محاضرات مقرر التحليل المركب ريض444
اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺮﻛﺐ
1.1
اﻟﻘﻮس اﻷﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎ
ﺗﻌﺮﻳﻒ 1.1.1ﻧﺴﻤﻲ ﻗﻮس ﻣﻦ Cﻛﻞ داﻟﺔ γ : [a, b] −→ Cﻣﺘﺼﻠﺔ ﺣﻴﺚ ] [a, bﻓﱰة ﻣﻦ ,Rوﻧﺮﻣﺰ ﻟﺼﻮرة اﻟﻘﻮس γﰲ
Cﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ∗ .γإذا ﻛﺎﻧﺖ ) γ′ (tﻣﻮﺟﻮدة ﻟﻜﻞ ] t ∈ [a, bو γ′ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﺈن γﻳﺴﻤﻰ ﻗﻮس أﻣﻠﺲ ) .(smooth pathوﻧﻘﻮل ﻋﻦ
اﻟﻘﻮس اﳌﺘﺼﻞ γﺑﺄﻧﻪ أﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎً ) (pointwise smoothإذا وﺟﺪت ﺗﻘﺴﻴﻤﺔ a = t0 < t1 .... < tn = bﲝﻴﺚ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﱰة
) (t j , t j+1اﻟﻘﻮس γﻳﺘﺴﺎوى ﻣﻊ ﻗﻮس أﻣﻠﺲ ﻣﻌﺮف ﻋﻠﻰ ] .[t j , t j+1ﺗﺴﻤﻰ ) γ(aﺑﺪاﻳﺔ اﻟﻘﻮس و ) γ(bﺎﻳﺘﻪ .إذا ﻛﺎﻧﺖ
) γ(a) = γ(bﻓﺈن اﻟﻘﻮس γﻳﺴﻤﻰ ﻗﻮس ﻣﻐﻠﻖ.
ﻣﻼﺣﻈﺔ 1.1.2اﳌﻌﲏ ﺑﻘﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق اﻟﺪاﻟﺔ γﻋﻨﺪ أﻃﺮاف اﻟﻔﱰة ] [a, bﻫﻮ وﺟﻮد اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻣﻦ ﺟﻬﺔ واﺣﺪة ,أي أن
)f (a + t) − f (a
)f (b + t) − f (b
, γ′ (b) = lim−
t→b
t
t
γ′ (a) = lim+
t→a
أﻣﺜﻠﺔ 1.1.3ﰲ ﻣﺎ ﻳﻠﻲ ﻧﻌﻄﻲ ﺑﻌﺾ اﻷﻣﺜﻠﺔ ﻋﻠﻰ أﻗﻮاس ﻣﻠﺴﺎء ﻗﻄﻌﺎً.
• اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﱵ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ z0 ∈ Cوﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ r > 0واﻟﱵ ﻧﺮﻣﺰ ﳍﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) γ(z ,rﺗﻌﻄﻰ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ:
0
γ(z0 ,r) : [0,2π] −→ C
γ(t) = reit
ﻻﺣﻆ أن اﻟﻘﻮس ) γ(z ,rأﻣﻠﺲ وﻣﻐﻠﻖ.
0
• اﻟﻘﻄﻌﺔ ] [A, Bﺣﻴﺚ A, Bأﻋﺪاد ﻣﺮﻛﺒﺔ ,ﺗﻌﻄﻰ ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
]γ[A,B] : [a, b] −→ [A, B
ﻋﻨﺪﻣﺎ
(b − t)A + (t − a)B
b−a
b=1
= )γ[A,B] (t
a = 0 ,ﻓﺈن .γ[A,B] (t) = (1 − t)A + tB
• ﻟﻴﻜﻦ Γﻣﻌﺮف ﻛﻤﺎ ﻳﻠﻲ:
,0 ≤ t ≤ π
, π ≤ t ≤ 2π
it
e
2t−3π
π
{
= )Γ(t
ﻧﻼﺣﻆ أن ∗ Γﻫﻮ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﻌﻠﻮي ﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻮﺣﺪة اﲢﺎداﻟﻘﻄﻌﺔ ] [−1, 1وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻫﻮ ﻟﻴﺲ ﺑﻘﻮس أﻣﻠﺲ )ﻟﻮﺟﻮد اﻧﻜﺴﺎر
ﻋﻨﺪ (t = πوﻟﻜﻨﻪ ﻗﻮس أﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎً وﻣﻐﻠﻖ.
ﻻﺣﻆ أن ﺗﻄﺎﺑﻖ ﺻﻮرﰐ ﻗﻮﺳﲔ γ1و γ2ﻻ ﻳﻌﲏ ﺑﺎﻟﻀﺮورة أن ﳍﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﳋﺼﺎﺋﺺ .ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ اﳌﺜﺎل إذا اﻋﺘﱪﻧﺎ اﻟﻔﱰة
] [0, 2πﻓﺈن اﻟﻘﻮﺳﲔ
γ(0,1) (t) = eit , γn(0,1) (t) = eint , n ∈ N
1
اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮس
2
ﳍﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﺼﻮرة ﻋﻠﻰ اﻟﺮﻏﻢ ﻣﻦ أن ) γ(0,1أﺣﺎدﻳﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﱰة
اﻻﺧﺘﻼف ﻻﺣﻘﺎً ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧﺪرس دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻮس اﳌﻐﻠﻖ واﻷﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎً.
ﺑﻴﻨﻤﺎ
)(0, 2π
)γn(0,1
1.2
ﻟﻴﺴﺖ ﻛﺬﻟﻚ .ﺳﻨﺒﲔ أﺛﺮ ﻫﺬا
اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮس
1.2
ﺗﻌﺮﻳﻒ 1.2.1ﻟﻴﻜﻦ γ : [a, b] −→ Cﻗﻮس أﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎً ﻓﺈن ∫ﻃﻮل γواﻟﺬي ﻧﺮﻣﺰ إﻟﻴﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ Lγﻫﻮ
b
|γ′ (t)|dt
= Lγ
a
ﻣﺜﺎل 1.2.2
|ieit |dt = 2π
∫ 2π
0
=
Lγﺑﻴﻨﻤﺎ
)(0,1
|nieint |dt = 2nπ
∫ 2π
0
ﻣﺜﺎل 1.2.3اﻋﺘﱪ اﻟﻘﻮس Γﻛﻤﺎ ﰲ اﳌﺜﺎل , 1.1.3ﳒﺪ∫ أن
2
| |dt = π + 2
π
2π
|ieit |dt +
π
. Lγ
=
)n(0,1
∫
π
= LΓ
0
ﺗﻌﺮﻳﻒ 1.2.4ﻟﻴﻜﻦ γ : [a, b] −→ Cﻗﻮس أﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎً و fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ∗ γﻓﺈن ﺗﻜﺎﻣﻞ اﻟﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ γﻳﻌﺮف
ﻛﺎﻟﺘﺎﱄ
∫
∫
f (γ(t))γ′ (t)dt
b
= f (z)dz
γ
a
ﻣﺜﺎل 1.2.5إذا ﻛﺎﻧﺖ
1
z
= )f (z
1
ireit dt = 2πi
reit
ﻣﻦ ﻧﺎﺣﻴﺔ أﺧﺮى ﳒﺪ أن
ﻣﺜﺎل 1.2.6إذا ﻛﺎﻧﺖ
و r > 0ﻓﺈن
2π
= f (z)dz
)γ(0,r
0
∫
2π
1
nirenit dt = 2nπi
renit
f (z) = z
∫
∫
∫
= f (z)dz
)γn(0,r
0
و A, B ∈ Cﻓﺈن
∫
1
((1 − t)A + tB)(B − A)dt
∫
= f (z)dz
]γ[A,B
0
[
]
1
t2
1
) = (B − A) At + (B − A)0 = (B2 − A2
2
2
ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﻮح ﳛﻮي ∗ γﻓﺈن
ﻧﻈﺮﻳﺔ 1.2.7ﻟﻴﻜﻦ γ : [a, b] −→ Cﻗﻮس أﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎً و fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ
∫
))f ′ (z) = f (γ(b)) − f (γ(a
γ
ﺑﺮﻫﺎن ﻣﻦ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﺘﻔﺎﺿﻞ واﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﳒﺪ أن
))[ f ◦ γ]′ (t)dt = f (γ(b)) − f (γ(a
∫
b
= f ′ (γ(t))γ′ (t)dt
a
b
∫
a
= f ′ (z)dz
∫
γ
ﻣﻼﺣﻈﺔ 1.2.8ﰲ ﺑﺮﻫﺎن اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ اﺳﺘﺨﺪﻣﻨﺎ أن f ′ﻣﺘﺼﻠﺔ دون أن ﻧﱪﻫﻦ ذﻟﻚ .ﻻﺣﻘﺎً ﺳﻨﺒﲔ أن اﻟﺪوال اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﺗﻜﻮن ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻣﺎﻻ ﺎﻳﺔ ﻣﻦ اﳌﺮات ,وإﱃ ذﻟﻚ اﳊﲔ ﺳﻨﺴﺘﺨﺪم ﻫﺬﻩ اﳊﻘﻴﻘﺔ.
ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ 1.2.7
اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺮﻛﺐ
. 1ﻟﺘﻜﻦ
3
f (z) = ez
ﻓﺈن
ez dz = eB − eA
∫
.γ
][A,B
∫
. 2ﻋﻼوة ﻋﻠﻰ اﻟﺸﺮوط ﰲ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ إذا ﻛﺎن γﻣﻐﻠﻖ ﻓﺈن γ f ′ (z)dz = 0وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻧﺮى أﻧﻪ ﻻ ﻳﻮﺟﺪ ﻓﺮع داﻟﺔ ﻟﻮﻏﺎرﲤﻴﺔ
fﻋﻠﻰ أي ﻣﻔﺘﻮح ﳛﻮي داﺋﺮة ) .γ(0,rﻷﻧﻪ ﻟﻮ وﺟﺪ ﻫﺬا اﻟﻔﺮع ﻟﻠﻮﻏﺎر∫ﻳﺘﻢ ﻟﻜﺎن
f ′ (z)dz = 0
)γ(0,r
ﻣﻦ ﻧﺎﺣﻴﺔ أﺧﺮى وﺣﻴﺚ أن
1
z
= )f ′ (z
اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ
ﻓﺈﻧﻪ ﻛﻤﺎ رأﻳﻨﺎ ﰲ اﻷﻣﺜﻠﺔ
∫
1
dz = 2πi , 0
z
)γ(0,r
وﻫﺬا ﺗﻨﺎﻗﺾ.
ﻣﺜﺎل 1.2.9ﻟﻴﻜﻦ γ1 (t) = t + it, 0 ≤ t ≤ 1و . γ2 (t) = t + it2 , 0 ≤ t ≤ 1ﻻﺣﻆ أن γ1 (0) = γ2 (0) = 0و
γ1 (1) = γ2 (1) = 1 + iأي أن اﻟﻘﻮﺳﲔ ﳍﻤﺎ ∫ﻧﻔﺲ اﻟﺒﺪاﻳﺔ∫ واﻟﻨﻬﺎﻳﺔ∫ .اﻵن ﻧﻘﻮم ∫ﲝﺴﺎب اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
zdz
γ2
ﻻﺣﻆ أن ] γ1 = [0, 1 + iوﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻓﺈن
zdz ,
γ1
zdz ,
zdz ,
γ2
∫
2
)(1 + i
=i
2
γ1
= zdz
وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﳒﺪ أن
γ1
∫
1
(t + it2 )(1 + 2it)dt
∫
= zdz
0
1
t + 3it2 − 2t3 dt = i
γ2
∫
=
0
ﻣﺮة أﺧﺮى ﻧﺴﺘﺨﺪم اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﳊﺴﺎب اﻟﺘﻜﺎﻣﻠﲔ اﳌﺘﺒﻘﻴﲔ ,ﻓﻨﺘﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ
1−i
=1
2
ﺑﻴﻨﻤﺎ
1
∫
)(t − it)(1 + i)dt = (1 + i
∫
= zdz
γ1
0
i
t + it2 + 2t3 dt = 1 +
3
1
∫
1
∫
= (t − it2 )(1 + 2it)dt
0
∫
= zdz
γ2
0
اﻟﻌﺒﺮة ﻣﻦ اﻟﻤﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ.
∫
∫
رأﻳﻨﺎ أن ﰲ اﳌﺜﺎل أﻋﻼﻩ أن γ zdz = γ zdzوذﻟﻚ ﻷن اﻟﺪاﻟﺔ f (z) = zﳍﺎ أﺻﻞ F(z) = z2وﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﻧﻈﺮﻳﺔ 1.2.7
∫
∫
ﻳﺘﻀﺢ ﻟﻨﺎ ﺳﺒﺐ ﺗﺴﺎوي اﻟﺘﻜﺎﻣﻠﲔ .ﻣﻦ ﺟﻬﺔ أﺧﺮى وﺟﺪﻧﺎ أن γ zdz , γ zdzوذﻟﻚ ﻷن اﻟﺪاﻟﺔ zﻟﻴﺲ ﳍﺎ أﺻﻞ ﰲ C
ﻋﻠﻰ اﻟﺮﻏﻢ ﻣﻦ ﻛﻮ ﺎ داﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ .ﻓﻠﻮ اﻓﱰﺿﻨﺎ وﺟﻮد داﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ) F(z) = U(x, y) + iV(x, yﲝﻴﺚ
2
2
1
2
∂U
∂V
(x, y) + i (x, y) = z = x − iy
∂x
∂x
ﻓﺈﻧﻪ ﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻻت ﻛﻮﺷﻲ-رﳝﺎن ﳒﺪ أن
1
= )F ′ (z
∂U
∂U
∂ U
∂ U
=x,
⇒= = y
+ 2 =2
∂x
∂y
∂x2
∂y
2
2
أي أن اﻟﺪاﻟﺔ Uﻟﻴﺴﺖ ﺗﻮاﻓﻘﻴﺔ ,وﻫﺬا ﻳﺘﻨﺎﻗﺾ ﻣﻊ ﻛﻮن Fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ .وﻫﻨﺎ ﻳﺘﺠﻠﻲ ﻟﻨﺎ أﺣﺪ اﻟﻔﺮوق ﺑﲔ اﳌﺮﻛﺐ واﳊﻘﻴﻘﻲ.
اﳊﻘﻴﻘﻲ ﻛﻞ داﻟﺔ fﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ [a, b] ⊂ Rﻳﻮﺟﺪ ﳍﺎ أﺻﻞ Fﲝﻴﺚ ﻟﻜﻞ ) x ∈ (a, bﻓﺈن ) F ′ (x) = f (xوذﻟﻚ ﺑﻮﺿﻊ
ﻓﻔﻲ
∫x
.F(x) = a f (t)dt
دﻟﻴﻞ اﻷﻗﻮاس اﻟﻤﻐﻠﻘﺔ
4
ﻧﻈﺮﻳﺔ ) 1.2.10ﺑﻌﺾ ﺧﺼﺎﺋﺺ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ(
ﻟﻴﻜﻦ γ : [a, b] −→ Cﻗﻮس أﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎً و f, gداﻟﺘﲔ ﻣﺘﺼﻠﺘﲔ ﻋﻠﻰ
∫
∫
.1
g(z)dz
.2
f (z)dz
.3
∫
∫
f (z)dz ≤ f (z)dz ≤ sup ∗ | f (z)| Lγ
z∈γ
γ
γ
f (z)dz + β
γ
∫
γ−
γ
f (z)dz = −
(α f (z) + βg(z))dz = α
∫
γ
∫
∗
1.3
γو ,α, β ∈ Cﻓﺈن
γ
ﺣﻴﺚ γ−ﻫﻮ اﻟﻘﻮس اﳌﻌﺎﻛﺲ ﻟﻠﻘﻮس γواﳌﻌﺮف ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ
)γ− (t) = γ(a + b − t
∫
ﺑﺮﻫﺎن ﺳﻨﺜﺒﺖ اﻟﻔﻘﺮة 3وﻧﱰك اﻟﻔﻘﺮﺗﲔ 1و 2ﻛﺘﻤﺮﻳﻦ∫ .ﻟﻴﻜﻦ , γ∫f (z)dz =reiθإذاً
= f (z)dz = r
e−iθ f (z)dz
γ
Re(e−iθ f (γ(t))γ′ (t))dt
b
∫
γ
=
a
b
f (γ(t))γ′ (t) dt
∫
≤
a
≤ sup | f (γ(t))| Lγ
]t∈[a,b
1.3
دﻟﻴﻞ اﻷﻗﻮاس اﻟﻤﻐﻠﻘﺔ
ﻣﻔﻬﻮم اﻟﺪﻟﻴﻞ ﻫﻮ أﺣﺪ اﳌﻔﺎﻫﻴﻢ اﳌﻬﻤﺔ ﰲ اﻟﺘﺤﻠﻴﻞ اﳌﺮﻛﺐ ,وﺳﻨﺮى اﺳﺘﺨﺪاﻣﺎﺗﻪ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧﺪرس اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ ﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻛﻮﺷﻲ
وﻛﺬﻟﻚ ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻟﺒﻮاﻗﻲ ,وﰲ ﻫﺬا اﻟﻔﺼﻞ ﻧﻮرد ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪﻟﻴﻞ وأﻫﻢ ﺧﻮاﺻﻪ.
ﺗﻌﺮﻳﻒ 1.3.1ﻟﻴﻜﻦ γﻗﻮس أﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎً وﻣﻐﻠﻖ و ∗ z0 ∈ C ∫\ γﻓﺈن دﻟﻴﻞ اﻟﻘﻮس γﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻌﻨﺼﺮ z0ﻫﻮ
dz
z − z0
ﻣﺜﺎل 1.3.2ﻟﻴﻜﻦ n ∈ Nو
0 ≤ t ≤ 2π
2π
,∫γn(z ,1) (t) = z0 + eint∫,ﻓﺈن
0
nidt = n
0
ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﳒﺪ أن
γ
1
2πi
= ) I(γ; z0
dz
1
=
z − z0
2πi
)γn(z0 ,1
1
2πi
= ) I(γn(z0 ,1) , z0
−
I(γn(z
, z0 ) = −n
)0 ,1
ﻣﻦ اﳌﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻳﺒﺪو ﻟﻨﺎ وﻛﺄن اﻟﺪﻟﻴﻞ ﻫﻮ ﻋﺒﺎرة ﻋﻦ ﻋﺪد اﻟﻠﻔﺎت اﻟﱵ ﻳﺼﻨﻌﻬﺎ اﻟﻘﻮس ﺣﻮل z0ﺑﺈﺷﺎرة ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن
اﻟﺪوران ﺑﺎﲡﺎﻩ اﻟﻄﻮاف وﺑﺈﺷﺎرة ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﻜﻮن ﻋﻜﺴﻪ .اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺗﺆﻛﺪ ﻫﺬا اﻟﻔﻬﻢ ﻟﻠﺪﻟﻴﻞ.
ﻧﻈﺮﻳﺔ 1.3.3ﻟﻴﻜﻦ γ : [a, b] −→ Cﻗﻮس أﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎً وﻣﻐﻠﻖ ﻓﺈﻧﻪ ﻟﻜﻞ ∗ z ∈ C \ γﻳﻜﻮن I(γ, z) ∈ Zوﻫﻮ ﺛﺎﺑﺖ ﻋﻠﻰ
ﻛﻞ ﺟﺰء ﻣﱰاﺑﻂ ﻣﻦ ∗ C \ γوﻳﻜﻮن ﺻﻔﺮاً ﻋﻠﻰ اﳉﺰء اﳌﱰاﺑﻂ ﻏﲑ اﶈﺪود ﻣﻦ ∗.C \ γ
ﻳﻠﻲ
ﺑﺮﻫﺎن ﻟﻴﻜﻦ γ : [a, b] −→ Cﻗﻮس أﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎً وﻣﻐﻠﻖ و ﻟﻴﻜﻦ ∗ .z ∈ C \ γﻧﻌﺮف اﻟﺪاﻟﺔ gﻋﻠﻰ اﻟﻔﱰة ] [a, bﻛﻤﺎ
)γ′ (t
dt
γ(t) − z
∫
x
= )g(x
a
اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺮﻛﺐ
5
)γ (s
.g′ (s) = γ(s)−zاﻵن ﻧﻀﻊ ) ψ(x) = eg(xﻣﻦ
ﻻﺣﻆ أن اﻟﺪاﻟﺔ gﻣﺘﺼﻠﺔ وﲢﻘﻖ أن g(a) = 0و ) g(b) = 2πi I(γ, zوأن
اﻟﻮاﺿﺢ أن ﻫﺬﻩ اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻋﻨﺪ ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻜﻮن ﻓﻴﻬﺎ اﻟﺪاﻟﺔ γ′ﻣﺘﺼﻠﺔ وﻟﻨﺎ
′
)γ′ (s
)ψ(s
γ(s) − z
وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﳒﺪ أن
= )ψ′ (s) = g′ (s)eg(s
′
)′
′
)ψ (s)(γ(s) − z) − γ (s)ψ(s
=0
(γ(s) − z)2
=
)ψ(s
γ(s) − z
(
)ψ(x
γ(x)−zﻫﻲ ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻓﱰة ﺗﻜﻮن ﻋﻠﻴﻬﺎ اﻟﺪاﻟﺔ γ′ﻣﺘﺼﻠﺔ وﲟﺎ أن γﻗﻮس أﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎً ﻓﺈﻧﻪ ﺗﻮﺟﺪ ﺗﻘﺴﻴﻤﺔ
أي أن اﻟﺪاﻟﺔ
a = x0 < x1 < ... < xn = bﲝﻴﺚ γ′ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ) .(x j , x j+1إذاً ﻣﻦ اﻻﺗﺼﺎل ﻳﻜﻮن ﻟﻨﺎ
)ψ(a
) ψ(x1
)ψ(b
=
= = ...
γ(a) − z
γ(x1 ) − z
γ(b) − z
وﲟﺎ أن ) γ(a) = γ(bﻓﺈن
)ψ(a) = ψ(b) ⇒ 1 = e2πiI(γ,z
وﻫﺬا ﻳﻘﺘﻀﻲ أن I(γ, z) ∈ Zوﻫﻮ ﺛﺎﺑﺖ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﺟﺰء ﻣﱰاﺑﻂ ﻣﻦ ∗ C \ γﻷن اﻟﺪاﻟﺔ ) z 7→ I(γ, zﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ
)ﳌﺎذا؟!( .ﺑﻘﻲ أن ﻧﺒﲔ أﻧﻪ اﻟﺪﻟﻴﻞ ﻳﺴﺎوي اﻟﺼﻔﺮ ﻋﻠﻰ اﳉﺰء اﳌﱰاﺑﻂ ﻏﲑ اﶈﺪود وﻫﺬا واﺿﺢ ﻷﻧﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﻋﻠﻰ ﻫﺬا اﳉﺰء
اﳌﱰاﺑﻂ وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ
∫
∗C \ γ
)γ′ (t
dt = 0
γ(t) − z
b
1
z→∞ 2πi
I(γ, z) = lim
a
ﻣﻼﺣﻈﺔ 1.3.4إذا ﻛﺎن γﻛﻤﺎ ﰲ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻓﺈن اﳉﺰء اﳌﱰاﺑﻂ اﻟﻐﲑ ﳏﺪود ﻳﻜﻮن وﺣﻴﺪاً وذﻟﻚ ﻷن ∗ γﻣﱰاص
ﻛﺼﻮرة ﻟﻠﻤﱰاص ] [a, bﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ اﳌﺘﺼﻠﺔ γوﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻳﻮﺟﺪ R > 0ﲝﻴﺚ ) γ∗ ⊂ B(0, Rوﲟﺎ أن ) C \ B(0, Rﻣﱰاﺑﻂ ﻳﻨﺘﻤﻲ ﻟﻠﺠﺰء
اﳌﱰاﺑﻂ اﻟﻐﲑ ﳏﺪود ﻓﺈن اﳉﺰء اﳌﱰاﺑﻂ ﻏﲑ اﶈﺪود ﻳﻜﻮن وﺣﻴﺪاً.
ﻣﺜﺎل 1.3.5ﻟﻴﻜﻦ γﻛﺎﻟﺘﺎﱄ
, 0 ≤ t ≤ 2π
, 2π ≤ t ≤ π
, π ≤ t ≤ 2π
1 + e2it
π
γ(t) =
) −1 + e−4i(t− 2
it
1+e
∗
∗−
)∪ γ(−1,1
ﻻﺣﻆ أن
) γ∗ = γ(1,1وﺑﺘﻄﺒﻴﻖ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﳒﺪ أن
1
i
I(γ, ) = 1 , I(γ, −1 − ) = −1 , I(γ, −5) = I(γ, 2012i) = 0
2
2
ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻛﻮﺷﻲ
1.4
ﻫﺬا اﻟﻘﺴﻢ ﻳﺘﻨﺎول ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻛﻮﺷﻲ و ﺳﻨﺘﺪرج ﰲ ذﻟﻚ ﻣﻦ اﻟﺼﻮرة اﻟﺒﺴﻴﻄﺔ إﱃ اﻟﺼﻮرة اﻟﻌﺎﻣﺔ.
ﻧﻈﺮﻳﺔ ) 1.4.1ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻛﻮﺷﻲ (
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﻮح ﳛﻮي ) . B(a, rﻓﺈن
∫
f (z)dz = 0
)γ(a,r
ﺑﺮﻫﺎن ﻟﺘﻜﻦ ) . f (z) = u(x, y) + iv(x, yﺣﻴﺚ أن اﻟﺪاﻟﺔ fﲢﻠﻴﻠﻴﺔ إذاً اﳌﺸﺘﻘﺎت اﳉﺰﺋﻴﺔ ux , uy , vx , xyﻣﻮﺟﻮدة وﻣﺘﺼﻠﺔ
وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻣﻦ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﺟﺮﻳﻦ ﳒﺪ أن
و ﲢﻘﻖ ) ux = vy , uy = −vxﻣﻌﺎدﻻت ﻛﻮﺷﻲ-رﳝﺎن(.
∫
∫ ∫
= u(x, y)dx − v(x, y)dy
(−v x − uy )dx dy = 0
)B(a,r
)γ(a,r
ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻛﻮﺷﻲ
6
ﺑﺎﳌﺜﻞ ﳒﺪ أن
∫ ∫
(u x − vy )dx dy = 0
∫
= v(x, y)dx + u(x, y)dy
)γ(a,r
)B(a,r
وﺑﺬﻟﻚ ﻧﺘﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﳌﻄﻠﻮب ﻷن
∫
)(u + iv)(dx + idy
v(x, y)dx + u(x, y)dy
ﻣﺜﺎل 1.4.2ﻟﺘﻜﻦ
sin z
z+2
= )f (z) = z2 , g(z
∫
= f (z)dz
)γ(a,r
∫
)γ(a,r
1.4
)γ(a,r
∫
u(x, y)dx − v(x, y)dy + i
=
)γ(a,r
ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻛﻮﺷﻲ ∫ﳒﺪ أن
2
z dz = 0
)γ(0,1
وذﻟﻚ ﻷن اﻟﺪاﻟﺔ z2ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻛﺎﻣﻞ .Cﺑﺎﳌﺜﻞ ﻳﻜﻮن ﻟﻨﺎ
sin z
dz = 0
z+2
∫
)γ(0,1
z
sinﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ } C \ {−2وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﳝﻜﻦ إﳚﺎد ﳎﻤﻮﻋﺔ ﻣﻔﺘﻮﺣﺔ Ωﲢﻮي ) B(0, 1ﲝﻴﺚ ﺗﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ
ﻷن z+2
ﻻ ﳝﻜﻦ ﺗﻄﺒﻴﻖ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻛﻮﺷﻲ ﳊﺴﺎب اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ
∫
3z6
dz
z−1
sin z
z+2
ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ .ﻟﻜﻦ
)γ(0,2
3z
ﻛﻮن اﻟﺪاﻟﺔ
z−1ﻟﻴﺴﺖ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ) B(0, 2ﻷن اﻟﻌﻨﺼﺮ ) ,1 ∈ B(0, 2وﺳﻮف ﻧﺘﻨﺎول ﻻﺣﻘﺎً ﻛﻴﻔﻴﺔ اﻟﺘﻌﺎﻣﻞ ﻣﻊ ﻫﻜﺬا
ﺗﻜﺎﻣﻼت ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧﺪرس ﺻﻴﻎ ﻛﻮﺷﻲ اﻟﺘﻜﺎﻣﻠﻴﺔ.
6
اﻵن ﻧﻘﻮم ﺑﺈﺛﺒﺎت ﳎﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻨﻈﺮﻳﺎت واﻟﱵ ﻣﻦ ﺷﺄ ﺎ أن ﲤﻬﺪ ﻟﻨﺎ اﻟﻄﺮﻳﻖ ﻟﻠﻮﺻﻮل إﱃ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻛﻮﺷﻲ ﰲ ﺻﻴﻐﺘﻬﺎ اﻟﻌﺎﻣﺔ.
ﻣﺜﻠﺚ ﻣﻦ Ωﲝﻴﺚ داﺧﻠﻴﺔ △ ﳏﺘﻮاﻩ ﰲ Ωﻓﺈن
ﻧﻈﺮﻳﺔ 1.4.3ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﻮح Ωﻣﻦ Cو △
∫
f (z)dz = 0
△
ﺑﺮﻫﺎن ﻟﻨﻔﺮض أﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ a > 0ﲝﻴﺚ
∫
f (z)dz = a
△
ﻟﻴﻜﻦ ﳏﻴﻂ اﳌﺜﻠﺚ △ ﻳﺴﺎوي ,Lﻧﻘﻮم ﺑﺘﻮﺻﻴﻞ أﻧﺼﺎف أﺿﻼع اﳌﺜﻠﺚ ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ أرﺑﻌﺔ ﻣﺜﻠﺜﺎت وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻓﺈﻧﻪ ﻋﻠﻰ أﺣﺪ
ﻫﺬﻩ اﳌﺜﻠﺜﺎت وﻟﻴﻜﻦ △1ﻳﻜﻮن
∫
∫
L
= ) f (z)dz , L(△1
2
ﻧﺴﺘﻤﺮ ﺬﻩ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ
△
1
≥ f (z)dz
4
△1
ﻓﻨﺒﲏ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻦ اﳌﺜﻠﺜﺎت (△∫n )n∈Nﲢﻘﻖ
∫
∫
1
1
L
f (z)dz ≥ ... ≥ n f (z)dz , L(△n ) = n
≥ f (z)dz
4 △n−1
4
2
△n
△
وﺣﻴﺚ أن (△n )n∈Nﻫﻲ ﻣﺘﺘﺎﺑﻌﺔ ﻣﻦ ﳎﻤﻮﻋﺎت ﻣﱰاﺻﺔ ﲢﻘﻖ أن
lim L(△n ) = 0
∞→n
ﻓﺈﻧﻪ ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة z0ﲝﻴﺚ .z0 = ∩n∈N △nوﲟﺎ أن
ﲝﻴﺚ
△1 ⊃ △2 ⊃ ... ⊃ △n ⊃ ...,
fﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ Ωﻓﺈﻧﻪ ﺗﻮﺟﺪ داﻟﺔ Oﲢﻘﻖ أن limz→z0 O(z−z0 ) = 0
) f (z) = f (z0 ) + f ′ (z0 )(z − z0 ) + (z − z0 )O(z − z0
اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺮﻛﺐ
وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ
ﻟﻜﻦ اﻟﺪاﻟﺔ
7
∫
∫
a
′
= f (z)dz
f (z0 ) + f (z0 )(z − z0 ) + (z − z0 )O(z − z0 )dz
≤
△n
4n △n
) f (z0 ) + f ′ (z0 )(z − z0
ﻓﺈن
ﻫﻲ ﻛﺜﲑة ﺣﺪود أي أن ﳍﺎ أﺻﻞ وﻋﻠﻴﻪ
∫
f (z0 ) + f ′ (z0 )(z − z0 )dz = 0
ﻣﻦ ﻧﺎﺣﻴﺔ أﺧﺮى وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﻈﺮﻳﺔ
△n
1.2.10ﳒﺪ أن
∫
L L
|) (z − z0 )O(z − z0 )dz ≤ n n sup |O(z − z0
2 2 z∈△n
△n
أي أن
a
|) ≤ sup |O(z − z0
L2 z∈△n
وﻫﺬا ﻳﺘﻨﺎﻗﺾ ﻣﻊ ﻛﻮن a > 0ﻷن
lim sup |O(z − z0 )| = 0
n→∞ z∈△n
ﻣﺜﺎل 1.4.4اﻟﺸﺮط ﻋﻠﻰ داﺧﻠﻴﺔ اﳌﺜﻠﺚ ﰲ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻫﻮ ﺷﺮط أﺳﺎﺳﻲ ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ اﳌﺜﺎل اﻟﺪاﻟﺔ
ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ∗ Cوﻟﻜﻦ ﻋﻠﻰ اﳌﺜﻠﺚ ] △1 = [−1 − i, 1 − i, iﳒﺪ أن
∫
1
dz = 2πi I(△1 , 0) = 2πi , 0
z
1
z
= )f (z
داﻟﺔ
△1
وﻫﺬا ﻻ ﻳﺘﻨﺎﻗﺾ ﻣﻊ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ ﻷن اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺻﻔﺮ ﺗﻨﺘﻤﻲ ﻟﺪاﺧﻠﻴﺔ اﳌﺜﻠﺚ∫ ,△1ﺑﻴﻨﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﳌﺜﻠﺚ ] △2 = [1, 2, 1 + iﻓﺈن
1
dz = 0
z
ﻷن داﺧﻠﻴﺔ اﳌﺜﻠﺚ △2ﳏﺘﻮاﻩ ﰲ
△2
∗C
ﻧﻈﺮﻳﺔ ) 1.4.5ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻣﻮرﻳﺮا(
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻧﻄﺎق )ﻣﻔﺘﻮح وﻣﱰاﺑﻂ( Ωﲝﻴﺚ ﺗﻜﺎﻣﻠﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﻦ Ωﻳﺴﺎوي ﺻﻔﺮ ﻓﺈن fﺗﻜﻮن
ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ.
ﺑﺮﻫﺎن ﻻﺣﻆ أن fﻋﻠﻰ Ωإذا ﻛﺎﻧﺖ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻗﺮص ﳏﺘﻮى ﰲ Ωوﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻳﻜﻔﻲ أن ﻧﱪﻫﻦ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ
) .Ω = B(a, rﻧﻌﺮف اﻟﺪاﻟﺔ
∫
)f (w)dw, ∀z ∈ B(a, r
= )F(z
][a,z
ﰲ ) .B(a, rﺣﻴﺚ∫أن
ﻟﻴﻜﻦ h ∈ Cﲝﻴﺚ ﻳﻜﻮن اﳌﺜﻠﺚ ] △ = [a, z,∫z + hﳏﺘﻮى ∫
f (w)dw
ﻓﺈن
f (w)dw +
f (w)dw +
][z+h,a
∫
∫
1
f (z + th)dt
][z,z+h
0
وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻳﻜﻮن
= )F(z + h) − F(z
= f (w)dw
∫ 1
1
) F(z + h) − F(z
=
−
f
)(z
f
(z
+
)th
−
f
(z)dt
h
h 0
|)≤ sup | f (z + th) − f (z
]t∈[0,1
=0
= f (w)dw
][a,z
][z,z+h
∫
△
ﺻﻴﻎ ﻛﻮﺷﻲ اﻟﺘﻜﺎﻣﻠﻴﺔ و ﻣﻔﻜﻮك ﺗﺎﻳﻠﻮر ﻟﻠﺪوال اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
8
1.5
اﻵن ﺑﺄﺧﺬ اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ hﺗﺆول إﱃ اﻟﺼﻔﺮ ﻳﻨﺘﺞ أن ) .F ′ (z) = f (zأي أن اﻟﺪاﻟﺔ fﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ).B(a, r
ﻛﻨﺘﻴﺠﺔ ﻟﻠﻨﻈﺮﻳﺎت اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﺺ اﻟﺘﺎﱄ
ﻧﻈﺮﻳﺔ 1.4.6ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻧﻄﺎق Ωﻣﻦ Cﻓﺈن fﳍﺎ أﺻﻞ إذا وﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎن ﺗﻜﺎﻣﻞ اﻟﺪاﻟﺔ fﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻗﻮس
أﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎً وﻣﻐﻠﻖ ﻣﻦ Ωﻳﺴﺎوي ﺻﻔﺮ.
ﺗﻌﺮﻳﻒ 1.4.7ﻧﻘﻮل ﻋﻦ ﳎﻤﻮﻋﺔ ﻣﱰاﺑﻄﺔ C ⊃ Ωﺑﺄ ﺎ ﺑﺴﻴﻄﺔ اﻟﱰاﺑﻂ إذا وﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎن ﻟﻜﻞ ﻗﻮس أﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎً وﻣﻐﻠﻖ γ
ﻣﻦ Ωﺗﻜﻮن اﻷﺟﺰاء اﳌﱰاﺑﻄﺔ اﶈﺪودة ﻣﻦ ∗ Ω \ γﳏﺘﻮاﻩ ﰲ .Ω
ﻣﺜﺎل 1.4.8ا ﻤﻮﻋﺘﺎن ∗ Cو ) B(0, 2) \ B(1, 21ﻣﱰاﺑﻄﺘﺎن إﻻ أ ﻤﺎ ﻟﻴﺴﺘﺎ ﺑﺴﻴﻄﱵ اﻟﱰاﺑﻂ.
ﻣﺜﺎل C \ [0, −∞) 1.4.9و ) B(i, 2و } {z ∈ C : −2 ≤ Im(z) ≤ 4ﻫﻲ ﳎﻤﻮﻋﺎت ﺑﺴﻴﻄﺔ اﻟﱰاﺑﻂ.
ﻧﻈﺮﻳﺔ ) 1.4.10ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻛﻮﺷﻲ اﻟﺼﻴﻐﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ(
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ Ωﺑﺴﻴﻂ اﻟﱰاﺑﻂ ﻣﻦ Cو γﻗﻮس أﻣﻠﺲ ∫ﻗﻄﻌﺎً وﻣﻐﻠﻖ ﻣﻦ Ωﻓﺈن
f (z)dz = 0
γ
ﺑﺮﻫﺎن ﺣﻴﺚ أن Ωﺑﺴﻴﻂ اﻟﱰاﺑﻂ ﻓﺈﻧﻪ ﻟﻜﻞ ﻣﺜﻠﺚ △ ⊃ Ωﺗﻜﻮن داﺧﻠﻴﺔ △ ﳏﺘﻮاﻩ ﰲ .Ωﻟﻜﻦ fﲢﻠﻴﻠﻴﺔ وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻣﻦ
ﻧﻈﺮﻳﺔ 1.4.3ﻳﻜﻮن
∫
f (z)dz = 0
△
وﺑﻄﺮﻳﻖ ﻣﺸﺎ ﺔ ﻟﱪﻫﺎن ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻣﻮرﻳﺮا )اﺳﺘﺒﺪل اﳌﺜﻠﺚ ﺑﻘﻮس أﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎً( ﳒﺪ أن اﻟﺪاﻟﺔ fﳍﺎ أﺻﻞ Fﻋﻠﻰ .Ωﻟﻴﻜﻦ اﻵن
γ : [a, b] −→ Cﻗﻮس أﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎً وﻣﻐﻠﻖ ﲝﻴﺚ γ∗ ⊂ Ωﻓﺈﻧﻪ ﻣﻦ ﻧﻈﺮﻳﺔ ∫1.2.7ﳒﺪ أن
f (z)dz = F(γ(b)) − F(γ(a)) = 0
γ
ﻛﺘﻄﺒﻴﻖ ﻟﻨﻈﺮﻳﺔ ﻛﻮﺷﻲ ﻧﻌﻄﻲ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
ﻧﺘﻴﺠﺔ 1.4.11ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺑﺴﻴﻂ اﻟﱰاﺑﻂ Ωو γ1 , γ2ﻗﻮﺳﲔ أﻣﻠﺴﲔ ﻗﻄﻌﺎً ﲝﻴﺚ γ1∗ , γ2∗ ⊂ Ωوﳍﻤﺎ ﻧﻔﺲ
اﻟﺒﺪاﻳﺔ واﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻓﺈن
∫
∫
= f (z)dz
f (z)dz
γ1
γ2
ﺑﺮﻫﺎن ﻳﻨﺘﺞ اﳌﻄﻠﻮب ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻮس
1.5
γ∗ = γ1∗ ∪ γ2∗−
ﺻﻴﻎ ﻛﻮﺷﻲ اﻟﺘﻜﺎﻣﻠﻴﺔ و ﻣﻔﻜﻮك ﺗﺎﻳﻠﻮر ﻟﻠﺪوال اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
ﻧﺒﺪأ ﻫﺬا اﻟﻘﺴﻢ ﺑﻨﻈﺮﻳﺘﲔ ﳍﻤﺎ أﳘﻴﺔ ﰲ أﺛﺒﺎت ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻣﻔﻜﻮك ﺗﺎﻳﻠﻮر
ﺗﻤﻬﻴﺪﻳﺔ ) 1.5.1ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻟﻴﺒﻨﺰ(
ﻟﺘﻜﻦ ϕ : [a, b] × [c, d] −→ Cداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ و ﻟﺘﻜﻦ g : [c,∫ d] −→ Cداﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة
ϕ(t, s)dt
ﻓﺈن gداﻟﺔ ﻣﺘﺼﻠﺔ .ﻋﻼوة ﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ,إذا ﻛﺎﻧﺖ
b
= )g(s
a
∂ϕ
∂s
ﻣﻮﺟﻮدة ∫وﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﺈن g ∈ C1وﻟﻨﺎ
)∂ϕ(t, s
dt
∂s
b
= )g′ (s
a
اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺮﻛﺐ
9
ﺗﻤﻬﻴﺪﻳﺔ 1.5.2ﻟﻴﻜﻦ γﻗﻮس أﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎً ﻣﻦ Cوﻟﺘﻜﻦ
ﻣﻦ fﻋﻠﻰ ∗ γﻓﺈن
∫
f (z)dz
fn
و fدوال ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ ∗ .γإذا ﻛﺎﻧﺖ
∫
lim
= fn (z)dz
γ
fn
ﺗﺘﻘﺎرب ﺑﺎﻧﺘﻈﺎم
∞→n
γ
ﻧﻈﺮﻳﺔ ) 1.5.3ﺻﻴﻐﺔ ﺗﻜﺎﻣﻞ ﻛﻮﺷﻲ(
ﳛﻮي اﻟﻘﺮص ) B(a, rﻓﺈﻧﻪ ﻟﻜﻞ ) z ∈ B(a, rﻳﻜﻮن
ﻟﻴﻜﻦ a ∈ Cو r > 0وﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﻮح Ω
∫
)f (w
dw
w−z
1
2πi
)γ(a,r
= )f (z
ﺑﺮﻫﺎن ﻟﻨﻔﱰض أوﻻً أن a = 0و . r = 1ﲟﺎ أن ∫) z ∈ B(0, 1ﻓﺈن
eit
dt
−z
2π
eit
وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻳﻜﻮن
0
f (z)eit
dt
eit − z
1
2π
= )1 = I(γ(0,1) , z
∫
2π
0
1
2π
= )f (z
اﻵن ﻋﻠﻰ اﻟﻔﱰة [0, 1] ⊂ Rﻧﻌﺮف اﻟﺪاﻟﺔ
( f (eit + s(z − eit )) − f (z))eit
dt
eit − z
ﻻﺣﻆ أن اﻟﺪاﻟﺔ gﺣﺴﻨﺔاﻟﺘﻌﺮﻳﻒ ﻋﻠﻰ اﻟﻔﱰة ] [0, 1ﻷن
2π
∫
0
1
= )g(s
2π
|e + s(z − e )| ≤ |e (1 − s)| + |sz| < (1 − s) + s = 1
it
it
it
و ﻋﻨﺪﻫﺎ ﳒﺪ أن g(1) = 0وإذا ﺑﻴﱠﻨﺎ أن g(0) = 0ﻓﺈن اﳌﻄﻠﻮب ﻳﻨﺘﺞ ﺑﺼﻮرٍة ﻣﺒﺎﺷﺮة .ﻟﻜﻦ ﻣﻦ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻟﻴﺒﻨﺰ ﻟﻨﺎ
∫
−(eit − z)( f ′ (eit + s(z − eit )))eit
dt
eit − z
0
∫ 2π
−1
=
( f (eit + s(z − eit ))′ dt = 0
2πi(1 − s) 0
2π
1
2π
= )g′ (s
وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈن .g(1) = g(0) = 0
ﰲ اﳊﺎﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ وﻋﻨﺪﻣﺎ fﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﲜﻮار ) B(a, rو ) ξ0 ∈ B(a, rﻓﺈن ) ,z0 = ξ r−a ∈ B(0, 1اﻵن ﻧﻌﺮف
0
)g(z) = f (a + rz
ﻓﻨﺠﺪ أن اﻟﺪاﻟﺔ gﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﲜﻮار ) ,B(0, 1وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻧﺺ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ ﻳﺘﺒﻊ ﻋﻨﺪ ﺗﻄﺒﻴﻖ اﻟﻔﻘﺮة اﻷوﱃ ﻣﻦ اﻟﱪﻫﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﺪاﻟﺔ .g
ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ 1.5.3
. 1اﻋﺘﻤﺪﻧﺎ ﺳﺎﺑﻘﺎً أن ﻛﻞ داﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﺗﻜﻮن ﻣﻦ ﺻﻨﻒ ∞ Cدون أن ﻧﱪﻫﻦ ذﻟﻚ ,واﻵن ﻧﺒﲔ ﻫﺬﻩ اﳊﻘﻴﻘﺔ .ﻟﻨﻔﺮض
أن fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﻮح Ωﳛﻮي اﻟﻘﺮص ) , B(a, rﻋﻨﺪﻫﺎ ﻳﻮﺟﺪ R > rﲝﻴﺚ ﺗﻜﻮن fﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ )B(a, R
وﻣﻦ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻛﻮﺷﻲ ﳒﺪ أن اﻟﺪاﻟﺔ fﳍﺎ أﺻﻞ Fﻋﻠﻰ∫ ) .B(a, Rاﻵن ﻣﻦ ﺻﻴﻐﺔ ﻛﻮﺷﻲ اﻟﺘﻜﺎﻣﻠﻴﺔ ﳒﺪ أن
)F(w
dw
w−z
)γ(a,r
1
2πi
= )∀z ∈ B(a, r), F(z
و ﺬﻩ اﻟﺼﻴﻐﺔ ﳒﺪ أن اﻟﺪاﻟﺔ Fﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻣﺎﻻ ﺎﻳﺔ ﻣﻦ∫اﳌﺮات وﻟﻨﺎ
)F(w
dw
(w − z)n+1
وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﺗﻜﻮن ). f ∈ C∞ (Ω
)γ(a,r
!n
2πi
= )(z
)(n
F
ﺻﻴﻎ ﻛﻮﺷﻲ اﻟﺘﻜﺎﻣﻠﻴﺔ و ﻣﻔﻜﻮك ﺗﺎﻳﻠﻮر ﻟﻠﺪوال اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
10
. 2رأﻳﻨﺎ أن ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻛﻮﺷﻲ ﻻ ﲣﻮﻟﻨﺎ ﳊﺴﺎب ﻗﻴﻤﺔ ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ
3z6
dz
z−1
أﻣﺎ اﻵن وﺑﻮﺿﻊ
f (z) = 3z6
∫
)γ(0,2
ﳒﺪ ﻣﻦ ﺻﻴﻐﺔ ﺗﻜﺎﻣﻞ ﻛﻮﺷﻲ أن
3z6
dz = 2πi f (1) = 6πi
z−1
ﻣﺜﺎل 1.5.4أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ
)log(z
dz
)(z − i)(z + 1
∫
)γ(0,2
∫
) γ(i, 1
2
اﻟﺤﻞ:
ﺣﻴﺚ أن اﻟﺪاﻟﺔ
)log(z
z+1
= )f (z
ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﻮح ﳛﻮي اﻟﻘﺮص
1
1
)2
,B(i,إذاً ﻣﻦ ﺻﻴﻐﺔ ﺗﻜﺎﻣﻞ ﻛﻮﺷﻲ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ
)log(z)/(z + 1
)dz = 2πi f (i
)(z − i
∫
) γ(i, 1
2
)log(i
2πi − π
=
i+1
1+i
ﻃﺮﻳﻘﺔ أﺧﺮى:
ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻜﺴﻮر اﳉﺰﻳﺌﻴﺔ ﳒﺪ أن
)log(z
dz
z+1
∫
) γ(i, 1
= 2πi
)log(z
1
dz −
z−i
1+i
2
∫
) γ(i, 1
)log(z)/(z + 1
1
= dz
1+i
)(z − i
2
∫
) γ(i, 1
2
)2πi log(i
=
+0
1+i
ﻧﻈﺮﻳﺔ ) 1.5.5ﺻﻴﻐﺔ ﺗﻜﺎﻣﻞ ﻛﻮﺷﻲ اﻟﻌﺎﻣﺔ(
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﻮح Ωﻣﻦ .Cإذا ﻛﺎن γﻗﻮس أﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎً وﻣﻐﻠﻖ ﲝﻴﺚ
I(γ, z) = 0, ∀z ∈ C \ Ω
ﻓﺈﻧﻪ ﻟﻜﻞ ∗ z ∈ Ω \ γﻳﻜﻮن
)f (w
dw
w−z
∫
γ
1
2πi
= )I(γ, z) f (z
ﻧﻈﺮﻳﺔ ) 1.5.6ﻣﻔﻜﻮك ﺗﺎﻳﻠﻮر(
ﻟﻴﻜﻦ r > 0و a ∈ Cوﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﻮح Ωﳛﻮي ) B(a, rﻓﺈﻧﻪ ﻟﻜﻞ ) z ∈ B(a, rﻟﻨﺎ
an (z − a)n
∞
∑
= )f (z
n=0
ﺣﻴﺚ
1
)f (w
dw
(w − a)n+1
ﳚﺐ اﺧﺘﻴﺎر ﻫﺬا اﳌﻔﺘﻮح ﺑﻌﻨﺎﻳﺔ ﲝﻴﺚ ﻳﻜﻮن ﺑﻌﻴﺪا ﻋﻦ .−1
∫
)γ(a,r
)f (n) (a
1
= an
=
!n
2πi
1.5
اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺮﻛﺐ
11
ﺑﺮﻫﺎن ﻣﻦ ﺗﻜﺎﻣﻞ ﻛﻮﺷﻲ ﻧﻌﻠﻢ أن
)f (w
dw
w−z
∫
)γ(a,r
∫
1
= )f (z
2πi
2π
f (a + reit )reit
1
dt
2π 0
a + reit − z
∫ 2π
) f (a + reit
1
dt
=
2π 0
1 − z−a
reit
=
ﻻﺣﻆ أن
وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈن
وﺑﺬﻟﻚ ﻳﻜﻮن
z − a < 1
reit
∑ ( z − a )n
1
=
reit
1 − z−a
reit
n=0
∞
( ∞
∑ z − a )n
it
dt
f (a + re )
it
re
n=0
2π
∫
0
1
= )f (z
2π
وﻣﻦ اﻟﺘﻘﺎرب اﳌﻨﺘﻈﻢ ﳝﻜﻨﻨﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ا ﻤﻮع ﻣﻊ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻓﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ
)
∫ 2π
( ∞
∑
1
it −int
= )f (z
f
(a
+
re
)e
dt
(z − a)n
n
2πr
0
n=0
∫
∞
∑
1
)f (w
(z − a)n
=
dw
n+1
2πi
(w
−
)a
)γ(a,r
n=0
ﳝﻜﻨﻨﺎ أن ﻧﺸﺘﻖ ﺣﺪاً ﲝﺪ ,وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﳒﺪ أن
وﺣﻴﺚ أن ﻫﺬﻩ اﳌﺘﺴﻠﺴﻠﺔ ﺗﺘﻘﺎرب ﺑﺎﻧﺘﻈﺎم ﻋﻠﻰ ) B(a, rﻓﺈﻧﻪ
∫
)f (w
dw
(w − a)n+1
)γ(a,r
)f (n) (a
1
=
!n
2πi
ﻧﺘﻴﺠﺔ 1.5.7ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﻮح Ωﻣﻦ Cو a ∈ Ωﻓﺈﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ r > 0ﲝﻴﺚ
an (z − a)n
∞
∑
= )∀z ∈ B(a, r), f (z
n=0
ﺑﺮﻫﺎن ﺧﺬ ) ,r < d(a, ∂Ωﻋﻨﺪﻫﺎ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺗﺘﺒﻊ ﻣﻦ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ.
ﻣﺜﺎل 1.5.8اﻟﺪاﻟﺔ 1zﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﲜﻮار اﻟﻘﺮص ) ,B(i, 21وﻣﻦ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﳒﺪ أن
∑ 1 1
an (z − i)n
∀z ∈ B(i, ),
=
2 z
n=0
∞
وﲝﺴﺎب اﳌﺸﺘﻘﺎت ﻧﺘﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ
)f (n) (i
(−1)n
= an
= n+1
!n
)(i
ﻧﻈﺮﻳﺔ ) 1.5.9ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻛﻮﺷﻲ(
ﻟﻴﻜﻦ a ∈ Cو r > 0وﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﻮح Ωﳛﻮي ) B(a, rﻓﺈن
f (n) (a) 1
≤
|)sup | f (z
n! rn |z−a|=r
ﺻﻴﻎ ﻛﻮﺷﻲ اﻟﺘﻜﺎﻣﻠﻴﺔ و ﻣﻔﻜﻮك ﺗﺎﻳﻠﻮر ﻟﻠﺪوال اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ
12
1.5
ﺑﺮﻫﺎن ﻧﻌﻠﻢ ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك ﺗﺎﻳﻠﻮر وﻧﻈﺮﻳﺔ 1.2.10أن
) (n
∫
)f (w
f (a) 1
dw
=
n+1
!n
)2πi γ(a,r) (w − a
∫ 2π
1
it −int
=
f (a + re )e dt
2πrn 0
1
|)≤ n sup | f (z
r |z−a|=r
ﻗﺪ ﻳﺒﺪو ﻟﻠﻘﺎرئ ﻣﻦ اﻟﻮﻫﻠﺔ اﻷوﱃ أن ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻛﻮﺷﻲ ﻟﻴﺴﺖ ﺑﺘﻠﻚ اﻷﳘﻴﺔ وذﻟﻚ ﻟﺴﻬﻮﻟﺔ اﻟﱪﻫﺎن إﻻ إﻧﻪ وﻋﻠﻰ اﻟﻌﻜﺲ
ﲤﺎﻣﺎً ﻓﺈن ﻫﺬﻩ اﳌﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﳍﺎ اﻟﻌﺪﻳﺪ ﻣﻦ اﻟﺘﻄﺒﻴﻘﺎت اﳌﻬﻤﺔ وﻟﻌﻞ ﻣﻦ أﳘﻬﺎ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻟﻴﻮﻓﻴﻞ اﻟﱵ ﺗﻨﺺ ﻋﻠﻰ
ﻧﻈﺮﻳﺔ ) 1.5.10ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻟﻴﻮﻓﻴﻞ(
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﻛﻠﻴﺔ )أي ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻛﺎﻣﻞ اﳌﺮﻛﺐ( .إذا ﻛﺎﻧﺖ fﳏﺪودة ﻓﺈ ﺎ ﺛﺎﺑﺘﺔ.
ﺑﺮﻫﺎن ﻟﻴﻜﻦ } . M = sup{| f (z)|, z ∈ Cﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك ﺗﺎﻳﻠﻮر ﻟﻨﺎ
∞
∑
)f (n) (0
!n
n=0
وﻟﻜﻦ ﻣﻦ ﻣﺘﺒﺎﻳﻨﺔ ﻛﻮﺷﻲ ﻓﺈﻧﻪ
= )∀z ∈ C, f (z
) (n
f (0) M
∀r > 0, ∀n ∈ N,
≤
n! rn
وﺣﻴﺚ أن fداﻟﺔ ﻛﻠﻴﺔ ,ﻓﺈﻧﻪ ﺑﺄﺧﺬ
اﻟﻨﻬﺎﻳﺔ ﻋﻨﺪﻣﺎ ∞ → rﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ ) (n
) f (0
M
= 0 , ∀n ∈ N
≤ lim
n! r→∞ rn
و ﺬا ﻳﻜﻮن ) f (z) = f (aﻟﻜﻞ ,z ∈ Cأي أن fﺛﺎﺑﺘﺔ.
ﻣﻦ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻟﻴﻮﻓﻴﻞ ﻧﺮى أن اﻟﺪوال sin z, cos z, ezدوال ﻟﻴﺴﺖ ﳏﺪودة وذﻟﻚ ﻛﻮ ﺎ دوال ﻛﻠﻴﺔ ,وﻫﺬا ﳜﺘﻠﻒ ﻋﻦ اﻟﺪوال
ﰲ اﳊﻘﻴﻘﻲ ﻷﻧﻨﺎ ﻧﻌﻠﻢ ﻋﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ اﳌﺜﺎل أن .| sin x| ≤ 1, ∀x ∈ R
رأﻳﻨﺎ ﰲ ﺑﺪاﻳﺔاﳌﻘﺮر أن ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﻀﺮب ﻋﻠﻰ اﻷﻋﺪاد اﳌﺮﻛﺒﺔ ﻣﻜﻨﻨﺎ ﻣﻦ ﺣﻞ اﳌﻌﺎدﻟﺔ z2 + 1 = 0وﻫﻮ ﻣﺎ ﱂ ﻳﺘﺴﲎ ﻟﻨﺎ ﰲ
اﻷﻋﺪاد اﳊﻘﻴﻘﻴﺔ ,واﻵن ﻧﻮرد ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻣﻔﺎدﻫﺎ ﺿﻤﺎن وﺟﻮد اﳉﺬور ﻟﻜﺜﲑات اﳊﺪود ﰲ اﳌﺮﻛﺐ
ﻧﻈﺮﻳﺔ ) 1.5.11اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻷﺳﺎﺳﻴﺔ ﰲ اﳉﱪ(
إذا ﻛﺎﻧﺖ Pﻛﺜﲑة ﺣﺪود ﻏﲑ ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻓﺈن ﳍﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻞ ﺟﺬر ﰲ .C
ﺑﺮﻫﺎن ﺣﻴﺚ أن Pﻛﺜﲑة ﺣﺪود ﻏﲑ ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻓﺈن ∞ = |) .lim|z|→∞ |P(zﰲ اﻟﻮاﻗﻊ
a0
a1
)+ n−1 + ... + 1
zn
z
ﻟﻮ ﻛﺎﻧﺖ Pﻟﻴﺲ ﳍﺎ ﺟﺬور ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ
1
P
= f
( P(z) = a0 + a1 z + ... + an zn = zn
ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻛﺎﻣﻞ اﳌﺮﻛﺐ وﲢﻘﻖ
lim | f (z)| = 0
∞→||z
وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ إذا ﻛﺎن M > 0ﻓﺈﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ R > 0ﲝﻴﺚ | f (z)| ≤ Mﻟﻜﻞ .|z| > Rﻣﻦ اﻟﻨﺎﺣﻴﺔ اﻷﺧﺮى ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ | | fﻣﺘﺼﻠﺔ
وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻋﻠﻰ اﳌﱰاص ) B(0, Rﺗﺼﻞ إﱃ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ اﻟﻌﻈﻤﻰ .وﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ fﳏﺪودة وﻣﻦ ﻟﻴﻮﻓﻴﻞ ﺗﻜﻮن ﺛﺎﺑﺘﻪ ,وﻫﺬا ﻳﺆدي
إﱃ أن Pﺛﺎﺑﺘﺔ وﻫﺬا ﺗﻨﺎﻗﺾ.
اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺮﻛﺐ
13
ﺗﻌﺮﻳﻒ 1.5.12ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﻮح Ωﻣﻦ Cﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل أن a ∈ Ωﺟﺬر ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ m ≥ 1إذا
وﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎن
f (a) = ... = f (m−1) (a) = 0, f (m) (a) , 0
ﻻﺣﻆ أﻧﻪ ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك
ﺗﺎﻳﻠﻮر ﻋﻠﻰ B(a, r) ⊂ Ωﳒﺪ أن
∞
∞
)(n
∑
∑
)f (a
= )∀z ∈ B(a, r), f (z
(z − a)n = (z − a)m
an (z − a)n−m
!n
n=m
n=0
وﺑﺬﻟﻚ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن ﻛﻮن aﺟﺬر ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ mﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻳﻘﺘﻀﻲ وﺟﻮد r > 0وداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ gﻋﻠﻰ
) z ∈ B(a, rﻓﺈن ) f (z) = (z − a)m g(zو .g(a) , 0
ﻧﻈﺮﻳﺔ ) 1.5.13ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻷﺻﻔﺎر اﳌﻌﺰوﻟﺔ(
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻧﻄﺎق Ωﻣﻦ Cﻓﺈن
.Ω
)B(a, r
ﲝﻴﺚ ﻟﻜﻞ
إذا وﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎﻧﺖ ا ﻤﻮﻋﺔ } Z f = {z : f (z) = 0ﳍﺎ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺮاﻛﻢ ﰲ
f ≡0
ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻷﺻﻔﺎر اﻟﻤﻌﺰوﻟﺔ
1
n
. f (z) = z+1ﻷﻧﻪ ﻟﻮ ﻛﺎﻧﺖ gداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﲢﻘﻖ
f ( 1n ) = n+1ﻫﻲ
• ﲨﻴﻊ اﻟﺪوال اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﲜﻮار اﻟﺼﻔﺮ اﻟﱵ ﲢﻘﻖ
n
1
g( 1n ) = n+1ﻓﺈن f − g = 0ﻋﻠﻰ ا ﻤﻮﻋﺔ } A = { n , n ∈ Nوﺣﻴﺚ أن Aﳍﺎ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺮاﻛﻢ ﻓﺈن . f ≡ g
• إذا ﻛﺎﻧﺖ Pﻛﺜﲑة ﺣﺪود ﻏﲑ ﺻﻔﺮﻳﺔ ﻓﺈن ﺟﺬورﻫﺎ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ .وذﻟﻚ ﻷن ∞ = |) lim|z|→∞ |P(zوﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻳﻮﺟﺪ
ﺣﻴﺚ ﺟﺬور Pﳏﺘﻮاﻩ ﰲ ) . B(0, Rإذاً ﺟﺬور Pﻣﻨﺘﻬﻴﺔ وإﻻ وﺟﺪت ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺮاﻛﻢ ﳉﺬورﻫﺎ .اﻵن ﻟﺘﻜﻦ a1 , ..., an
ﺟﺬور ﻛﺜﲑة اﳊﺪود Pﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ m1 , ..., mnﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﱄ ,ﻓﺈن ﲨﻴﻊ ﻫﺬﻩ اﳉﺬور ﻣﻦ درﺟﺔ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ .ﻓﻌﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ
اﳌﺜﺎل ﻟﻮ ﻛﺎن f (n) (a1 ) = 0ﻟﻜﻞ n ∈ Nﻓﻤﻦ ﻣﻔﻜﻮك ﺗﺎﻳﻠﻮر ﺣﻮل a1ﺗﻜﻮن Pﻛﺜﲑة ﺣﺪود ﺻﻔﺮﻳﺔ وﻫﺬا ﺗﻨﺎﻗﺾ.
إذاً ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ ﻣﻦ ذﻟﻚ أن Pﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة
R>0
P(z) = (z − a1 )m1 ...(z − an )mn
• إذا ﻛﺎﻧﺖ fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻧﻄﺎق Ωو a ∈ Ωﺟﺬر ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ mﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻓﺈﻧﻪ ﻳﻮﺟﺪ r > 0و gداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ
) B(a, rﲢﻘﻖ ) g(z) , 0, ∀z ∈ B(a, rﲝﻴﺚ
)∀z ∈ B(a, r), f (z) = (z − a)m g(z
أي أن أﺻﻔﺎر اﻟﺪوال اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﺗﻜﻮن ﻣﻌﺰوﻟﺔ.
ﻧﻈﺮﻳﺔ ) 1.5.14ﻣﺒﺪأ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻌﻈﻤﻰ(
ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻧﻄﺎق Ωﻣﻦ Cإذا وﺟﺪ a ∈ Ωﲝﻴﺚ
|)| f (a)| = sup | f (z
z∈Ω
ﻓﺈن fﺗﻜﻮن ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ .Ω
ﻳﻨﺘﺞ ﻣﻦ ﻫﺬﻩ اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﻨﺺ اﻟﺘﺎﱄ
ﻧﺘﻴﺠﺔ 1.5.15ﻟﻴﻜﻦ Ωﻣﻔﺘﻮح وﳏﺪود ﻣﻦ Cو fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ Ωوﻣﺘﺼﻠﺔ ﻋﻠﻰ Ωﻓﺈن
sup | f (z)| = sup | f (z)|.
z∈Ω
z∈∂Ω
ﻣﻔﻜﻮك ﻟﻮران وﺗﺼﻨﻴﻒ اﻟﻨﻘﺎط اﻟﺸﺎذة
14
1.6
1.6
ﻣﻔﻜﻮك ﻟﻮران وﺗﺼﻨﻴﻒ اﻟﻨﻘﺎط اﻟﺸﺎذة
ﺗﻄﺮﻗﻨﺎ ﺳﺎﺑﻘﺎً ﻟﺘﻌﺮﻳﻒ اﻟﻨﻘﺎط اﻟﺸﺎذة اﳌﻨﻌﺰﻟﺔ ,وﰲ ﻫﺬا اﻟﻘﺴﻢ ﺳﻨﻘﻮم ﺑﺪراﺳﺘﻬﺎ ﺑﺼﻮرة ﻣﺴﺘﻔﻴﻀﺔ .وﻗﺒﻞ أن ﳔﻮض ﰲ ذﻟﻚ
ﺳﻨﺜﺒﺖ اﻟﺮﻣﺰ ) B(a; r, Rﻋﻠﻰ أﻧﻪ ا ﻤﻮﻋﺔ } {z ∈ C : r < |z − a| < Rﺣﻴﺚ a ∈ Cو .0 < r < R
ﺗﻌﺮﻳﻒ 1.6.1ﻧﻘﻮل أن اﻟﻨﻘﻄﺔ a ∈ Cﻧﻘﻄﺔ ﺷﺎذة ﻣﻨﻌﺰﻟﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fإذا وﺟﺪ r > 0ﲝﻴﺚ ﺗﻜﻮن fﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ).B(a; 0, r
ﻋﻨﺪﻫﺎ ﻧﺼﻨﻒ aﻛﺎﻟﺘﺎﱄ:
a . 1ﻧﻘﻄﺔ ﺷﺎذة ﻣﺰاﻟﺔ إذا وﻓﻘﻂ إذا وﺟﺪت داﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ gﻋﻠﻰ ) B(a, rﲝﻴﺚ g = fﻋﻠﻰ ) .B(a; 0, rأي أن
ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺘﻤﺪﻳﺪ ﻛﺪاﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ) B(a, rوﲤﺪﻳﺪﻫﺎ efﻫﻮ .g
f
a . 2ﻗﻄﺐ إذا وﻓﻘﻂ إذا وﺟﺪ ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻲ m > 1ﲝﻴﺚ ﺗﻜﻮن aﻧﻘﻄﺔ ﺷﺎذة ﻣﺰاﻟﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ
g(z) = (z − a)m f (z).
a . 3ﻧﻘﻄﺔ ﺷﺎذة أﺳﺎﺳﻴﺔ إذا وﻓﻘﻂ إذا ﱂ ﺗﻜﻦ ﻻ ﻣﺰاﻟﺔ وﻻ ﻗﻄﺐ.
+z
f (z) = 2z2z+1داﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ) ,B( −12 ; 0, rﻟﻜﻦ ﻟﻮأﺧﺬﻧﺎ g(z) = zﳒﺪ أن gداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ
ﻣﺜﺎل 1.6.2اﻟﺪاﻟﺔ
−1
) B( −12 , rوﲢﻘﻖ أن g = fﻋﻠﻰ ) B( 2 ; 0, rﻷﻧﻪ
2
)z(2z + 1
−1
= ); 0, r), f (z
=z
2
2z + 1
وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻓﺈن a = −12ﻧﻘﻄﺔ ﺷﺎذة ﻣﺰاﻟﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ
(∀z ∈ B
f
ﻣﺜﺎل 1.6.3اﻟﺪاﻟﺔ f (z) = 1zداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ∗ Cوﳒﺪ أن ﺣﺎﺻﻞ اﻟﻀﺮب z f (z) = 1داﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻛﺎﻣﻞ اﳌﺮﻛﺐ
وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻓﺈن a = 0ﻫﻮ ﻗﻄﺐ ﻟﻠﺪاﻟﺔ .ﻻﺣﻆ أن a = 0ﻻ ﳝﻜﻦ أن ﺗﻜﻮن ﻧﻘﻄﺔ ﺷﺎذة ﻣﺰاﻟﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻷﻧﻪ ﻟﻮ أﻣﻜﻦ ﲤﺪﻳﺪ
اﻟﺪاﻟﺔ f (z) = 1zﲝﻴﺚ ﺗﻜﻮن ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ Cﻓﺈﻧﻪ ﻣﻦ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻛﻮﺷﻲ ﻋﻠﻰ ﺑﺴﻴﻂ اﻟﱰاﺑﻂ ﻳﻜﻮن ﺗﻜﺎﻣﻞ efﻣﺴﺎوﻳﺎً ﻟﻠﺼﻔﺮ ﻋﻠﻰ
ﻛﻞ ﻗﻮس أﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎً ﻣﻦ Cوﻫﺬا ﻳﻨﺎﻗﺾ ﻛﻮن
∫
1
dz = 2πi
z
ﻣﺜﺎل 1.6.4اﻟﺪاﻟﺔ
1
f (z) = e z
)γ(0,1
داﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ∗ Cوﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻣﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﻴﺔ ﻓﺈﻧﻪ ﻟﻜﻞ z , 0ﻳﻜﻮن
1
1
1
1
e =1+ + 2 +
+ .... +
+ ...
z
2z
(3!)z3
(n!)zn
1
z
وﻣﻦ ﻫﻨﺎ ﻧﺮى أن a = 0ﻧﻘﻄﺔ ﺷﺎذة أﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ,eﻷﻧﻪ ﻻﻳﻮﺟﺪ n ∈ Nﲝﻴﺚ ﺗﻜﻮن zn eﲢﻠﻴﻠﻴﺔ وذﻟﻚ ﻛﻮن
اﻷﺳﺲ اﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﺳﺘﺴﺘﻤﺮ ﺑﺎﻟﻈﻬﻮر وﻫﻮ ﻣﺎ ﻳﺘﻨﺎﰱ ﻣﻊ ﻣﻔﻜﻮك ﺗﺎﻳﻠﻮر ﻟﻠﺪوال اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ.
1
z
1
z
ﺗﻌﺮﻳﻒ 1.6.5ﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ) B(a; 0, rﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل أن aﻗﻄﺐ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ mإذا وﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎن
أﺻﻐﺮ ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻲ ﲝﻴﺚ ﺗﻜﻮن aﻧﻘﻄﺔ ﺷﺎذة ﻣﺰاﻟﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ).g(z) = (z − a)m f (z
m
ﻣﻼﺣﻈﺔ 1.6.6ﻧﻼﺣﻆ ﻣﻦ اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ اﻟﺴﺎﺑﻖ أن gﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ) B(a, rوﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك ﺗﺎﻳﻠﻮر ﻟﻠﺪوال اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﳒﺪ
أن
∞
∑
αn (z − a)n
n=0
)g(z
1
=
(z − a)m
(z − a)m
∞
∑
α0
α1
αm−1
+
+
...
+
+
αn (z − a)n−m
(z − a)m
(z − a)m−1
(z − a) n=m
|
{z
}
اﳉﺰء اﻟﺸﺎذ
=
= )f (z
اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺮﻛﺐ
15
ﻧﻈﺮﻳﺔ ) 1.6.7ﻣﻔﻜﻮك ﻟﻮران(
ﻟﻴﻜﻦ a ∈ Cو 0 < r < Rوﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﻔﺘﻮح Ωﳛﻮي ) B(a; r, Rﻓﺈﻧﻪ
an (z − a)n
∞
∑
= )∀z ∈ B(a; r, R), f (z
∞n=−
ﺣﻴﺚ
)f (z
)dz, t ∈ (r, R
(z − a)n+1
∫
)γ(a,t
1
= an
2πi
اﻵن ﺳﻮف ﻧﺴﺘﺨﺪم ﻣﻔﻜﻮك ﻟﻮران ﻛﺄداة ﻟﺘﺼﻨﻴﻒ اﻟﻨﻘﺎط اﻟﺸﺎذة ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﻨﻈﺮﻳﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ.
ﻧﻈﺮﻳﺔ 1.6.8ﻟﺘﻜﻦ aﻧﻘﻄﺔ ﺷﺎذة ﻣﻨﻌﺰﻟﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fو ﻟﺘﻜﻦ fﳍﺎ ﻣﻔﻜﻮك ﻟﻮران ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة
an (z − a)n , ∀z ∈ B(a; 0, r).
∞
∑
= )f (z
∞n=−
ﻓﺈن:
a . 1ﻧﻘﻄﺔ ﺷﺎذة ﻣﺰاﻟﺔ إذا وﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎن an = 0ﻟﻜﻞ .n ≤ −1
a . 2ﻗﻄﺐ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ mإذا وﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎن a−m , 0و ﻛﺎن an = 0ﻟﻜﻞ ).n ≤ −(m + 1
a . 3ﻧﻘﻄﺔ ﺷﺎذة أﺳﺎﺳﻴﺔ إذا وﻓﻘﻂ إذا ﻛﺎن an , 0ﻟﻌﺪد ﻻ ﺎﺋﻲ ﻣﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ اﻟﺴﺎﻟﺒﺔ .n
ﺑﺮﻫﺎن
ﻣﺜﺎل 1.6.9أوﺟﺪ ﻣﻔﻜﻮك ﻟﻮران ﻟﻠﺪاﻟﺔ
1
)(z−1)(z−2
= )f (z
ﻋﻨﺪﻣﺎ
.|z| < 1 . 1
.1 < |z| < 2 . 2
.|z| > 2 . 3
اﻟﺤﻞ
ﻣﺜﺎل 1.6.10أوﺟﺪ ﻣﻔﻜﻮك ﻟﻮران ﻟﻠﺪاﻟﺔ
1
z−3
= )f (z
ﻋﻠﻰ ﺻﻮرة
. 1ﻣﺘﺴﻠﺴﻠﺔ ﻗﻮى ﻣﻮﺟﺒﺔ ﰲ .z
. 2ﻣﺘﺴﻠﺴﻠﺔ ﻗﻮى ﺳﺎﻟﺒﺔ ﰲ .z
اﻟﺤﻞ
ﻣﻔﻜﻮك ﻟﻮران وﺗﺼﻨﻴﻒ اﻟﻨﻘﺎط اﻟﺸﺎذة
16
1.6
. 1ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن اﳌﻔﻜﻮك ﻋﻠﻰ ﺻﻮرة أﺳﺲ ﻣﻮﺟﺒﺔ ﰲ ,zﻓﺈﻧﻨﺎ ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك ﺗﺎﻳﻠﻮر ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﺟﻮار Ωﻟﻠﺼﻔﺮ ﲝﻴﺚ ﺗﻜﻮن
1
z−3ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ Ωوﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك ﺗﺎﻳﻠﻮر ﻧﺘﺤﺼﻞ
ﻋﻠﻴﻪ اﻟﺪاﻟﺔ fﲢﻠﻴﻠﻴﺔ .وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻟﻮ أﺧﺬﻧﺎ } Ω = {z ∈ C, |z| < 1ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ
)∑ f (n) (0
1
=
zn
!z − 3 n=0 n
∞
وﺑﺎﻻﺳﺘﻘﺮاء ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ أن ﻧﱪﻫﻦ أن
∞
∑
)!−(n
−1 n
1
=
⇒ f (n) (0) = n+1
z
3
z − 3 n=0 3n+1
ﻛﻤﺎ ﳝﻜﻨﻨﺎ أن ﻧﺮى ذﻟﻚ ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ أﺧﺮى ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﳎﻤﻮع اﳌﺘﺴﻠﺴﻠﺔ اﳍﻨﺪﺳﻴﺔ وذﻟﻚ ﻛﻮن |z| < 1أي أن
∞
∞
1
1
−1
z
−1 ∑ ( z )n ∑ −1 n
⇒ <| |
=
=
z
= z
3
3
z−3
3 n=0 3
3n+1
) 3(1 − 3
n=0
. 2ﻻﺣﻆ أن اﻟﺪاﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ } C \ {3وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻟﻦ ﻧﺼﻞ ﻟﻠﻤﻄﻠﻮب ﻟﻮ أوﺟﺪﻧﺎ ﻣﻔﻜﻮك ﻟﻮران ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﺣﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ
3ﻷن اﳌﻔﻜﻮك ﺳﻴﻜﻮن ﻣﺘﺴﻠﺴﻠﺔ ﻗﻮى ﰲ z − 3وﻟﺬﻟﻚ ﺳﻨﻮﺳﻊ اﻟﺪاﺋﺮة ﻟﺘﺸﻤﻞ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺻﻔﺮ ﻟﻨﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻣﺘﺴﻠﺴﻠﺔ ﻗﻮى
ﺳﺎﻟﺒﺔ ﰲ .zوﻋﻠﻴﻪ ﳔﺘﺎر } Ω = {z ∈ C, |z| > 3ﻓﻨﺠﺪ أن
1
1
=
z−3
) z(1 − 3z
وﲟﺎ أن ﻟﻜﻞ z ∈ Ωﻳﻜﻮن
<1
3
||z
ﻓﺈن
∞
1
1 ∑ ( 3 )n
=
z−3
z n=0 z
ﻣﺜﺎل 1.6.11ﺻﻨﻒ اﻟﻨﻘﺎط اﻟﺸﺎذة ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪوال اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
ez
z2
sin z
,
f
)(z
=
= )f1 (z
= ), f3 (z
2
2
z sin z
z
)(z − 1)(z − i
اﻟﺤﻞ
. 1اﻟﺪاﻟﺔ f1ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ } .C \ {1, iإذاً اﻟﻨﻘﺎط اﻟﺸﺎذة اﳌﻨﻌﺰﻟﺔ ﻫﻲ .a = 1, iﻧﺪرس اﻟﺪاﻟﺔ ﲜﻮار ﻛﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ
z
) (z−iﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﺮص ) B(1, 12وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﳍﺎ ﻣﻔﻜﻮك ﺗﺎﻳﻠﻮر ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة
ﺣﺪا ﻓﻨﺠﺪ أن اﻟﺪاﻟﺔ
2
2
∞
∑
2
z
1
=
) an (z − 1)n , ∀z ∈ B(1,
2
(z − i)2
n=0
أي أن اﻟﺪاﻟﺔ
f1
ﲜﻮار اﻟﻨﻘﻄﺔ a = 1ﺗﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة
∞
∑
1
a0
= an (z − 1)n
+ a1 + a2 (z − 1) + ... + an (z − 1)n−1 + ...
z − 1 n=0
z−1
= )f1 (z
إذاً a = 1ﻗﻄﺐ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻷوﱃ )ﺑﺴﻴﻂ( ﻟﻠﺪاﻟﺔ . f1ﻧﻘﻮم ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻌﻤﻠﻴﺔ ﻟﺘﺼﻨﻴﻒ اﻟﻨﻘﻄﺔ ,a = iﻓﻨﺠﺪ ﻣﻦ ﻣﻔﻜﻮك
ﺗﺎﻳﻠﻮر أن
∑
1
z2
) bn (z − i)n , ∀z ∈ B(i,
=
z − 1 n=0
2
∞
ﺑﺎﻟﺘﺎﱄ
ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ f1ﲜﻮار a = iﳍﺎ اﳌﻔﻜﻮك
∞
∑
1
b
b
0
1
= )f1 (z
= bn (z − i)n
+
+ b2 + b3 (z − i) + ... + bn (z − i)n−2 + ...
z−i
(z − i)2 n=0
(z − i)2
أي أن a = iﻗﻄﺐ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ.
اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺮﻛﺐ
17
. 2اﻟﺪاﻟﺔ f2ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ إﻻ ﻋﻨﺪ اﺻﻔﺎر اﳌﻘﺎم .وﻣﻦ دراﺳﺘﻨﺎ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻷﺻﻔﺎر اﻟﺪاﻟﺔ sin zﻓﺈﻧﻨﺎ ﳒﺪ أن
} .C \ {2kπ, k ∈ Zﺳﻨﺪرس اﻵن اﻟﻨﻘﻄﺔ .a = 2kπﺣﻴﺚ أن
f2
ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ
sin′ z = cos z ⇒ sin′ 2kπ = 1 , 0
ﻓﺈن a = 2kπﺟﺬر ﺑﺴﻴﻂ ﻟﻠﺪاﻟﺔ sin zوﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻣﻦ ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻷﺻﻔﺎر اﳌﻌﺰوﻟﺔ ﻳﻮﺟﺪ ﺟﻮار Vkﻟﻠﻨﻘﻄﺔ a = 2kπوداﻟﺔ
ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ gkﻋﻠﻰ Vkﲢﻘﻖ gk (z) , 0ﻟﻜﻞ z ∈ Vkﲝﻴﺚ .sin z = (z − 2kπ)gk (z), ∀z ∈ Vkﻣﻦ ذﻟﻚ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن
ez
, ∀z ∈ Vk
)z(z − 2kπ)gk (z
= )f2 (z
وﺣﻴﺚ أن ) g e(zداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻓﺈن a = 0ﻫﻮ ﻗﻄﺐ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ . f2ﺑﻴﻨﻤﺎ ﻟﻜﻞ k , 0ﻓﺈن a = 2kπﻫﻮ
ﻗﻄﺐ ﺑﺴﻴﻂ ﻟﻠﺪاﻟﺔ f2وذﻟﻚ ﻷن ) z ge (zﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻟﻜﻞ .k , 0
z
0
z
k
2
. 3ﻣﻦ اﻟﻮﻫﻠﺔ اﻷوﱃ ﻧﺮى أن a = 0ﻧﻘﻄﺔ ﺷﺎذة ﻣﻨﻌﺰﻟﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ , f3وﺑﺈﳚﺎد ﻣﻔﻜﻮك ﺗﺎﻳﻠﻮر ﻧﺘﺤﺼﻞ
∞
∞
∑
∑1
sin z
z2n−1
z2n−2
=
(−1)n+1
=
(−1)n+1
z
z n=1
(2n − 1)! n=1
!)(2n − 1
وﻣﻦ ﻫﻨﺎ ﳒﺪ أن a = 0ﻧﻘﻄﺔ ﺷﺎذة ﻣﺰاﻟﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ . f3
ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻟﺒﻮاﻗﻲ
1.7
ﰲ ﻫﺬا اﻟﻘﺴﻢ ﺳﻨﺪرس ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻟﺒﻮاﻗﻲ واﻟﱵ ﺗﻌﻤﻢ ﻧﻈﺮﻳﺎت اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ,ﻛﻤﺎ أ ﺎ وﺳﻴﻠﺔ ﻓﻌﺎﻟﺔ ﳊﺴﺎب اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت اﳌﻌﺘﻠﺔ.
ﺗﻌﺮﻳﻒ 1.7.1ﻟﺘﻜﻦ aﻧﻘﻄﺔ ﺷﺎذة ﻣﻨﻌﺰﻟﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fواﻟﱵ ﳍﺎ ﻣﻔﻜﻮك ﻟﻮران ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة
)an (z − a)n , ∀z ∈ B(a; 0, r
∞
∑
= )f (z
∞n=−
ﻓﺈن ﺑﺎﻗﻲ اﻟﺪاﻟﺔ fﻋﻨﺪ aﻫﻮ اﳌﻌﺎﻣﻞ ) a−1ﻣﻌﺎﻣﻞ ( 1zوﻋﻨﺪﻫﺎ ﻧﻜﺘﺐ .Res( f, a) = a−1
ﻣﺜﺎل 1.7.2رأﻳﻨﺎ ﺳﺎﺑﻘﺎً أن اﻟﻨﻘﻄﺔ a = 0ﻧﻘﻄﺔ ﺷﺎذة أﺳﺎﺳﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ,eﻣﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ اﻷﺳﻴﺔ
1
z
1
1
1
+
+ ... +
+ ...
2
z
2!z
n!zn
إذاً , 0) = 1
1
z
.Res(eﺑﺼﻮرٍة ﻋﺎﻣﺔ ,ﻓﺈن
1
!)(n+1
= ), 0
1
z
1
ez = 1+
.Res(zn e
ﻻﺣﻆ أﻧﻪ أﺣﻴﺎﻧﺎً ﻳﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﺼﻌﺐ إﳚﺎد اﳌﻔﻜﻮك ﳊﺴﺎب اﻟﺒﺎﻗﻲ .ﻟﺬا ﻧﻮرد اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﺘﺎﱄ واﻟﱵ ﺳﺘﺴﺎﻋﺪﻧﺎ ﻋﻠﻰ ﺣﺴﺎب
اﻟﺒﺎﻗﻲ ﻋﻨﺪ اﻷﻗﻄﺎب.
ﻧﺘﻴﺠﺔ 1.7.3ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ aﻗﻄﺐ ﻟﻠﺪاﻟﺔ fﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ mﻓﺈن ﺑﺎﻗﻲ fﻋﻨﺪ aﻳﻌﻄﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة
)[(z − a)m f (z)](m−1
!)(m − 1
Res( f, a) = lim
z→a
ﺑﺮﻫﺎن ﻣﻦ اﳌﻼﺣﻈﺔ 1.6.6وﺟﺪﻧﺎ أن ) g(z) = (z − a)m f (zداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ وﻣﻦ ذﻟﻚ اﺳﺘﻨﺘﺠﻨﺎ أن
∞
∑
)g(z
1
=
αn (z − a)n
(z − a)m
(z − a)m n=0
∑
α0
α1
αm−1
+
+
...
+
+
αn (z − a)n−m
(z − a)m
(z − a)m−1
(z − a) n=m
∞
=
= )f (z
ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻟﺒﻮاﻗﻲ
18
إذاً
)gm−1 (a
)[(z − a)m f (z)](m−1
=
= lim
(m − 1)! z→a
!)(m − 1
ﻣﺜﺎل 1.7.4ﰲ اﳌﺜﺎل 1.6.11وﺟﺪﻧﺎ أن ﻟﻠﺪاﻟﺔ
وﻣﻦ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﻟﻨﺎ
1
z2
=
2
)(z − i
(1 − i)2
ﺑﻴﻨﻤﺎ
ﻣﺜﺎل 1.7.5اﻟﺪاﻟﺔ
f1
1.7
Res( f, a) = αm−1
ﻗﻄﺐ ﺑﺴﻴﻂ ﻋﻨﺪ a = 1وﻗﻄﺐ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻋﻨﺪ .a = i
Res( f1 , 1) = lim(z − 1) f1 (z) = lim
z→1
z→1
[(z − i)2 f1 (z)]′
Res( f1 , i) = lim
z→i
!)(2 − 1
2
z ′
]
[= lim
z→1 z − 1
2z(z − 1) − z2
−1 − 2i
= lim
=
z→i
(z − 1)2
(i − 1)2
f3
ﳍﺎ ﻗﻄﺐ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﺼﻔﺮ وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻓﺈن
))ez (g0 (z) − g′0 (z
ez ′
] = lim
[Res( f3 , 0) = lim
z→0
)z→0 g0 (z
)g20 (z
ﻟﻜﻦ
sin z
z2
z4
= )g0 (z
=1−
+
− ...
z
!3
!5
وﻣﻦ ﻫﻨﺎ ﻧﺮى أن g0 (0) = 1و .g′0 (0) = 0إذاً
Res( f, 0) = 1
ﻧﻈﺮﻳﺔ ) 1.7.6ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻟﺒﻮاﻗﻲ(
ﻟﻴﻜﻦ Ωﻣﻔﺘﻮح ﻣﻦ Cو a1 , ..., anﻧﻘﺎط ن Ωوﻟﺘﻜﻦ fداﻟﺔ ﲢﻠﻴﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ } .Ω \ {a1 , ..., anإذا ﻛﺎن γﻗﻮس أﻣﻠﺲ ﻗﻄﻌﺎً
وﻣﻐﻠﻖ ﻣﻦ Ωﲝﻴﺚ a j < γ∗ , j = 1, ..., nو = ) I(γ, zﻟﻜﻞ z < Ωﻓﺈن
∫
) Res( f, a j ) ∗ I(γ, a j
n
∑
f (z) dz = 2πi
γ
j=1
ﻣﺜﺎل 1.7.7ﻟﺘﻜﻦ
f1
ﻛﻤﺎ ﰲ اﳌﺜﺎل 1.6.11ﻓﺈن
∫
])f1 (z) dz = 2πi[Res( f1 , 1) ∗ I(γ(i, 12 ) , 1) + Res( f1 , i) ∗ I(γ(i, 12 ) , i
) γ(i, 1
2
اﳌﺜﺎل 1.7.4ﳒﺪ أن
ﻣﻦ اﳊﺴﺎﺑﺎت اﻟﱵ ﻗﻤﻨﺎ) ﺎ ﰲ
(
1 + 2i
(i − 1)2
∫
f1 (z) dz = 2πi[Res( f1 , 1) ∗ 0 + Res( f1 , i) ∗ 1] = −2πi
) γ(i, 1
2
ﰲ ﺣﲔ أن
2πi
= f1 (z) dz
(i − 1)2
∫
) γ(1, 1
3
ﻣﺜﺎل 1.7.8اﻋﺘﱪ اﻟﺪاﻟﺔ f2ﻣﻦ اﳌﺜﺎل , 1.6.11رأﻳﻨﺎ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ
Res( f2 , 0) = 1وﺑﺎﻟﺘﺎﱄ ﻣﻦ ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻟﺒﻮاﻗﻲ ﳒﺪ أن
∫
f2 (z) dz = 2πi
)γ(0,1
a = 0
ﻗﻄﺐ ﻣﻦ اﻟﺪرﺟﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ
f2
وأن
اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺮﻛﺐ
19
ﻣﺜﺎل 1.7.9ﻟﻴﻜﻦ . R >> 1أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ
ﺣﻴﺚ
∫
z2
dz
z4 + 1
,0 ≤ t ≤ π
, π ≤ t ≤ 2π
γR
{
Reit
= )γR (t
2t−3π
π
اﻟﺤﻞ
ﺑﺮﺳﻢ اﻟﻘﻮس γRﳒﺪ أن ﺻﻮرﺗﻪ ﻫﻲ اﲢﺎد اﻟﻨﺼﻒ اﻟﻌﻠﻮي ﻟﻠﺪاﺋﺮة اﻟﱵ ﻣﺮﻛﺰﻫﺎ 0وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻫﺎ Rﻣﻊ اﻟﻘﻄﻌﺔ ] .[−R, Rاﻵن
ﻧﺪرس اﻟﺪاﻟﺔ z z+1ﻓﻨﺠﺪ أن ﳍﺎ ﻧﻘﺎط ﺷﺎذة ﻋﻨﺪ أﺻﻔﺎر اﳌﻘﺎم وﻫﻲ
2
4
7πi
4
, a4 = e
5πi
4
, a3 = e
وﻋﻠﻴﻪ ﻓﻤﻦ ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻟﺒﻮاﻗﻲ ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ
3πi
4
πi
a1 = e 4 , a2 = e
4
∑
2
∫
2
z
z
dz = 2πi
Res( 4
) , a j ) ∗ I(γ, a j
+1
z +1
j=1
وﺣﻴﺚ أن a3 , a4ﺗﻘﻌﺎن ﰲ اﻟﻨﺼﻒ اﻟﺴﻔﻠﻲ ﻣﻦ اﳌﺮﻛﺐ ﻓﺈن
γR
∫
2
∑
z2
z2
dz = 2πi
Res( 4
), a j
+1
z +1
j=1
z4
z4
γR
ﻟﻜﻦ ) .z4 + 1 = (z − a1 )(z − a2 )(z − a3 )(z − a4أي أن a1 , a2ﻗﻄﺒﲔ ﺑﺴﻴﻄﲔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ واﻟﺒﺎﻗﻲ ﻫﻮ
a21
z2
= ) , a1
+1
) (a1 − a2 )(a1 − a3 )(a1 − a4
a21
= 3
a2
) a1 (1 − a1 (1 − aa13 )(1 − aa41
z4
(Res
−πi
e4
1−i
=
√ =
)(1 − i) ∗ 2 ∗ (1 + i
4 2
ﺑﻄﺮﻳﻘﺔ ﻣﺸﺎ ﺔ ﲜﺪ أن
وﻣﻦ ذﻟﻚ ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن
z2
−1 − i
Res( 4
√ = ) , a2
z +1
4 2
(
)
z
1−i 1+i
−2i
π
= √ dz = 2πi √ − √ = 2πi
z4 + 1
2
4 2 4 2
4 2
2
∫
γR
ﺗﻄﺒﻴﻘﺎت ﻋﻠﻰ ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻟﺒﻮاﻗﻲ
ﻛﻤﺎ أﺳﻠﻔﻨﺎ ﻓﺈن ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻟﺒﻮاﻗﻲ ﺗﺴﺎﻋﺪﻧﺎ ﻋﻠﻰ ﺣﺴﺎب ﺑﻌﺾ اﻟﺼﻴﻎ اﻟﺘﻜﺎﻣﻠﻴﺔ وﻧﻮرد ﻛﺘﻄﺒﻴﻖ ﳍﺬﻩ ﺑﻌﺾ اﻷﻣﺜﻠﺔ.
ﻣﺜﺎل 1.7.10أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﺘﺎﱄ
2
x
dx
x4 + 1
اﻟﺤﻞ
∞
∞−
∫
ﻧﻈﺮﻳﺔ اﻟﺒﻮاﻗﻲ
20
ﻟﻨﻌﺘﱪ γRﻛﻤﺎ ﰲ اﳌﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ .رأﻳﻨﺎ أن
1.7
∫
z2
π
= dz
z4 + 1
2
γR
وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻗﻮاس ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ
∫ 2π
x2
R2 e2it
π
dx
+
√ = iReit dt
4
4
4it
R e +1
2
−R x + 1
0
∫ 2π
∫ R
2 2it
2
R e
π
x
dx = −
√ iReit dt +
⇒
4+1
4 e4it + 1
x
R
2
0
−R
ﻟﻜﻦ
R
∫
∫ 2π
∫ 2π
R2 e2it
R2 e2it
it
it
lim
iRe
dt
≤
lim
iRe
∞→ R
4 4it
dt
R→∞ 0
R4 e4it + 1
+1
0 R e
∫ 2π
R3
≤ lim
dt = 0
R→∞ 0
R4 − 1
إذاً
π
x2
√ = dx
4
x +1
2
∫
∞
∞−
ﻧﺒﲔ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ.
ﺑﺼﻮرٍة ﻋﺎﻣﺔ ,وﺑﺎﺳﺘﺨﺪام ﻧﻔﺲ اﻟﻔﻜﺮة ﰲ اﳌﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻧﺴﺘﻄﻴﻊ أن ﱢ
ﻧﺘﻴﺠﺔ 1.7.11ﻟﺘﻜﻦ ) P(xو ) Q(xﻛﺜﲑﰐ ﺣﺪود ﰲ Rﲝﻴﺚ deg P + 2 ≤ deg Qو Q(x) , 0ﻟﻜﻞ ) x ∈ Rأي أن
Qﻟﻴﺲ ﳍﺎ أﺻﻔﺎر ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ( .إذا ﻛﺎﻧﺖ a1 , ..anﻫﻲ أﺻﻔﺎر Qﰲ اﳌﺮﻛﺐ ﻓﺈن
∫
∑
)P(x
)P(z
dx = 2πi
(Res
), a j
)Q(x
)Q(z
Im(a j )>0
ﻣﺜﺎل 1.7.12ﳊﺴﺎب ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ
3
dx
x2 + 2x + 2
∞
∞
∞−
∫
∞−
ﻧﻀﻊ P(x) = 3و Q(x) = x2 + 2x + 2ﻓﻨﺠﺪ أن P, Qﲢﻘﻘﺎن ﺷﺮوط اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ,1.7.11وﻟﻜﻦ
√
4−8
= −1 ± i
2
إذاً
−2 ±
= Q(z) = 0 ⇒ z
3
3
dx = 2πi Res( 2
, −1 + i) = 3π
x2 + 2x + 2
z + 2z + 2
∞
∫
∞−
ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﳌﻨﻮال ,ﺑﺎﺳﻄﺎﻋﺘﻨﺎ أن ﻧﱪﻫﻦ اﻟﻨﺺ اﻟﺘﺎﱄ
ﻧﺘﻴﺠﺔ 1.7.13ﻟﻴﻜﻦ α > 0و ﻟﺘﻜﻦ ) P(xو ) Q(xﻛﺜﲑﰐ ﺣﺪود ﰲ Rﲝﻴﺚ deg P + 1 ≤ deg Qو Q(x) , 0ﻟﻜﻞ
) x ∈ Rأي أن Qﻟﻴﺲ ﳍﺎ أﺻﻔﺎر ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ( .إذا ﻛﺎﻧﺖ a1 , ..anﻫﻲ أﺻﻔﺎر Qﰲ اﳌﺮﻛﺐ ﻓﺈن
∑
P(z)eiαz
P(x)eiαx
(Res
dx = 2πi
), a j
)Q(x
)Q(z
Im(a j )>0
ﻣﺜﺎل 1.7.14ﳊﺴﺎب ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ
cos x
dx
x2 + 1
∞
∞−
∫
∞
∞−
∫
اﻟﺘﻜﺎﻣﻞ اﻟﻤﺮﻛﺐ
21
ﻧﻘﻮم أوﻻً ﲝﺴﺎب أﺻﻔﺎر اﳌﻘﺎم ﻓﻨﺠﺪ أن ) z2 + 1 = (z − i)(z + iأي أن اﻷﺻﻔﺎر ﻫﻲ i, −iوﺑﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﰲ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ
ﻋﻦ α = 1و P(x) = 1و Q(x) = x2 + 1ﳓﺼﻞ ﻋﻠﻰ
∫
eix
eiz
e−1
π
dx
=
2πi
(Res
,
)i
=
2πi
=
x2 + 1
z2 + 1
2i
e
اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
ﺗﻤﺮﻳﻦ 1.7.15أوﺟﺪ ﻗﻴﻤﺔ اﻟﺘﻜﺎﻣﻼت
∫
2x + 1
x4 + 2x2 + 1
∞
)3
∞−
x cos2 x
dx
x4 + 1
∞
∫
)2
∞−
∞
∞−
x sin x
dx
x2 + 1
∞
∫
)1
∞−
© Copyright 2024