬נסמן‪Sn  a1  a 2  a 3  ...  a n :‬‬
‫‪Tn  a1  a 2  a 3  ...  a n‬‬
‫‪S‬‬
‫) ‪ a1 , a 2 , a 3 , ... , a n‬הם איברי הסדרה הנתונה(‪ .‬חשב את היחס ‪. n‬‬
‫‪T‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.3‬‬
‫בשכבה י"א יש שתי כיתות‪ :‬י"א ‪ 1‬ו‪ -‬י"א ‪. 2‬‬
‫בכיתה י"א ‪ 1‬יש ‪ 40‬תלמידים‪ ,‬ולמחציתם יש מחשב נישא‪.‬‬
‫בכיתה י"א ‪ 2‬יש ‪ 35‬תלמידים‪ ,‬ול‪ 40% -‬מהם יש מחשב נישא‪.‬‬
‫א‪ .‬בחרו באקראי תלמיד משכבה י"א‪ ,‬ונמצא שיש לו מחשב נישא‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהוא לומ ד בכיתה י"א ‪? 2‬‬
‫ב‪ .‬בחרו באקראי בזה אחר זה )בלי החזרה( ‪ 2‬תלמידים מכיתה י"א‪, 1 -‬‬
‫ובאותו אופן בחרו ‪ 2‬תלמידים מכיתה י"א ‪. 2‬‬
‫מהי ההסתברות של‪ 2 -‬התלמידים מכיתה י"א ‪ 1‬וגם ל‪ 2 -‬התלמידים‬
‫מכיתה י"א ‪ 2‬אין מחשב נישא?‬
‫‪5‬‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪(AC  AB) ABC‬‬
‫חסום מלבן ‪ GFED‬כך שהקדקודים ‪ D‬ו‪E -‬‬
‫מונחים על הצלע ‪ , AB‬והקדקודים ‪ F‬ו‪G -‬‬
‫מונחים על הצלעות ‪ BC‬ו‪ CA -‬בהתאמה‪.‬‬
‫נקודה ‪ , L‬הנמצאת על צלע המלבן ‪, GF‬‬
‫היא מפגש התיכונים במשולש ‪. ABC‬‬
‫דרך הנקודה ‪ L‬העבירו אנך לצלע ‪, BC‬‬
‫החותך את ‪ BC‬בנקודה ‪) K‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. KAB  KLF  EFB :‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪L‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪K‬‬
‫אם נתון‪ 18 :‬ס"מ ‪ 15 , BC ‬ס"מ ‪, AB ‬‬
‫חשב‪:‬‬
‫ב‪ .‬את אורך הקטע ‪ . KF‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬את אורך הקטע ‪ . FE‬נמק‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫בטרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪ ABCD‬הזווית שליד הבסיס הגדול היא ‪. ‬‬
‫‪ E‬היא נקודה על השוק ‪ AD‬כך ש‪) ECD   -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון כי אורך השוק של הטרפז שווה לאורך הבסיס הקטן ‪. AB‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס‬
‫בין שטח המשולש ‪ DEC‬לשטח‬
‫‪ SDEC ‬‬
‫המשולש ‪ BDC‬‬
‫‪ SBDC ‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ , AEC  90 :‬אורך האלכסון הטרפז‬
‫גדול פי ‪ 1.5‬מאורך הבסיס הקטן ‪. AB‬‬
‫‪S‬‬
‫חשב את היחס ‪. DEC‬‬
‫‪SBDC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪cos x‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪1  sin x‬‬
‫בחלק מהתחום ‪)  3  x  ‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (x) ‬‬
‫‪y‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה‬
‫בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה‪. y -‬‬
‫מצא את השטח המוגבל על ידי גרף‬
‫‪x‬‬
‫הפונקציה‪ ,‬על ידי המשיק ועל ידי ציר ה‪. x -‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪x  a‬‬
‫‪xb‬‬
‫‪. a  b ; a , b  0 ; f (x) ‬‬
‫המשיקים לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך עם הצירים מקבילים זה לזה‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. a  2b‬‬
‫הצב ‪ , a  2b‬וענה על הסעיפים ב‪ -‬ז )הבע באמצעות ‪ b‬במידת הצורך(‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f (x‬המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה )‪) f (x‬אם יש כאלה(‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא נקודות חיתוך של הפונקציה )‪ f (x‬עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪ .‬מצא תחומי קעירות כלפי מעלה ‪ ‬וכלפי מטה ‪. ‬‬
‫ו‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ז‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עבור ‪. b  0‬‬
‫נמק את שיקוליך בשרטוט הגרף עבור תחומי עלייה וירידה‬
‫ועבור תחומי קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪x 2  24‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫העביר ו ישר המשיק לגרף הפונקציה‬
‫‪y‬‬
‫בנקודה ‪ A‬שבה ‪ . x  t‬מנקודה ‪A‬‬
‫העבירו ישר המקביל לציר ה‪x -‬‬
‫וחותך את גרף הפונקציה בנקודה ‪. B‬‬
‫בנקודה ‪ B‬העבירו עוד משיק לגרף‬
‫הפונקציה‪ .‬המשיקים נפגשים בנקודה ‪C‬‬
‫שעל ציר ה‪) y -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הפונקציה זוגית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ה שטח המינימלי של המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪7‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
: ‫ מועד ב‬, 2009 ,‫ – קיץ תשס"ט‬2 ‫תשובות ל מבחן בג רות מספר‬
. m  8 .1
. 3 .‫ ב‬. 2 .‫ א‬. 2
. 19  0.086 .‫ ב‬. 7  0.4118 .‫ א‬. 3
221
17
.‫ ס"מ‬4.8 .‫ ג‬.‫ ס"מ‬3 .‫ ב‬. 4
. 0.1562 .‫ב‬
.
sin1 12  sin 
(1  2cos )sin 

.‫ א‬. 5
sin(  )
sin 
2 sin(  )
. 3  2 2  0.1716 . 6
. (2b;0) , (0;2) .‫ ד‬.‫ אין‬:‫ ; ירידה‬x  b ‫ או‬x  b :‫ עלייה‬.‫ ג‬. y  1 , x  b .‫ ב‬. 7
. x  b :  ; x  b :  .‫ה‬
y
y
.‫ז‬
.‫ו‬
x
x
.
8
216  62.35 .‫ ב‬. 8
12
‫מבחן בגרות מספר ‪3‬‬
‫חורף תש"ע‪2010 ,‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫שני צינורות‪ ,‬צינור ‪ I‬וצינור ‪ , II‬ממלאים יחד במים את כל הנפח‬
‫של בריכה במשך ‪ 6‬שע ות )קצב הזרמת המים של כל אחד מהצינורות‬
‫אינו משתנה(‪.‬‬
‫יום אחד‪ ,‬צינור ‪ I‬מילא לבדו רבע מנפח הבריכה‪ ,‬וצינור ‪ II‬מילא לבדו‬
‫עוד רבע מנפח הבריכה‪ ,‬וכך התמלא חצי מנפח הבריכה במשך ‪ m‬שעות‪.‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬הבע באמצעות ‪ m‬את הזמן הדרוש לצינור ‪ I‬למלא את כל נפח‬
‫הבריכה לבדו‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא עבור איזה ערך של ‪ m‬יש פתרון אחד לבעיה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי כאשר כמות המים בבריכה היא ‪ 70%‬מנפח הבריכה‪ ,‬צינור ‪I‬‬
‫ממלא לבדו את נפח הבריכה הנותר במשך ‪ 3‬שעות‪.‬‬
‫מצא את ‪ m‬במקרה זה‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫נתונות שתי סדרות הנדסיות‪a1 , a 2 , ... , a n :‬‬
‫‪b1 , b 2 , ... , b n‬‬
‫הסדרות מקיימות‪. b 4  a11 , b1  a 2 :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי לכל ‪ n‬טבעי מתקיים‪. b n  a 3n 1 :‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי מנת הסדרה ‪ a1 , a 2 , a 3 , ...‬היא ‪. 2‬‬
‫כמו כן‪ ,‬מתקיים‪. a1  a 2  a 3  ...  a 3n  k :‬‬
‫הבע באמצעות ‪ k‬את הסכום ‪. b1  b 2  b3  ...  b n‬‬
‫‪9‬‬
‫‪.3‬‬
‫בוחרים באקראי ‪ 3‬אנשים מעיר גדולה‪.‬‬
‫ההסתברות ששלושתם הם בעלי השכלה גבוהה היא ‪. 0.064‬‬
‫ההסתברות לבחור באקראי אדם שמרכיב משקפיים מבין בעלי השכלה‬
‫גבוהה בעיר קטנה פי ‪ 2‬מההסתברות לבחור באקראי אדם שמרכיב‬
‫משקפיים מבין אלו שאינם בעלי השכלה גבוהה‪.‬‬
‫א‪ .‬ידוע שאדם מהעיר מרכיב משקפיים‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהוא בעל השכלה גבו הה?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 4‬אנשים מבין תושבי העיר שאינם בעלי השכלה‬
‫גבוהה‪ .‬ההסתברות שארבעתם אינם מרכיבים משקפיים היא ‪. 81‬‬
‫‪256‬‬
‫מהי ההסתברות שאדם בעיר מרכיב משקפיים והוא גם בעל השכלה‬
‫גבוהה?‬
‫פרק ש‪ ‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫במעגל שמרכזו ‪ O‬חסום מרובע ‪. ABCD‬‬
‫‪ DC‬הוא קוטר‪ .‬המשכי הצלעות ‪DA‬‬
‫ו‪ CB -‬נפגשים בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. BOC   , OB  DE :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את ‪. ABO‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי שטח המשולש ‪ OBC‬שווה לשטח‬
‫המשולש ‪. BEA‬‬
‫הוכח כי ‪. OBC  BEA‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ B , A‬ו‪ C -‬הן נקודות על מעגל שמרכזו ‪. M‬‬
‫‪ AC‬ו‪ BM -‬נחתכים בנקודה ‪) D‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪, CBM  2ACB :‬‬
‫שטח המשולש ‪ CBD‬גדול פי ‪1.5‬‬
‫משטח המשולש ‪. CDM‬‬
‫חשב את ‪. CBM‬‬
‫‪10‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪(x  b) 2‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪x2  4‬‬
‫א‪ .‬מצא )הבע באמצעות ‪ b‬במידת הצורך(‪:‬‬
‫‪. b  2 , f (x) ‬‬
‫) ‪ ( 1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪ ,‬ואת האסימפטוטות שלה‬
‫המקבילות לצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬את השיעורים של נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬על פי הסקיצה של גרף הפונקציה‪ ,‬מצא את התחום שבו פונקציית‬
‫הנגזרת )‪ f '(x‬שלילית וגם פונקציית הנגזרת השנייה )‪ f ''(x‬שלילית ‪,‬‬
‫אם ידוע כי ל‪ f (x) -‬יש נקודת פיתו ל אחת בלבד‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪ ‬‬
‫‪2cos 2  x2 ‬‬
‫‪2cos 2 x2  1‬‬
‫‪ f (x) ‬בתחום ‪. 3  x  3‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הפונקציה )‪ f (x‬היא זוגית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫ג‪ .‬לפונקציה יש שלוש נקודות מקסימום בתחום הנתו ן‪.‬‬
‫מצא את השיעורים של נקודות אלה‪.‬‬
‫ד‪ .‬העבירו ישר דרך נקודות המקסימום של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא בתחום ‪   x  ‬את השטח המוגבל על ידי הישר‪ ,‬על ידי גרף‬
‫הפונקציה‪ ,‬על ידי שתי האסימפטוטות של הפונקציה ועל ידי ציר ה‪. x -‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪. a  0 , f (x)  ax‬‬
‫‪y‬‬
‫מנקודה )‪ ( b  0 ) B(b;0‬העבירו אנך לציר ה‪. x -‬‬
‫‪ C‬היא נקודה כלשהי על גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫מנקודה ‪ C‬העבירו ישר המקביל לציר ה‪x -‬‬
‫וחותך את האנך בנקודה ‪. D‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע הקטע ‪) BD‬ראה ציור( ‪.‬‬
‫נתון כי עבור )‪ C(2;4‬שטח המשולש ‪CBE‬‬
‫הוא מקסימלי‪.‬‬
‫מצא את הערך של ‪ a‬ואת הערך של ‪. b‬‬
‫‪11‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 3‬חורף תש"ע‪: 2010 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . 1‬א‪ . 2m  2 m  6m ( 1 ) .‬הפתרון קיים בתנאי ש‪. m  6 ( 2 ) . m  6 -‬‬
‫ב‪. m  6.25 .‬‬
‫‪ . 2‬ב‪. 72 k .‬‬
‫‪ . 3‬א‪. 0.25 .‬‬
‫ב‪. 0.05 .‬‬
‫‪ . 4‬א‪. 90   .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. CBM  41.41 . 5‬‬
‫‪ . 6‬א‪ ( 1 ) .‬תחום הגדרה‪. x  2 , x  2 :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫אסימפטוטות‪. y  1 , x  2 , x  2 :‬‬
‫) ‪b 2  , (b;0) ( 2‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.  0; ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 4 4b ‬‬
‫) ‪ (b;0) ( 3‬מינימום‪,‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪4‬‬
‫ג‪.  x  2 .‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫; ‪ ‬מקסימום‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ . 7‬ב‪. x  3 , x   , x   , x  3 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪. b  6 , a  8 .8‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ ,  0; 12  ,  2; 12 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 2; 12‬‬
‫ד‪. 2 .‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪4‬‬
‫קיץ תש"ע‪ ,2010 ,‬מועד א‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫רוכב אופניים אחד יצא ממקום ‪ A‬אל מקום ‪ , B‬ובאותה שעה בדיוק‬
‫יצא רוכב אופניים אחר ממקום ‪ B‬אל מקום ‪. A‬‬
‫כעבור ‪ 4‬שעות נפגשו רוכבי האופניים‪ .‬הזמן‪ ,‬שנדרש לרוכב האופניים‬
‫שיצא מ‪ A -‬לעבור את הדרך שבין ‪ A‬ל‪ , B -‬גדול ב‪ 108 -‬דקות מהזמן‬
‫שנדרש לרוכב האופניים שיצא מ‪ B -‬לעבור דרך זו‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את היחס בין המהירות של רוכב האופניים שיצא מ‪ B -‬לבין‬
‫המהירות של רוכב האופניים שיצא מ‪. A -‬‬
‫ב‪ .‬מצא בכמה שעות עבר כל אחד מרוכבי האופניים את הדרך‬
‫שבין ‪ A‬ל‪. B -‬‬
‫‪.2‬‬
‫נתונה סדרה חשבונית שיש בה ‪ n‬איברים )‪. (n  1‬‬
‫האיבר הראשון בסדרה ה וא ‪) a1‬שונה מאפס(‪ ,‬והפרש הסדרה הוא ‪. d‬‬
‫בונים סדרה חדשה שגם בה ‪ n‬איברים‪.‬‬
‫האיבר הראשון בסדרה החדשה גדול פי ‪ 4‬מהאיבר הראשון בסדרה‬
‫הנתונה‪ ,‬והפרש הסדרה החדשה גם הוא ‪. d‬‬
‫סכום הסדרה החדשה גדול פי ‪ 2‬מסכום הסדרה הנתונה‪.‬‬
‫א‪ .‬בטא את ‪ a1‬באמצעות ‪ d‬ו‪. n -‬‬
‫ב‪ .‬אם מגדילים את הפרש הסדרה הנתונה ב‪) 3 -‬בלי לשנות את ‪ a1‬ואת ‪,( n‬‬
‫מקבלים סדרה חשבונית שסכומה גדול פי ‪ 2‬מסכום הסדרה הנתונה‪.‬‬
‫הראה כי הפרש הסדרה הנתונה הוא ‪. 2‬‬
‫‪13‬‬
‫‪.3‬‬
‫באחד הדוכנים בלונה פארק אפשר להשתתף במשחק שבו מסובבים‬
‫שני גלגלים‪ A ,‬ו‪ . B -‬כל גלגל מחולק ל‪ 20 -‬גזרות שוות )לכל אחת‬
‫מהגזרות יש אותה הסתברות שהגלגל ייעצר עליה‪ ,‬והגלגל אינ ו נעצר‬
‫בגבול שבין הגזרות(‪.‬‬
‫בגלגל ‪ A‬יש ‪ 2‬גזרות אדומות והשאר שחורות‪.‬‬
‫בגלגל ‪ B‬יש ‪ 4‬גזרות אדומות והשאר שחורות‪.‬‬
‫תור אחד במשחק מורכב משני שלבים‪:‬‬
‫בשלב הראשון‪ :‬משתתף במשחק מסובב את הגלגל ‪. A‬‬
‫בשלב השני‪ :‬אם הגלגל ‪ A‬נעצר על גזרה אדומה בשלב הראשון‪,‬‬
‫המשתתף מסובב את הגלגל ‪ . B‬אם הגלגל ‪ A‬נעצר על גזרה שחורה‬
‫בשלב הראשון‪ ,‬המשתתף מסובב שוב את הגלגל ‪. A‬‬
‫א‪ .‬ידוע שבתור אחד בשלב הראשון נעצר הגלגל ‪ A‬על גזרה אדומה‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שבתור זה התקבלה בשלב השני גזרה שחורה?‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬מהי ההסתברות שבתור אחד תתקבל לפחות גזרה אדומה אחת?‬
‫) ‪ ( 2‬אם ידוע כי בתור אחד הייתה לפחות אחד מהגזרות אדומה‪,‬‬
‫מהי ההסתברות שבתור זה התקבלה רק גזרה אדומה אחת?‬
‫ג‪ .‬משתתף משחק ‪ n‬תורות‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ n‬את ההסתברות שלא תתקבל כלל גזרה אדומה‪.‬‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫נתון משולש ‪ ABC‬חד‪ -‬זוויות‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ BE‬הוא גובה לצלע ‪ , AC‬ו‪ AD -‬הוא גובה לצלע ‪. BC‬‬
‫הגבהים נפגשים בנקודה ‪. N‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ FM‬הוא אנך אמצעי לצלע ‪, AC‬‬
‫‪F‬‬
‫ו‪ GM -‬הוא אנך אמצעי לצלע ‪) BC‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. BAC  GFC ( 1 ) :‬‬
‫‪N‬‬
‫) ‪. ABN  MFG ( 2‬‬
‫‪C‬‬
‫) ‪. ANB  GMF ( 3‬‬
‫ב‪ .‬מצא את היחס ‪BN‬‬
‫‪FM‬‬
‫‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.5‬‬
‫בטרפז ‪ (AD  BC) ABCD‬נתון‪, AC  BD :‬‬
‫‪b‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪. (d  b) , AD  d , AB  a , BC  b , CD  c‬‬
‫אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה ‪. O‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. a 2  c 2  b 2  d 2 :‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫ב‪ .‬דרך קדקוד ‪ B‬מעבירים ישר‬
‫המקביל לשוק ‪ . CD‬הישר חותך‬
‫‪D‬‬
‫את הבסיס ‪ AD‬בנקודה ‪. M‬‬
‫‪bd‬‬
‫‪. cos  ‬‬
‫נתון‪ . ABM   :‬הוכח‪:‬‬
‫‪ac‬‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ b , d‬ו‪ ( 1 ) :  -‬את שטח המשולש ‪. ABM‬‬
‫) ‪ ( 2‬את שטח הטרפז ‪. ABCD‬‬
‫‪d‬‬
‫‪A‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪2x 4  4x 3  2x 2  8‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪. x  2 , f (x) ‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬בציור מוצגת סקיצה של גרף הפונקציה )‪f (x‬‬
‫עבור ‪ . x  0‬מעבירים ישר המשיק לגרף‬
‫הפונקציה )‪ f (x‬בנקודה שבה ‪. x  1‬‬
‫מצא את השטח המו גבל על ידי הגרף של )‪, f (x‬‬
‫על ידי המשיק ועל ידי ציר ה‪ y -‬עבור ‪. x  0‬‬
‫ב‪ ( 1 ).‬מצא תחומי עלייה וירידה‬
‫‪x‬‬
‫של הפונקציה )‪) f (x‬אם יש כאלה(‪,‬‬
‫עבור כל תחום ההג דרה של הפונקציה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור כל תחום‬
‫ההגדרה שלה‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתונה הפונקציה )‪ . g(x)  f (x‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫‪15‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ f (x)  2  cos x  sin 2 x‬בתחום ‪.   x  ‬‬
‫עבור התחום הנתון ענה על סעיפים א'‪ -‬ד'‪:‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם הצירים‬
‫)אם יש כאלה(‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה )‪ , f (x‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ ( 1 ) .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫) ‪ ( 2‬שרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת )‪) f '(x‬הפונקציה )‪f (x‬‬
‫גזירה גם בקצות התחום הנתון(‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגז רת )‪f '(x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪3‬‬
‫ועל ידי ציר ה‪ x -‬בתחום ‪3‬‬
‫ד‪ .‬נתון כי גרף הפונקציה ‪ g(x)  a  cos x  sin 2 x‬משיק לציר ‪ x‬בתחום‬
‫הנתון בנקודה אחת בלבד‪ .‬מהו הער ך של ‪ ? a‬נמק‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫)‪ f '(x‬היא פונקציית הנגזרת של )‪ . f (x‬בציור מוצג הגרף של )‪. f '(x‬‬
‫)‪ f (x‬היא פונקציה רציפה המוגדרת בתחום ‪. x  4‬‬
‫נתון‪6x 2  16x :‬‬
‫‪x 3  4x 2‬‬
‫‪. f '(x) ‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של )‪. f '(x‬‬
‫)‪f '(x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטה האנכית של )‪. f '(x‬‬
‫ג‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת המקסימום‬
‫של הפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה‬
‫‪x‬‬
‫של הפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ה‪ .‬נתון‪. 2  a  0 , f (a)  4 3 :‬‬
‫‪3‬‬
‫השטח‪ ,‬המוגבל על ידי הגרף של )‪, f '(x‬‬
‫על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי הישר ‪ , x  a‬הוא ‪28 3‬‬
‫‪9‬‬
‫מצא את ערך הפונקציה )‪ f (x‬בנקודת המקסימום שלה‪.‬‬
‫אין צורך למצוא את )‪ , f (x‬ואין צורך למצוא את ‪. a‬‬
‫בתשובתך תוכל להשאיר ‪ 3‬או לדייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה‬
‫‪.‬‬
‫העשרונית‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 4‬קיץ תש"ע‪ , 2010 ,‬מועד א ‪:‬‬
‫‪ . 1‬א‪. 1.25 .‬‬
‫ב‪ .‬הרוכב שיצא מ‪ 9 : A -‬שעות‪ .‬הרוכב שיצא מ‪ 7.2 : B -‬שעות‪.‬‬
‫)‪d(n  1‬‬
‫‪ . 2‬א‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪. a1 ‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 0.8 .‬ב‪. 17 ( 2 ) . 0.19 ( 1 ) .‬‬
‫‪19‬‬
‫‪ . 4‬ב‪. 2 .‬‬
‫ג‪. 0.81n .‬‬
‫‪bd(d  b) tan ‬‬
‫‪ . 5‬ג‪bd tan  ( 1 ) .‬‬
‫‪(2) .‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪2(d  b‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ . 6‬א‪. 1 1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬עלייה‪ x  2 :‬או ‪ ; x  2‬ירידה‪ :‬אף ‪. x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . 7‬א‪ . (0;1) .‬ב‪ ( ;3) .‬מקסימום מוחלט‪ ( ;3) ,‬מקסימום מוחלט‪.‬‬
‫) ‪ (  ; 3‬מינימום מוחלט‪ (  ; 3 ) ,‬מינימום מוחלט‪.‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪3 4‬‬
‫ג‪( 1 ) .‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪. 1 (3‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪. a  1 .‬‬
‫‪ . 8‬א‪. x  0 , x  4 .‬‬
‫ב‪. x  4 .‬‬
‫ג‪. x  2 2 .‬‬
‫‪3‬‬
‫ד‪ .‬עלי יה‪ 4  x  2 2 :‬או ‪ ; x  0‬ירידה‪. 2 2  x  0 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫ה‪64 3  12.317 .‬‬
‫‪9‬‬
‫‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪5‬‬
‫קיץ תש"ע‪ ,2010 ,‬מועד ב‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪E‬‬
‫רוכב אופניים רכב מעיר ‪ A‬לעיר ‪. B‬‬
‫במסלול שבין שתי הערים יש תחילה‬
‫‪A‬‬
‫עלייה ואחר כך ירידה )ראה ציו ר(‪.‬‬
‫מהירות הרוכב בירידה היא קבועה‪,‬‬
‫וגדולה ב‪ 10 -‬קמ"ש ממהירותו בעלייה‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫הרוכב עבר את הדרך מ‪ A -‬ל‪ B -‬ב‪ 4.5 -‬שעות‪.‬‬
‫בדרך חזור עבר הרוכב את הדרך מ‪ B -‬ל‪ A -‬ב‪ 6 -‬שעות‪.‬‬
‫מהירות הרוכב בעלייה שבדרך מ‪ A -‬ל‪ B -‬שווה למהירות הרוכב בעלייה‬
‫שבדרך מ‪ B -‬ל‪ , A -‬וגם מ הירות הרוכב בירידה בכל אחת מהדרכים היא‬
‫אותה מהירות‪ .‬אורך המסלול בין שתי הערים הוא ‪ 70‬ק"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מהירות הרוכב בעלייה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורך המסלול מ‪ E -‬ל‪. B -‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ a n‬ו‪ a k -‬הם שני איברים בסדרה חשבונית במקום ה‪ n -‬ובמקום ה‪k -‬‬
‫בהתאמה‪ .‬הפרש הסדרה הוא ‪ , d‬והאיבר הראשון בסדרה הוא ‪, a1  md‬‬
‫‪ – m‬מספר טבעי‪. d  0 ,‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬הראה כי מתקיים )‪. a n  a k  a1  d(n  k  m  2‬‬
‫) ‪ ( 2‬הבע באמצעות ‪ k , n‬ו‪ m -‬את המקום בסדרה של איבר השווה‬
‫לסכום של שני האיברים ‪ a n‬ו‪. a k -‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬הבע באמצעות ‪ d , a1‬ו‪ m -‬את הסכום‬
‫‪. a 34  a 65‬‬
‫) ‪ ( 2‬נתון‪ , a 34  a 65  a109 :‬סכום ‪ 79‬האיברים הראשונים בסדרה‬
‫הוא ‪ . 7900‬מצא את ‪ d‬ואת ‪. a1‬‬
‫‪18‬‬
‫‪.3‬‬
‫ברשותנו שתי קוביות משחק הנראות זהות‪ .‬קובייה אחת מאוזנת‬
‫והאחרת לא מאוזנת‪ .‬בה טלת הקובייה המאוזנת ההסתברות לקבל אחד‬
‫מהמספרים הרשומים על פאות הקובייה היא אותה הסתברות עבור כל‬
‫אחד מהמספרים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫בהטלת הקובייה הלא‪ -‬מאוזנת ההסתברות לקבל את המספר שש היא ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬זורקים ‪ 3‬פעמים את הקובייה המ אוזנת‪.‬‬
‫מהי ההסתברות לקבל בדיוק ‪ 2‬פעמים את המספר שש?‬
‫) ‪ ( 2‬זורקים ‪ 3‬פעמים את הקובייה הלא‪ -‬מאוזנת‪.‬‬
‫מהי ההסתברות לקבל בדיוק ‪ 2‬פעמים את המספר שש?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי אחת משתי הקו ביות‪ ,‬וזורקים ‪ 3‬פעמים‬
‫את הקובייה שבוחרים‪.‬‬
‫) ‪ ( 1‬מהי ההסתברות לקבל בדיוק ‪ 2‬פעמים את המספר שש?‬
‫) ‪ ( 2‬ידוע כי המספר שש התקבל בדיוק ‪ 2‬פעמים‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שנבחרה ה קובייה הלא‪ -‬מאוזנת?‬
‫ג‪ .‬זורקים ‪ n‬פעמים את הקובייה הלא‪ -‬מאוזנת‪ .‬הבע באמצעות ‪n‬‬
‫את ההסתברות לקבל לפחות פעם אחת את המספר שש‪.‬‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫נתון טרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪. (BC  AD) ABCD‬‬
‫דרך הקדקוד ‪ D‬העבירו אנך ל‪AD -‬‬
‫וישר המקביל לשוק ‪. AB‬‬
‫האנך חותך את המשך האלכסון ‪AC‬‬
‫בנקודה ‪, M‬‬
‫‪F‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫והישר המקביל חותך את המשך‬
‫האלכסון בנקודה ‪) F‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נסמן‪. CAD   , BAC   :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי‪. ABC  FDA :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי‪. CDM  MDF :‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי‪AC  MC :‬‬
‫‪AF MF‬‬
‫‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.5‬‬
‫בציור שלפניך טרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪. (AD  BC) ABCD‬‬
‫נתון‪. BDC   , CAD   :‬‬
‫‪D‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬היחס בין שטח המשולש ‪AED‬‬
‫לשטח המשולש ‪BEC‬‬
‫‪S‬‬
‫)‪sin 2 (2  ‬‬
‫הוא‬
‫‪. AED ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪SBEC‬‬
‫‪sin 2 ‬‬
‫‪SAED 1‬‬
‫ב ‪ .‬נתון גם‪ ,   30 :‬‬
‫‪SBEC 4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ .‬מצא את ‪. ‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪x 2  6x  12‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪x 2  6x  9‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫א ‪ ( 1 ) .‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f (x‬המקבילות לצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את נקודות החית וך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם הצירים‬
‫)אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫) ‪ ( 4‬ס רטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ב ‪ ( 1 ) .‬מצא את האסימפטוטות של פונקציית הנג זרת )‪ f '(x‬המקבילות‬
‫לצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬ס רטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת )‪ . f '(x‬נמק‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ f (x)  sin x‬בתחום ‪) 0  x  ‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫מעבי רים שני ישרים שמשוואותיהם‪:‬‬
‫‪.( 0  a   ) , x  a   , x  a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ S1‬הוא השטח המוגבל על ידי שני‬
‫הישרים‪ ,‬על ידי גרף הפונקציה )‪, f (x‬‬
‫ועל ידי ציר ה‪) x -‬השטח המקווקו בציור(‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪a  2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ S2‬הוא סכום של שני שטחים‪ ,‬שכל אחד מהם מוגבל על ידי גרף‬
‫הפונקציה )‪ , f (x‬על ידי אחד הישרים ועל ידי ציר ה‪) x -‬סכום השטחים‬
‫‪S1‬‬
‫המנוקדים בציור(‪ .‬מצא עבור איזה ע רך של ‪ a‬היחס‬
‫‪S2‬‬
‫‪20‬‬
‫הוא מקסימלי‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪x‬‬
‫‪x 2  15‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬על סמך סעיפים א' ו‪ -‬ב' שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪,‬‬
‫אם נתון כי הפונקציה יורדת בכל התחום שבו היא מוגדרת‪.‬‬
‫ד‪ .‬נתון כי הישר ‪ , k  0 , y   kx  8k‬אינו חותך את גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫הישר מחלק את השטח‪ ,‬המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪, f (x‬‬
‫על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי הישרים ‪ x  4‬ו‪ , x  8 -‬לשני שטחים שווים‪.‬‬
‫מצא את הערך של ‪. k‬‬
‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 5‬קיץ תש"ע‪ , 2010 ,‬מועד ב ‪:‬‬
‫‪ . 1‬א‪ 10 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 50 .‬ק"מ‪.‬‬
‫‪ . 2‬א‪ . n  k  m  1 ( 2 ) .‬ב‪. a1  (97  m)d ( 1 ) .‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 2 ( 2 ) . 5 ( 1 ) .‬ב‪. 7 ( 1 ) .‬‬
‫‪48‬‬
‫‪72‬‬
‫‪9‬‬
‫) ‪. a1  22 , d  2 ( 2‬‬
‫) ‪ . 16 ( 2‬ג‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪. 1 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . 5‬ב ‪.   106.1 .‬‬
‫‪ .6‬א‪. y  1 , x  3 (1) .‬‬
‫‪y‬‬
‫) ‪. (0;1 1 ) ( 2‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(4‬‬
‫) ‪ ( 3‬עלייה‪; 3.5  x  3 :‬‬
‫‪x‬‬
‫ירידה‪ x  3 :‬או ‪. x  3.5‬‬
‫ב‪. y  0 , x  3 (1) .‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪ . a  ‬הערה‪ :‬שים לב שכאשר ‪ S1‬הוא מקסימלי‪ ,‬היחס‬
‫‪4 .7‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪ . 8‬א‪ x  15 .‬או ‪. x   15‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪. y  1 , y  1 , x   15 , x  15 .‬‬
‫ד‪. k  3 .‬‬
‫‪8‬‬
‫‪x‬‬
‫‪21‬‬
‫הוא מקסימלי‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪6‬‬
‫חורף תשע"א‪2011 ,‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫נהג יצא מעיר ‪ A‬לכיוון עיר ‪ . B‬המרחק בין שתי הערים הוא ‪ 120‬ק"מ‪.‬‬
‫בהתחלה נסע הנהג ב מהירות קבועה כפי שתכנן‪ ,‬אבל כעבור ‪ 3‬שעה‬
‫‪4‬‬
‫מתחילת נסיעתו הייתה תקלה ברכבו‪.‬‬
‫הנהג חזר מיד לכיוון ‪ , A‬ונסע ‪ 10‬ק"מ במהירות של ‪ 50‬קמ"ש עד‬
‫למוסך הנמצא בדרך ל‪. A -‬‬
‫המוסך טיפל בתקלה במשך ‪ 33‬דקות‪ ,‬ומיד לאחר הטיפול יצא הנהג‬
‫לכיוון ‪ B‬במהירות הקטנה ב‪ 10 -‬קמ"ש ממהירות נסיעתו עד התקלה‪.‬‬
‫הוא הגיע ל‪ B -‬באיחו ר של שעה אחת לעומת השעה המתוכננת‪.‬‬
‫מה הייתה מהירות הנסיעה של הנהג עד התקלה?‬
‫‪.2‬‬
‫בסדרה שכל איבריה שונים מאפס ומאחד נתון כי סכום של כל שני‬
‫איברים עוקבים שווה למכפלתם‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא נוסחת נסיגה המביעה את ‪ a n 1‬באמצעות ‪. a n‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי עבור כל ‪ n‬טבעי מתקיים‪. a n  2  a n :‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי ‪ n , a 31  3‬הוא מספר זוגי‪.‬‬
‫מצא נוסחה לסכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫משפחה יצאה לטיול במכונית הנוסעת על ‪ 4‬גלגלים חדשים‪.‬‬
‫בתא המטען של המכונית יש גלגל רזרבי אחד‪.‬‬
‫ההסתברות שיהיה נקר )פנצ'ר( בגלגל חדש בזמן הטיול היא ‪. 0.05‬‬
‫ההסתברות שיהיה נקר בגלגל הרזרבי בזמן הטיול היא ‪. 0.25‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות שיהיה נקר בדיוק בגלגל אחד מבין ארבעת הגלגלים‬
‫החדשים?‬
‫‪22‬‬
‫ב‪ .‬בתחילת הטיול היה נקר בגלגל אחד‪ ,‬והמשפחה החליפה את הגלגל‬
‫בגלגל הרזרבי‪.‬‬
‫) ‪ ( 1‬מהי ההסתברות שאחרי ההחלפה יהיה נקר רק בגלגל הרזרב י‬
‫מבין ארבעת הגלגלים?‬
‫) ‪ ( 2‬מהי ההסתברות שאחרי ההחלפה יהיה נקר רק בגלגל אחד מבין‬
‫ארבעת הגלגלים?‬
‫) ‪ ( 3‬ידוע כי אחרי ההחלפה היה נקר רק בגלגל אחד מבין ארבעת‬
‫הגלגלים‪.‬‬
‫מהי ההסתברו ת שהנקר היה בגלגל הרזרבי?‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫מנקודה ‪ A‬יוצאים למעגל חותך ‪AF‬‬
‫וישר המשיק למעגל בנקודה ‪. N‬‬
‫החותך נפגש עם המ עגל בנקודות ‪ D‬ו‪. E -‬‬
‫מנקודה ‪ F‬יוצא ישר המשיק למעגל‬
‫‪E‬‬
‫בנקודה ‪ , M‬ונפגש עם המשך המשיק ‪AN‬‬
‫בנקודה ‪) B‬ראה ציור(‪ .‬נ תון‪. AD  DE  EF :‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. AN  MF :‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. ADN  FEM :‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪ :‬במרובע ‪ MNDE‬יש שתי צלעות מקבילות זו לזו‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫משולש חד‪ -‬זוויות ‪ ABC‬חסום במעגל‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫שמרכזו ‪ CF . O‬הוא קוטר במעגל‪,‬‬
‫והמשך הרדיוס ‪ BO‬חותך את הצלע ‪AC‬‬
‫בנקודה ‪ , D‬כמתואר בציור‪ .‬נתון‪. ABD   :‬‬
‫‪ BC‬ארוכה פי ‪ 2‬מהקשת ‪‬‬
‫הקשת ‪‬‬
‫‪. FB‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬חשב את גודל הזווית ‪. BAC‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס בין שטח‬
‫המשולש ‪ BAD‬לשטח המשולש ‪. BAC‬‬
‫ג‪ .‬נתון גם כי‪AD  2 :‬‬
‫‪AB 3‬‬
‫‪ .‬מצא את ‪. ‬‬
‫‪23‬‬
‫‪B‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪x2  a‬‬
‫נתו נה הפונקציה ‪ 1‬‬
‫‪x 2  3a‬‬
‫א‪ .‬מצא )הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך(‪:‬‬
‫‪ a . f (x) ‬הוא פרמטר‪. a  0 ,‬‬
‫) ‪ ( 1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬תחומי עלייה וירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬א ת שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הפיתול של הפונקציה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 5‬אסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬הסבר את השינויים בגרף הפונקציה )‪ f (x‬עבור ‪a  0‬‬
‫לעומת גרף הפונקציה עבור ‪: a  0‬‬
‫) ‪ ( 1‬בתחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬בנקודות הפיתול של הפונקציה‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונות הפונקציות ‪ x  4‬‬
‫‪) g(x)   x  4‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪, f (x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫כל אחת מהפונקציות הנתונות‪.‬‬
‫לפונקציות יש משיק משותף‪ ,‬המשיק‬
‫לגרף הפונקציה )‪ f (x‬בנקודה שבה ‪. x  x 0‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬הבע באמצעו ת ‪ x 0‬את השיעורים של הנקודה שבה המשיק‬
‫המשותף משיק לגרף הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את השיעורים של נקודת ההשקה שהבעת בתת‪ -‬סעיף ב' ) ‪( 1‬‬
‫)ערכים מספריים(‪.‬‬
‫ג‪ .‬השטח המוגבל על ידי המשיק המשותף‪ ,‬על ידי הגרף של‬
‫הפונקציה )‪ g(x‬ועל ידי ציר ה‪ , x -‬מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫מצא את הנפח של גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ f (x)  2 tan 2 x‬בתחום ‪.  3  x  3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬בתח ום הנתון‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬מצא את ערכי ה‪ x -‬שעבורם הפונקציה )‪ f (x‬אינה מוגדרת‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f (x‬המקבילות לצירים‬
‫)אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצו ן של הפונקציה )‪, f (x‬‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬מצא את פונקציית הנגזרת של הפונקציה ‪. g(x)  tan x  x‬‬
‫‪ 0  x  ‬מצא את השטח המוגבל על ידי הישר ‪, y  2‬‬
‫) ‪ ( 2‬בתחום ‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫על ידי הישר ‪ , x  2‬על ידי הגרף של הפונקציה )‪f (x‬‬
‫ועל ידי ציר ה‪ . x -‬היעזר בפונקציית הנגזרת של )‪. g(x‬‬
‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 6‬חורף תשע"א‪: 2011 ,‬‬
‫‪an‬‬
‫‪ 80 . 1‬קמ"ש‪ . 2 .‬א‪.‬‬
‫‪an 1‬‬
‫‪. a n 1 ‬‬
‫ג‪. 2.25n .‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 6859 .‬ב‪. 19 ( 3 ) . 2527 ( 2 ) . 6859 ( 1 ) .‬‬
‫‪28‬‬
‫‪8000‬‬
‫‪32000‬‬
‫‪40000‬‬
‫‪sin  cos ‬‬
‫‪ . 5‬א‪ . 60 .‬ב‪.‬‬
‫)‪sin(30  )sin(120  ‬‬
‫ג‪. 40.89 .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ . 6‬א‪ ( 1 ) .‬כל ‪. x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬עלייה‪ ; x  0 :‬ירידה‪. x  0 :‬‬
‫) ‪. (0; 1 1 ) ( 4 ) . x   a , x  a ( 3‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪. y  0 (5‬‬
‫ג‪3a ( 1 ) .‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ( 2 ) . x   3a , x ‬אין נקודות פיתול‪.‬‬
‫‪ . 7‬א ‪. x  4 : g(x) . x  4 : f (x) .‬‬
‫ב‪ ( 1) .‬‬
‫‪‬‬
‫‪. x0 ;  x0  4‬‬
‫) ‪ . (8; 2) ( 2‬ג‪. 2 2  .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. x   3 , x   ‬‬
‫‪ . 8‬א‪2 , x  2 , x  2 ( 2 ) . x   2 , x   2 , x  2 , x  2 ( 1 ) .‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ ( ;0) ( 3‬מינימום‪ (0;0) ,‬מינימום‪ ( ;0) ,‬מינימום‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(4‬‬
‫ב‪2    0.8056 ( 2 ) . g '(x)  tan 2 x ( 1 ) .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3 9‬‬
‫‪x‬‬
‫‪25‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪7‬‬
‫קיץ תשע"א‪ ,2011 ,‬מועד א‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫במפעל לייצור מחשבונים עובדים פועלים ותיקים ופועלים חדשים‪.‬‬
‫פועל ותיק ופועל חדש התבקשו להרכיב מחשבונים‪.‬‬
‫לו פועל ותיק היה עובד ‪ 1‬מהזמן שנדרש לעובד חדש לבצע לבד עבודה זו‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫ופועל חדש היה עובד ‪ 1‬מהזמן שנדרש לעובד ותיק לבצע לבד עבודה זו‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫אז יחד הם היו מבצעים ‪ 13‬מעבודה זו‪ .‬פועל ותיק מבצע לבד את העבודה‬
‫‪18‬‬
‫במספר שעות קטן יותר מזה הדרוש לפועל חדש‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא פי כמה גדול מספר השעות הדרוש לפועל חדש לבצע לבד‬
‫את העבודה‪ ,‬ממספר השעות הדרוש לפועל ותיק לבצע לבד את העבודה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי פועל ותיק מרכיב ‪ 9‬מחשבונים בשעה‪.‬‬
‫בצוות עבודה יש פועל אחד חדש ושני פועלים ותיקים‪.‬‬
‫מצא בכמה שעות הצוות מרכיב ‪ 168‬מחשבונים‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫נתונה סדרה הנדסית אין‪ -‬סופית יורדת‪.‬‬
‫כל איבר בסדרה זו קטן פי ‪ 2‬מסכום כל האיברים שאחריו‪.‬‬
‫סכום הסדרה ההנדסית הנתונה הוא ‪. 4‬‬
‫מצא את סכום כל האיברים שאחרי האיבר העשירי בסדרה‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫בחברת תקשורת גדולה נבדקו הרגלי הצפייה של הלקוחות‪.‬‬
‫נמצא כי מספר הלקוחות שצופים בערוצי אקטואליה גדול פי ‪ 4‬ממספר‬
‫הלקוחות שאינם צופים בהם‪ 5 .‬מהלקוחות שצופים בערוצי סרטים‪,‬‬
‫‪6‬‬
‫צופים בערוצי אקטואליה‪.‬‬
‫‪ 75%‬מהלקוחות שאינם צופים בערוצי סרטים‪ ,‬צופים בערוצי אקטואליה‪.‬‬
‫בוחרים באקראי לקוח מבין הלקוחות שהרגלי הצפייה שלהם נבדקו‪.‬‬
‫ההסתברות שהוא צופה בערוצי סרטים היא ‪. P‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬הבע באמצעות ‪ P‬את ההסתברות שהלקוח שנבחר צופה בערוצי‬
‫סרטים וגם בערוצי אקטואליה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את ‪. P‬‬
‫‪26‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬נמצא שהלקוח שנבחר אינו צופה בערוצי סרטים‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהוא אינו צופה בערוצי אקטואליה?‬
‫) ‪ ( 2‬בחרו באקראי ‪ 5‬לקוחות שאינם צופים בערוצי סרטים‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שלפחות אחד מהם צופה בערוצי אקטואליה?‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫נתון משולש ‪ . ABC‬הנקודות ‪ , E , D‬ו‪F -‬‬
‫‪A‬‬
‫נמצאות על הצלעות ‪ , AC , AB‬ו‪ BC -‬בהתאמה‬
‫כך ש‪ DE  BC -‬ו‪) FE  BA -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬נתון‪ :‬שטח המשולש ‪ ADE‬הוא ‪, S1‬‬
‫‪E‬‬
‫שטח המשולש ‪ EFC‬הוא ‪. S2‬‬
‫הבע באמצעות ‪ S1‬ו‪S2 -‬‬
‫את היחס ‪BF‬‬
‫‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪FC‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי שטח המשולש ‪ BEF‬שווה ל‪. S1  S2 -‬‬
‫‪.5‬‬
‫לשני מעגלים יש משיק משותף המשיק לשניהם בנקודה ‪. P‬‬
‫נ קודות ‪ C‬ו‪ D -‬נמצאות על מעגל אחד‬
‫‪C‬‬
‫ונקודות ‪ A‬ו‪ B -‬נמצאות על המעגל‬
‫‪A‬‬
‫האחר כך שהקטעים ‪ AD‬ו‪CB -‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪) P‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫נתון‪ :‬רדיוס המעגל העובר דרך הנקודות‬
‫‪ D , C‬ו‪ P -‬הוא ‪ 4.5‬ס"מ‪CD  3 ,‬‬
‫‪AB 2‬‬
‫‪. DCP   , BAP  ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪D‬‬
‫א‪ .‬מצא את רדיוס המעגל העובר דרך הנקודות ‪ B , A‬ו‪. P -‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את אורך הקטע ‪. BD‬‬
‫ג‪ .‬אם נתון גם כי ‪PD  3‬‬
‫‪PB 2‬‬
‫) ‪ ‬ו‪  -‬הן זוויות חדות‪(.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ,‬הראה כי ‪. BD  3sin   1  24sin ‬‬
‫‪27‬‬
‫‪B‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪ax‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  a2‬‬
‫‪ a . f (x) ‬הוא פרמטר שונה מאפס‪.‬‬
‫א‪ .‬עבור ‪ a  0‬מצא )הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך(‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬תחומי עלייה וירידה של הפונקציה )אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬
‫ב‪ .‬ס רטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור ‪. a  0‬‬
‫ג‪ .‬נתונה הפונקציה ‪. a  0 , g(x)  f (x)  a‬‬
‫) ‪ ( 1‬מה הן האסימפטוטות של הפונקציה )‪? g(x‬‬
‫)הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך(‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מה ה ם הערכים שהפונקציה )‪ g(x‬יכולה לקבל?‬
‫)הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך(‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה )‪ f (x)  cos(x 2  2x‬בתחום ‪. 0.5  x  2.5‬‬
‫א‪ .‬בתחום הנתון מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונק ציה‪,‬‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ .‬בתחום הנתון שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬בתחום ‪ 0  x  2‬מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית‬
‫הנגזרת )‪ f '(x‬ועל ידי ציר ה‪. x -‬‬
‫תוכל להיעזר בסקיצה של פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬
‫בתשובותיך דייק במידת הצורך עד שתי הספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתונה מדשאה בצורת מלבן ‪. ABCD‬‬
‫לאורך צלעות המלבן ‪ BA‬ו‪ CD -‬יש שבילי הליכה‪.‬‬
‫אורך הצלע ‪ BA‬הוא ‪ 0.4‬ק"מ‪,‬‬
‫שביל‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫ואורך הצלע ‪ BC‬הוא ‪ 0.3‬ק"מ‪.‬‬
‫אדם עומד בקדקוד ‪ C‬של המדשאה‬
‫ורוצה להגיע לקדקוד ‪ . A‬הוא הולך‬
‫לאורך הקטע ‪ CE‬שעל השביל ‪, CD‬‬
‫אחר כך הולך לאורך הקטע ‪ EF‬שעל המדשאה‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫שביל‬
‫‪D‬‬
‫וממשיך לאורך הקטע ‪ FA‬שעל השביל ‪) BA‬ראה ציור(‪.‬‬
‫האדם הולך במהירות של ‪ 6‬קמ"ש לאורך השבילים‪,‬‬
‫ועל המדשאה הוא הולך במהירות של ‪ 4‬קמ"ש‪.‬‬
‫מה צריך להיות אורך הקטע ‪ , EF‬כדי שהאדם יגיע ל‪ A -‬בזמן הקצר‬
‫ביותר? בתשוב תך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 7‬קיץ תשע"א‪ , 2011 ,‬מועד א ‪:‬‬
‫‪ . 1‬א‪ .‬פי ‪ . 1.5‬ב‪ 7 .‬שעות‪.‬‬
‫‪. 4096 . 2‬‬
‫‪59049‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . P  0.6 ( 2 ) . 5 p ( 1 ) .‬ב‪ . 4 . 1023 ( 2 ) . 0.25 ( 1 ) .‬א‪.‬‬
‫‪1024‬‬
‫‪6‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . 5‬א‪ 3 .‬ס"מ‪ .‬ב‪. BD  36sin   81sin   108sin  sin  cos(  ) .‬‬
‫‪ . 6‬א‪ x  a ( 1 ) .‬או ‪. x   a‬‬
‫) ‪. y  a , y  a , x   a , x  a ( 2‬‬
‫) ‪ ( 3‬עלייה‪ :‬אף ‪ ; x‬ירידה‪ x  a :‬או ‪ ( 4 ) . x   a‬אין חיתוך עם הצירים‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪ .‬עבור ‪: a  0‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪. y  2a , y  0 , x  a , x  a ( 1 ) .‬‬
‫) ‪ g(x)  0 ( 2‬או ‪. g(x)  2a‬‬
‫‪ . 7‬א‪ ( 0.5;0.315) .‬מינימום‪ (0;1) ,‬מקסימום‪ (1;0.54) ,‬מינימום‪ (2;1) ,‬מקסימום‪,‬‬
‫)‪ (2.5;0.315‬מינימום‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪. 0.92 .‬‬
‫‪ 0.4025 . 8‬ק"מ‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪29‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪8‬‬
‫קיץ תשע"א‪ ,2011 ,‬מועד ב‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫רוכב אופניים יצא ממושב ‪ A‬אל מושב ‪ , B‬ולאחר ‪ 1‬שעה יצא רוכב‬
‫‪2‬‬
‫אופניים שני ממושב ‪ B‬אל מושב ‪. A‬‬
‫‪1‬‬
‫מהמרחק שבין ‪ B‬ל‪. A -‬‬
‫הרוכבים נפגשו לאחר שהרוכב השני עבר‬
‫‪4‬‬
‫ביום אחר יצא רוכב האופניים הראשון ממושב ‪ A‬למושב ‪ 1 B‬שעה‬
‫‪2‬‬
‫אחרי שרוכב האופניים השני יצא ממושב ‪ B‬אל מושב ‪ . A‬הרוכבים‬
‫נפגשו באמצע הדרך שבין ‪ A‬ל‪ . B -‬מהירויות הרוכבים לא השתנו‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את היחס בין מהירות הרוכב הראשון ובין מהירות הרוכב השני‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע שאם שני הרוכבים יוצאים באותו רגע זה לקראת זה‪,‬‬
‫הם נפגשים במרחק ‪ b‬ק"מ מאמצע הדרך שבין ‪ A‬ל‪. B -‬‬
‫הבע באמצעות ‪ b‬את הדרך שבין ‪ A‬ל‪. B -‬‬
‫‪.2‬‬
‫א‪ .‬סכום כל האיברים בסדרה הנדסית אינסופית הוא ‪, 112‬‬
‫וסכום האיברים במקומות הר אשון‪ ,‬הרביעי‪ ,‬השביעי וכו' של סדרה‬
‫זו הוא ‪ . 64‬מצא את ‪ a1‬ואת ‪. q‬‬
‫ב‪ .‬בסדרה נתון‪ . a n 1  a n  4n  6 :‬בסדרה ישנם ‪ K‬איברים ) ‪ K‬זוגי(‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ K‬את ההפרש בין סכום האיברים במקומות הזוגיים‬
‫לבין סכום האיברים במקומות האי‪ -‬זוגיים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬אין קשר בין סעיף א לסעיף ב‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫‪.3‬‬
‫בקבוצה של ‪ 40‬אנשים יש ‪ 16‬גברים והשאר נשים‪ .‬ל‪ 12 -‬גברים בקבוצה‬
‫יש רישיון נהיגה‪ ,‬ול‪ 16 -‬נשים בקבוצה יש רישיון נהיגה‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי אדם מהקבוצה‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שייבחר אדם שיש לו רישיון נהיגה?‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי אדם מהקבוצה‪ .‬לא חר שהאדם חוזר לקבוצה‪,‬‬
‫שוב בוחרים באקראי אדם מהקבוצה‪ .‬מהי ההסתברות שלפחות פעם‬
‫אחת ייבחר אדם שיש לו רישיון נהיגה?‬
‫ג‪ .‬האם המאורע "לבחור מהקבוצה גבר" והמאורע "לבחור מהקבוצה‬
‫אדם שיש לו רישיון נהיגה" הם מאורעות בלתי תלויים? נ מק‪.‬‬
‫ד‪ .‬לכמה נשים בקבוצה צריך שיהיה רישיון נהיגה כדי לקבוע שבקבוצה‬
‫הנתונה של ‪ 40‬האנשים אין תלות בין מין האדם לכך שיש לו רישיון‬
‫נהיגה? )מספר הגברים והנשים בקבוצה אינו משתנה‪ ,‬ומספר הגברים‬
‫בעלי רישיון אינו משתנה(‪.‬‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫במשולש ישר‪ -‬זווית ‪(CAB  90 ) CAB‬‬
‫הניצב ‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫היתר ‪ BC‬חותך את המעגל גם בנקודה ‪. P‬‬
‫המשיק למעגל בנקודה ‪ P‬חותך את הניצב‬
‫‪ CA‬בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. CE  EA‬‬
‫‪CP‬‬
‫‪ ,‬וכי שטח המשולש ‪CPE‬‬
‫ב ‪ .‬אם נתון כי ‪ 2‬‬
‫‪EA 3‬‬
‫הוא ‪ 2‬סמ"ר‪ ,‬מצא את שטח המשולש ‪ . PAB‬נמק‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫נתון טרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪(AB  DC) ABCD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪P‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫החוסם מעגל שמרכזו ‪ AB . O‬ו‪ DC -‬משיקים‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫למעגל בנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬בהתאמה‪ EF .‬הוא קוטר‬
‫במעגל )ראה ציו ר(‪ .‬האורך של שוק הטרפז הוא ‪. b‬‬
‫‪O‬‬
‫נתון כי )‪ . (sin C) 2  sin(90  C‬הבע באמצעות ‪: b‬‬
‫א‪ .‬את רדיוס המעגל החסום בטרפז‪.‬‬
‫ב‪ .‬את אורך הבסיס הקטן ‪. AB‬‬
‫‪C‬‬
‫בתשובותיך השאר שלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪1‬‬
‫‪cos x‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא אם הפונקציה )‪ f (x‬היא זוגית או אי‪ -‬זוגית או לא זוגית ולא‬
‫אי‪ -‬זוגית‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬בתחום ‪: 0  x  2‬‬
‫) ‪ ( 1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪ ,‬ואת האסימפטוטות‬
‫של הפונקציה המקבילות לצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪,‬‬
‫וקבע את סוגן‪ .‬נמק‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬לשרטוט ששרטטת בתת‪ -‬סעיף ב) ‪ ( 3‬הוסף סקיצה של גרף‬
‫הפונקציה )‪ f (x‬בתחום ‪. 2  x  0‬‬
‫ד‪ .‬השטח ברביע הראשון המ וגבל על ידי הגרף של )‪, f (x‬‬
‫על ידי הישר ‪y  2‬‬
‫‪ , x  ‬על ידי ציר ה‪x -‬‬
‫‪ ,‬על ידי הישר ‪2‬‬
‫ועל ידי ציר ה‪ , y -‬מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬
‫מצא את הנפח של גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬
‫ה‪ .‬בתחום שבין ‪ ‬ל‪ ,  -‬רשום בצורה כללית את השיעורים‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬של נקודות המינימום של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫) ‪ ( 2‬של נקודות המקסימום של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫‪32‬‬
‫נתונה הנגזרת השנייה של הפונקציה )‪6x 2  3x  3 : f (x‬‬
‫‪(1  x 2 )5‬‬
‫הפונקציה )‪ f (x‬מוגדרת לכל ‪. x‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪. f ''(x) ‬‬
‫א‪ .‬מ בין הגרפים ‪ IV , III , II , I‬שלפניך‪ ,‬איזה גרף מתאר את פונקציית‬
‫הנגזרת )‪ ? f '(x‬נמק‪.‬‬
‫‪I‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪II‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪III‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬מצא תחומי קעירות כלפי מטה ‪ ‬ותחומי קעירות כלפי מעלה ‪‬‬
‫של הפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬היעזר בגרף של )‪ f '(x‬שבסעיף א'‪ ,‬ומצא בין אילו שני מספרים‬
‫שלמים עוקבים נמצא שיעור ה‪ x -‬של נקודת הקיצון של )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪ , f (x‬אם ידו ע כי הגרף חותך‬
‫את ציר ה‪ x -‬רק בנקודה אחת שבה ‪. x  3‬‬
‫‪y‬‬
‫לפניך סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת‬
‫השלישית )‪. f '''(x‬‬
‫)‪f '''(x‬‬
‫ג‪ .‬מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף‬
‫של )‪ , f '''(x‬על ידי צ יר ה‪ x -‬וציר ה‪y -‬‬
‫ועל ידי הישר ‪ x  2‬בתחום ‪. x  0‬‬
‫ד‪ .‬על פי הגרף של )‪ f '(x‬שבסעיף א'‪,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪1.5‬‬
‫הסבר מדוע הגרף של פונקציית הנגזרת‬
‫השלישית )‪ f '''(x‬חותך את ציר ה‪ x -‬בשלוש נקודות‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתונות המשוואות של שתי פרבולות‪. g(x)  x 2  x , f (x)  a 2 x 2 :‬‬
‫‪ a‬הוא פרמטר שונה מ‪. 0 -‬‬
‫הפר בולות נפגשות בנקודות ‪ O‬ו‪ – O ) A -‬ראשית הצירים(‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את השיעורים של הנקודה ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של הנקודה ‪ A‬שעבורה השטח‪ ,‬המוגבל על ידי‬
‫הגרף של )‪ , f (x‬על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי האנך לציר ה‪ x -‬העוב ר דרך‬
‫הנקודה ‪ , A‬הוא מקסימלי‪.‬‬
‫‪33‬‬
‫תשובות ל מב חן בגרות מספר ‪ – 8‬קיץ תשע"א‪ , 2011 ,‬מועד ב ‪:‬‬
‫‪ . 1‬א‪ . 5 .‬ב‪ 8b .‬ק"מ ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . 2‬א‪ . q  0.5 , a1  56 .‬ב‪. K 2  3K .‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 0.7 .‬ב‪ . 0.91 .‬ג‪ .‬לא‪ .‬המאורעות תלויים‪ .‬ד‪. 18 .‬‬
‫‪ . 4‬ב‪ 32 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ . 5‬א‪ . 0.393b .‬ב‪. 0.382b .‬‬
‫‪ . 6‬א‪ .‬הפונקציה )‪ f (x‬היא זוגית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪.x‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬תחום הג דרה‪, x  2 , 0  x  2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. x  3 , x  ‬‬
‫אסימפטוטות מקבילות לצירים‪2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ (0;1) ( 2‬מינימום‪ ( ; 1) ,‬מקסי מום‪ (2;1) ,‬מינימום‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪. 2   3  12.02 .‬‬
‫‪3‬‬
‫ה‪ (2k;1) ( 1 ) .‬מינימום‪ (   2k; 1) ( 2 ) .‬מקסימום‪ .‬הערה‪ k :‬מספר שלם‪.‬‬
‫‪ . 7‬א‪. IV .‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪ x  1 :  ( 1 ) .‬או ‪; x  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 1  x  1 : ‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ ( 2‬בין ‪ 1‬ל‪. 0 -‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪. 4.638 .‬‬
‫ד‪ .‬הפונקציה )‪ f '''(x‬היא למעשה הנגזרת השנייה של )‪. f '(x‬‬
‫בגרף של )‪ f '(x‬שבסעיף א'‪ ,‬יש ‪ 3‬נקודות פיתול ולכן הנגזרת השנייה‬
‫של )‪ f '(x‬מתאפסת ב‪ 3 -‬נקודות ומכאן שבגרף של )‪ f '''(x‬יש ‪ 3‬נקודות‬
‫חיתוך עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪‬‬
‫‪a 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫;‬
‫‪ . A ‬ב‪. A( 2 ;  2 ) .‬‬
‫‪ . 8‬א‪ .‬‬
‫‪3 9‬‬
‫‪1  a 2 (1  a 2 ) 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪34‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪9‬‬
‫חורף תשע"ב‪2012 ,‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫משאית יצאה מעיר ‪ A‬לעיר ‪. B‬‬
‫בדיוק באותו רגע יצאה מכונית מעיר ‪ B‬לעיר ‪. A‬‬
‫כאשר הגיעה המכונית ל‪ A -‬היא חזרה מיד ל‪ , B -‬וכאשר הגיעה ל‪B -‬‬
‫היא מיד שוב יצאה ל‪ . A -‬המכונית פגשה בדרכה את המשאית שלוש‬
‫פעמים‪ ,‬לפני שהמשאית ה גיעה ל‪. B -‬‬
‫הפגישה הראשונה הייתה כעבור ‪ 2‬שעות מרגע היציאה של המכונית‬
‫והמשאית לדרך‪ .‬הפגישה השנייה הייתה כעבור ‪ 4 2‬שעות מרגע היציאה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫הפגישה השלישית הייתה במרחק ‪ 40‬ק"מ מ‪. B -‬‬
‫מצא את המהירות של המשאית )המהירויות של המשאית והמכונית‬
‫אינן משתנות(‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫א‪ .‬בסדרה חשבונית ישנם ‪ 2n  1‬איברים‪ .‬סכום ‪ n‬איברים הראשונים‬
‫הוא ‪ 760‬וסכום ‪ n‬האיברים האחרונים הוא ‪. 1960‬‬
‫מצא את ‪ n‬אם האיבר הראשון בסדרה הוא ‪. 10‬‬
‫ב‪ .‬נתונה סדרה המקיימת לכל ‪ n‬טבעי‪:‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪bn  1‬‬
‫‪b n 1 ‬‬
‫‪b19  b 20  4.5 , b19  2‬‬
‫‪bn  2  bn‬‬
‫מצא את ‪. b10‬‬
‫הערה ‪ :‬אין קשר בין סעיף א לסעיף ב‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫‪.3‬‬
‫חברה מייצרת טלפונים ניידים חדשניים עם "מסך תלת ממד"‪.‬‬
‫כדי לבדוק את הביקוש לטלפונים אלה‪ ,‬ערכה החברה סקר טלפוני‪.‬‬
‫בסקר השתתפו צעירים ומבוגרים‪ .‬חלק מהמשתתפים בסקר הצהירו‬
‫שלא יקנו את הטל פון החדשני והשאר הצהירו שיקנו אותו‪ .‬נמצא כי ‪50%‬‬
‫מהמבוגרים הצהירו כי יקנו את הטלפון החדשני‪ 2 .‬מבין אלה שהצהירו‬
‫‪3‬‬
‫כי לא יקנו את הטלפון החדשני‪ ,‬היו צעירים‪ 1 .‬מהמשתתפים בסקר היו‬
‫‪5‬‬
‫צעירים שג ם טענו כי לא יקנו את הטלפון החדשני‪.‬‬
‫א‪ .‬בסקר השתתפו ‪ 2000‬איש‪ .‬כמה צעירים השתתפו בסקר?‬
‫ב‪ .‬כמה צעירים‪ ,‬מבין הצעירים שהשתתפו בסקר‪ ,‬הצהירו שיקנו‬
‫את הטלפון החדשני?‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬הנקודות ‪ D‬ו‪E -‬‬
‫‪A‬‬
‫נמצאות על הצלעות ‪ AB‬ו‪ AC -‬בהתאמה‬
‫כך ש‪ CD . DE  BC -‬ו‪ BE -‬נחתכים בנקודה ‪. F‬‬
‫‪ AF‬חותך את ‪ DE‬בנקודה ‪ , M‬והמשכו חותך‬
‫את ‪ BC‬בנקודה ‪) N‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫הוכח‪ :‬א‪DM  EM .‬‬
‫‪BN CN‬‬
‫‪EM‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ DM .‬‬
‫‪BN CN‬‬
‫‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪N‬‬
‫‪B‬‬
‫ג‪ DM  EM .‬ו‪. BN  CN -‬‬
‫‪.5‬‬
‫במשולש ישר‪ -‬זווית ‪, (AFC  90 ) AFC‬‬
‫‪F‬‬
‫הנקודה ‪ K‬נמצאת על הגובה ליתר‬
‫כך ש‪ FAK   -‬ו‪. KAC   -‬‬
‫‪ B‬היא נקודה על היתר ‪AC‬‬
‫כך ש‪) AKB  90 -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪K‬‬
‫רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪AFC‬‬
‫הוא ‪ , R‬ורדיוס המעגל החוסם‬
‫את המשולש ‪ AKB‬הוא ‪. r‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס ‪AF‬‬
‫‪AK‬‬
‫) ‪ ( 2‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס ‪R‬‬
‫‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬ו‪ r -‬בלבד את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪. AKF‬‬
‫‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪x‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪2x  2‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את האס ימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‬
‫)אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‬
‫)אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪,‬‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫) ‪ ( 5‬סרטט סקיצה של גר ף הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה )‪ , g(x‬המוגדרת בתחום ההגדרה של )‪. f (x‬‬
‫הנגזרת של )‪ g(x‬מקיימת‪. g '(x)  f (x)  f '(x) :‬‬
‫מצא את תחום הירידה של הפונקציה )‪ . g(x‬נמק‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪a 16cos x‬‬
‫‪ f (x) ‬בתחום ‪.    x  7 ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪16sin x  9‬‬
‫‪ a‬הוא פרמטר גדול מ‪ . 0 -‬הפונקציה מוגדרת לכל ‪ x‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫א‪ .‬בתחום הנתון מצא עבו ר אילו ערכי ‪: x‬‬
‫) ‪ . f (x)  0 ( 1‬נמק‪ . f (x)  0 ( 2 ) .‬נמק‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערך האינטגרל ‪f (x) dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי השטח‪ ,‬המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , f (x‬ע ל ידי ציר ה‪x -‬‬
‫ועל ידי הישרים ‪ x   ‬ו‪ , x  7 -‬שווה ל‪ . 8 -‬מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ CD‬הוא קוטר במעגל שרדיו סו ‪. R‬‬
‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל המאונך‬
‫לקוטר ‪ CD‬וחותך אותו בנקודה ‪E‬‬
‫כך ש‪) CE  R -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ R‬את השטח המק סימלי‬
‫של המשולש ‪. ABC‬‬
‫‪37‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 9‬חורף תשע"ב ‪: 2012 ,‬‬
‫‪ 40 . 1‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ . 2‬א‪ . n  16 .‬ב‪. b10  1 1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . 3‬א‪ 1600 .‬צעירים ‪ .‬ב‪. 1200 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AF  cos ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . 5‬א‪( 1 ) .‬‬
‫‪ . R  cos‬ב‪R r .‬‬
‫‪(2) .‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪AK cos(  ‬‬
‫)‪r cos (  ‬‬
‫‪ . 6‬א‪. (0;0) ( 3 ) . x  2 ( 2 ) . x  2 , x  0 ( 1 ) .‬‬
‫‪3 3 R 2 .8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪38‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(5‬‬
‫) ‪ (0;0) ( 4‬מקסימום‪ (8;4) ,‬מינימום‪.‬‬
‫ב‪. 2  x  8 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ .  ‬ב‪. 0 .‬‬
‫‪ . 7‬א‪6  x  2 ( 2 ) . 2  x  6 ( 1 ) .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪. a  1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪10‬‬
‫קיץ תשע"ב ‪ ,2012‬מועד א‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫לברכה ‪ 10‬מ"ק מים בקצב קבוע‪.‬‬
‫צינור הזרים ‪..‬‬
‫‪1‬‬
‫לאחר הפסקה של‬
‫שעה הוגבר קצב ההזרמה של הצינור ב‪ 3 -‬מ"ק לשעה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫בקצב המוגבר הזרים הצינור עוד ‪ 20‬מ"ק מים‪.‬‬
‫הזמן שהצינור הזרים את המים‪ ,‬כולל ההפסקה‪ ,‬זהה לזמן שהיה נדרש‬
‫לצינור‪ ,‬לו היה מזרים ‪ 30‬מ"ק מים בלי הפסקה בקצב שלפני ההגברה‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב כמה זמן הזרים הצינור את המים עד ההפסקה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ברכה ריקה ב‪ 18 -‬שעות‪,‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי הצינור ממלא ‪ 3‬מנפח ‪..‬‬
‫כאשר הוא מזרים מים בקצב שלפני ההגברה‪.‬‬
‫לברכה הריקה באותו קצב‪.‬‬
‫שני צינורות מזרימים יחד מים ‪..‬‬
‫קצב זה קטן מהקצב המוגבר של הצינור הנתון וגדול מהקצב שלפני‬
‫ההגברה‪.‬‬
‫הברכה?‬
‫באיזה תחום שעות יהיה הזמן שבו שני הצינורות ימלאו את‬
‫‪..‬‬
‫‪.2‬‬
‫נתונה הסדרה ‪. 2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 ,...‬‬
‫הסימנים של איברי הסדרה מתחלפים לסירוגין‪ ,‬והערכים המוחלטים‬
‫של האיברים מהווים סדרה חשבונית‪.‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ n‬את הסכום של‪:‬‬
‫) ‪ 2n ( 1‬האיברים הראשונים של הסדרה‪.‬‬
‫) ‪ 2n  1 ( 2‬האיברים הראשונים של הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬בסדרה הנתונה יש מספר אי‪ -‬זוגי של איברים‪,‬‬
‫וסכום כל איברי הסדרה הוא ‪. 65‬‬
‫מצא את סכום האיברים העומד ים במקומות האי‪ -‬זוגיים‪.‬‬
‫‪39‬‬
‫‪.3‬‬
‫א‪ .‬מחלקים ‪ 2‬כדורים לבנים וכדור ‪ 1‬שחור בין שני כדים‪.‬‬
‫בכל כד חייב להיות לפחות כדור אחד‪.‬‬
‫בוחרים באקראי כד ומוציאים ממנו כדור אחד‪.‬‬
‫מצא באיזה אופן צריך לחלק את הכדורים בין שני הכדים‪,‬‬
‫כדי שהסיכוי להוציא כדור לבן יהיה הגדול ביותר‪.‬‬
‫ב‪ .‬בכד אחד יש ‪ 5‬כדורים‪ 2 :‬לבנים ו‪ 3 -‬שחורים‪.‬‬
‫) ‪ ( 1‬מוציאים באקראי ‪ 5‬פעמים כדו ר מהכד עם החזרה‬
‫)בכל פעם מחזירים לכד את הכדור שהוצא(‪.‬‬
‫מהי ההסתברות להוציא בדיוק פעמיים כדור לבן?‬
‫) ‪ ( 2‬מוציאים באקראי ‪ 6‬פעמים כדור מהכד עם החזרה‪.‬‬
‫מהי ההסתברות להוציא בדיוק ‪ 3‬פעמים כדור לבן כך שהכדור‬
‫הלבן השלישי ‪‬‬
‫יוצא בפעם השישית?‬
‫הערה ‪ :‬אין קשר בין סעיף א לסעיף ב‪.‬‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון כי במשולש ‪ AEF‬חוצה‪ -‬זווית ‪ EAF‬הוא ‪. AD‬‬
‫‪ D‬היא נקודת ההשקה של הצלע ‪ EF‬למעגל ‪,‬‬
‫החותך את הצלעות ‪ AE‬ו‪ AF -‬בנקודות ‪ B‬ו‪C -‬‬
‫בהתאמה‪ .‬המעגל עובר גם דרך קדקוד ‪A‬‬
‫)ראה ציור(‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫הוכח‪ :‬א‪. BC  EF .‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫ב‪. ABD  DCF .‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫ג‪. AD  BD  DF  AB .‬‬
‫‪.5‬‬
‫טרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪(DC  AB) ABCD‬‬
‫חסום במעגל שמרכזו ‪. M‬‬
‫הבסיס ‪ AB‬הוא קוטר במעגל זה‪.‬‬
‫אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה ‪. L‬‬
‫המשך ‪ ML‬חותך את ‪ DC‬בנקודה ‪K‬‬
‫)ראה ציור(‪ .‬נתון כי ‪. BAD  ‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬את היחס ‪KL‬‬
‫‪.‬‬
‫‪LM‬‬
‫‪40‬‬
‫‪C‬‬
‫‪K‬‬
‫‪D‬‬
‫‪L‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬לי ות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫א‪ .‬נתון כי הפונקציה )‪ f (x‬היא פונקציה רציונלית המקיימת‪:‬‬
‫‬‫‬‫‬‫‬‫‬‫‪-‬‬
‫לפונקציה יש שלוש אסימפטוטות‪. y  0 , x  1 , x  4 :‬‬
‫הפונקציה מוגדרת לכל ‪ x  1‬ו‪. x  4 -‬‬
‫‪f (0)  0‬‬
‫‪f (1.5)  0‬‬
‫‪ f '(x)  0‬רק עבור ‪1  x  4‬‬
‫‪ f (x)  0‬עבור ‪ x  4‬ו‪ f (x)  0 -‬עבור ‪. x  1‬‬
‫) ‪ ( 1‬על פי הנתונים שבסעיף זה‪ ,‬סרטט סקיצה אפשרית של גרף‬
‫הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫) ‪ ( 2‬על פי הגרף שסרטטת‪ ,‬הראה כי לפונקציית הנגזרת )‪f '(x‬‬
‫יש נקודת קיצון בתחום ‪ , 1  x  4‬וקבע את סוגה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫אין צורך למ צוא את השיעורים של נקודת הקיצון‪.‬‬
‫‪3a  3bx‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי הפונקציה )‪ f (x‬מקיימת‬
‫‪(x 2  ax  4) 2‬‬
‫‪ a‬ו‪ b -‬הם פרמטרים‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫נתונה הפו נקציה ‪ f (x)  4sin 2 x  cos 2 x‬בתחום ‪. 0  x  ‬‬
‫בתחום הנתון‪:‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה )‪ , f (x‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ד‪ ( 1 ) .‬נתונה הפונקציה )‪. g(x)  1 x  1 sin(4x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫הראה כי )‪. g '(x)  f (x‬‬
‫) ‪ ( 2‬בתחום הנתון מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪f (x‬‬
‫ו על ידי ציר ה‪. x -‬‬
‫‪.8‬‬
‫ישר משיק לפרבולה ‪ y  x 2‬בנקודה שבה ‪. 0  x  1‬‬
‫המשיק יוצר משולש עם ציר ה‪ x -‬ועם הישר ‪. x  1‬‬
‫מצא את השטח המ קסימלי של המשולש הנוצר באופן שתואר‪.‬‬
‫‪41‬‬
‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 10‬קיץ תשע"ב ‪ , 2012‬מועד א' ‪:‬‬
‫‪ . 1‬א‪ 5 .‬שעות‪ ,‬כלומר ‪ 50‬דקות‪ .‬ב‪ .‬בין ‪ 21.6‬שעות ל‪ 27 -‬שעות‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ . 2‬א‪ . S2n 1  3n  2 ( 2 ) . S2n  3n ( 1 ) .‬ב‪. 1430 .‬‬
‫‪216‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ . 3‬א‪ .‬כד א'‪ 1 :‬לבן; כד ב'‪ 1 :‬לבן ו‪ 1 -‬שחור‪ .‬ב‪( 1 ) .‬‬
‫‪625‬‬
‫) ‪. 432 ( 2‬‬
‫‪3125‬‬
‫‪.  cos 2 . 5‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ . 6‬א‪( 1 ) .‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪ ( 2‬קיימת נקודת קיצון מסוג מקסימום‪.‬‬
‫‪9  6x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪(x 2  3x  4) 2‬‬
‫‪ . 7‬א‪ 2 ;0 , (0;0) .‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫‪. (;0) ,‬‬
‫ב‪ (0;0) .‬מינימום‪  4 ;1 ,‬מקסימום‪  2 ;0)  ,‬מינימום‪ 34 ;1 ,‬‬
‫)‪ (;0‬מינימום‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪ ( 2 ) .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪8 .8‬‬
‫‪27‬‬
‫‪42‬‬
‫מקסימום‪,‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪11‬‬
‫קיץ תשע"ב‪ ,2012 ,‬מועד ב‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫רוכב אופנוע יצא מ‪ , A -‬ובאותה שעה יצא רוכב אופניים מ‪. B -‬‬
‫הם רכבו זה לקראת זה ונפגשו בדרך‪ .‬רוכב ה אופנוע הגיע ל‪B -‬‬
‫כעבור ‪ 14‬שעה מרגע הפגישה‪ ,‬ורוכב האופניים הגיע ל‪A -‬‬
‫כעבור ‪ 4‬שעות מרגע הפגישה )מהירויות הרוכבים היו קבועות(‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את היחס בין המהירות של ר וכב האופנוע למהירות של רוכב‬
‫האופניים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי המרחק בין ‪ A‬ל‪ B -‬גדול מ‪ 90 -‬ק"מ‪.‬‬
‫מצא באיזה תחום מספרים נמצאת המהירות של כל אחד מהרוכבים‪.‬‬
‫)מהירות רוכב האופנוע אינה עולה על ‪ 120‬קמ"ש(‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪an‬‬
‫סדרה מוגדרת על‪ -‬ידי כלל הנסיגה‪:‬‬
‫‪1 an‬‬
‫‪a 3‬‬
‫‪ . b n  n‬הוכח‪. b n 1  b n  3 :‬‬
‫א‪ .‬מגדירים סדרה חדשה לפי‬
‫‪an‬‬
‫‪. a n 1 ‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪:‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪ . b 2  b 4  b6  ...  b30  667.5‬חשב את ‪. a1‬‬
‫נערך סקר בקרב מספר גדול של סטודנטים )בנים ובנות(‪.‬‬
‫חצי מהסטודנטים המשתתפים בסקר היו בנים‪.‬‬
‫בסקר נמצא כי מספר הבנות הסובלות מרעש גדול פי ‪ 3‬ממספר הבנים‬
‫הסובלים מרעש‪ .‬נמצא גם כי ‪ 5%‬מבין הבנים סובלים מרעש‪.‬‬
‫א‪ .‬ידוע כי אחד המשתתפים בסקר שנבחר באקראי‪ ,‬סובל מרעש‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהנבחר הוא בת?‬
‫ב‪ .‬בחרו באקראי ‪ 5‬סטודנטים מבין משתתפי הסקר‪.‬‬
‫ידוע כי לכל היותר ‪ 2‬מבין הסטודנטים שנבחרו באקראי‪,‬‬
‫סובלים מרעש‪ .‬מהי ההסתברות שבדיוק אחד מהם סובל מרעש?‬
‫‪43‬‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫שני מעגלים ‪ I‬ו‪ II -‬נחתכים בנקודות ‪ G‬ו‪. F -‬‬
‫‪T‬‬
‫הישר ‪ ST‬משיק למעגל ‪ I‬בנקודה ‪, S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪F‬‬
‫ולמעגל ‪ II‬בנקודה ‪. T‬‬
‫המשך ‪ SF‬חותך את המעגל ‪ II‬בנקודה ‪, B‬‬
‫והמשך ‪ TF‬חותך את מעגל ‪ I‬בנקודה ‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫)ראה ציור(‪.‬‬
‫‪II‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪ST  TB‬‬
‫‪.‬‬
‫‪AS ST‬‬
‫) ‪ ( 1‬הוכח כי ‪. AGF  SFA  SAF‬‬
‫) ‪ ( 2‬הוכח כי אם הנקודות ‪ G , A‬ו‪ B -‬נמצאות על ישר אחד‪,‬‬
‫אז ‪. SFA  60‬‬
‫‪.5‬‬
‫נתון מעוין ‪ E . ABCD‬ו‪ F -‬הן נקודות‬
‫על הצלעות ‪ AD‬ו‪ AB -‬בהתאמה‬
‫‪I‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫כך ש‪ AE  AF -‬ו‪. FB  2AF -‬‬
‫נתון כי ‪. DCB  60‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬מ צא את גודל הזווית ‪. FCB‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי אורך האלכסון ‪ AC‬הוא ‪. b‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫הבע באמצעות ‪ b‬את היקף המרובע ‪. AECF‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונה הפונקציה )‪ , f (x)  cos3 (3x  ‬המוגדרת לכל ‪. x‬‬
‫א‪ .‬בתחום ‪ 0  x  2‬מצא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪ ( 1‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪44‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬הוכח כי הפונקציה זוגית‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום ‪.  2  x  2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪ .‬רשום את משוואו ת הישרים המשיקים לגרף הפונקציה‬
‫בתחום ‪  2  x  2‬ומאונכים לציר ה‪. y -‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪3‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x2  9‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את הסימן של האינטגרל המסוים‬
‫‪t‬‬
‫‪ f '(x) dx‬‬
‫‪k‬‬
‫אם נתון כי ‪ k‬ו‪ t -‬גדולים מ‪ . 3 -‬נמק‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫)‪, (k  t‬‬
‫הפונקציה )‪ f (x‬היא פונקציית מנה‬
‫המוגדרת עבור ‪. x  1‬‬
‫‪y‬‬
‫בציור מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה ‪‬‬
‫וכלפי מטה ‪ ‬של הפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי לפונק ציה )‪ f (x‬יש שתי‬
‫אסימפטוטות בלבד‪. y  1 , x  1 :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫גרף הפונקציה )‪ f (x‬חותך את ציר ה‪y -‬‬
‫בנקודה שבה ‪ . y  1‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪, f (x‬‬
‫על פי תשובתך לסעיף א' ועל פי הנתונים שבסעיף ב'‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון גם ‪ax  b‬‬
‫‪cx  d‬‬
‫‪ c , b , a . f (x) ‬ו‪ d -‬הם פרמטרים שונים מאפס‪.‬‬
‫) ‪ ( 1‬הבע באמצעות ‪ a‬את ‪ c , b‬ו‪. d -‬‬
‫) ‪ ( 2‬חשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת )‪, f '(x‬‬
‫על ידי הישר ‪ x  1‬ועל ידי הצירים‪.‬‬
‫‪45‬‬
‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 11‬קיץ תשע"ב‪ , 2012 ,‬מועד ב ‪:‬‬
‫‪ . 1‬א‪ .‬היחס הוא ‪. 4‬‬
‫ב‪ .‬מהירות רוכב האופנוע גדולה מ‪ 72 -‬קמ"ש וקטנה או שווה ל‪ 120 -‬קמ"ש‪.‬‬
‫מהירות רוכב האופניים גדולה מ‪ 18 -‬קמ"ש וקטנה או שווה ל‪ 30 -‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ . 2‬ב‪. a1  2 .‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 3 .‬ב‪. 45 .‬‬
‫‪136‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ . 5‬א‪ . 23.41 .‬ב‪. 2.063b .‬‬
‫‪ .6‬א‪ 2 ;0 ,  6 ;0 , (0; 1) (1) .‬‬
‫) ‪ (0; 1) ( 2‬מינימום‪   ;1 ,‬מקסימום‪  2 ; 1 ,‬מינימום‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪( 2 ) .‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪. y  0 , y  1 , y  1 .‬‬
‫‪ . 7‬א‪ x  3 ( 1 ) .‬או ‪. x  3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬אין‪.‬‬
‫) ‪. y  1 , y  1 , x  3 , x  3 ( 3‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪ ( 4‬עלייה‪; x  9 :‬‬
‫ירידה‪ x  3 :‬או ‪. 9  x  3‬‬
‫ג‪ .‬הסימן שלילי‪.‬‬
‫‪ . 8‬א‪. x  1 :  , x  1 :  .‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪. 1 ( 2 ) . d  a , c  a , b  a ( 1 ) .‬‬
‫‪46‬‬
‫‪y‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪12‬‬
‫חורף תשע"ג‪2013 ,‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫דן יצא מתל אביב להרצליה על אופניו‪ ,‬ורכב במהירות קבועה‬
‫של ‪ v‬קמ"ש‪ .‬כעבור ‪ 1‬שעה מרגע היציאה של דן‪ ,‬גם א ילנית יצאה‬
‫‪2‬‬
‫על אופניה מתל אביב להרצליה‪ ,‬ורכבה באותו מסלול במהירות הגדולה‬
‫ב‪ 2 -‬קמ"ש ממהירותו של דן‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫אילנית ודן נפגשו בדרך להרצליה‪ ,‬ו‪-‬‬
‫שעה לאחר הפגישה הגיעה‬
‫‪2‬‬
‫אילנית להרצליה‪.‬‬
‫מצא באיזה תחום מספרים נמצאת המהירות ‪ , v‬אם נתון כי מסלול‬
‫הרכיבה מתל אביב להרצליה קטן מ‪ 25 -‬ק"מ וגדול מ‪ 9 -‬ק"מ‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫א‪ .‬נתונה סדרה הנדסית ‪3 , 6 , 12 , 24 , ...‬‬
‫מסדרים את איברי הסדרה בשורות כך‬
‫שבשורה הראשונה יש איבר אחד ובכל‬
‫שורה אחרת מספר האיברים גדול באחד‬
‫מזה שבשורה הקודמת‪ .‬הבע באמצעות ‪n‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6 , 12‬‬
‫‪24 , 48 , 96‬‬
‫‪...............‬‬
‫‪...............‬‬
‫את סכום האיברים ב‪ n -‬השורות הראשונות‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתונה סדרה חשבונית שאיבריה הם‪58 , 62 , 66 , ... , (4n  6) :‬‬
‫הבע את סכום הסדרה באמצעות ‪. (n  12) n‬‬
‫הערה‪:‬‬
‫אין קשר בין סעיף א לסעיף ב‪.‬‬
‫‪47‬‬
‫‪.3‬‬
‫בחדר ‪ I‬נמצאים ‪ k‬נשים ו‪ k -‬גברים )‪. (k  1‬‬
‫בחדר ‪ II‬נמצאים ‪ k‬נשים ו‪ 3k -‬גברים‪.‬‬
‫מטילים קובייה מאוזנת‪.‬‬
‫אם מתקבל מספר המתחלק ב‪ , 3 -‬בוחרים בזה אחר זה בלי החזרה‪,‬‬
‫‪ 2‬אנשים מחדר ‪. I‬‬
‫אם מתקבל מספר שאינו מתחלק ב‪ , 3 -‬בוחרים בזה אחר זה בלי החזרה‪,‬‬
‫‪ 2‬אנשים מחדר ‪. II‬‬
‫כאשר בוחרים באופן זה‪ ,‬הסתברות לבחור ‪ 2‬נשים מחדר ‪ I‬גדולה פי ‪15‬‬
‫‪7‬‬
‫מההסתברות לבחור ‪ 2‬נשים מחדר ‪. II‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ההסתברות לבחור ‪ 2‬נשים באופן שתואר‪.‬‬
‫ג‪ .‬ידוע שנבחר לפחות גבר אחד באופן שתואר‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שנבחרו בדיוק ‪ 2‬גברים מחדר ‪? I‬‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫נתון משולש ‪ . KHE‬נקודות ‪ M‬ו‪G -‬‬
‫נמצאות על הצלעות ‪ KH‬ו‪ EH -‬בהתאמה‬
‫‪E‬‬
‫‪K‬‬
‫כך ש‪. GM  EK -‬‬
‫‪F‬‬
‫נקודה ‪ F‬נמצאת על הצלע ‪. EH‬‬
‫המשכי הקטעים ‪ GM‬ו‪FK -‬‬
‫‪M‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪) L‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫נתון‪. KML  KFH :‬‬
‫‪H‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. KHE  FLG‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם‪EF  3 :‬‬
‫‪GE 5‬‬
‫‪ 12.5 ,‬ס"מ ‪ 5 , EH ‬ס"מ ‪. LG ‬‬
‫) ‪ ( 1‬מצא את האורך של ‪. EK‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את היחס ‪MH‬‬
‫‪KH‬‬
‫‪.‬‬
‫‪48‬‬
‫‪L‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון משולש שו וה‪ -‬צלעות ‪. ABC‬‬
‫נקודה ‪ T‬נמצאת בתוך המשולש )ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪ n , TBC   :‬ס"מ ‪, CT ‬‬
‫‪ d‬ס"מ ‪ t , BT ‬ס"מ ‪. AT ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t‬‬
‫אורך צלע המשולש הוא ‪ 2‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪n 2  t 2‬‬
‫‪4d‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. sin(  30 ) ‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬הבע את שטח המשולש ‪ATC‬‬
‫באמצעות ‪ ‬ו‪. d -‬‬
‫‪T‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪6‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪x 2  3a 2‬‬
‫א‪ .‬מצא )הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך(‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫‪ a . f (x) ‬הוא פרמטר‪. a  0 ,‬‬
‫) ‪ ( 2‬את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם הצירים‬
‫)אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬את האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה )‪f (x‬‬
‫)אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬אם נקודות הקיצון של הפונקציה )‪) f (x‬אם יש כאלה(‪,‬‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬ידוע שלפונקציה )‪ f (x‬יש שתי נקודות פיתול בלבד ובהן ‪. x   a‬‬
‫) ‪ ( 1‬היעזר בגרף של )‪ , f (x‬והבע באמצעות ‪ a‬את התחום‬
‫שבו פונקציית הנגזרת השנייה )‪ f "(x‬חיובית‪ ,‬ואת התחום‬
‫שבו היא שלילית‪ .‬נמק‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬הבע באמצעות ‪ a‬את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקיצון של )‪, f '(x‬‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ד‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪, f '(x‬‬
‫על ידי הישר ‪ x  a‬ועל ידי ציר ה‪. x -‬‬
‫ס מן במערכת צירים את השטח המבוקש‪.‬‬
‫‪49‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ f (x)   sin x  1 sin x‬בקטע ‪. 0  x  3‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬בקטע הנתון מצא‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬עבור אילו ערכי ‪ x‬הפונקציה מוגדרת‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקצי ה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה בקטע הנתון‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא משוואת ישר המשיק לגרף הפונקציה בשתי נקודות בדיוק‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם יש ערכים של ‪ x‬בקטע הנתון שעבורם מתקיים האי‪ -‬שוויון‬
‫‪ . 1 sin x  sin x‬נמק‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.8‬‬
‫מחלקים חוט שאורכו ‪ k‬לשני חלקים ) לאו דווקא חלקים שווים(‪.‬‬
‫מחלק אחד של החוט יוצרים מעגל ומהחלק האחר יוצרים ריבוע‪.‬‬
‫סכום השטחים של שתי הצורות הוא מינימלי כאשר היקף המעגל‬
‫הוא ‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .‬מצא את הערך של ‪. k‬‬
‫‪50‬‬
‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 12‬חורף תשע"ג‪: 2013 ,‬‬
‫‪. 4  v  8 .1‬‬
‫‪ . 2‬א‪ 1) .‬‬
‫‪1 n2  1 n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . 3  (2 2‬ב‪. 2n 2  8n  384 .‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . k  4 .‬ב‪ . 11 .‬ג‪. 15 .‬‬
‫‪188‬‬
‫‪105‬‬
‫‪ . 4‬ב‪ 7.5 ( 1 ) .‬ס"מ ‪MH  2 ( 2 ) . EK ‬‬
‫‪KH 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . 5‬ב‪ 3  d sin(60  )  sin   .‬או )‪3  d cos(30  ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ . 6‬א‪ ( 1 ) .‬כל ‪. x‬‬
‫‪2 ‬‬
‫)‪ (2‬‬
‫‪a2 ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫;‪.  0‬‬
‫)‪. y  0 (3‬‬
‫‪2 ‬‬
‫)‪ (4‬‬
‫‪a2 ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫;‪  0‬מקסימום‪.‬‬
‫ג‪ f "(x)  0 ( 1 ) .‬כאשר ‪ x  a‬או ‪ f "(x)  0 . x  a‬כאשר ‪. a  x  a‬‬
‫) ‪ x  a ( 2‬מינימום‪ x  a ,‬מקסימום‪.‬‬
‫ד‪1 .‬‬
‫‪2a 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ . 7‬א‪ 0  x   ( 1 ) .‬או ‪. 2  x  3‬‬
‫‪1‬‬
‫מינימום‪ ( ;0) ,‬מקסימום‪,‬‬
‫) ‪ (0;0) ( 2‬מקסימום‪;  12 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪ (2;0‬מקסימום‪ 2 1 ;  1 ,‬מינימום‪ (3;0) ,‬מקסימום‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪( 1 ) .‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪. y   1 (2‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬לא‪.‬‬
‫‪. k  5 .8‬‬
‫‪51‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪13‬‬
‫קיץ תשע"ג‪ ,2013 ,‬מועד א‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫פועל ‪ I‬ופועל ‪ II‬עובדים במפעל לייצור חלקי חילוף‪.‬‬
‫שני הפועלים מבצעים יחד עבודה מסוימת‪.‬‬
‫קצב העב ודה הרגיל של פועל ‪ I‬שונה מקצב העבודה הרגיל של פועל ‪. II‬‬
‫אם כל אחד מהפועלים יגביר את קצב העבודה הרגיל שלו ב‪, 50% -‬‬
‫ההפרש בין זמן העבודה של שני הפועלים יחד בקצב הרגיל ובין זמן‬
‫העבודה שלה ם יחד בקצב המוגבר יהיה ‪2‬‬
‫‪ 15‬מהזמן שנדרש לפועל ‪I‬‬
‫לבצע לבד את העבודה בקצב הרגיל שלו‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את היחס בין הזמן שבו פועל ‪ I‬מבצע לבד את העבודה‬
‫ובין הזמן שבו פועל ‪ II‬מבצע לבד עבודה זו‪.‬‬
‫ב‪ .‬העבודה ששני הפועלים מבצעים יחד היא הכנה של ‪ 300‬חלקי חילוף‪.‬‬
‫הפועלים ביצעו יחד עבודה זו בקצב הרגיל שלהם ב‪ 6 -‬ימים‪.‬‬
‫כמה חלקי חילוף ביום מכין לבד פועל ‪ I‬בקצב הרגיל שלו?‬
‫‪.2‬‬
‫נתונה סדרה ‪ . a n‬סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה הוא‪:‬‬
‫])‪. Sn  n  5n  [2  6  10  ...  (4n  2‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מצא נוסחה לאיבר הכללי ‪ a n‬בסדרה הנתונה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מתבוננים באיברים של הסדרה הנתונה‪ ,‬שערך כל אחד מהם‬
‫קטן מ‪. 102 -‬‬
‫חשב את הערך הגדול ביותר שיכול להתקבל עבור סכום מסוים‬
‫של איברים כאלה )ל או דווקא הסכום של כל האיברים(‪.‬‬
‫‪52‬‬
‫‪.3‬‬
‫הוועדה המארגנת של תחרות "נולד לשיר" מתלבטת אם ישפוט בתחרות‬
‫רק שופט א' או יצטרפו אליו שני שופטים נוספים‪ :‬שופט ב' ושופט ג'‪.‬‬
‫ההצבעה של שופט א' לא תשתנה אם הוא ישפוט לבד או אם ישפוט‬
‫עם האחרים‪ .‬ההצבעה של כל אחד מהשופטי ם אינה תלויה בהצבעה‬
‫של השופטים האחרים‪.‬‬
‫אם ישפוט בתחרות רק שופט א' – יעבור המתחרה לשלב נוסף בתחרות‬
‫אם השופט יצביע בעדו‪.‬‬
‫אם ישפטו שלושת השופטים – יעבור המתחרה לשלב נוסף בתחרות אם‬
‫לפחות ‪ 2‬מהשופטים יצביעו בעדו‪ .‬יוסי הוא אחד המתמודדי ם בתחרות‪.‬‬
‫נתון כי ההסתברות ששופט א' יצביע בעד יוסי שווה להסתברות ששופט ב'‬
‫יצביע בעדו‪ .‬ההסתברות ששופט ג' יצביע בעד יוסי היא ‪. 0.5‬‬
‫א‪ .‬האם ההסתברות‪ ,‬שיוסי יעבור לשלב נוסף בתחרות אם ישפוט‬
‫בתחרות רק שופט א'‪ ,‬שווה להסתברות שיוסי יעבור לשלב נוסף‬
‫בתחרות אם ישפטו בתחרות שלושת השופטים? נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬לבסוף הוחלט שבתחרות ישפטו שלושת השופטים‪ .‬נתון כי ההסתברות‪,‬‬
‫ששופט א' הצביע בעד יוסי אם ידוע כי יוסי עבר לשלב נוסף בתחרות‪,‬‬
‫גדולה מ‪. 0.8 -‬‬
‫מצא את תחום הערכים של ההסתברות ששופט א' הצביע בעד יוסי‪.‬‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי אם במשולש שני תיכונים שווים זה לזה‪,‬‬
‫המשולש הוא שווה‪ -‬שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬במשולש ‪ ABC‬הנקודות ‪ M , L‬ו‪K -‬‬
‫הן אמצעי הצלעות ‪ CA , CB‬ו‪, AB -‬‬
‫בהתאמה‪ .‬הנקודה ‪ P‬היא נקודת‬
‫‪C‬‬
‫מפגש של התיכונים במשולש‪,‬‬
‫‪L‬‬
‫ונתון שהיא נמצאת על מעגל העובר‬
‫דרך הנקודות ‪ M , L‬ו‪) C -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫נתון גם כי ‪. AL  BM‬‬
‫) ‪ ( 1‬הוכח כי ‪. BM  AC‬‬
‫‪B‬‬
‫) ‪ ( 2‬הוכח כי ‪. AK  AM‬‬
‫‪53‬‬
‫‪M‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.5‬‬
‫הנקודה ‪ O‬היא מרכז המעגל החסום במשולש ‪. ABC‬‬
‫המשך ‪ AO‬חותך את הצלע ‪ BC‬בנקודה ‪. E‬‬
‫‪C‬‬
‫המשך ‪ CO‬חותך את הצלע ‪ AB‬בנקודה ‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫)ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. ABC   , BAC   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס ‪AE‬‬
‫‪CF‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם‪AE  1 :‬‬
‫‪.   60 ,‬‬
‫‪CF 2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫הראה כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ ACB‬שווה ל‪. 1 BC -‬‬
‫‪2‬‬
‫פרק ש לישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ g(x)  sin 2  x‬בתחום ‪. 0  x  7 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ g(x‬עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪g(x‬‬
‫עם גרף הפונקציה ‪. f (x)  sin x‬‬
‫ג‪ .‬הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪ g(x‬והנקודה ‪ B‬נמצאת‬
‫על גרף הפונקציה )‪ f (x‬כך שהקטע ‪ AB‬מקביל לציר ה‪. y -‬‬
‫) ‪ ( 1‬מצא את האורך המקסימלי של הקטע ‪. AB‬‬
‫) ‪ ( 2‬כמה קטעים כמו ‪ AB‬שאורכם מקסימלי מתקבלים בתחום הנתון?‬
‫נמק‪.‬‬
‫‪54‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונות שתי פונקציות‪f (x)  x 2  4x  b :‬‬
‫‪g(x)   x 2  c‬‬
‫‪ b‬ו‪ c -‬הם פרמטרים גדולים מ‪. 0 -‬‬
‫לגרפים של שתי הפונקציות יש משיק משותף בנקודה משותפת ‪. P‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪) b‬במידת הצורך( את השיעורים של הנקודה ‪. P‬‬
‫ב‪ .‬סר טט במערכת צירים אחת סקיצה של גרף הפונקציה )‪f (x‬‬
‫וסקיצה של גרף הפונקציה )‪ , g(x‬אם ידוע כי ‪. b  4‬‬
‫הישר ‪ x  a‬חותך את המשיק המשותף בנקודה ‪ , D‬את הגרף של )‪f (x‬‬
‫בנקודה ‪ A‬ואת הגרף של )‪ g(x‬בנקודה ‪ A , D ) B‬ו‪ B -‬הן שלוש‬
‫נקודות שונות (‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראה כי הישר ‪ PD‬הוא תיכון במשולש ‪. PAB‬‬
‫ד‪ .‬השטח המוגבל על ידי הגרף של )‪ , f (x‬על ידי המשיק המשותף‬
‫ועל ידי הישרים ‪ x  a‬ו‪ , x  a -‬הוא ‪. S‬‬
‫הבע באמצעות ‪ S‬את השטח המוגבל על ידי הגרף של )‪, f (x‬‬
‫על ידי הגרף של )‪ g(x‬ועל ידי הישרים ‪ x  a‬ו‪. x  a -‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪2‬‬
‫נתון כי הפונקציה הזוגית ‪ f (x)  8  ax  bx  c‬מוגדרת בתחום‬
‫‪ 2  x  2‬בלבד‪.‬‬
‫‪ b , a‬ו‪ c -‬הם פרמטרים‪. c  0 ,‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של הפרמטר ‪ a‬ואת הערך של הפרמטר ‪. b‬‬
‫הצב את הערך של ‪ a‬ואת הערך של ‪ , b‬וענה על הסעיפים ב‪ -‬ג‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה )‪ f (x‬בנקודה שבה ‪, x  2‬‬
‫ומעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x   2‬‬
‫השטח המוגבל על ידי שני המשיקים ועל ידי ציר ה‪ x -‬הוא ‪49 2‬‬
‫‪2‬‬
‫מצא את הערך של הפרמטר ‪. c‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ .‬בתחום ‪ 2  x  2‬נתונה הפונקציה )‪ g(x‬המקיימת‪. g(x)  f (x) :‬‬
‫מעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה )‪ g(x‬בנקודה שבה ‪, x  2‬‬
‫ומעבי רים ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x   2‬‬
‫מהו סוג המרובע שנוצר על ידי שני הישרים המשיקים לגרף‬
‫הפונקציה )‪ f (x‬ושני הישרים המשיקים לגרף הפונקציה )‪ ? g(x‬נמק‪.‬‬
‫‪55‬‬
‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 13‬קיץ תשע"ג‪ , 2013 ,‬מועד א ‪:‬‬
‫‪ . 1‬א‪ .‬היחס הוא ‪. 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . 2‬א‪ . a n  6n  8 .‬ב‪. 884 .‬‬
‫ב‪ 20 .‬חלקי חילוף‪.‬‬
‫‪ . 3‬א‪ .‬הסתברות שווה‪.‬‬
‫‪ . 5‬א‪.‬‬
‫‪  2  ‬‬
‫‪sin(  ) cos‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪sin    sin ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . 6‬א‪3  .‬‬
‫‪2 ‬‬
‫ב‪. 0.6  P  1 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫;‪,  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪AE ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪CF‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ 7  3   4‬‬
‫‪ . 5 ;0 , 2 ;0‬ב‪3  ,   ; 3  .‬‬
‫;‬
‫‪ ,  ;‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2  3 2 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 3 2   3‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ ( 2 ) . 1 ( 1 ) .‬שני קטעים‪.‬‬
‫‪ . 7‬א‪. (1;b  3) .‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪. 2S .‬‬
‫‪ . 8‬א‪. b  2 , a  0 .‬‬
‫ב‪. c  3 .‬‬
‫ג‪ .‬מעוין‪.‬‬
‫‪56‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪14‬‬
‫קיץ תשע"ג‪ ,2013 ,‬מועד ב‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫ראובן ושמעון חופרים יחד תעלה אחת ב‪ 12 -‬שעות‪.‬‬
‫אם ראובן חופר לבד ‪ 1‬מהתעלה‪ ,‬ולאחר שהוא מסיים את ח לקו‬
‫‪3‬‬
‫שמעון חופר לבד את יתר התעלה‪ ,‬החפירה מסתיימת כעבור ‪ 23 1‬שעות‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫כמה תעלות שלמות לכל היותר יחפור ראובן לבד בפחות מ‪ 100 -‬שעות?‬
‫התעלות זהות לתעלה הנתונה‪.‬‬
‫הספקי העבודה של שמעון ושל ראובן אינם משתנים‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪a1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ...‬‬
‫נתו נה סדרה ‪: a n‬‬
‫ונתונה סדרת הסכומים ‪S1 , S2 , S3 , ... , Sn , ... : Sn‬‬
‫‪ Sn‬הוא סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה ‪. a n‬‬
‫סדרת הסכומים ‪ Sn‬מקיימת לכל ‪ n‬טבעי‪. b  0 , S1  3 , Sn 1  b  Sn  3 :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ a n‬היא סדרה הנדסית שהמנה שלה היא ‪. b‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי ‪. | b |  1‬‬
‫בונים מהסדרה ‪ a n‬שתי סדרות הנדסיות‪ I ,‬ו‪: II -‬‬
‫‪I. a 3 , a 7 , a11 , a15 , ...‬‬
‫‪II. a1 , a 3 , a 5 , a 7 , ...‬‬
‫‪ T‬הוא הסכום של אין‪ -‬סוף איברי הס דרה ‪, I‬‬
‫‪ M‬הוא הסכום של אין‪ -‬סוף איברי הסדרה ‪. II‬‬
‫הבע באמצעות ‪ b‬את היחס ‪M‬‬
‫‪ .‬פשט את הביטוי ככל האפשר‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫‪57‬‬
‫‪.3‬‬
‫מבין כל תלמידי י"ב בעיר מסוימת מאתרים תלמידים שיתאימו‬
‫לקורס ייחודי‪ .‬הקורס מתאים לתלמידים שיש להם יכולת טכנית‪.‬‬
‫הבוחנות מאבחנות ‪ 80%‬מבין התלמידים שאכן יש להם יכולת טכנית‬
‫כבעלי יכולת טכנית‪ ,‬ומאבחנות ‪ 10%‬מבין התלמידי ם שאין להם יכולת‬
‫טכנית כבעלי יכולת טכנית‪.‬‬
‫מבין התלמידים שאובחנו כבעלי יכולת טכנית‪ ,‬אחוז התלמידים‬
‫שאכן יש להם יכולת טכנית גדול פי ‪ 4‬מאחוז התלמידים )בקבוצה זו(‬
‫שאין להם יכולת זו‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות שלתלמיד י"ב בעיר זו אכן יש יכולת טכנית?‬
‫ב‪ .‬באותה עיר כל אלה שאובחנו כבעלי יכולת טכנית השתתפו בקורס‪,‬‬
‫ורק הם‪ .‬בעיר יש ‪ 600‬תלמידי י"ב‪.‬‬
‫מבין המשתתפים בקורס לכמה תלמידים אין יכולת טכנית?‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫נתונה מקבילית ‪. ABCD‬‬
‫הצלע ‪ AB‬משיקה למעגל שמרכזו ‪O‬‬
‫בנקודה ‪ . F‬המשך הצלע ‪ CB‬משיק‬
‫למעגל בנקודה ‪) G‬ראה ציור (‪.‬‬
‫נתון‪. AF  AD :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הנקודה ‪ F‬נמצאת על הישר ‪. DG‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם‪. FC  DC , BO  BC :‬‬
‫) ‪ ( 1‬הוכח כי ‪. OF  FC‬‬
‫) ‪ ( 2‬הוכח כי ‪. FB  1 BO‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪O‬‬
‫‪G‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫נתון טרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪. (AD  BC) ABCD‬‬
‫‪A B‬‬
‫השוק ‪ AD‬היא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪F‬‬
‫השוק ‪ BC‬משיקה למעגל בנק ודה ‪. F‬‬
‫המעגל חותך את הבסיס ‪ DC‬בנקודה ‪E‬‬
‫)ראה ציור(‪ .‬נתון‪. BCD   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את גודל הזווית ‪. FOD‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬ה בע באמצעות ‪ ‬את גודל הזווית ‪. ODF‬‬
‫) ‪ ( 2‬הבע באמצעות ‪ ‬את היחס ‪DE‬‬
‫‪.‬‬
‫‪DC‬‬
‫‪58‬‬
‫‪D‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קצ יות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ f (x)  x 2  cos‬בתחום ‪. 2  x  5‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬מצא תחומי עלייה וירידה של פונקציית הנגזרת )‪f '(x‬‬
‫)אם יש כאלה( בתחום הנתון‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬הראה כי פונקציית הנגזרת )‪ f '(x‬חיובית בתחום הנתון‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬רק על פי התשובות לתת‪ -‬סעיפים ) ‪ ( 1‬ו‪ ,( 2 ) -‬סרטט סקיצה‬
‫של פונקציית הנגזרת )‪ , f '(x‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬כמה פתרונות יש למשוואה ‪ f '(x)  40‬בתחום הנתון? נמק‪.‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬רשום את הערך המקסימלי של פונקציית הנגזרת השנייה )‪f "(x‬‬
‫בתחום הנתון‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬האם השטח‪ ,‬המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת )‪f '(x‬‬
‫ועל ידי הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה )‪ f "(x‬בתחום הנתון‪,‬‬
‫‪5‬‬
‫שווה לערך של האינטגרל המסוים‬
‫‪ (f '(x)  f "(x)) dx‬‬
‫? נמק‬
‫‪2‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה )‪ f (x‬המוגדרת לכל ‪ , x‬ונתונה הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון‪, g(x)  k  2x :‬‬
‫‪ g(x) dx  0‬‬
‫‪ k .‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ g(x‬עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי בתחום ‪ x  0‬מתקיים‪. f (0)  k , f "(x)  0 , f (x)  g(x) :‬‬
‫סרטט באותה מערכת צירים סקיצה של הפונקציה )‪g(x‬‬
‫וסקיצה של הפונקציה )‪ f (x‬בתחום ‪ . x  0‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬בתחום ‪ x  0‬איזה שטח גדול יותר‪ :‬השטח המוגבל על ידי גרף‬
‫הפונקציה )‪ f (x‬והצירים או השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪, g(x‬‬
‫על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי הישר ‪ ? x  1‬נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬נתון גם‪ a , f (x)  x 3  3x 2  ax  f (0) :‬הוא פרמטר‪,‬‬
‫הגרף של )‪ g(x‬משיק לגרף של )‪ f (x‬בנקודה הנמצאת בתחום ‪. x  0‬‬
‫מצא את הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫‪59‬‬
‫דני יצא מנקודה ‪ , A‬הנמצאת בשדה‬
‫‪.8‬‬
‫‪A‬‬
‫במרחק ‪ 1‬ק"מ מהכביש ‪. BC‬‬
‫הוא הלך בשדה בקו‬
‫‪÷"î 1‬‬
‫אלכסוני במהירות‬
‫ק בועה ‪, v‬‬
‫והגיע לכביש ‪BC‬‬
‫בנקודה כלשהי ‪) N‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪N‬‬
‫‪B‬‬
‫דני הלך בכביש במהירות הגדולה פי ‪ 13‬מהמהירות שבה הלך בשדה‪,‬‬
‫‪12‬‬
‫והגיע לנקודה ‪ C‬בכביש‪ .‬המרחק בין ‪ B‬ל‪ C -‬הוא ‪ 6‬ק"מ‪.‬‬
‫מהו אורך המסלול ‪ ANC‬אם ידוע שדני עבר אותו בזמן המינימלי?‬
‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 14‬קיץ תשע"ג‪ , 2013 ,‬מ ועד ב ‪:‬‬
‫‪ . 1‬לכל היותר ‪ 3‬תעלות שלמות‪ . 2 .‬ב‪M  1  b 2 .‬‬
‫‪T‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 1 .‬ב‪ 40 .‬תלמידים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪sin  cos ‬‬
‫‪ . 5‬א ‪ . 270  2 .‬ב‪ sin 2 ( 2 ) .   45 ( 1 ) .‬‬
‫‪sin(135  )sin(  45 ) 1  sin 2‬‬
‫‪ . 6‬א‪ ( 1 ) .‬תחום עלייה‪; 2  x  5 :‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪y‬‬
‫תחום ירידה‪ :‬אין‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪ ( 4‬אין פתרונות בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ ( 2 ) . 2.25 ( 1 ) .‬כן‪.‬‬
‫‪ . 7‬א‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪  , (0; 1‬‬
‫‪. 1 ;0‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , g(x‬על ידי ציר ה‪x -‬‬
‫ועל ידי הישר ‪ x  1‬הוא גדול יותר‪.‬‬
‫ד‪. f (x)  x 3  3x 2  2x  1 .‬‬
‫‪ 6.2 . 8‬ק"מ‪.‬‬
‫‪60‬‬
‫‪.‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪15‬‬
‫חורף תשע"ד‪2014 ,‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫נמל ‪ A‬ונמל ‪ B‬נמצאים על אותה גדה של נהר‪ ,‬שכיוון הזרם שלו‬
‫הוא מ‪ A -‬ל‪ . B -‬רפסודה הפליגה בשעה ‪ 9 : 00‬בבוקר מנמל ‪ A‬אל נמל ‪, B‬‬
‫והיא נישאה על גבי הזרם של הנהר כך שמהירות הרפסודה היא מהירות‬
‫הזרם‪ .‬באותה שעה הפליגה סירה מנמל ‪) B‬נגד כיוון הזרם( לכיוון‬
‫נמל ‪ . A‬מהירות הסירה במים עומדים היא ‪ 15‬קמ"ש‪.‬‬
‫הסירה הגיעה לנמל ‪ , A‬ומיד חזרה אל נמל ‪. B‬‬
‫ידוע כי הרפסודה והסירה י גיעו לנמל ‪ B‬באותה שעה‪.‬‬
‫נתון כי הרפסודה והסירה נפגשו לראשונה כעבור ‪ 5‬שעות מרגע הפלגתן‪.‬‬
‫האם הסירה והרפסודה יגיעו לנמל ‪ B‬עד לשעה ‪ 9 : 00‬בערב באותו יום?‬
‫נמק‪.‬‬
‫מהירות הזרם ומהירות הסירה במים עומדים הן קבועות‪.‬‬
‫הערה‪ :‬בחישוביך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה עשרונית‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫נתונה סדרה הנדסית אין‪ -‬סופית יורדת‪. a1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... :‬‬
‫סכום כל איברי ה סדרה בלי האיבר הראשון הוא ‪. 6‬‬
‫מחליפים את הסימנים של כל האיברים הנמצאים במקומות ה זוגיים‬
‫בסדרה‪ ,‬ומתקבלת סדרה הנדסית חדשה‪:‬‬
‫‪. a1 , a 2 , a 3 ,  a 4 , ...‬‬
‫סכום כל איברי הסדרה החדשה בלי האיבר הראשון הוא ‪. 3‬‬
‫מהאיברים של הסדרה הנתונה בנו סדרה שלישית‪1 , 1 , 1 , :‬‬
‫‪a 2 a3 a 4‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה השלישית היא סדרה ה נדסית‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה השלישית הוא ‪. 273.25‬‬
‫מצא את ‪. n‬‬
‫‪61‬‬
‫‪.3‬‬
‫בעיר מסוימת יש תושבים המשתתפים בחוג לריקוד י עם‪ ,‬יש תושבים‬
‫המשתתפים בחוג לתאטרון ויש תושבים המש תתפים בשני החוגים‪.‬‬
‫נמצא כי המאורע "תושב העיר המשתתף בחוג לריקודי עם"‬
‫והמאורע "תושב העיר משתתף בחוג לתאטרון" הם מאורעות‬
‫בלתי תלויים‪.‬‬
‫מספר התושבים שמשתתפים בחוג לריקודי עם גדול פי ‪ 2‬ממספר‬
‫התושבים שמשתתפים בחוג לתאטרון‪ .‬מבין התוש בים שמשתתפים בחוג‬
‫לתאטרון‪ 60% ,‬משתתפים בחוג לריקודי עם‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו אחוז התושבים בעיר שמשתתפים בחוג לריקודי עם וגם‬
‫בחוג לתאטרון?‬
‫ב‪ .‬יום אחד נערך בעיר כנס שהשתתפו בו כל התושבים המשתתפים‬
‫בחוג לריקודי עם‪ ,‬ורק הם‪.‬‬
‫ע יתונאי ראיין ‪ 6‬משתתפים בכנס שנבחרו באקראי‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שלפחות ‪ 2‬מהם משתתפים בחוג לתאטרון?‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫משולש שווה‪ -‬צלעות ‪ ABC‬חסום במעגל‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫‪C‬‬
‫נקודות ‪ D‬ו‪ L -‬נמצאות על המעגל‬
‫כך ש‪. BD  LC -‬‬
‫המיתרים ‪ AL‬ו‪ BD -‬נחתכים בנקודה ‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫)ראה ציור(‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המרובע ‪ LEDC‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬הוכח כי ‪ ADE‬הוא משולש שווה‪ -‬צלעות‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬הוכח כי ‪. LC  LB  LA‬‬
‫‪A‬‬
‫‪62‬‬
‫‪.5‬‬
‫שני מעגלים‪ ,‬גדול וקטן‪ ,‬משיקים‬
‫‪F‬‬
‫מבפנים בנקודה ‪ . A‬נקודה ‪ F‬נמצאת‬
‫על המעגל הגדול כך ש קטע המרכזים‬
‫של שני המעגלים נמצא על ‪. AF‬‬
‫‪ AF‬חותך את המעגל הקטן בנקודה ‪. E‬‬
‫דרך נקודה ‪ B‬שעל המעגל הקטן‬
‫‪E‬‬
‫העבירו ישר המקביל למשיק המשותף‬
‫לשני המעגלים‪ .‬המקביל חותך את‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫המעגל הגדול בנקודה ‪) C‬ראה ציור(‪.‬‬
‫רדיוס המעגל הגדול הוא ‪, R‬‬
‫ורדיוס המעגל הקטן הוא ‪. r‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון‪. FAB   , BAC   :‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את ‪ . BCA‬נמק‪.‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬הבע רק באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס‬
‫‪AB‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬ו‪  -‬את היחס ‪R‬‬
‫‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪x 2  x  a‬‬
‫‪x2  x  a‬‬
‫הפונקציה )‪ f (x‬מוגדרת לכל ‪. x‬‬
‫‪ a . f (x) ‬הוא פרמטר גדול מ‪. 1 -‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את האסימפטוטות של )‪ f (x‬המקבילות לצירים‬
‫)אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של )‪ , f (x‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫)הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך‪(.‬‬
‫) ‪ ( 3‬ידוע כי גרף הפונקציה )‪ f (x‬חותך את ציר ה‪ x -‬בשתי נקודות‬
‫בדיוק‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ב‪ .‬בתחום ‪ , x  0‬השטח המוגבל על ידי הגרף של )‪, f '(x‬‬
‫על ידי הישר ‪ x  1‬ועל ידי ציר ה‪ , x -‬שווה ל‪. 1 -‬‬
‫‪2‬‬
‫חשב את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם ציר ה‪x -‬‬
‫)מצא ערכים מספרי ים(‪.‬‬
‫‪63‬‬
‫‪.7‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ (AB  AC) ABC‬אורך השוק הוא ‪. b‬‬
‫‪ BD‬הוא גובה לשוק ‪ DE . AC‬הוא אנך לבסיס ‪. BC‬‬
‫סמן ‪ , BAC  2x‬ומצא מה צריך להיות הגודל של ‪, BAC‬‬
‫כדי שאורך האנך ‪ DE‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫בטבלה שלפניך מוצגים ערכים מסוימים של ה פונקציה )‪f (x‬‬
‫בקטע ‪. 1  x  2‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪1.3‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1.1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1.43‬‬
‫‪1.36‬‬
‫‪1.28‬‬
‫‪1.19‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫הפונקציה )‪ f (x‬חיובית בקטע הנתון‪ ,‬ואין לה נקודות קיצון פנימיות‬
‫בקטע זה‪ .‬נתון כי פונקציית הנגזרת השנייה )‪ f "(x‬שליל ית בקטע הנתון‪.‬‬
‫א‪ .‬קבע מהו הסימן של )‪ . f '(1.2‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬קבע אם הטענה )‪ f '(1.3)  f '(1.2)  f '(1.1‬נכונה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫נתונה הפונקציה )‪ g(x)  f (x‬בקטע ‪. 1  x  2‬‬
‫ג‪ .‬בקטע הנתון מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה )‪g(x‬‬
‫)אם יש כאלה(‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬הראה כי בתחום ‪ 1.1  x  1.3‬אין פתרון למשוואה )‪. g '(x)  f '(x‬‬
‫‪64‬‬
‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 15‬חורף תשע"ד‪: 2014 ,‬‬
‫‪ . 1‬לא‪ .‬הם יגיעו לנמל ‪ 12.07 B‬שעות לאחר יציאתם‪.‬‬
‫‪ . 2‬ב‪. n  7 .‬‬
‫‪ . 3‬א‪. 18% .‬‬
‫ב‪. 0.579825 .‬‬
‫‪cos ‬‬
‫‪ . 5‬א‪( 2 ) . 90  (  ) ( 1 ) .‬‬
‫)‪cos(  ‬‬
‫‪.6‬‬
‫א‪. y  1 ( 1 ) .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‪cos 2 (  ‬‬
‫‪.‬‬
‫) ‪ (0; 1) ( 2‬מינימום‪,‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪ 2a; 4a4a 11‬‬
‫‪.‬‬
‫מקסימום‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪. ( 2;0) , (1;0) .‬‬
‫‪. 109.47 . 7‬‬
‫‪ . 8‬א‪ .‬הסי מן הוא חיובי‪.‬‬
‫ב‪ .‬הטענה נכונה‪ .‬ג‪ .‬עלייה‪ ; 1  x  2 :‬ירידה‪ :‬אין‪.‬‬
‫‪65‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪16‬‬
‫קיץ תשע"ד‪ ,2014 ,‬מועד א‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫משאית יצאה מעיר ‪ , A‬וכעבור ‪ 6‬שעות מרגע יציאתה הגיעה לעיר ‪. B‬‬
‫זמן מה אח רי יציאת המשאית יצאה מכונית מעיר ‪, A‬‬
‫והגיעה לעיר ‪ 2 B‬שעות לפני המשאית‪.‬‬
‫המשאית והמכונית נפגשו כעבור שעה מרגע היציאה של המכונית‪.‬‬
‫המהירויות של המשאית ושל המכונית היו קבועות‪.‬‬
‫מצא כמה שעות אחרי רגע היציאה של המשאית יצאה המכונית‬
‫)מצא את שני הפתרונות(‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫בסדרה חשבונית יש ‪ 3n‬איברים‪ .‬סכום ‪ n‬האיברים האחרונים גדול פי‬
‫‪ 2‬מסכום ‪ n‬האיברים הק ודמים להם‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח שסכום ‪ n‬האיברים הראשונים הוא ‪. 0‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם שסכום האיברים החמישי והשביעי הוא ‪. 0‬‬
‫סכום כל איברי הסדרה הוא ‪ . 726‬מצא את הפרש הסדרה‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫אבא ודני משחקים בזריקת כדור לסל‪ .‬בכל משחק שני סיבובים‪.‬‬
‫המנצח בסיבוב מקבל נקודת אחת‪ .‬אם הסיבוב מסתיים בתיקו‪,‬‬
‫כל אחד מקבל חצי נקודה‪.‬‬
‫נתון‪ :‬ההסתברות שדני ינצח בסיבוב היא ‪, 0.1‬‬
‫ההסתברות שאבא ינצח בסיבוב היא ‪, 0.2‬‬
‫ההסתברות שהסיבוב יסתיים בתיקו היא ‪. 0.7‬‬
‫הסיבובים אינם תלויים זה בזה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות שאבא יצבור בשני הסיבובים יותר מנקודה אחת?‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שדני יצבור בשני הסיבובים לפחות נקודה אחת?‬
‫ג‪ .‬ידוע כי דני צבר בשני הסיבובים לפחות נקודה אחת‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שאחד הסיבובים הסתיים בתיקו והאחר הסתיים‬
‫בניצחון של דני?‬
‫‪66‬‬
‫ד‪ .‬אבא ודני משחקים ‪ 4‬פעמים את המשחק שמתואר בפתיח‪.‬‬
‫)בכל משחק שני סיבובים‪(.‬‬
‫מהי ההסתברות שדני יצבור לפחות נקודה אחת ‪ 2‬פעמים בדיוק?‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫מנקודה ‪ A‬יוצא ישר המשיק למעגל בנקודה ‪, B‬‬
‫ויוצא ישר אחר החותך את המעגל בנקודות ‪ C‬ו‪. D -‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע המיתר ‪. DC‬‬
‫הנקודה ‪ M‬היא מרכז המעגל )ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי המרובע ‪AEMB‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫הוא בר חסימה במעגל‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪T‬‬
‫ב‪ .‬אלכסוני המרובע ‪, AEMB‬‬
‫‪M‬‬
‫שהוא בר חסימה במעגל‪,‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪. T‬‬
‫‪B‬‬
‫נתון כי הנקודה ‪ T‬היא מפגש התיכונים‬
‫‪2‬‬
‫במשולש ‪ . BDC‬הוכח כ י ‪. TB  2MT  TA‬‬
‫ג‪ .‬נתון ‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫ס"מ ‪ 1 , TE ‬ס"מ ‪. MT ‬‬
‫מצא את רדיוס המעגל החוסם את המרובע ‪. AEMB‬‬
‫‪.5‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪, (AB  AC) ABC‬‬
‫‪ BM‬הוא תיכון לשוק )ראה ציור(‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫נתון‪. BAC  50 :‬‬
‫א‪ .‬חשב את גודל הזווית הקהה ‪. AMB‬‬
‫‪M‬‬
‫ממשיכים את ‪ BM‬עד הנקודה ‪. D‬‬
‫נתון גם‪:‬‬
‫רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ABC‬‬
‫הוא ‪ 10‬ס"מ‪ .‬רדיוס המעגל החוסם‬
‫את המשולש ‪ ABD‬הוא ‪ 14‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זוויות המשולש ‪. AMD‬‬
‫‪67‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונות שתי פונקציות‪ , g(x)  sin(2x) , f (x)  2sin 2 x :‬בתחום ‪. 0  x  ‬‬
‫א‪ .‬בתחום הנתון מצא‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות החיתוך בין הגרפים‬
‫של שתי הפונקציות‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬את נקודות החיתוך של כל אחת משתי הפונקציות עם ציר ה‪. x -‬‬
‫)‪sin(2x‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬נתונה הפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫הראה כי )‪. h '(x)  f (x‬‬
‫) ‪ ( 2‬בתחום ‪ 0  x  ‬מצא את השטח הכלוא בין הגרפים‬
‫של שתי הפונקציות )‪ f (x‬ו‪. g(x) -‬‬
‫‪. h(x)  x ‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ a . f (x)  ax 2  9‬הוא פרמטר גדול מ‪. 0 -‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה )‪? f (x‬‬
‫) ‪ ( 2‬הראה כי לפונקציה )‪ f (x‬אין נקודות פיתול‪.‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬מהו תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת )‪? f '(x‬‬
‫) ‪ ( 2‬הבע באמצעות ‪ a‬את האסימפטוטות האופקיות של פונקציית‬
‫הנגזרת )‪. f '(x‬‬
‫) ‪ ( 3‬מצא תחומי עלייה וירידה של פונקציית הנגז רת )‪f '(x‬‬
‫)אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬
‫ג‪ .‬השטח‪ ,‬המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת )‪, f '(x‬‬
‫על ידי ציר ה‪ x -‬ו על ידי הישר ‪ , x   4‬שווה ל‪. 2 -‬‬
‫בלי לחשב את הערך של ‪ , a‬חשב את הערך המספרי של )‪f ( 4‬‬
‫ואת הערך המספרי של )‪. f (4‬‬
‫‪68‬‬
‫בציור שלפניך מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬
‫‪.8‬‬
‫האסימפטוטה היחידה‬
‫של הפונקציה )‪ f (x‬היא ‪. x  0‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f '(x‬‬
‫נתון כי יש פתרון אחד בלבד‬
‫למשוואה ‪ f (x)  2‬ופתרון‬
‫אחד בלבד למשוואה ‪. f (x)  2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪ .‬רק על פי נתוני השאלה‪,‬‬
‫סרטט סקיצה של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי פונקציית הנגזרת )‪ f '(x‬היא ‪ax 2  b‬‬
‫‪ax 2‬‬
‫‪ a‬ו‪ b -‬הם פרמטרים שונים מ‪. 0 -‬‬
‫מצא את הפונקציה )‪) f (x‬בלי פרמטרים(‪.‬‬
‫‪, f '(x) ‬‬
‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 16‬קיץ תשע"ד‪ , 2014 ,‬מועד א‪:‬‬
‫‪ . 1‬שעה או שעתיים‪.‬‬
‫‪ . 2‬ב‪. d  2 .‬‬
‫‪ . 4‬ג‪ 3 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 0.32 .‬ב‪ . 0.68 .‬ג‪ . 7 .‬ד‪. 0.2841 .‬‬
‫‪34‬‬
‫‪ . 5‬א‪. 100.56 .‬‬
‫‪.x , x‬‬
‫‪ . 6‬א‪4 , x  0 ( 1 ) .‬‬
‫ב‪. 40.34 , 79.44 , 60.22 .‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪. (;0) , (0;0) : f (x‬‬
‫)‪, (0;0) : g(x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪;0‬‬
‫‪. (;0) , ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 2 ‬‬
‫ב‪2 ( 2 ) .‬‬
‫‪ . 7‬א‪ ( 1 ) .‬כל ‪ . x‬ב‪ ( 1 ) .‬כל ‪. x‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(4‬‬
‫)‪. y   a , y  a (2‬‬
‫) ‪ ( 3‬עלייה‪ :‬כל ‪ ; x‬ירידה‪ :‬אין‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪. f ( 4)  5 , f (4)  5 .‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ . 8‬א‪.‬‬
‫ב‪1 .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪69‬‬
‫‪. f (x)  x ‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪17‬‬
‫קיץ תשע"ד‪ ,2014 ,‬מועד ב‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫רץ ‪ I‬ורץ ‪ II‬יצאו באותו רגע מאותו מקום‪ .‬הם רצו במהירות קבועה‬
‫ובאותו כיוון‪.‬‬
‫המהירות של רץ ‪ I‬הייתה ‪ 6‬קמ"ש‪ ,‬והמהירות של רץ ‪II‬‬
‫הייתה ‪ 7.5‬קמ"ש‪ .‬כעבור ‪ 20‬דקות מרגע היציאה של שני הרצים‪,‬‬
‫יצא רץ ‪ III‬מאות ו מקום ובאותו כיוון‪ ,‬והוא רץ במהירות קבועה‪.‬‬
‫רץ ‪ III‬פגש בדרך את רץ ‪ , I‬ושעה אחר כך הוא פגש את רץ ‪. II‬‬
‫מצא כמה שעות עברו מרגע היציאה של רץ ‪ III‬עד לפגישתו עם רץ ‪. II‬‬
‫‪.2‬‬
‫נתונה סדרה חשבונית‪a1 , a 2 , a 3 , ... :‬‬
‫שלושה איברים עוקבים בסדרה‪, a n , a n 1 , a n  2 ,‬‬
‫מקיימים‪:‬‬
‫‪a 2n  2  a 2n  216‬‬
‫‪a n  a n 1  a n  2  54‬‬
‫א‪ .‬מצא את האיבר ‪. a n‬‬
‫ב‪ .‬לקחו חלק מהאיברים בסדרה הנתונה ובנו סדרה חשבונית חדשה‪:‬‬
‫‪a 5 , a 9 , a13 , ... , a 4k 1‬‬
‫סכום כל האיברים בסדרה החדשה הוא ‪. 450‬‬
‫האיבר הראשון בסדרה ה נתונה בפתיח הוא ‪. a1  21‬‬
‫מצא את הערך של ‪. k‬‬
‫‪70‬‬
‫‪.3‬‬
‫בעיר גדולה כל אחד מתלמידי כיתות י"ב בשנה מסוימת בוחר באחד‬
‫משני המסלולים לטיול שנתי‪ :‬מסלול א' או מסלול ב'‪.‬‬
‫נמצא‪ 75% :‬מן התלמידים שבחרו במסלול א' הן בנות‪.‬‬
‫‪ 10%‬מן הבנות בחרו ב מסלול ב'‪.‬‬
‫‪ 40%‬מן התלמידים הם בנות‪.‬‬
‫א‪ .‬בוחרים באקראי תלמיד י"ב )בן‪/‬בת(‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהוא בחר במסלול א'?‬
‫ב‪ .‬כאשר בוחרים באקראי תלמיד )בן‪/‬בת(‪ ,‬האם המאורע‬
‫"התלמיד הוא בת" והמאורע "התלמיד )בן‪/‬בת( בחר במסלול א' "‬
‫הם מאורעות בלתי תלויים? נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬בחרו באקראי כמה בנות מבין התלמידים‪.‬‬
‫נמצא שההסתברות שלפחות אחת מהן בחרה במסלול א' היא ‪. 0.99‬‬
‫)הבחירות של המסלולים על ידי הבנות שנבחרו הן בלתי תלויות(‪.‬‬
‫כמה בנות נבחרו?‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ AC‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O1‬‬
‫‪ BD‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O 2‬‬
‫ישר משיק למעגלים ‪ O1‬ו‪O 2 -‬‬
‫בנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬בהתאמה‪.‬‬
‫המשיק חותך את קטע המרכזים‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O2‬‬
‫‪O1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ O1O 2‬בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪ :‬רדיוס המעגל ‪ O1‬הוא ‪ 30‬ס"מ‪,‬‬
‫רדיוס המעגל ‪ O 2‬הוא ‪ 20‬ס"מ‪,‬‬
‫אורך קטע המרכזים ‪ O1O 2‬הוא ‪ 90‬ס"מ‪.‬‬
‫‪O1E‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את היחס‬
‫‪O1C‬‬
‫) ‪ ( 2‬הוכח כי ‪. EO1C  EO 2 D‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי הנקודה ‪ E‬נמצאת על הישר ‪. CD‬‬
‫‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ישר‪ -‬זווית ‪(ACB  90 ) ACB‬‬
‫נקודה ‪ G‬היא אמצע הניצב ‪. AC‬‬
‫נקודה ‪ P‬נמצאת על ‪ GB‬כך ש‪BG  4  PG -‬‬
‫‪.5‬‬
‫)ראה ציור(‪ .‬רדיוס המעגל החוסם‬
‫את המשולש ‪ CGB‬הוא ‪ . R‬נתון‪. GC  BC :‬‬
‫‪P‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את רדיוס המעגל‬
‫החוסם את המשולש ‪. ACB‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את מרחק הנקודה ‪P‬‬
‫ממרכז המעגל החוסם את המשולש ‪. ACB‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫נתונות שתי פו נקציות‪f (x)  x 8  x 2 :‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪g(x)  8x  x‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬לשתי הפונקציות יש אותו תחום הגדרה‪ .‬מצא את תחום ההגדרה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את נקודות החיתוך של כל אחת מהפונקציות )‪ f (x‬ו‪g(x) -‬‬
‫עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של כל אחת‬
‫מהפונקציות‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬על פי הסעיפים א ו‪ -‬ב‪ ,‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪, f (x‬‬
‫וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫ד‪ .‬לפניך ארבעה גרפים‪. IV  I ,‬‬
‫איזה מהגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת )‪ ? g '(x‬נמק‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪II‬‬
‫‪III‬‬
‫‪72‬‬
‫‪y‬‬
‫‪I‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪(x  2) 2‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪x2 1‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f (x‬המקבילות לצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם הצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה )‪, f (x‬‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ .‬רק על פי סעיף א‪ ,‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬רק על פי הסקיצה של גרף הפונקציה )‪ f (x‬שסרטטת‪,‬‬
‫מצא את התחום שבו מתקיים‪ :‬פונקציית הנגזרת )‪ f '(x‬שלילית‬
‫ופונקציית הנגזרת השנייה )‪ f "(x‬חיובית‪.‬‬
‫נמק‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתון מלבן ‪. ABCD‬‬
‫הצלע ‪ DC‬מונחת על הקוטר של חצי מעגל‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫שהרדיוס שלו ‪ R‬ומרכזו ‪ M‬כך ש‪. DC  R -‬‬
‫הצלע ‪ AD‬משיקה לחצי המעגל בנקודה ‪, D‬‬
‫והקדקוד ‪ B‬נמצא על המעגל )ראה ציור(‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪‬‬
‫‪M‬‬
‫נסמן‪BMC  x :‬‬
‫)‪ – S(x‬שטח המלבן ‪. ABCD‬‬
‫א‪ .‬מצא מה צריך להיות ‪ , x‬כדי ששטח המלבן )‪ S(x‬יהיה מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את השטח המו גבל על ידי גרף הפונקציה )‪S(x‬‬
‫ועל ידי ציר ה‪ x -‬בתחום ‪. 0  x  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪73‬‬
‫‪D‬‬
‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 17‬קיץ תשע"ד‪ , 2014 ,‬מועד ב ‪:‬‬
‫‪ 1 2 . 1‬שע ות )שעה ו‪ 40 -‬דקות(‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪. k  10 .‬‬
‫‪ . 2‬א‪. a n  15 .‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 0.48 .‬ב‪ .‬לא‪ ,‬המאורעות הם מאורעות תלויים‪.‬‬
‫ג‪ .‬שתי בנות‪.‬‬
‫‪ . 4‬א‪. 95 ( 1 ) .‬‬
‫‪ . 5‬א‪ . 10 R .‬ב‪R .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ . 6‬א‪.  8  x  8 ( 1 ) .‬‬
‫) ‪. (  8;0) , (0;0) , ( 8;0) : f (x) ( 2‬‬
‫)‪. (  8;0) , (0;0) , ( 8;0) : g(x‬‬
‫ב‪ (2;4) : f (x) .‬מקסימום מוחלט‪ ( 2;  4) ,‬מינימום מוחלט‪.‬‬
‫)‪ (2;4) : g(x‬מקסימום מוחלט‪ ( 2;4) ,‬מקסימום מוחלט‪.‬‬
‫)‪ ( 8;0‬מינימום מוחלט‪ (0;0) ,‬מינימום מוחלט‪,‬‬
‫)‪ (  8;0‬מינימום מוחלט‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪g(x‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪ .‬גרף ‪. I‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ . 7‬א‪. x  1 , x  1 ( 1 ) .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫) ‪. y  1 , x  1 , x  1 ( 2‬‬
‫) ‪. (2;0) , (0;  4) ( 3‬‬
‫) ‪(2;0) ( 4‬‬
‫מינימום‪ 12 ; 3 ,‬‬
‫‪x‬‬
‫מקסימום‪.‬‬
‫ג‪. 1  x  2 .‬‬
‫‪ . 8‬א‪ .  .‬ב‪. 1 1 R 2 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪74‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪18‬‬
‫קיץ תשע"ד‪ ,2014 ,‬מועד ג‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫שני פועלים‪ ,‬פועל ‪ I‬ופועל ‪ , II‬מתקנים כביש‪ .‬ההספק של כל אחד משני‬
‫הפועלים קבוע‪ .‬ביום הראשון עב ד פועל ‪ I‬לבד ‪ 4‬שעות‪ ,‬ואז הצטרף אליו‬
‫פועל ‪ , II‬והם עבדו יחד עוד ‪ 3‬שעות‪.‬‬
‫התברר כי ביום הראשון ביצעו הפועלים סך הכול ‪ 60%‬מהתיקון כולו‪.‬‬
‫ביום השני עבדו הפועלים יחד כל הזמן כך שסך הכול בשני ימי העבודה‬
‫ביצע כל אחד מהפועלים בדיוק מחצית מהתיקון כולו‪.‬‬
‫מצא כמה שעות עבדו הפועלים יחד ביום השני‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫נתונה סדרה חשבונית שיש בה ‪ n‬איברים )‪: (n  2‬‬
‫‪a1 , a 2 , a 3 , ... , a n 1 , a n‬‬
‫הפרש הסדרה הנתונה הוא ‪. d‬‬
‫מהסדרה הנתונה בנו סדרה חדשה של הפרשי ריבועים‪:‬‬
‫‪, ... , a 2n  a n2 1‬‬
‫‪ a 22‬‬
‫‪a 32‬‬
‫‪ a 21 ,‬‬
‫‪a 22‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה החדשה היא סדרה חשבונית שההפרש שלה הוא ‪. 2d 2‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪. a 22  a 21  64 :‬‬
‫הבע את האיבר האחרון בסדרה החדשה באמצעות ‪ n‬ו‪. d -‬‬
‫ג‪ .‬נתון גם‪d 2  1 , a 2n  a 2n 1  192 :‬‬
‫מצא את תחום הערכים של ‪. n‬‬
‫‪75‬‬
‫‪.3‬‬
‫מבין העובדים בחברה גדולה בוחרים באקראי ‪ 4‬עובדים‪.‬‬
‫ההסתברות שלכל היותר ל‪ 3 -‬עובדים יש השכלה גבוהה היא ‪. 255‬‬
‫‪256‬‬
‫א‪ .‬לאיזה אחוז מהעובדים יש השכלה גבוהה?‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שמבין ‪ 4‬עובדים שבוחרים באקראי‪,‬‬
‫ל‪ 3 -‬אין השכלה גבוהה?‬
‫ג‪ 40% .‬מעובדי החברה הן נשים‪ .‬ל‪ 1 -‬מהנשים יש השכלה גבוהה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫מבין העובדים שיש להם השכלה גבוהה בחרו באקראי שני עובדים‪.‬‬
‫מהי ההסתברות ששני העובדים הם נשים?‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪C‬‬
‫במרובע ‪ BDEC‬המשכי הצלעות ‪ BD‬ו‪CE -‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪ , A‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫נתון כי המרובע ‪BDEC‬‬
‫‪E‬‬
‫הוא בר‪ -‬חסימה במעגל‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. ADE  ACB‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫נתון‪ :‬שטח המשולש ‪ ACB‬גדול פי ‪ 4‬משטח המשולש ‪. ADE‬‬
‫נקודה ‪ F‬נמצאת על הצלע ‪ ED‬כך ש‪. EAF  DAF -‬‬
‫המשך ‪ AF‬חותך את ‪ BC‬בנקודה ‪. G‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬הוכח כי ‪. AEF  ABG‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את היחס ‪EF‬‬
‫‪BG‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי ‪GC  AD‬‬
‫‪.‬‬
‫‪BG AE‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.‬‬
‫נתון משולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ ADC‬שבו ‪. AD  AC‬‬
‫‪D‬‬
‫נקודה ‪ B‬נמצאת על הצלע ‪DC‬‬
‫כך ש‪ AB  BC -‬ו‪) DC  3BC -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את גודל הזוויות במשולש ‪. ADC‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי שטח המשולש ‪ADC‬‬
‫הוא ‪ 16 3‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ BT‬הוא גובה לצלע ‪ AC‬במשולש ‪. ABC‬‬
‫מצא את האורך של הקטע ‪. DT‬‬
‫‪76‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪cos x‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪ f (x)  2x ‬בתחום ‪. 0  x  ‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה )‪? f (x‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬מצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה )‪ , f (x‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬העבירו משיק לגרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫השיפוע של משיק זה הוא המקסימלי מבין השיפועים של כל המשיקים‬
‫לגרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫מצא את הזווית שמשיק זה יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה‪. x -‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪y‬‬
‫בציור שלפניך מוצגת סקיצה של גרף‬
‫הפונקציה‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪12x  x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪, f (x) ‬‬
‫שתחום ההגדרה שלה‬
‫הוא ‪. x  2 3 , 0  x  2 3‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬הישר ‪ y  k‬חותך את גרף‬
‫הפונקציה )‪ f (x‬בשתי נקודות בדיוק‪.‬‬
‫מצא את תחום הערכים של ‪. k‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה ‪, g(x)  12x  x 3‬‬
‫שתחום ההגדר ה שלה הוא ‪. x  2 3 , 0  x  2 3‬‬
‫) ‪ ( 1‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫) ‪ ( 2‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫) ‪ ( 3‬עבור הערכים של ‪ k‬שמצאת בסעיף א'‪ ,‬מצא בכמה נקודות‬
‫חותך הישר ‪ y  k‬את גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫‪77‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתון כי הפונקציה )‪ f (x‬מוגדרת לכל ‪ , x‬ומקיימת‪. f '(x)  x 2  6x  5 :‬‬
‫א‪ .‬הישר ‪ y  10 2‬משיק לגרף הפונקציה )‪ f (x‬בנקודת המקסימום שלה‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה )‪, f (x‬‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫נתון כי הפונקציה )‪ g(x‬מוגדרת לכל ‪ , x‬ומקיימת‪. f '(x)  g '(x) :‬‬
‫ב‪ .‬המרחק בין נקודת המקסימום של )‪ f (x‬לנקודת המקסימום של )‪g(x‬‬
‫הוא ‪ . 1‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה )‪, g(x‬‬
‫וקבע את סוגן‪ .‬מצא את שתי האפשרויות‪.‬‬
‫ג‪ ( 1 ) .‬סרטט באותה מערכת צירים סקיצה של גרף הפונקציה )‪f (x‬‬
‫וסקיצות של שני הגרפים האפשריים של )‪. g(x‬‬
‫) ‪ ( 2‬כמה נקודות פגישה עם ציר ה‪ x -‬יש לכל אחד משלושת הגרפים‬
‫שסרטטת?‬
‫‪78‬‬
‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 18‬קיץ תשע"ד‪ , 2014 ,‬מועד ג ‪:‬‬
‫‪ . 2‬ב‪. 64  (n  2)  2d 2 .‬‬
‫‪ 3 . 1‬שעות‪.‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 25% .‬ב‪. 27 .‬‬
‫‪64‬‬
‫‪ . 5‬א‪. 120 , 30 , 30 .‬‬
‫ג‪. 0.16 .‬‬
‫ג‪. 2  n  66 .‬‬
‫‪ . 4‬ב‪. 1 ( 2 ) .‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ 10.58 .‬ס"מ ‪ 4 7 ‬ס"מ ‪.‬‬
‫‪ . 6‬א‪ . 0  x   .‬ב‪. x   , x  0 ( 1 ) .‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪  4 ; 2  1 (2‬מינימום‪ 34 ; 32  1 ,‬‬
‫מקסימום‪.‬‬
‫)‪(3‬‬
‫ג‪. 45 .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.7‬‬
‫א‪. 0  k  4 .‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬עלייה‪; 0  x  2 :‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪y‬‬
‫ירידה‪ 2  x  2 3 :‬או ‪. x  2 3‬‬
‫) ‪ ( 3‬ב‪ 3 -‬נקודות‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ (1;10 2 ) .‬מקסימום‪ (5;0) ,‬מינימום‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ .‬אפשרות א'‪ (1;11 2 ) :‬מקסימום‪ (5;1) ,‬מינימ ום‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫אפשרות ב'‪ (1;9 ) :‬מקסימום‪ (5; 1) ,‬מינימום‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‪( 1 ) .‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪ ( 2‬לגרף של )‪) f (x‬המצויר בקו מלא( יש שתי נקודות פגישה‬
‫עם ציר ה‪. x -‬‬
‫לגרף העליון של )‪) g(x‬המצויר בקו מקווקו( יש נקודת פגישה‬
‫אחת עם ציר ה‪. x -‬‬
‫לגרף התחתון של )‪) g(x‬המצויר בקו מקווקו( יש ‪ 3‬נקודות‬
‫פגישה עם צ יר ה‪. x -‬‬
‫‪79‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪19‬‬
‫חורף תשע"ה‪2015 ,‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫צ בּ עים ותיקים ו צ בּ עים‬
‫צ בּ ע אחד ותיק ו‪ 2 -‬צ בּ עים‬
‫מתלמדים צריכים לצבוע מספר מסוים של דלתות‪.‬‬
‫מתלמדים יסיימו את הצביעה ב זמן הארוך‬
‫ב‪ 25% -‬מהזמן שבו יסיימו את הצביעה‬
‫‪ 2‬צ בּ עים‬
‫ותיקים‬
‫וצ בּ ע‬
‫אחד‬
‫מתלמד‪ .‬לכל צבע ותיק אותו קצב עבודה בלתי משתנה‪ ,‬ולכל צבע‬
‫מתלמד אותו קצב עבודה בלתי משתנה‪.‬‬
‫)צבע ותיק עובד מהר יותר מצבע מתלמד ‪(.‬‬
‫א‪ .‬מ צא את היחס בין הזמן שצבע מתלמד יסיים לבדו את צביעת הדלתות‬
‫לבין הזמן שצבע ותיק יסיים לבדו את צביעת הדלתות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא כמה צבעים מתלמדים צריכים לעבור עם צבע אחד ותיק‪,‬‬
‫כדי שהם יסיימו את צביעת הדלתות במשך אותו הזמן שבו יסיימו‬
‫את הצביעה ‪ 2‬צבעים ותיקים וצבע אחד מתלמד‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫סדרה מוגדרת לכל ‪ n‬טבעי על ידי הכלל‪:‬‬
‫‪a1  4‬‬
‫‪a n  a n 1  4n  2‬‬
‫א‪ .‬אם בסדרה יש ‪ 100‬איברים‪ ,‬מצא את הסכום של שני האיברים‬
‫העומדים במקומות האמצעיים בסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי איברי הסדרה העומדים במקומות אי‪ -‬זוגיים מהווים‬
‫סדרה חשבונית‪ ,‬וגם איברי הסדרה העומדים במקומות זוגיים‬
‫מהווים סדרה חשבונית‪.‬‬
‫אם בסדרה יש ‪ 101‬איברים‪ ,‬מצא‪:‬‬
‫ג‪ .‬את האיבר העומד באמצע הסדרה‪.‬‬
‫ד‪ .‬את הסכום של כל איברי הסדרה‪.‬‬
‫‪80‬‬
‫‪.3‬‬
‫ביישוב גדול ‪ 1‬מהתושבים הם נשים‪ ,‬והשאר הם גברים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫מבין התושבים בוחרים באקראי שתי קבוצות‪:‬‬
‫קבוצה של ‪ 4‬אנש ים )נשים‪/‬גברים( לריאיון ברדיו‬
‫וקבוצה של ‪ 4‬אנשים )נשים‪/‬גברים( לריאיון בטלוויזיה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות שבכל קבוצה יש בדיוק ‪ 2‬גברים?‬
‫ב‪ .‬ידוע כי בקבוצה שנבחרה לריאיון ברדיו היו לכל היותר ‪ 2‬גברים‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהיו בקבוצה זו בדיוק ‪ 2‬גברים?‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫במקבילית ‪ ABCD‬הנקודה ‪ E‬נמצאת‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫על הצלע ‪ . AD‬המשך ‪ BE‬חותך‬
‫‪E‬‬
‫את המשך ‪ CD‬בנקודה ‪) F‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪ :‬שטח המשולש ‪ABE‬‬
‫הוא ‪ 27‬סמ"ר‪.‬‬
‫שטח המשולש ‪ DFE‬הוא ‪ 48‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את שטח המשולש ‪. BED‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי המרובע ‪ BCDE‬הוא בר חסימה במעגל‪.‬‬
‫מצא את היחס ‪AB‬‬
‫‪.‬‬
‫‪EF‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.5‬‬
‫אלכסוני הטרפז ‪ ABCD‬מאונכים זה לזה‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫ונפגשים בנקודה ‪. M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ E‬היא אמצע השוק ‪) BC‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. DC  a , ACB   , ACD   :‬‬
‫‪E‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪  , a‬ו‪ -‬‬
‫את האורך של ‪. ME‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪tan  1‬‬
‫נתון‪ :‬‬
‫‪tan  3‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ 6.6 ,‬ס"מ ‪. a ‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האורך של ‪. AB‬‬
‫נתון גם‪ 1.3 :‬ס"מ ‪. BM ‬‬
‫ג‪ .‬מצא את הזווית ‪. DCB‬‬
‫‪81‬‬
‫‪D‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קצ יות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונות שתי פונקציות‪f (x)  0.5sin(2x)  cos x :‬‬
‫)‪g(x)  sin(2x‬‬
‫בתחום ‪. 0  x  2‬‬
‫‪y‬‬
‫בתחום הנתון הגרפים‬
‫של הפונקציות נפ גשים‬
‫בשתי נקודות‪ A ,‬ו‪, B -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫הנמצאות על ציר ה‪, x -‬‬
‫‪A‬‬
‫כמתואר בציור‪.‬‬
‫א‪ .‬דרך נקודה על ציר ה‪, x -‬‬
‫הנמצאת בין הנקודות ‪ A‬ו‪ , B -‬מעבירים אנך לציר ה‪. x -‬‬
‫האנך חותך את הגרפים של הפונקציות )‪ f (x‬ו‪ g(x) -‬בנקודות ‪ M‬ו‪. N -‬‬
‫מצא את האורך המקסימלי של הקטע ‪. MN‬‬
‫‪ , 0  x  ‬מעבירים אנך‬
‫ב‪ .‬דרך נקודה על ציר ה‪ , x -‬הנמצאת בתחום ‪2‬‬
‫לציר ה‪. x -‬‬
‫האנך חותך את הגרפים של הפונ קציות )‪ f (x‬ו‪ g(x) -‬בנקודות ‪ K‬ו‪. L -‬‬
‫מצא את האורך המקסימלי של הקטע ‪. KL‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪x‬‬
‫נתונות הפונקציות‬
‫‪1 x2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3x 2  2‬‬
‫‪f (x) ‬‬
‫‪g(x) ‬‬
‫א‪ .‬מצא עבור כל אחת מהפונקציות‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬את תחום ההגדרה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬את האסימפטוטות המאונכות לצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬את השיעורים של נקודות הקיצון )אם יש כאלה(‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט במערכת צירים אחת סקיצה של גרף הפונקציה )‪f (x‬‬
‫וסקיצה של גרף הפונקציה )‪ , g(x‬אם ידוע כי הפונקציות נחתכות‬
‫בנקודה אחת בלבד‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתונה הפונקציה ‪. k  0 , h(x)  g(x)  k‬‬
‫עבור אילו ערכים של ‪ k‬אין לפונקציה )‪ h(x‬נקודות חיתוך עם‬
‫הפונקציה )‪ ? f (x‬נמק‪.‬‬
‫‪82‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתון כי הפונקציה )‪ f (x‬ופונקציית הנגזרת שלה )‪f '(x‬‬
‫)‪f '(x‬‬
‫מקיימות ‪dx  3‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫נתון גם‪ k . f (0)  1 , f '(x)  kx  2 :‬הוא פרמטר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך המספרי של )‪ , f (3‬ומצא את הפונקציה )‪f (x‬‬
‫)בלי פרמטרים(‪.‬‬
‫ב‪ .‬הפונקציה )‪ g(x‬מקיימת )‪. g(x)  f (x‬‬
‫) ‪ ( 1‬הראה כי |‪. g(x)  | x  1‬‬
‫) ‪ ( 2‬סרטט במערכת צירים אחת סקיצה של גרף הפונקציה )‪g(x‬‬
‫וסקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫תש ובות למבחן בגרות מספר ‪ – 19‬חורף תשע"ה‪: 2015 ,‬‬
‫‪ . 1‬א‪ .‬יחס הזמנים הוא ‪. 2‬‬
‫ב‪ 3 .‬צבעים מתלמדים‪.‬‬
‫ד‪. S101  10,304 .‬‬
‫‪ . 2‬א‪ . a 50  a 51  202 .‬ב‪ . a n  2  a n  4 .‬ג‪. a 51  104 .‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 64 .‬ב‪. 8 .‬‬
‫‪ . 4‬א‪ 36 .‬סמ"ר‪ .‬ב‪ 3 .‬‬
‫‪11‬‬
‫‪729‬‬
‫‪EF 4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪ . 5‬א‪ .‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . ME ‬ב‪ 2.2 .‬ס"מ ‪ . AB ‬ג‪ . 6 . 49.94 .‬א‪ 1.299 .‬‬
‫‪ .‬ב‪. 1 .‬‬
‫‪2cos ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ . 7‬א‪ : g(x) , x  0 : f (x) ( 1 ) .‬כל ‪. x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫) ‪. y  0 : g(x) , y  0 : f (x) ( 2‬‬
‫) ‪ (0;0) : f (x) ( 3‬מינימום‪,‬‬
‫‪ 12 ‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫;‪ 1‬מקסימום‪.‬‬
‫)‪: g(x‬‬
‫ג‪1 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 12 ‬‬
‫;‪ 0‬מקסימום‪.‬‬
‫‪. k‬‬
‫‪ . 8‬א‪. f (x)  x 2  2x  1 , f (3)  16 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪. g(x)  f (x)  x  2x  1  (x  1)  | x  1| ( 1 ) .‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪g(x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪83‬‬
‫)‪g(x‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪20‬‬
‫קיץ תשע"ה‪ ,2015 ,‬מועד א‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫מכונית ‪ I‬ומכונית ‪ II‬יצאו באותו זמן מאותו מקום ולאותו כיוון‪.‬‬
‫המהירו ת של מכונית ‪ I‬הייתה ‪ 50‬קמ"ש‪ ,‬והמהירות של מכונית ‪II‬‬
‫הייתה ‪ 40‬קמ"ש‪ .‬כעבור חצי שעה מרגע היציאה של שתי המכוניות‪,‬‬
‫יצאה גם מכונית ‪ III‬מאותו מקום ולאותו כיוון‪.‬‬
‫ברגע שמכונית ‪ III‬פגשה במכונית ‪ , II‬המרחק בין מכונית ‪ I‬למכונית ‪II‬‬
‫היה ‪ 15‬ק"מ‪ .‬המהירויות של כל המכוניות היו קבועות‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את המהירות של מכונית ‪. III‬‬
‫ב‪ .‬האם ייתכן שאחרי הפגישה בין מכונית ‪ III‬למכונית ‪ , II‬יהיה המרחק‬
‫בין מכונית ‪ III‬למכונית ‪ I‬שווה למרח ק בין מכונית ‪ II‬למכונית ‪? I‬‬
‫נמק‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫נתונה סדרה הנדסית אין‪ -‬סופית יורדת‬
‫שכל איבריה חיוביים‪. a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ... :‬‬
‫‪2‬‬
‫כל איבר בסדרה זו )חוץ מהראשון( הוא ‪5‬‬
‫מסכום שני האיברים הסמוכים לו‪ ,‬אחד לפניו ואחד אחריו‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את המנה של הסדרה ‪. a n‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הסדרה‬
‫‪a n 1‬‬
‫‪(a n ) 2‬‬
‫‪. bn ‬‬
‫) ‪ ( 1‬הוכח כי הס דרה ‪ b n‬היא סדרה הנדסית‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬סכום עשרת האיברים הראשונים בסדרה ‪ b n‬הוא ‪. 20, 460‬‬
‫מצא את סכום כל האיברים בסדרה ‪. a n‬‬
‫‪84‬‬
‫‪.3‬‬
‫נתונה קבוצה של ספרות שונות‪:‬‬
‫‪ 3‬ספרות הן זוגיות )שונות מ‪ ( 0 -‬והשאר הן ספרות אי‪ -‬זוגיות‪.‬‬
‫יוני יוצר מספר דו ספרתי מן הספרות שבקבוצה הנתונה באופן זה‪:‬‬
‫הספרה הראשונה שיוני בוחר באקראי היא ספרת העשרות‪,‬‬
‫והספרה השנייה שהוא בוחר באקראי היא ספרת היח ידות‪.‬‬
‫יוני בוחר כל ספרה בדיוק פעם אחת בלי החזרה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫א‪ .‬נתון כי ההסתברות שיוני ייצור מספר אי‪ -‬זוגי היא ‪. 7‬‬
‫מהו מספר הספרות האי‪ -‬זוגיות בקבוצה הנתונה?‬
‫ב‪ .‬אם ידוע שהמספר שנוצר הוא זוגי‪ ,‬מהי ההסתברות ששתי הספרות‬
‫שיוני ב חר הן זוגיות?‬
‫אמילי יוצרת מספר תלת‪ -‬ספרתי מן הספרות שבקבוצה הנתונה באופן זה‪:‬‬
‫הספרה הראשונה שאמילי בוחרת באקראי היא ספרת המאות‪,‬‬
‫הספרה השנייה שהיא בוחרת באקראי היא ספרה העשרות‪,‬‬
‫והספרה השלישית שהיא בוחרת באקראי היא ספרת היחידות‪.‬‬
‫אמילי בוחרת כל ספרה בדיו ק פעם אחת בלי החזרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬ידוע כי הספרה הראשונה שאמילי בחרה היא זוגית‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שבמספר התלת‪ -‬ספרתי שאמילי יצרה‪,‬‬
‫סכום הספרות היה זוגי?‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪ PA‬ו‪ PB -‬משיקים למעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪P‬‬
‫המשך ‪ BO‬חותך את המעגל בנקודה ‪D‬‬
‫)ראה ציור(‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. PO  AD :‬‬
‫הנקודה ‪ C‬נמצאת על הקוטר ‪ DB‬כך ש‪. AC  DB -‬‬
‫ב‪ .‬הוכח‪. ADC  POB :‬‬
‫‪ PD‬חותך את ‪ AC‬בנקודה ‪. E‬‬
‫ג‪ .‬הוכח‪. DEC  DPB :‬‬
‫ד‪ .‬הוכח‪. AC  2EC :‬‬
‫‪85‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪C‬‬
‫נתון טרפז ‪. (BC  AD) ABCD‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על המשך ‪AD‬‬
‫כך ש‪) CE  BD -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪, CAD  2DBC :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. DB  1.8AC‬‬
‫א‪ .‬מצא את גודל הזווית ‪. CEA‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי שטח המשולש ‪ ACE‬הוא ‪ 87.873‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫מצא את גובה הטרפז‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬ט גרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ f (x)  sin x‬ונתון התחום ‪0  x  3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪cos 2x‬‬
‫‪y‬‬
‫)ראה ציור(‪.‬‬
‫ענה על הסעיפים א‪ ,‬ב ו‪ -‬ג עבור התח ום הנתון‪.‬‬
‫א‪ ( 1 ).‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות האנכיות‬
‫של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫) ‪ ( 3‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון‬
‫של הפונקציה )‪ , f (x‬וקבע את סוגן על פי הציור‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬
‫ג‪ .‬נתונה הפונקציה )‪ g(x‬המקיימת )‪. g(x)  2f (x)  f '(x‬‬
‫מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪, g(x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.x‬‬
‫על ידי ציר ה‪ -‬ועל ידי הישר ‪6‬‬
‫‪86‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪(x  2) 2‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪(x  1) 3‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬מצא א ת נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫) ‪ ( 5‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬לפונקציה )‪ f (x‬יש שתי נקודות פיתול בלבד‪.‬‬
‫על סמך הגרף של הפונקציה )‪ , f (x‬ציין באיזה תחום נמצאת כל אחת‬
‫מנקודות אלה‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם השטח‪ ,‬המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ f (x‬ועל ידי הצירים‪,‬‬
‫גדול מ‪ , 4 -‬קטן מ‪ 4 -‬או שווה ל‪ ? 4 -‬נמק‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪ a , f (x)  1 x 3  a 2 x  a 2‬הוא פרמטר גדול מ‪. 0 -‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ .‬הראה כי המקסימום של הפונקציה מתקבל בנקודה שבה ‪. y  0‬‬
‫ב‪ .‬מצא עבור איזה ערך‪/‬איזה תחום ערכים של ‪ a‬נקודת המינימום‬
‫של הפונקציה‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬נמצאת על ציר ה‪. x -‬‬
‫) ‪ ( 2‬נמצאת מעל ציר ה‪. x -‬‬
‫) ‪ ( 3‬נמצאת מתחת לציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור כל אחד מש לושת המקרים‬
‫שבסעיף ב‪.‬‬
‫ד‪ .‬כמה פתרונות יש למשוואה ‪ ? 1 x 3  x  1  0‬נמק‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪87‬‬
‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 20‬קיץ תשע"ה‪ , 2015 ,‬מועד א ‪:‬‬
‫‪ . 1‬א‪ 60 .‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪ . 2‬א‪ . 1 .‬ב‪ ( 1 ) .‬הוכחה‪ .‬מנת הסדרה ‪ b n‬היא ‪. 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ . 3‬א‪ 4 .‬ספרות אי‪ -‬זוגיות‪ .‬ב‪. .‬‬
‫‪15‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ .‬לא ייתכן‪.‬‬
‫‪ . 5‬א‪ . 25.84 .‬ב‪ 7.845 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ 0  x  ‬או ‪.   x  3‬‬
‫‪ . 6‬א‪4 ( 1 ) .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪. 1 (2‬‬
‫‪20‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪.‬‬
‫) ‪. x  34 , x   ( 2‬‬
‫‪4‬‬
‫) ‪ (0;0) ( 3‬מינימום‪,‬‬
‫‪ 2 ; 1‬‬
‫מקסימום‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪. 1 .‬‬
‫‪ . 7‬א‪. (0;  4) , (2;0) ( 3 ) . y  0 , x  1 ( 2 ) . x  1 ( 1 ) .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ (2;0) ( 4‬מקסימום‪4 ,‬‬
‫‪ 8;  81‬מינימום‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ‬‬
‫ב‪ .‬נקודת פיתול אחת נמצאת בתחום ‪, x  8‬‬
‫ונקודת פיתול שנייה בתחום ‪. 8  x  2‬‬
‫ג‪ .‬השטח קטן מ‪. 4 -‬‬
‫‪.8‬‬
‫א‪ .‬שיעור ה‪y -‬‬
‫בנקודת המקסימום הוא ‪. 2 a 3  a 2‬‬
‫‪3‬‬
‫מאחר ו‪ a  0 -‬שיעור ה‪ y -‬הוא חיובי‪.‬‬
‫ב‪. 0  a  1.5 ( 2 ) . a  1.5 ( 1 ) .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫עבור ‪: a  1.5‬‬
‫) ‪. a  1.5 ( 3‬‬
‫עבור ‪: 0  a  1.5‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫עבור ‪: a  1.5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪ .‬פתרון אחד‪.‬‬
‫‪88‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪21‬‬
‫קיץ תשע"ה‪ ,2015 ,‬מועד ב‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫בזמן ה נסיעה באוטובוס הבחין יוסי ברגע מסוים באימא שלו‪,‬‬
‫ה הולכת ליד האוטובוס בכיוון הפוך לכיוון הנסיעה של האוטובוס‪.‬‬
‫כעבור ‪ 10‬שניות מ ה רגע שיוסי הבחין באימו‪ ,‬עצר האוטובוס בתחנה‪,‬‬
‫ויוסי רץ מיד כדי להשיג את אימו‪.‬‬
‫מהירות הריצה של יוסי גדולה פי ‪ 2‬ממהירות ההליכה של אימו‪,‬‬
‫‪ 1‬ממהירות הנסיעה של האוטובוס‪.‬‬
‫והיא ‪7‬‬
‫כל המהירויות הן קבועות‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה זמן רץ יוסי כדי להשיג את אימו?‬
‫ברגע שיוסי השיג את אימו‪ ,‬הם הלכו יחד ‪ 3‬דקות במהירות ההליכה‬
‫של אימו )בכיוון ההליכה שלה(‪.‬‬
‫מיד בתום ‪ 3‬הדקות רץ יוסי בחזרה לתחנת האוטובוס שירד בה‪.‬‬
‫)מהירות הריצה של יו סי היא כמו בסעיף א‪(.‬‬
‫ב‪ .‬כמה זמן רץ יוסי בחזרה לתחנת האוטובוס?‬
‫‪.2‬‬
‫‪1‬‬
‫נתונה סדרה ‪ b n‬המקיימת את הכלל‬
‫‪2n  b n‬‬
‫‪. b n 1 ‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי האיברים העומדים במקומות האי‪ -‬זוגיים בסדרה מהווים‬
‫סדרה הנדסית‪ ,‬וגם האיברים העומדים במק ומות הזוגיים מהווים‬
‫סדרה הנדסית‪.‬‬
‫ב‪ .‬סכום ‪ 8‬האיברים הראשונים בסדרה ‪ b n‬שווה ל‪. 3 7 -‬‬
‫‪16‬‬
‫מצא את ‪) b1‬מצא את שתי האפשרויות(‪.‬‬
‫‪89‬‬
‫‪.3‬‬
‫חוקר עורך מחקר על הרגלי ה אכילה של סטודנטים באוניברסיטה גדולה‬
‫במשך יום לימודים‪.‬‬
‫חלק מהסטודנטים מביאים תמיד אוכל מהבית‪ ,‬והשאר אינם מביאים‬
‫אוכל מהבית‪ .‬כל הסטודנטים שמביאים אוכלים מהבית אוכלים אותו‬
‫במשך היום ואינם אוכלים בקפטריה‪.‬‬
‫הסטודנטים שאינם מביאים אוכל מהבית אוכלים בקפטריה או אינם‬
‫אוכלים במשך היום‪.‬‬
‫א‪ .‬נמצא כי אם בוחרים באקראי ‪ 4‬סטודנטים‪ ,‬ההסתברות שבדיוק ‪2‬‬
‫מהם מביאים אוכל מהבית גדולה פי ‪ 6‬מההסתברות שבדיוק ‪ 1‬מהם‬
‫מביא אוכל מהבית‪.‬‬
‫) ‪ ( 1‬מהו אחוז הסטודנטים שמביאים אוכל מהבית?‬
‫) ‪ ( 2‬החוקר בחר באקראי ‪ 8‬סטודנטים באוניברסיטה‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שלפחות אחד מהם מביא אוכל מהבית‪,‬‬
‫אבל לא כולם?‬
‫ב‪ .‬נמצא כי ‪ 60%‬מהסטודנטים שאינם מביאים אוכל מהבית אינם אוכלים‬
‫במשך היום‪.‬‬
‫) ‪ ( 1‬מהו אחוז הסטודנטים באוניברסיטה שאוכלים בקפטריה?‬
‫) ‪ ( 2‬מהי ההסתברות לבחור סטודנט שמביא אוכל מהבית‬
‫מבין הסטודנטים שאוכלים במשך היום?‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל שמרכזו ‪. O‬‬
‫‪B‬‬
‫הצלע ‪ AB‬היא קוטר‪.‬‬
‫‪ E‬היא נקודה על המשך ‪ AD‬כ ך ש‪. CE  AE -‬‬
‫‪O‬‬
‫א‪ .‬הוכח‪. CDE  ABC :‬‬
‫‪SCDE 1‬‬
‫נתון גם‪ , OD  AC :‬‬
‫‪SABC 4‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי ‪. OC  AD‬‬
‫‪E‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי ‪ CE‬משיק למעגל‪.‬‬
‫‪90‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.5‬‬
‫מעגל שרדיוסו ‪ r‬חסום בטרפז שווה‪ -‬שוקיים‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ , (AB  DC) ABCD‬כמתואר בציור‪.‬‬
‫נתון‪. BCD  70 :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪: r‬‬
‫) ‪ ( 1‬את הבסיס הגדול של הטרפז‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬את שוק הטרפז‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫) ‪ ( 3‬את אלכסון הטרפז‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את היחס בין רדיוס המעגל החסום בטרפז‬
‫ובין רדיוס המעגל החוסם את הטרפז‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלו ת ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪ , f (x) ‬ונתון התחום ‪.    x  ‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪sin x cos x‬‬
‫‪1‬‬
‫בתחום הנתון ענה על הסעיפים א ו‪ -‬ב‪.‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫) ‪ ( 2‬האם הפונקציה )‪ f (x‬הי א פונקציה זוגית או אי‪ -‬זוגית? נמק‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה )‪, f (x‬‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה ‪. g(x)  f (x)  a‬‬
‫) ‪ ( 1‬מצא את הערכים האפשריים של ‪ a‬שעבורם יש למשוואה‬
‫‪ f (x)  a  0‬פתרון אחד בלבד‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪ g(x‬עבור כל אחד מהערכים‬
‫של ‪ a‬שמצאת בתת סעיף ב ) ‪.( 1‬‬
‫‪91‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה פונקציית הנגזרת‬
‫‪x‬‬
‫‪. f '(x) ‬‬
‫‪x2  9‬‬
‫הישר ‪ y  1 x  3‬חותך את הגרף של הפונקציה )‪ f (x‬בנקודה שבה ‪. x  0‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ .‬מ צא את הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬מהו תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת )‪ f '(x‬ושל הפונקציה )‪? f (x‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של פונקציית‬
‫הנגזרת )‪. f '(x‬‬
‫) ‪ ( 3‬מצא את נקודות החיתוך של גרף פונקציית הנגזרת )‪f '(x‬‬
‫עם הצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬מצא את תחומי העלייה והירידה של פונקציית הנגזרת )‪f '(x‬‬
‫)אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 5‬סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬
‫) ‪ ( 6‬הוסף לסקיצה שסרטט ת בתת‪ -‬סעיף ב ) ‪ ( 5‬סקיצה של גרף‬
‫הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬נתונות שתי משוואות‪ I ,‬ו‪ k : II -‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x2  9‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  9  k , I.‬‬
‫‪II.‬‬
‫נתון כי ‪. k  0‬‬
‫מצא את תחום הערכים של ‪ k‬שעבורם אין פתרון למשוואה ‪I‬‬
‫וגם אין פתרון למשוואה ‪. II‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתו נה הפונקציה )‪ , f (x‬ונתון כי כל אחת מהפונקציות )‪ f '(x) , f (x‬ו‪f "(x) -‬‬
‫מוגדרת בתחום ‪. x  0‬‬
‫נתון גם‪ :‬הגרף של )‪ f '(x‬חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪, x  1‬‬
‫)‪ f '(x‬עולה בתחום ‪ , 0  x  3‬ויורדת בתחום ‪, x  3‬‬
‫האסימפטוטות של )‪ f '(x‬הן ‪ x  0‬ו‪. y  0 -‬‬
‫א‪ .‬סרטט סקיצה של פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬
‫נתון גם כי לפונקציה )‪ f (x‬יש אסימפטוטה אחת שמשוואתה ‪. x  0‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של נקודות הקיצון של הפונקציה )‪f (x‬‬
‫)אם יש כאלה(‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה ‪ ‬וכלפי מטה ‪‬‬
‫של הפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬הפ ונקציה )‪ f (x‬מקבלת את כל הערכים בטווח ‪ y  4‬ורק אותם‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ציין על ציר ה‪ x -‬ועל ציר ה‪ y -‬את הערכי ם שמצאת‪.‬‬
‫ה‪ .‬נתונה הפונקציה ‪. g(x)    f (x) ‬‬
‫‪3‬‬
‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫‪92‬‬
‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 21‬קיץ תשע"ה‪ , 2015 ,‬מועד ב‪:‬‬
‫‪ . 1‬א‪ 150 .‬שניות‪ .‬ב‪ 240 .‬שניות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . 2‬א‪ .‬הוכחה ) ‪ . (q  1‬ב‪ b  1 .‬או ‪. b  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 0.8322 ( 2 ) . 80% ( 1 ) .‬ב‪. 10 ( 2 ) . 8% ( 1 ) .‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ . 5‬א‪ . 2.92r ( 3 ) . 2.128r ( 2 ) . 2.856r ( 1 ) .‬ב‪. 0.6435 .‬‬
‫‪ . 6‬א‪ 0  x   ( 1 ) .‬או ‪.    x  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪  4 ;2‬מינימום‪  4 ; 2 ,‬‬
‫) ‪ ( 2‬אי‪ -‬זוגית‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(4‬‬
‫מקסימום‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪( 2 ) . a  2 , a  2 ( 1 ) .‬‬
‫‪a  2‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪x 2  9 .‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫ב‪ - f '(x) ( 1 ) .‬כל ‪ - f (x) ; x‬כל ‪. x‬‬
‫) ‪. (0;0) ( 3 ) . y  1 , y  1 ( 2‬‬
‫) ‪ ( 4‬עליי ה‪ :‬כל ‪ ; x‬ירידה‪ :‬אין‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪. 1  k  3 .‬‬
‫‪ . 8‬א‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ x  1 .‬מינימום‪.‬‬
‫ג‪. x  3 :  ; 0  x  3 :  .‬‬
‫ה‪ .‬עלייה‪ ; 0  x  1 :‬ירידה‪. x  1 :‬‬
‫‪93‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪22‬‬
‫חורף תשע"ו‪2016 ,‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫רוכב אופניים ורוכב אופנוע יצאו באותו רגע זה לקראת זה משני‬
‫יישובים שונים‪ .‬הם נפגשו כעבור ‪ 3‬שעות‪.‬‬
‫‪ 2‬מהדרך שבין שני היישובים ב‪ 1.25 -‬שעות פחות‬
‫רוכב האופנוע עובר ‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫מהדרך שבין שני היישובים‪.‬‬
‫מהזמן שרוכב האופניים עובר ‪4‬‬
‫מהירויות הרוכבים אינן משתנות‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא פי כמה המהירות של רוכב האופנוע גדולה מן המהירות‬
‫של רוכב האופניים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא בכמה שעות עובר רוכב האופנוע את כל הדרך שבין שני היישובים‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫נתונה סדרה הנדסית עולה‪a1 , a 2 , a 3 , ... , a n , ... :‬‬
‫ההפרש בין האיבר הר ביעי בסדרה לאיבר השלישי גדול פי ‪4‬‬
‫מההפרש בין האיבר השני לאיבר הראשון‪.‬‬
‫האיבר השישי בסדרה גדול ב‪ 31 -‬מהאיבר הראשון‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה‪ ,‬ואת האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהסדרה הנתונה בנו שתי סדרות חדשות‪ I ,‬ו‪: II -‬‬
‫‪I. a1  a 2 , a 2  a 3 , a 3  a 4 , ... , a n  a n 1 , a n 1  a n 2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a 2 a3‬‬
‫‪, 3  4 , 4  5 , ... , n 1  n  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪an‬‬
‫‪a n 1‬‬
‫‪a 2 a3 a3 a 4‬‬
‫‪a1 a 2‬‬
‫‪II.‬‬
‫) ‪ ( 1‬האם כל אחת מהסדרות החדשות היא סדרה הנדסית עולה? נמק‪.‬‬
‫הסכום של כל האיברים בסדרה ‪ I‬הוא ‪. 2730‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את מספר האיברים בסדרה ‪. I‬‬
‫) ‪ ( 3‬מצא את הסכום של כל האיברים בסדרה ‪. II‬‬
‫‪94‬‬
‫‪.3‬‬
‫במכונת מזל אפ שר לזכות ב‪ 50 -‬שקל‪ ,‬ב‪ 100 -‬שקל או לא לזכות כלל‪.‬‬
‫דן משחק ‪ 5‬משחקים במכונה זו‪.‬‬
‫ההסתברות שדן יזכה ב‪ 50 -‬שקל בדיוק פעמיים שווה להסתברות‬
‫שהוא יזכה ב‪ 50 -‬שקל בדיוק פעם אחת‪.‬‬
‫)ההסתברות לזכות ב‪ 50 -‬שקל שונה מאפס‪(.‬‬
‫ההסתברות שדן לא יזכה באף משחק היא ‪. 1‬‬
‫‪32‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות שדן יזכה ב‪ 50 -‬שקל במשחק בודד?‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שדן יזכה ב‪ 100 -‬שקל במשחק בודד?‬
‫ג‪ .‬ידוע כי לאחר שדן שיחק שני משחקים הוא זכה סך הכול ב‪ 100 -‬שקל‬
‫בדיוק‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שהוא לא זכה ב‪ 50 -‬שקל באף אחד משני המשחקים?‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וט ריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪B‬‬
‫בריבוע ‪ ABCD‬הנקודה ‪E‬‬
‫נמצאת על הצלע ‪) AD‬ראה ציור(‪.‬‬
‫מעגל העובר דרך הנקודות ‪ D , E‬ו‪C -‬‬
‫חותך את האלכסון ‪ BD‬בנקודה ‪, M‬‬
‫ואת הצלע ‪ BC‬בנקודה ‪. N‬‬
‫הנקודה ‪ M‬נמצאת בין הקדקוד ‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫ובין נקודת החיתוך של ‪ BD‬עם ‪. CE‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. CD  EN‬‬
‫ב‪ .‬האם הקטע ‪ DM‬קצר מהקטע ‪ , CE‬ארוך ממנו או שווה לו? נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי ‪. BM  BD  AE  AD‬‬
‫‪95‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.5‬‬
‫במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ (AB  AC) ABC‬זווית הבסיס היא ‪. 2‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא מפגש חוצי‪ -‬הזווית‬
‫‪A‬‬
‫במשולש ‪ . ABC‬המשך ‪ CE‬חותך‬
‫את הצלע ‪ AB‬בנקודה ‪) D‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪3 :‬‬
‫‪EC ‬‬
‫‪DE 2sin ‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. ‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪. BAC  90 ,‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬מצא את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ABC‬‬
‫ובין רדיוס המעגל החסום במשולש ‪. ABC‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי ההפרש בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ABC‬‬
‫ובין רדיוס המעגל החסום במשולש ‪ ABC‬הוא ‪ 2‬ס"מ ‪.‬‬
‫מצא את אורך הקטע ‪. AE‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונה הפונקציה )‪ f (x)  a  sin 2 x  b  cos(4x‬בתחו ם ‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ a‬ו‪ b -‬הם פרמטרים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫לפונקציה )‪ f (x‬יש קיצון בנקודה שבה ‪ . x  3‬נתון כי ‪. b  0‬‬
‫‪.0x‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪) b‬במידת הצורך( את השיעורים של נקודות הקיצון‬
‫של הפונקציה )‪ f (x‬בתחום הנתון‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪ f (x‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת )‪ f '(x‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ד‪ ( 1 ) .‬מצא את הערך של האינטגרל ‪f "(x) dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ , ‬הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה )‪f "(x‬‬
‫) ‪ ( 2‬בתחום ‪ x  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה אחת שבה ‪. x  k‬‬
‫‪ , ‬השטח המוגבל על ידי הגרף של )‪, f "(x‬‬
‫בתחום ‪2  x  k‬‬
‫‪ , x  ‬שווה ל‪. S -‬‬
‫על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי הישר ‪2‬‬
‫הבע באמצעות ‪ S‬את השטח המוגבל על ידי הגרף של )‪, f "(x‬‬
‫על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי הישר ‪ x  2‬בתחום ‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫הערה‪ :‬אין צורך למצוא את )‪. f "(x‬‬
‫‪96‬‬
‫‪ . k  x ‬נמק‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 x‬‬
‫‪f (x) ‬‬
‫‪2x  3‬‬
‫)‪x(3  x‬‬
‫‪g(x) ‬‬
‫נתונות הפונקציות ‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫)ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את תחום ההגדרה‬
‫של הפונקציה )‪, f (x‬‬
‫ואת תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫‪x‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות המאונכות לצירים‬
‫של הפונקציה )‪, f (x‬‬
‫ואת האסימפטוטות המאונכות לצ ירים‬
‫של הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות )‪ f (x‬ו‪, g(x) -‬‬
‫על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי הישר ‪. x  1‬‬
‫ג‪ .‬נתונות הפונקציות ‪2x  3  2 , h(x)  1  2‬‬
‫)‪x(3  x‬‬
‫‪3 x‬‬
‫‪, t(x) ‬‬
‫‪ S1‬הוא השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות )‪ f (x‬ו‪g(x) -‬‬
‫ועל ידי הישר ‪. x  2.5‬‬
‫‪ S2‬הוא השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות )‪ h(x‬ו‪t(x) -‬‬
‫ועל ידי הישר ‪. x  2.5‬‬
‫האם השטח ‪ S1‬גדול מהשטח ‪ , S2‬קטן ממנו או שווה לו? נמק‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪x  1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪) f (x) ‬ראה ציור(‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪,‬‬
‫ואת האסימפטוטות של הפונקציה‬
‫המקבילות לצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬העבירו ישר המקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫הישר חותך את גרף הפונקציה )‪f (x‬‬
‫‪x‬‬
‫בנקודה ‪ C‬ואת הישר ‪ y  2x‬בנקודה ‪. D‬‬
‫נסמן את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ C‬ב‪. t -‬‬
‫מצא מה צריך להיות הערך של ‪, t‬‬
‫כדי שהאורך של הקטע ‪ CD‬יהיה מינימלי‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬עבור ‪ ( 2 ) . t  1‬עבור ‪. t  1‬‬
‫ג‪ .‬מצא את האורך המינימלי של הקטע ‪ CD‬עבור כל ‪. t  1‬‬
‫‪97‬‬
‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 22‬חורף תשע" ו ‪: 2016 ,‬‬
‫‪ . 1‬א‪ .‬פי ‪. 4‬‬
‫ב‪ 3.75 .‬שעות‪.‬‬
‫‪ . 2‬א‪. a1  1 , q  2 .‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬סדרה ‪ ‬הנדסית עולה )המנה שלה היא ‪,( 4‬‬
‫סדרה ‪ ‬היא סדרה קבועה‪ ,‬אינה סדרה הנדסית עולה‪.‬‬
‫) ‪ 6 ( 2‬איברים‪. 20 ( 3 ) .‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 1 .‬ב‪ . 1 .‬ג‪. 53 .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . 4‬ב‪ DM .‬קצר מ‪. CE -‬‬
‫‪ . 5‬א‪ .   20 .‬ב‪ . 2.79 .‬ג‪ 1.459 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ . 6‬א‪ (0;b) .‬מינימום‪,‬‬
‫‪ 23  ; 3 12 b ‬‬
‫‪ 3 ; 3 b ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫מקסימום‪,‬‬
‫‪ 2 ; 3b‬‬
‫מינימום‪,‬‬
‫מקסימום‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪. S ( 2 ) . 0 ( 1 ) .‬‬
‫‪ . 7‬א‪. 0  x  3 : g(x) , x  3 : f (x) ( 1 ) .‬‬
‫) ‪. x  3 , y  0 : f (x) ( 2‬‬
‫)‪. x  3 , x  0 : g(x‬‬
‫ב‪. 0.6945 .‬‬
‫ג‪. S1  S2 .‬‬
‫‪ . 8‬א‪ .‬תחום הגדרה‪. x  1 :‬‬
‫אסימפטוטה אנכית‪. x  1 :‬‬
‫אסימפטוטה אופקית‪. y  1 :‬‬
‫ב‪. t  2 ( 2 ) . t  0 ( 1 ) .‬‬
‫ג‪. 12 .‬‬
‫‪98‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪23‬‬
‫קיץ תשע"ו‪2016 ,‬‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫שתי מכוניות יצאו באותו זמן מעיר א' לעיר ב'‪.‬‬
‫המרחק בין שתי הערים הוא ‪ 300‬ק"מ‪.‬‬
‫המכונית הראשונה נסעה במהירות הגדולה ב‪ 25 -‬קמ"ש מהמהירות‬
‫של המכונית השנייה‪ .‬כעבור ‪ 1.5‬שעות מרגע היציאה מעיר א'‪,‬‬
‫הקטינה המכונית הראשונה את מהירותה לחצי ממהירותה הקודמת‪,‬‬
‫והגיעה לע יר ב' ‪ 1‬שעה אחרי המכונית השנייה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מצא את המהירות של המכונית השנייה אם ידוע שמהירותה‬
‫גדולה מ‪ 60 -‬קמ"ש‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא כעבור כמה שעות מרגע היציאה מעיר א' ו לפני שהמכונית‬
‫השנייה השיגה את המכונית הראשונה‪ ,‬היה המרחק בין שתי‬
‫המכוניות ‪ 12.5‬ק"מ‪) .‬מצא את שתי האפשרויות(‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫נתונה סדרה חשבונית ‪ a n‬המקיימת‪. a 4  a 8  a12  a16  224 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ה סכום של ‪ 19‬האיברים הראשונים בסדרה ‪. a n‬‬
‫הסדרה ‪ Sn‬היא סדרת הסכומים החלקיים של הסדרה ‪S1 , S2 , S3 , ... : a n‬‬
‫נתון כי ‪ Sn  n  a n‬לכל ‪ n‬טבעי‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפרש הסדרה ‪ a n‬הוא ‪. 0‬‬
‫ג‪ .‬היעזר בסעיפים הקודמים‪ ,‬ומצא את ‪. a1‬‬
‫נתונה סדרה ‪ b n‬המקיימת את הכלל‪ b n 1  b n  a n  Sn :‬לכל ‪ n‬טבעי‪.‬‬
‫ד‪ .‬היעזר בסעיפים הקודמים‪ ,‬ומצא את ה סכום‬
‫) ‪. (b 2  b1 )  (b3  b 2 )  (b 4  b3 )  ...  (b 20  b19‬‬
‫‪99‬‬
‫‪.3‬‬
‫במבחן כניסה למכללה ‪ 20%‬מן הנבחנים היו מקיבוצים‪.‬‬
‫‪ 40%‬היו ממושב י ם ו‪ 40% -‬היו מערים‪ 70% .‬מן הנבחנים הצליחו במבחן‪.‬‬
‫‪ 1‬מן הנבחנים שהיו ממושבים נכשלו במבחן‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫ההסתברות לבחור באקראי מבין כל הנבחנים נבחן שהיה מעיר וגם‬
‫הצליח במבחן‪ ,‬גדולה פי ‪ 2.5‬מן ההסתברות לבחור באקראי מבין‬
‫כל הנבחנים נבחן שהיה מקיבוץ וגם הצליח במבחן‪.‬‬
‫א‪ .‬מבין הנבחנים שנכשלו במבחן‪ ,‬מהי ההסתברות לבחור באקראי‬
‫נבחן שלא היה מעיר?‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬משה הצליח במבחן‪ .‬מהי ההסתברות שהוא לא היה ממושב?‬
‫) ‪ ( 2‬חמישה נבחנים הצליחו במבחן‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שלפחות אחד מהם היה ממושב?‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון טרפז ‪. (AB  EC) ABCE‬‬
‫הנקודה ‪ F‬נמצאת על האלכסון ‪BE‬‬
‫כך ש‪. CF  BE -‬‬
‫הנקודה ‪ D‬היא אמצע הבסיס ‪CE‬‬
‫)ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. ED  3a , EA  4a , CEB  AEB :‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. EAB  EDF‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי שטח המשולש ‪ EAB‬הוא ‪. S‬‬
‫הבע באמצעות ‪ S‬את שטח המשולש ‪. CEF‬‬
‫ג‪ .‬המשך ‪ DF‬חותך את ‪ AB‬בנקודה ‪. G‬‬
‫הבע באמצעות ‪ S‬את שטח המשולש ‪. BFG‬‬
‫‪.5‬‬
‫נתון משולש שווה‪ -‬שוקיים ‪. (AB  AC) ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AE‬הוא גובה לבסיס ‪, BC‬‬
‫ו‪ BT -‬הוא תיכון לשוק ‪) AC‬ראה ציור(‪.‬‬
‫נתון‪. BC  2k , TBC   , ACB   :‬‬
‫‪T‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬הבע את האורך של ‪TC‬‬
‫באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬בלבד‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬היעזר בתת‪ -‬סעיף א) ‪ ,( 1‬והראה כי‬
‫‪C‬‬
‫‪. sin(  )  4sin   cos ‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם‪ 5 :‬ס"מ ‪ 4 , TE ‬ס"מ ‪. k ‬‬
‫) ‪ ( 1‬מצא את ‪. ‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את ‪. ‬‬
‫‪100‬‬
‫‪‬‬
‫‪E‬‬
‫‪2k‬‬
‫‪B‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונה הפונקציה )‪ f (x)  x 2  sin(2 x‬בתחום ‪  x  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫ענה על הסעיפים שלפניך עבור התחום הנתון‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את השיפוע הגדול ביותר ואת השיפוע הקטן ביותר‬
‫של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ב‪ .‬סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת )‪. f '(x‬‬
‫ג‪ ( 1 ) .‬מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה ‪ ‬וכלפי מטה ‪‬‬
‫של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫) ‪ ( 2‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪ax 3  2ax‬‬
‫‪x 4  4x  4‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫‪ a‬הוא פרמטר גדול מ‪. 0 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ב‪ .‬האם הפונקציה )‪ f (x‬היא זוגית או אי‪ -‬זוגית? נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬השטח‪ ,‬המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , f (x‬על ידי ציר ה‪x -‬‬
‫ועל ידי הישרים ‪ x  1‬ו‪ , x  1 -‬שווה ל‪. 4 -‬‬
‫מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫ד‪ .‬נתון כי הפונקציה )‪ g(x‬מקיימת )‪. f (x)  g '(x‬‬
‫אחת מנקודות החיתוך בין הגרפים של הפונקציות )‪ f (x‬ו‪g(x) -‬‬
‫היא נקודה שבה ‪. x  0‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ ( 1‬הראה כי הפונקציה )‪ g(x‬מקיימת‪. g(x)  2x :‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את התחום שבו מתקיים )‪. f (x)  g(x‬‬
‫‪101‬‬
‫‪n‬‬
‫נתונה הפונקציה‬
‫‪.8‬‬
‫‪ 1x ‬‬
‫‪ n . x  0 , f (x)  1 ‬הוא מספר טבעי גדול מ‪. 1 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f (x‬המאונכות לצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי עבור ‪ n‬אי‪ -‬זוגי ‪ f '(x)  0‬לכל ‪. x  0‬‬
‫לפניך שני גרפים‪ I ,‬ו‪) . II -‬בגרפים מוצגות כל נקודות הקיצון(‪.‬‬
‫)‪f '(x‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f '(x‬‬
‫‪II‬‬
‫‪y‬‬
‫‪I‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫אחד הגרפים מייצג סקיצה של פונקציית הנגזרת )‪ f '(x‬עבור ‪ n‬זוגי‪,‬‬
‫והגרף האחר מייצג סקיצה של פונקציית הנגזרת )‪ f '(x‬עבור ‪ n‬אי‪ -‬זוגי‪.‬‬
‫היעזר בגרפים ‪ I‬ו‪ , II -‬וענה על הסעיפים ג‪ ,‬ד‪ ,‬ו‪ -‬ה‪.‬‬
‫ג‪ .‬עבור ‪ n‬אי‪ -‬זוגי‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬מצא כמה נקודות קיצון )אם יש כאלה( יש לפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא כמה נקודות פיתול יש לפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬עבור ‪ n‬זוגי‪:‬‬
‫) ‪ ( 1‬מצא כמה נקודות קיצון )אם יש כאלה( יש לפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא כמה נקודות פיתול יש לפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫‪3‬‬
‫ה‪ .‬נתונות הפונקציות‪:‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪, g(x)  1  1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 1x ‬‬
‫‪. h(x)  1 ‬‬
‫מהו הסימן של המכפלה )‪ g"(x)  h"(x‬עבור ‪ ? x  0‬נמק‪.‬‬
‫‪102‬‬
‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 23‬קיץ תשע" ו ‪: 2016 ,‬‬
‫‪ . 1‬א‪ 75 .‬קמ"ש‪ .‬ב‪ 1 .‬שעה‪ 2.5 ,‬שעות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . 2‬א‪ . 1,064 .‬ג‪ . a1  56 .‬ד‪. 11,704 .‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 1 .‬ב‪. 31 ( 2 ) . 1 ( 1 ) .‬‬
‫‪32‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . 4‬ב‪ . S .‬ג‪. S .‬‬
‫‪8‬‬
‫‪16‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ . 5‬א‪.‬‬
‫‪2cos ‬‬
‫‪ . TC ‬ב‪.   37.37 ( 2 ) .   66.42 ( 1 ) .‬‬
‫‪ . 6‬א‪ .‬השיפוע הגדול ביותר הוא ‪; 0.886‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫השיפוע הקטן ביותר הוא ‪. 2.255‬‬
‫ג‪5  x    :  ;    x  0 ,    x   5 :  ( 1 ) .‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪( 2 ) ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ . 7‬א‪ .‬כל ‪ . x‬ב‪ .‬אי‪ -‬זוגית‪ .‬ג‪ . a  4 .‬ד‪. 0  x  2 ( 2 ) .‬‬
‫‪ . 8‬א‪. x  0 .‬‬
‫ב‪. y  1 .‬‬
‫ג‪ ( 1 ) .‬אין‪ ( 2 ) .‬שתי נקודות פיתול‪.‬‬
‫ד‪ ( 1 ) .‬נקודת קיצון אחת‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(3‬‬
‫) ‪ ( 2‬נקודת פיתול אחת‪.‬‬
‫ה‪ .‬חיובי‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪103‬‬
‫מבחן בגרות מספר ‪24‬‬
‫קיץ תשע"ו‪ ,2016 ,‬מועד ב‬
‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 3 - 1‬‬
‫‪.1‬‬
‫שני הטכנאים גל ודני עבדו בהרכבת מחשבים‪.‬‬
‫קצב העבודה של כל אחד מהם קבוע‪.‬‬
‫א‪ .‬ביום העבודה הראשון הרכיבו שני הטכנאים אותו מספר של מחשבים‪.‬‬
‫גל התחיל לעבוד בשעה ‪ , 8 : 00‬וסיים לעבוד בשעה ‪. 15 : 00‬‬
‫דני התחיל לעבוד לאחר השעה ‪ 8 : 00‬ולפני השעה ‪ , 9 : 00‬וסיים לעבוד‬
‫בשעה ‪. 13 : 00‬‬
‫ידוע שגל ודני הרכיבו אותו מספר של מחשבים מהרגע שכל אחד‬
‫מהם התחיל לעבוד ועד השעה ‪. 9 : 00‬‬
‫כמה זמן אחרי השעה ‪ 8 : 00‬התחיל דני לעבוד?‬
‫ב‪ .‬ביום העבודה השני‪ ,‬התחילו גל ודני לעבוד באותה שעה וסיימו‬
‫לעבוד באותה שעה‪ .‬ביום זה הם הרכיבו סך הכול יחד את אותו מספר‬
‫מחשבים שהרכיבו יחד ביום העבודה הראשון‪.‬‬
‫כמה זמן עבדו הטכנאים ביום העבו דה השני?‬
‫‪.2‬‬
‫נתונה סדרה חשבונית שיש בה ‪ n‬איברים‪ .‬הפרש הסדרה הנתונה הוא ‪. 3‬‬
‫א‪ .‬בין כל שני איברים עוקבים הכניסו איבר אחד נוסף‪ ,‬ונוצרה סדרה‬
‫חשבונית חדשה‪.‬‬
‫) ‪ ( 1‬הראה כי היחס בין סכום האיברים בסדרה החדשה לסכום‬
‫האיברים בסדרה הנתונה הוא ‪2n  1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬נתון כי היחס שמופיע בתת‪ -‬סעיף ) ‪ ( 1‬שווה ל‪. 1.9 -‬‬
‫ה סכום של כל האיברים שהכניסו לסדרה הנתונה הוא ‪. 130.5‬‬
‫מצא את האיבר הראשון בסדרה הנתונה‪.‬‬
‫ב‪ .‬יוצרים סדרה חשבונית נוספת על ידי הכנסת ‪ k‬איברים בין כל‬
‫שני איברים עוקבים של הסדרה הנתונה ‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ k‬את הפרש הסדרה המתקבלת‪.‬‬
‫‪104‬‬
‫‪.3‬‬
‫שחמט הוא משחק בין שני שחקנים שיכול להסתיים בניצחון של אחד‬
‫מהם או בתיקו‪.‬‬
‫יעל ואנה משחקות זו מול זו בטורניר שחמט בשני סבבים‪.‬‬
‫ההסתברות של כל אחת מן השחקניות לנצח במשחק בודד היא קבועה‬
‫בכל הטורניר‪.‬‬
‫א‪ .‬בסבב הראשון יש ‪ 4‬משחקים‪.‬‬
‫ההסתברות שיעל תנצח ב‪ 2 -‬משחקים או ב‪ 3 -‬משחקים גדולה פי ‪10‬‬
‫מן ההסתברות שיעל תנצח ב‪ 4 -‬משחקים‪.‬‬
‫חשב את ההסתברות שיעל תנצח במשחק בודד‪.‬‬
‫בסבב השני יש ‪ 2‬משחקים‪.‬‬
‫ההסתברות שתוצאת הסבב השני תהיה שוויון – היא ‪. 0.34‬‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שאנה תנצח במשחק בודד?‬
‫ג‪ .‬חשב את ההסתברות שאנה תנצח במשחק השני‪ ,‬אם ידוע שתוצאת‬
‫סבב זה היא שוויון‪.‬‬
‫פרק ש‪‬י – גאומטריה וטריגו‪‬ומטריה במישור‬
‫ע‪‬ה על אחת מבין השאלות ‪. 5 - 4‬‬
‫‪.4‬‬
‫נתון משולש ‪. PDC‬‬
‫הנקודות ‪ B‬ו‪ L -‬מונחות על הצלע ‪. PC‬‬
‫‪P‬‬
‫הנקודות ‪ A‬ו‪ K -‬מונחות על הצלע ‪, PD‬‬
‫‪B‬‬
‫כמתואר בציור‪.‬‬
‫נתון כי המרובע ‪ABLK‬‬
‫‪A‬‬
‫‪L‬‬
‫‪K‬‬
‫הוא בר חסימה במעגל‬
‫וגם המרובע ‪KLCD‬‬
‫הוא בר חסימה במעגל‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪ .‬הוכח ‪. AB  DC‬‬
‫‪D‬‬
‫נתון‪ 3 :‬ס"מ ‪ 4 , PA ‬ס"מ ‪ , PB ‬שטח המשולש ‪ ABP‬הוא ‪ S‬סמ"ר‪,‬‬
‫שטח המרובע ‪ ABCD‬הוא ‪ 24S‬סמ"ר‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם אפשר לחסום במעגל את המרובע ‪ ? ABCD‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את אורך הצלע ‪. PD‬‬
‫ד‪ .‬נתון גם‪ 5 :‬ס"מ ‪. BL ‬‬
‫היעזר בדמיון משולשים והבע באמצעות ‪ S‬את שטח המרובע ‪. KLCD‬‬
‫‪105‬‬
‫‪.5‬‬
‫במעגל חסום טרפז ‪. (AB  DC) ABCD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫מרכז המעגל ‪ O‬בתוך הטרפז )ראה ציור(‪.‬‬
‫רדיוס המעגל הוא ‪ R‬וגובה הטרפז הוא ‪. h‬‬
‫‪O‬‬
‫נתון‪. BOA  3 , COD   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ ‬את ‪. DAB‬‬
‫ב‪ .‬הבע את האורך של שוק הטרפז‬
‫‪A‬‬
‫באמצעות ‪ ‬ו‪. R -‬‬
‫ג‪ .‬הבע את האורך של שוק הטרפז באמצעות ‪ ‬ו‪. h -‬‬
‫‪h2‬‬
‫ד‪ .‬נתון כי שטח המשולש ‪ COD‬הוא‬
‫‪12cos 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫מצא את ‪. ‬‬
‫‪.‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפר‪‬ציאלי ואי‪‬טגרלי של פולי‪‬ומים‪,‬‬
‫של פו‪‬קציות רציו‪‬ליות ‪ ,‬של פו‪‬קציות שורש ושל פו‪‬קציות‬
‫טריגו‪‬ומטריות‬
‫ע‪‬ה על שתיים מבין השאלות ‪. 8 - 6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪2cos 2 x  1‬‬
‫‪2cos 2 x‬‬
‫א‪ .‬בתחום ‪: 0  x  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. f (x) ‬‬
‫) ‪ ( 1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪f (x‬‬
‫המאונכות לציר ה‪) x -‬אם יש כאלה(‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה )‪ f (x‬עם ציר ה‪x -‬‬
‫)אם יש כאלה( ‪.‬‬
‫) ‪ ( 4‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה )‪) f (x‬אם יש כאלה(‪,‬‬
‫וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ב‪ .‬בתחום‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪: x‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ ( 1‬הראה שפונקציה )‪ f (x‬היא זוגית‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬
‫ג‪ .‬מצא את השטח ברביע הראשון המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪, f (x‬‬
‫על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי ציר ה‪. y -‬‬
‫‪106‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.7‬‬
‫בסרטוט שלפניך מתואר גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬
‫‪y‬‬
‫הפונקציות )‪g"(x) , g '(x) , g(x‬‬
‫מוגדרת לכל ‪ x‬השונה מ‪, 0 -‬‬
‫)‪g(x‬‬
‫ואין להן נקודות קיצון או נקודות פיתול‪.‬‬
‫הישר ‪ x  0‬הוא האסימפטוטה האנכית‬
‫לכל אחד מן הגרפים של הפונקציות האלה‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬סרטט סקיצה של גרף פונקציית‬
‫הנגזרת )‪ . g '(x‬נמק את שיקולך‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬סרטט סקיצה של גרף פונקציית‬
‫הנגזרת )‪ . g"(x‬נמק את שיקולך‪.‬‬
‫נתון כי השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה )‪, g"(x‬‬
‫על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי הישרים ‪ x  1‬ו‪ x  2 -‬שווה ל‪. 5.25 -‬‬
‫ב‪ .‬הישר ‪ x  1‬חותך את הגרף של פונקציית הנגזרת )‪ g '(x‬בנקודה ‪, A‬‬
‫והישר ‪ x  2‬חותך גרף זה בנקודה ‪. B‬‬
‫מצא את ההפרש בין שיעור ה‪ y -‬של הנקודה ‪ A‬ובין שיעור ה‪y -‬‬
‫של הנקודה ‪ . B‬נמק‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫ג‪ .‬הביטוי ‪ y  3‬מתאר אחת מן הפונקציות )‪. g"(x) , g '(x) , g(x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ a‬הוא פרמטר גדול מ‪. 0 -‬‬
‫) ‪ ( 1‬קבע איזו מן הפונקציות הביטוי מתאר‪ .‬נמק את קביעתך‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪‬‬
‫במשולש ישר‪ -‬זווית ‪ (ABC  90 ) ABC‬אורך היתר הוא ‪ k‬ס"מ‬
‫) ‪ k‬הוא פרמטר(‪.‬‬
‫הניצב ‪ AB‬הוא גם יתר במשולש ‪, ADB‬‬
‫‪‬‬
‫שהוא שווה‪ -‬שוקיים וישר זווית ) ‪. (ADB  90‬‬
‫א‪ .‬סמן ‪ AB  x‬והבע את ‪ BC‬באמצעות ‪ x‬ו‪. k -‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי הערך המקסימלי של המכפלה ‪ BC  AD 2‬הוא ‪. 3 3‬‬
‫מצא את שטח המשולש ‪) ADB‬ערך מספרי(‪ ,‬כאשר המכפלה ‪BC  AD 2‬‬
‫היא מקסימלית‪.‬‬
‫‪107‬‬
‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 24‬קיץ תשע" ו ‪ , 2016 ,‬מועד ב ‪:‬‬
‫‪ . 1‬א‪ 20 .‬דקות‪ .‬ב‪ 5.6 .‬שעות‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫א‪ . a  1 ( 2 ) .‬ב‪3 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k 1‬‬
‫א‪ . 1 .‬ב‪ . 0.3 .‬ג‪. 15 .‬‬
‫‪34‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬לא‪ .‬ג‪ 15 .‬ס"מ‪ .‬ד‪ 16S .‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪ . 90   .‬ב‪ . 2R cos  .‬ג‪h .‬‬
‫‪ .‬ד‪. 30 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cos ‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ . x   ( 2 ) . 0  x   ( 1 ) .‬ג‪ ;0 .‬‬
‫‪ 0; 1 ,‬מקסימום‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.d‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪( 2 ) .‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪  1  0.2854 .‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ . 7‬א‪( 1 ) .‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪. 5.25 .‬‬
‫ג‪. g '(x) ( 1 ) .‬‬
‫‪ . 8‬א‪. k 2  x 2 .‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪. a  6 (2‬‬
‫ב‪ 1.5 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪108‬‬