‫מבחן בגרות מספר ‪17‬‬ ‫קיץ תשע"ד‪ ,2014 ,‬מועד ב‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫רץ ‪ I‬ורץ ‪ II‬יצאו באותו רגע מאותו מקום‪ .‬הם רצו במהירות קבועה‬ ‫ובאותו כיוון‪.‬‬ ‫המהירות של רץ ‪ I‬הייתה ‪ 6‬קמ"ש‪ ,‬והמהירות של רץ ‪II‬‬ ‫הייתה ‪ 7.5‬קמ"ש‪ .‬כעבור ‪ 20‬דקות מרגע היציאה של שני הרצים‪,‬‬ ‫יצא רץ ‪ III‬מא ותו מקום ובאותו כיוון‪ ,‬והוא רץ במהירות קבועה‪.‬‬ ‫רץ ‪ III‬פגש בדרך את רץ ‪ , I‬ושעה אחר כך הוא פגש את רץ ‪. II‬‬ ‫מצא כמה שעות עברו מרגע היציאה של רץ ‪ III‬עד לפגישתו עם רץ ‪. II‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫נתונה סדרה חשבונית‪a1 , a 2 , a 3 , ... :‬‬ ‫שלושה איברים עוקבים בסדרה‪, a n , a n 1 , a n  2 ,‬‬ ‫מקיימים‪:‬‬ ‫‪a 2n  2  a 2n  216‬‬ ‫‪a n  a n 1  a n  2  54‬‬ ‫א‪ .‬מצא את האיבר ‪. a n‬‬ ‫ב‪ .‬לקחו חלק מהאיברים בסדרה הנתונה ובנו סדרה חשבונית חדשה‪:‬‬ ‫‪a 5 , a 9 , a13 , ... , a 4k 1‬‬ ‫סכום כל האיברים בסדרה החדשה הוא ‪. 450‬‬ ‫האיבר הראשון בסדרה ה נתונה בפתיח הוא ‪. a1  21‬‬ ‫מצא את הערך של ‪. k‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫בעיר גדולה כל אחד מתלמידי כיתות י"ב בשנה מסוימת בוחר באחד‬ ‫משני המסלולים לטיול שנתי‪ :‬מסלול א' או מסלול ב'‪.‬‬ ‫נמצא‪ 75% :‬מן התלמידים שבחרו במסלול א' הן בנות‪.‬‬ ‫‪ 10%‬מן הבנות בחרו במ סלול ב'‪.‬‬ ‫‪ 40%‬מן התלמידים הם בנות‪.‬‬ ‫א‪ .‬בוחרים באקראי תלמיד י"ב )בן‪/‬בת(‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שהוא בחר במסלול א'?‬ ‫ב‪ .‬כאשר בוחרים באקראי תלמיד )בן‪/‬בת(‪ ,‬האם המאורע‬ ‫"התלמיד הוא בת" והמאורע "התלמיד )בן‪/‬בת( בחר במסלול א' "‬ ‫הם מאורעות בלתי תלויים? נמק‪.‬‬ ‫ג‪ .‬בחרו באקראי כמה בנות מבין התלמידים‪.‬‬ ‫נמצא שההסתברות שלפחות אחת מהן בחרה במסלול א' היא ‪. 0.99‬‬ ‫)הבחירות של המסלולים על ידי הבנות שנבחרו הן בלתי תלויות(‪.‬‬ ‫כמה בנות נבחרו?‬ ‫פרק ש ני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬ ‫ענה על אחת מבין השאלות ‪. 5-4‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪ AC‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O1‬‬ ‫‪ BD‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O 2‬‬ ‫ישר משיק למעגלים ‪ O1‬ו‪O 2 -‬‬ ‫בנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬בהתאמה‪.‬‬ ‫המשיק חותך את קטע המרכזים‬ ‫‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪O2‬‬ ‫‪O1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ O1O 2‬בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫נתון‪ :‬רדיוס המעגל ‪ O1‬הוא ‪ 30‬ס"מ‪,‬‬ ‫רדיוס המעגל ‪ O 2‬הוא ‪ 20‬ס"מ‪,‬‬ ‫אורך קטע המרכזים ‪ O1O 2‬הוא ‪ 90‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪O1E‬‬ ‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את היחס‬ ‫‪O1C‬‬ ‫) ‪ ( 2‬הוכח כי ‪. EO1C  EO 2 D‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח כי הנקודה ‪ E‬נמצאת על הישר ‪. CD‬‬ ‫‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫‪71‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫במשולש ישר‪ -‬זווית ‪(ACB  90 ) ACB‬‬ ‫נקודה ‪ G‬היא אמצע הניצב ‪. AC‬‬ ‫נקודה ‪ P‬נמצאת על ‪ GB‬כך ש‪BG  4  PG -‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫)ראה ציור(‪ .‬רדיוס המעגל החוסם‬ ‫את המשולש ‪ CGB‬ה וא ‪ . R‬נתון‪. GC  BC :‬‬ ‫‪P‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את רדיוס המעגל‬ ‫החוסם את המשולש ‪. ACB‬‬ ‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את מרחק הנקודה ‪P‬‬ ‫ממרכז המעגל החוסם את המשולש ‪. ACB‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬ ‫של פונקציות רציונליות ‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬ ‫טריגונומטריות‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 8-6‬‬ ‫נתונות שתי פונקצי ות‪f (x)  x 8  x 2 :‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪g(x)  8x 2  x 4‬‬ ‫א‪ ( 1 ) .‬לשתי הפונקציות יש אותו תחום הגדרה‪ .‬מצא את תחום ההגדרה‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את נקודות החיתוך של כל אחת מהפונקציות )‪ f (x‬ו‪g(x) -‬‬ ‫עם הצירים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של כל אחת‬ ‫מהפונקציות‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ג‪ .‬על פי הסעיפים א ו‪ -‬ב‪ ,‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪, f (x‬‬ ‫וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. g(x‬‬ ‫ד‪ .‬לפניך ארבעה גרפים‪. IV  I ,‬‬ ‫איזה מהגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת )‪ ? g '(x‬נמק‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪IV‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪II‬‬ ‫‪III‬‬ ‫‪72‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪(x  2) 2‬‬ ‫נתונה הפונקציה‬ ‫‪x2 1‬‬ ‫‪. f (x) ‬‬ ‫א‪ ( 1 ) .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה )‪ f (x‬המקבילות לצירים‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f (x‬עם הצירים‪.‬‬ ‫) ‪ ( 4‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה )‪, f (x‬‬ ‫וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ב‪ .‬רק על פי סעיף א‪ ,‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫ג‪ .‬רק על פי הסקיצה של גרף הפונקציה )‪ f (x‬שסרטטת‪,‬‬ ‫מצא את התחום שבו מתקיים‪ :‬פונקציית הנגזרת )‪ f '(x‬שלילית‬ ‫ופונקציית הנגזרת השנייה )‪ f "(x‬חיובית‪.‬‬ ‫נמק‪.‬‬ ‫ֹ‬ ‫‪.8‬‬ ‫נתון מלבן ‪. ABCD‬‬ ‫הצלע ‪ DC‬מונחת על הקוטר של חצי מעגל‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫שהרדיוס שלו ‪ R‬ומרכזו ‪ M‬כך ש‪. DC  R -‬‬ ‫הצלע ‪ AD‬משיקה לחצי המעגל בנקודה ‪, D‬‬ ‫והקדקוד ‪ B‬נמצא על המעגל )ראה ציור(‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪M‬‬ ‫נסמן‪BMC  x :‬‬ ‫)‪ – S(x‬שטח המלבן ‪. ABCD‬‬ ‫א‪ .‬מצא מה צריך להיות ‪ , x‬כדי ששטח המלבן )‪ S(x‬יהיה מקסימלי‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ R‬את השטח המוגב ל על ידי גרף הפונקציה )‪S(x‬‬ ‫ועל ידי ציר ה‪ x -‬בתחום ‪. 0  x  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪73‬‬ ‫‪D‬‬ ‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 17‬קיץ תשע"ד‪ , 2014 ,‬מועד ב ‪:‬‬ ‫‪ 1 2 . 1‬שעו ת )שעה ו‪ 40 -‬דקות(‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ב‪. k  10 .‬‬ ‫‪ . 2‬א‪. a n  15 .‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ . 0.48 .‬ב‪ .‬לא‪ ,‬המאורעות הם מאורעות תלויים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬שתי בנות‪.‬‬ ‫‪ . 4‬א‪. 95 ( 1 ) .‬‬ ‫‪ . 5‬א‪ . 10 R .‬ב‪R .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ . 6‬א‪.  8  x  8 ( 1 ) .‬‬ ‫) ‪. (  8;0) , (0;0) , ( 8;0) : f (x) ( 2‬‬ ‫)‪. (  8;0) , (0;0) , ( 8;0) : g(x‬‬ ‫ב‪ (2;4) : f (x) .‬מקסימום מוחלט‪ ( 2;  4) ,‬מינימום מוחלט‪.‬‬ ‫)‪ (2;4) : g(x‬מקסימום מוחלט‪ ( 2;4) ,‬מקסימום מוחלט‪.‬‬ ‫)‪ ( 8;0‬מינימום מוחלט‪ (0;0) ,‬מינימום מוחלט‪,‬‬ ‫)‪ (  8;0‬מינימום מוחלט‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ד‪ .‬גרף ‪. I‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ . 7‬א‪. x  1 , x  1 ( 1 ) .‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫) ‪. y  1 , x  1 , x  1 ( 2‬‬ ‫) ‪. (2;0) , (0;  4) ( 3‬‬ ‫) ‪(2;0) ( 4‬‬ ‫מינימום‪ 12 ; 3 ,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫מקסימום‪.‬‬ ‫ג‪. 1  x  2 .‬‬ ‫‪ . 8‬א‪ .  .‬ב‪. 1 1 R 2 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪74‬‬