‫מבחן בגרות מספר ‪8‬‬ ‫קיץ תשע"א‪ ,2011 ,‬מועד ב‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫רוכב אופניים יצא ממושב ‪ A‬אל מושב ‪ , B‬ולאחר ‪ 1‬שעה יצא רוכב‬ ‫‪2‬‬ ‫אופניים ש ני ממושב ‪ B‬אל מושב ‪. A‬‬ ‫הרוכבים נפגשו לאחר שהרוכב השני עבר ‪ 1‬מהמרחק שבין ‪ B‬ל‪. A -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ביום אחר יצא רוכב האופניים הראשון ממושב ‪ A‬למושב ‪ 1 B‬שעה‬ ‫‪2‬‬ ‫אחרי שרוכב האופניים השני יצא ממושב ‪ B‬אל מושב ‪ . A‬הרוכבים‬ ‫נפגשו באמצע הדרך שבין ‪ A‬ל‪ . B -‬מהירויות הרוכבים לא השתנו‪.‬‬ ‫א‪ .‬חשב את היחס בין מהירות הרוכב הראשון ובין מהירות הרוכב השני‪.‬‬ ‫ב‪ .‬ידוע שאם שני הרוכבים יוצאים באותו רגע זה לקראת זה‪,‬‬ ‫הם נפגשים במרחק ‪ b‬ק"מ מאמצע הדרך שבין ‪ A‬ל‪. B -‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ b‬את הדרך שבין ‪ A‬ל‪. B -‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫א‪ .‬סכום כל האיברים בסדרה הנדסית אינסופית הוא ‪, 112‬‬ ‫וסכום האיברים במקומות ה ראשון‪ ,‬הרביעי‪ ,‬השביעי וכו' של סדרה‬ ‫זו הוא ‪ . 64‬מצא את ‪ a1‬ואת ‪. q‬‬ ‫ב‪ .‬בסדרה נתון‪ . a n 1  a n  4n  6 :‬בסדרה ישנם ‪ K‬איברים ) ‪ K‬זוגי(‪.‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ K‬את ההפרש בין סכום האיברים במקומות הזוגיים‬ ‫לבין סכום האיברים במקומות האי‪ -‬זוגיים‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬אין קשר בין סעיף א לסעיף ב‪.‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫בקבוצה של ‪ 40‬אנשים יש ‪ 16‬גברים והשאר נשים‪ .‬ל‪ 12 -‬גברים בקבוצה‬ ‫יש רישיון נהיגה‪ ,‬ול‪ 16 -‬נשים בקבוצה יש רישיון נהיגה‪.‬‬ ‫א‪ .‬בוחרים באקראי אדם מהקבוצה‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שייבחר אדם שיש לו רישיון נהיגה?‬ ‫ב‪ .‬בוחרים באקראי אדם מהקבוצה‪ .‬לא חר שהאדם חוזר לקבוצה‪,‬‬ ‫שוב בוחרים באקראי אדם מהקבוצה‪ .‬מהי ההסתברות שלפחות פעם‬ ‫אחת ייבחר אדם שיש לו רישיון נהיגה?‬ ‫ג‪ .‬האם המאורע "לבחור מהקבוצה גבר" והמאורע "לבחור מהקבוצה‬ ‫אדם שיש לו רישיון נהיגה" הם מאורעות בלתי תלויים? נ מק‪.‬‬ ‫ד‪ .‬לכמה נשים בקבוצה צריך שיהיה רישיון נהיגה כדי לקבוע שבקבוצה‬ ‫הנתונה של ‪ 40‬האנשים אין תלות בין מין האדם לכך שיש לו רישיון‬ ‫נהיגה? )מספר הגברים והנשים בקבוצה אינו משתנה‪ ,‬ומספר הגברים‬ ‫בעלי רישיון אינו משתנה(‪.‬‬ ‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬ ‫ענה על אחת מבין השאלות ‪. 5-4‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫במשולש ישר‪ -‬זווית ‪(CAB  90 ) CAB‬‬ ‫הניצב ‪ AB‬הוא קוטר במעגל שמרכזו ‪. O‬‬ ‫היתר ‪ BC‬חותך את המעגל גם בנקודה ‪. P‬‬ ‫המשיק למעגל בנקודה ‪ P‬חותך את הניצב‬ ‫‪ CA‬בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪. CE  EA‬‬ ‫ב‪ .‬אם נתון כי ‪ , CP  23‬וכי שטח המשולש ‪CPE‬‬ ‫‪EA‬‬ ‫הוא ‪ 2‬סמ"ר‪ ,‬מצא את שטח המשולש ‪ . PAB‬נמק‪.‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫נתון טרפז שווה‪ -‬שוקיים ‪(AB  DC) ABCD‬‬ ‫החוסם מעגל שמרכזו ‪ AB . O‬ו‪ DC -‬משיקים‬ ‫למעגל בנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬בהתאמה‪ EF .‬הוא קוטר‬ ‫במעגל )ראה ציור( ‪ .‬האורך של שוק הטרפז הוא ‪. b‬‬ ‫נתון כי )‪ . (sin C) 2  sin(90  C‬הבע באמצעות ‪: b‬‬ ‫א‪ .‬את רדיוס המעגל החסום בטרפז‪.‬‬ ‫ב‪ .‬את אורך הבסיס הקטן ‪. AB‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫בתשובותיך השאר שלוש ספרות אחרי הנקודה הע שרונית‪.‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪D‬‬ ‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬ ‫של פונקציות רציונליות‪ ,‬של פונקציות שורש ושל פונקציות‬ ‫טריגונומטריות‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 8-6‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪1‬‬ ‫‪cos x‬‬ ‫‪. f (x) ‬‬ ‫א‪ .‬מצא אם הפונקציה )‪ f (x‬הי א זוגית או אי‪ -‬זוגית או לא זוגית ולא‬ ‫אי‪ -‬זוגית‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בתחום ‪: 0  x  2‬‬ ‫) ‪ ( 1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪ ,‬ואת האסימפטוטות‬ ‫של הפונקציה המקבילות לצירים )אם יש כאלה(‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬מצא את השיעורים של נק ודות הקיצון של הפונקציה‪,‬‬ ‫וקבע את סוגן‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬לשרטוט ששרטטת בתת‪ -‬סעיף ב) ‪ ( 3‬הוסף סקיצה של גרף‬ ‫הפונקציה )‪ f (x‬בתחום ‪. 2  x  0‬‬ ‫ד‪ .‬השטח ברביע הראשון המוגב ל על ידי הגרף של )‪, f (x‬‬ ‫על ידי הישר ‪y  2‬‬ ‫‪ , x  ‬על ידי ציר ה‪x -‬‬ ‫‪ ,‬על ידי הישר ‪2‬‬ ‫ועל ידי ציר ה‪ , y -‬מסתובב סביב ציר ה‪. x -‬‬ ‫מצא את הנפח של גוף הסיבוב שנוצר‪.‬‬ ‫ה‪ .‬בתחום שבין ‪ ‬ל‪ ,  -‬רשום בצורה כללית את השיעורים‪:‬‬ ‫) ‪ ( 1‬של נקודות המינימום של הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫) ‪ ( 2‬של נקודות המקסימום של הפונקציה )‪. f (x‬‬ ‫‪32‬‬ ‫נתונה הנגזרת השנייה של הפונקציה )‪6x 2  3x  3 : f (x‬‬ ‫‪(1  x 2 )5‬‬ ‫הפונקציה )‪ f (x‬מוגדרת לכל ‪. x‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪. f ''(x) ‬‬ ‫א‪ .‬מבי ן הגרפים ‪ IV , III , II , I‬שלפניך‪ ,‬איזה גרף מתאר את פונקציית‬ ‫הנגזרת )‪ ? f '(x‬נמק‪.‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪II‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪III‬‬ ‫‪IV‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬מצא תחומי קעירות כלפי מטה ‪ ‬ותחומי קעירות כלפי מעלה ‪‬‬ ‫של הפונקציה )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬ ‫) ‪ ( 2‬ה יעזר בגרף של )‪ f '(x‬שבסעיף א'‪ ,‬ומצא בין אילו שני מספרים‬ ‫שלמים עוקבים נמצא שיעור ה‪ x -‬של נקודת הקיצון של )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬ ‫) ‪ ( 3‬שרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪ , f (x‬אם ידוע כי הגרף חותך‬ ‫את ציר ה‪ x -‬רק בנקודה אחת שבה ‪. x  3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫לפניך סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת‬ ‫השלישית )‪. f '''(x‬‬ ‫)‪f '''(x‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף‬ ‫של )‪ , f '''(x‬על ידי ציר ה‪ x -‬וציר ה‪y -‬‬ ‫ועל ידי הישר ‪ x  2‬בתחום ‪. x  0‬‬ ‫ד‪ .‬על פי הגרף של )‪ f '(x‬שבסעיף א'‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫הסבר מדוע הגרף של פונקציית הנגזרת‬ ‫השלישית )‪ f '''(x‬חותך את ציר ה‪ x -‬בשלוש נקודות‪.‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫נתונות המשוואות של שתי פרבולות‪. g(x)  x 2  x , f (x)  a 2 x 2 :‬‬ ‫‪ a‬הוא פרמטר שונה מ‪. 0 -‬‬ ‫הפרבול ות נפגשות בנקודות ‪ O‬ו‪ – O ) A -‬ראשית הצירים(‪.‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את השיעורים של הנקודה ‪. A‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את השיעורים של הנקודה ‪ A‬שעבורה השטח‪ ,‬המוגבל על ידי‬ ‫הגרף של )‪ , f (x‬על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי האנך לציר ה‪ x -‬העוב ר דרך‬ ‫הנקודה ‪ , A‬הוא מקסימלי‪.‬‬ ‫‪33‬‬ ‫תשובות ל מבחן בגרות מספר ‪ – 8‬קיץ תשע"א‪ , 2011 ,‬מועד ב ‪:‬‬ ‫‪ . 1‬א‪ . 5 .‬ב‪ 8b .‬ק"מ ‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ . 2‬א‪ . q  0.5 , a1  56 .‬ב‪. K 2  3K .‬‬ ‫‪ . 3‬א‪ . 0.7 .‬ב‪ . 0.91 .‬ג‪ .‬לא‪ .‬המאורעות תלויים‪ .‬ד‪. 18 .‬‬ ‫‪ . 4‬ב‪ 32 .‬סמ"ר‪.‬‬ ‫‪ . 5‬א‪ . 0.393b .‬ב‪. 0.382b .‬‬ ‫‪ . 6‬א‪ .‬הפונקציה )‪ f (x‬היא זוגית‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.x‬‬ ‫ב‪ ( 1 ) .‬תחום הגדר ה‪, x  2 , 0  x  2 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. x  3 , x  ‬‬ ‫אסימפטוטות מקבילות לצירים‪2 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ (0;1) ( 2‬מינימום‪ ( ; 1) ,‬מקסימו ם‪ (2;1) ,‬מינימום‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ד‪. 2   3  12.02 .‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ה‪ (2k;1) ( 1 ) .‬מינימום‪ (   2k; 1) ( 2 ) .‬מקסימום‪ .‬הערה‪ k :‬מספר שלם‪.‬‬ ‫‪ . 7‬א‪. IV .‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ב‪ x  1 :  ( 1 ) .‬או ‪; x  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. 1  x  1 : ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ ( 2‬בין ‪ 1‬ל‪. 0 -‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ג‪. 4.638 .‬‬ ‫ד‪ .‬הפונקציה )‪ f '''(x‬היא למעשה הנגזרת השנייה של )‪. f '(x‬‬ ‫בגרף של )‪ f '(x‬שבסעיף א'‪ ,‬יש ‪ 3‬נקודות פיתול ולכן הנגזרת השנייה‬ ‫של )‪ f '(x‬מתאפסת ב‪ 3 -‬נקודות ומכאן שבגרף של )‪ f '''(x‬יש ‪ 3‬נקודות‬ ‫חיתוך עם ציר ה‪. x -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫;‬ ‫‪ . A ‬ב‪. A( 2 ;  2 ) .‬‬ ‫‪ . 8‬א‪ .‬‬ ‫‪3 9‬‬ ‫‪1  a 2 (1  a 2 ) 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪34‬‬