‫ﻋﻤﻮﻣﻴﺎﺕ ﺣﻮﻝ ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ‬
‫اﻷوﻟﻰ ﻋﻠﻮم رﻳﺎﺿﻴﺔ ﻣﻦ س‪.‬ب‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 1‬‬
‫ﺡﺪد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ آﻞ داﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺪوال اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x −1 − 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1− x −1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x+2‬‬
‫‪x + x −2‬‬
‫= )‪f 2 (x‬‬
‫= )‪f 4 (x‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪x − E(x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4 − x2‬‬
‫= )‪f1 (x‬‬
‫‪f3 (x) = x 2 − 1 +‬‬
‫= )‪f 6 (x‬‬
‫‪1 − x2‬‬
‫)‪1 − E(x‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 6‬‬
‫‪ (1‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫)‪f (x) = x − E(x‬‬
‫ﺏﻴﻦ أن ‪ f‬ﻣﺤﺪودة ﻋﻠﻰ ‪. R‬‬
‫‪ (2‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫)‪x − E(x‬‬
‫= )‪f 5 (x‬‬
‫‪ -1‬أدرس زوﺝﻴﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬
‫‪ -2‬ﺏﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻗﺼﻮى ﻣﻄﻠﻘﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ‬
‫‪. x0 = 1‬‬
‫‪ -3‬أ – أدرس ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻦ‬
‫]‪; [0 1‬و [∞‪. [1; +‬‬
‫ب‪ -‬أﻧﺸﺊ ﺝﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪. R‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 3‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪x +x+9‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 7‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x −x‬‬
‫‪f (x) = x − 1 +‬‬
‫‪ (1‬ﺏﻴﻦ أن ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻗﻴﻤﺔ ﻗﺼﻮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. -3‬‬
‫‪ (2‬ﺏﻴﻦ أن ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻗﻴﻤﺔ دﻧﻮﻳﺔ ﻧﺴﺒﻴﺔ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. -1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ (4‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ g‬ﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪.  ;1‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫ﺏﻴﻦ أن ‪ g‬ﺗﻘﺎﺏﻞ ﻣﻦ ‪ 2 ;1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2 + 1‬‬
‫= )‪∀ x ∈ R f (x‬‬
‫‪ (1‬أدرس زوﺝﻴﺔ و رﺗﺎﺏﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬
‫‪ (2‬ﺏﻴﻦ أن ‪f (R) = [0;1[ :‬‬
‫ﻧﺤﻮ ]‪]−∞; − 4‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 8‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪ (1‬ﺡﺪد ‪ Df‬و ادرس زوﺝﻴﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬
‫‪ (2‬أدرس رﺗﺎﺏﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻦ‬
‫[‪; [0 1‬و ] ∞ ‪ ]1; +‬ﺛﻢ أﻧﺸﺊ ﺝﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ ‪.‬‬
‫‪ (3‬ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬
‫[∞‪f ( ]1; +∞[ ) = ]0; +‬‬
‫‪ (4‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ g‬ﻗﺼﻮر ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞ ‪. ]1; +‬‬
‫أ‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪ g‬ﺗﻘﺎﻳﻞ ﻣﻦ [∞ ‪ ]1; +‬ﻧﺤﻮ [∞‪. ]0; +‬‬
‫ب‪ -‬ﺡﺪد )‪ g − 1 (x‬ﻟﻜﻞ [∞‪. x ∈ ]0; +‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 9‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪x +1‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 5‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪ (1‬ﺡﺪد ‪ D‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬
‫‪ (2‬أدرس ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬وأﻧﺸﺊ ﺝﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ ‪.‬‬
‫‪ (3‬هﻞ ‪ f‬ﺵﻤﻮﻟﻴﺔ ؟ هﻞ ‪ f‬ﺗﺒﺎﻳﻨﻴﺔ ؟‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪ (1‬ﺡﺪد ‪ D‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬
‫‪ (2‬ﺏﻴﻦ أن ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻗﻴﻤﺔ دﻧﻴﺎ ﻣﻄﻠﻘﺔ ﻋﻨﺪ ‪. x 0 = − 4‬‬
‫‪ (3‬أ‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬
‫‪∀ x ∈ D f (x) < 1‬‬
‫ب‪ -‬ﻣﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ ﺏﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬
‫ج‪ -‬ﻣﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ ﺏﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 4‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x+2‬‬
‫= )‪g(x‬‬
‫أ‪ -‬ﺡﺪد ‪ Dg‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. g‬‬
‫ب‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪ g‬ﻣﺤﺪودة ﻋﻠﻰ ‪. Dg‬‬
‫= )‪∀ x ∈ R f (x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∀x ∈ R‬‬
‫‪x‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 2‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪x2 + 3‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪02-12-09‬‬
‫‪x‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫]‪∀ x ∈ ]0;1‬‬
‫‪ (1‬أدرس ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ]‪. ]0;1‬‬
‫‪ ( 2‬ﺏﻴﻦ أن ‪ f‬ﺗﻘﺎﺏﻞ ﻣﻦ ]‪ ]0;1‬ﻧﺤﻮ [∞ ‪[2; +‬‬
‫‪ (3‬ﺡﺪد )‪. f − 1 (x‬‬
‫اﻷوﻟﻰ ﻋﻠﻮم رﻳﺎﺿﻴﺔ ﻣﻦ س‪.‬ب‬
‫ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ ‪ -‬ﻋﻤﻮﻣﻴﺎﺕ‪-‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 4‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 1‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪1 − x2‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫‪f (x) = x + 2 − 2 x + 1‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪ (1‬ﺡﺪد ‪ D‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬و ادرس زوﺝﻴﺘﻬﺎ‪.‬‬
‫‪ (2‬ادرس ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻦ [‪ [0;1‬و‬
‫[∞ ‪ ]1; +‬ﺛﻢ أﻧﺸﺊ ﺝﺪول ﺗﻐﻴﺮاﺗﻬﺎ ﻋﻠﻰ ‪. D‬‬
‫‪ (3‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ g‬ﻗﺼﻮر ‪ f‬ﻋﻠﻰ [‪. ]−1;1‬‬
‫أ‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪ g‬ﺗﻘﺎﺏﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎل [‪ ]−1;1‬ﻧﺤﻮ ‪. IR‬‬
‫‪ -1‬ﺡﺪد ‪ D‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬
‫‪ -2‬أدرس ﻣﻨﺤﻰ ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻦ ]‪[ −1; 0‬‬
‫و [∞‪ [0; +‬ﺛﻢ اﺱﺘﻨﺘﺞ أن ‪ f‬ﺗﻘﺒﻞ ﻣﻄﺮاﻓﺎ ﻋﻨﺪ اﻟﺼﻔﺮ ‪.‬‬
‫‪ -3‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ g‬ﻗﺼﻮر اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪. I = [ 0; +‬‬
‫أ‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪ g‬ﺗﻘﺎﺏﻞ ﻣﻦ ‪ I‬ﻧﺤﻮ ‪. I‬‬
‫ب‪ -‬ﺡﺪد )‪ g −1 (x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪. I‬‬
‫ب‪ -‬ﺡﺪد اﻟﺘﻘﺎﺏﻞ اﻟﻌﻜﺴﻲ ‪. g − 1‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 2‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫‪2x‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪x2 − 4‬‬
‫‪ -1‬ﺡﺪد ‪ D‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬
‫‪ -2‬ﺗﺤﻘﻖ أن ‪ f‬داﻟﺔ ﻓﺮدﻳﺔ‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫‪x −4‬‬
‫‪ -3‬أ – ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∀x ∈ D [ f (x) ] = 4 +‬‬
‫‪2‬‬
‫ب‪ -‬أﺛﺒﺖ أن‬
‫) ‪−16(x 2 − y 2‬‬
‫)‪(x 2 − 4)(y 2 − 4‬‬
‫= ] )‪∀x; y ∈ D ; [ f (x) ] − [ f (y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ج‪ -‬اﺱﺘﻨﺘﺞ ﻣﻨﺤﻰ ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻦ‬
‫[∞‪ ]2; +‬و [‪. ]−∞; −2‬‬
‫‪ -4‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ g‬ﻗﺼﻮر ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪. ]2; +‬‬
‫أ‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪ g‬ﺗﻘﺎﺏﻞ ﻣﻦ [∞‪ ]2; +‬ﻧﺤﻮ [∞‪. ]2; +‬‬
‫ب‪ -‬ﺡﺪد ﺗﻘﺎﺏﻠﻪ اﻟﻌﻜﺴﻲ ‪. g −1‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 3‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪f (x) = x + 1 − x − 1‬‬
‫‪ (1‬ﺡﺪد ‪ D‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬
‫‪ (2‬أ ‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x +1 + x −1‬‬
‫= )‪∀ x ∈ D f (x‬‬
‫ب‪ -‬اﺱﺘﻨﺘﺞ ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪. D‬‬
‫‪ (3‬أ ‪ -‬ﻧﺎﻗﺶ وﺡﻞ ﻓﻲ ‪ R‬اﻟﻨﻈﻤﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪ x +1 − x −1 = α‬‬
‫‪ ‬ﺡﻴﺚ ‪ α‬ﺏﺮاﻣﺘﺮ ﺡﻘﻴﻘﻲ ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪ x +1 + x −1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪‬‬
‫ب ‪ -‬اﺱﺘﻨﺘﺞ أن ‪ f‬ﺗﻘﺎﺏﻞ ﻣﻦ [∞‪ [1; +‬ﻧﺤﻮ ‪،  0; 2 ‬‬
‫وﺡﺪد ﺗﻘﺎﺏﻠﻪ اﻟﻌﻜﺴﻲ ‪.‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 5‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫‪f (x) = x + x 2 + 1‬‬
‫‪ (1‬ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬
‫‪ (2‬أ ‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬
‫‪∀x ∈ R f (x) > 0‬‬
‫‪∀x, y ∈ R :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (x) − f (y) x + x + 1 + y + y + 1‬‬
‫=‬
‫‪x−y‬‬
‫‪x 2 + 1 + y2 + 1‬‬
‫ب ‪ -‬اﺱﺘﻨﺘﺞ ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪. R‬‬
‫‪ (3‬ﺏﻴﻦ أن ‪ f‬ﺗﻘﺎﺏﻞ ﻣﻦ ‪ R‬ﻧﺤﻮ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪. ]0; +‬‬
‫وﻋﺮف ﺗﻘﺎﺏﻠﻪ اﻟﻌﻜﺴﻲ ‪f − 1‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 6‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ h‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪x −1‬‬
‫=)‪h(x‬‬
‫‪ (1‬ﺡﺪد ‪ D‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. h‬‬
‫‪ (2‬أ – ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪∀x ∈ D h(x) = 1 +‬‬
‫ب‪ -‬أدرس رﺗﺎﺏﺔ ‪ h‬ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻦ‬
‫[∞‪ ]1, +‬و [‪. [ 0,1‬‬
‫‪ (3‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ f‬ﻗﺼﻮر ‪ h‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞‪ ]1, +‬و ‪g‬‬
‫ﻗﺼﻮر ‪ h‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [‪. [ 0,1‬‬
‫‪1‬‬
‫) ( ‪∀x ∈ ]0,1[ g(x) = −f‬‬
‫أ – ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫ب‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪ f‬ﺗﻘﺎﺏﻞ ﻣﻦ [∞‪ ]1, +‬ﻧﺤﻮ [∞‪ ]1, +‬ﻣﺤﺪدا‬
‫ﺗﻘﺎﺏﻠﻪ اﻟﻌﻜﺴﻲ ‪. f −1‬‬
‫ج – اﺱﺘﻨﺘﺞ أن ‪ g‬ﺗﻘﺎﺏﻞ ﻣﻦ [‪ [ 0,1‬ﻧﺤﻮ ]‪ ]−∞, −1‬وأن‬
‫‪1‬‬
‫ﺗﻘﺎﺏﻠﻪ اﻟﻌﻜﺴﻲ ‪ g −1‬ﻣﻌﺮف ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬
‫)‪f (− x‬‬
‫‪−1‬‬
‫= )‪g −1 (x‬‬
‫ﻟﻜﻞ ‪ x ≠ −1‬و ‪ 0‬هﻮ ﺹﻮرة ‪ 1‬ﺏﺎﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪g‬‬
‫اﻷوﻟﻰ ﻋﻠﻮم رﻳﺎﺿﻴﺔ ﻣﻦ س‪.‬ب‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 1‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬و ‪ g‬اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫‪ g(x) = − x −1 f(x)=x 3‬وﻟﻴﻜﻦ ) ‪( Cg ) ( Cf‬‬
‫‪GG‬‬
‫ﻣﻨﺤﻨﻴﻲ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪ g‬ﻓﻲ م‪.‬م‪.‬م )‪. ( O;i; j‬‬
‫‪ (1‬أﻧﺸﺊ ) ‪. ( Cg ) ( Cf‬‬
‫‪ (2‬اﺱﺘﻨﺘﺞ أن اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪(x ∈ R) x 3 + x + 1 = 0‬‬
‫ﺗﻘﺒﻞ ﺡﻼ وﺡﻴﺪا ‪. α‬‬
‫‪ (3‬ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−1 < α < −‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 3‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ‬
‫ﺏﻤﺎﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪ f (x) = (x 2 − 4x + 6‬و ‪g(x) = x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪G G‬‬
‫و )‪ (Cf‬و )‪ (Cg‬ﻣﻨﺤﻨﺎهﻤﺎ ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ )‪(O, i , j‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫ﺏﺤﻴﺚ ‪ j = 2 c m‬و ‪. i = 1 c m‬‬
‫‪ (1‬أ ــ أﻋﻂ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻤﺤﻮر اﻟﺸﻠﺠﻢ )‪. (Cf‬‬
‫ب ــ ﺡﺪد إﺡﺪاﺛﻴﺘﻲ رأس اﻟﺸﻠﺠﻢ )‪. (Cf‬‬
‫‪ (2‬أ ــ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﻦ أن )‪ f(1)=g(1‬و )‪f (4) = g(4‬‬
‫ب ــ أﻧﺸﺊ )‪ (Cf‬و )‪. (Cg‬‬
‫‪ (3‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺘﺮاﺝﺤﺔ ‪:‬‬
‫‪( I) : x ∈ \ + , x ( x − 4 ) + 3( 2 − x ) < 0‬‬
‫أــ ﺏﻴﻦ أن )‪ (I‬ﺗﻜﺎﻓﺊ )‪. f (x) < g(x‬‬
‫ب ــ ﺡﻞ ﻣﺒﺎﻧﻴﺎ اﻟﻤﺘﺮاﺝﺤﺔ )‪. (I‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 5‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫‪f (x) = x 2 − 4x + 5‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 2‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬و ‪ g‬اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ اﻟﻌﺪدﻳﺘﻴﻦ اﻟﻤﻌﺮﻓﺘﻴﻦ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x +2‬‬
‫وﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( Cg ) ( Cf‬ﻣﻨﺤﻨﻴﻲ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪ f‬و ‪ g‬ﻓﻲ‬
‫‪GG‬‬
‫م‪.‬م‪.‬م ‪. O;i; j‬‬
‫‪g(x) = x 2 + 4 x‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ (1‬أﻧﺸﺊ ) ‪ ( Cg ) ( Cf‬وﺡﺪد ﻋﺪد ﺡﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬
‫)‪. f (x) = g(x‬‬
‫‪ (2‬ﺡﺪد ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f ο g‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ]‪. [ − 3; − 1‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 4‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫‪6x 2 + 8x + 1 1‬‬
‫‪(x − 1) 2‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪ (1‬ﺡﺪد ‪ Df‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪. f‬‬
‫‪ (2‬ﻧﻀﻊ‪:‬‬
‫‪2x + 3‬‬
‫‪x −1‬‬
‫= )‪g(x‬‬
‫أ ــ ﺏﻴﻦ أن ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ ‪: Df‬‬
‫ب ــ ﺡﺪد ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. g‬‬
‫ج ــ ﺏﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬هﻲ ﻣﺮآﺐ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬و داﻟﺔ ‪ h‬ﻳﺠﺐ‬
‫ﺗﺤﺪﻳﺪهﺎ‬
‫د ــ اﺱﺘﻨﺘﺞ رﺗﺎﺏﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ آﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺠﺎﻻت‬
‫‪f (x) = 2 + (g(x) ) 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪  − ∞; − ‬و ‪  − ,1‬و [∞ ‪. ]1, +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2  ‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 6‬‬
‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫‪f (x) = (x − 2) 2‬‬
‫‪GG‬‬
‫‪ (1‬أﻧﺸﺊ ‪ Cf‬ﻣﻨﺤﻨﻰ ‪ f‬ﻓﻲ م م م )‪. (O,i, j‬‬
‫‪ (2‬ﺡﺪد ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ )]‪. f ([ 0, 4‬‬
‫‪ (1‬أ ــ ﻣﺜﻞ ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬
‫ب ــ اﺱﺘﻨﺘﺞ ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ g‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪x+3‬‬
‫ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ ‪ -‬ﻋﻤﻮﻣﻴﺎﺕ‪-‬‬
‫= )‪g(x‬‬
‫ﺡﺪد ﺗﻐﻴﺮات ‪ g‬ﻋﻠﻰ ‪. Dg‬‬
‫‪ (3‬اﺱﺘﻨﺘﺞ ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ h‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ \ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬
‫‪x 2 − 4x + 6‬‬
‫‪h(x) = 2‬‬
‫‪x − 4x + 8‬‬
‫‪ (3‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ g‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ‬
‫ﻳﻠﻲ‪g(x) = x 2 − 4x + 8 :‬‬
‫أ ــ ﺏﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬هﻲ ﻣﺮآﺐ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬وداﻟﺔ ‪ h‬ﻳﺘﻢ‬
‫ﺗﺤﺪﻳﺪهﺎ ‪.‬‬
‫ب ــ اﺱﺘﻨﺘﺞ ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. g‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 7‬‬
‫‪ (1‬ﺡﺪد ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ ﻋﺪد ﺡﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‪:‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 8‬‬
‫‪ (1‬أدرس ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬
‫‪(E) : x ∈ \ , x 2 − 1 2 − 2 x = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫) اﻋﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ ‪ f (x) = x 2 − 6‬و ‪( g(x) = x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (2‬اﺱﺘﻨﺘﺞ ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ R‬ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ‬
‫‪ (2‬أﺡﺴﺐ )‪ f(4‬و)‪ g(4‬ﺛﻢ اﺱﺘﻨﺘﺞ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺡﻠﻮل )‪(E‬‬
‫‪f (x) = x 2 − x‬‬
‫) ‪g(x) = ( x 2 − x ) − ( x 2 − x‬‬
‫‪2‬‬
‫ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻋﻠﻮﻡ ﺭﻳﺎﺿﻴﺔ ﻣﻦ ﺱ‪.‬ﺏ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ -I‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪g(x) = 2 −‬‬
‫‪x‬‬
‫‪GG‬‬
‫وﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( Cg‬ﺗﻤﺜﻴﻠﻬﺎ اﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻲ ﻓﻲ م‪.‬م‪.‬م ‪O;i; j‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪ (1‬ﺏﻴﻦ أن [∞‪. g ( ]−∞;0[ ) = ]2; +‬‬
‫‪ (2‬أﻧﺸﺊ ﺝﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ g‬ﻣﻌﻠﻼ أﺝﻮﺏﺘﻚ ‪.‬‬
‫‪ (3‬أﻧﺸﺊ ) ‪. ( Cg‬‬
‫‪ (4‬اﺱﺘﻨﺘﺞ ﻣﺒﻴﺎﻧﻴﺎ ) [∞‪. g ( ]0; +‬‬
‫‪x2 − 1‬‬
‫‪ – II‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ (1‬أ‪ -‬ﺡﺪد ‪ Df‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬
‫‪ 1‬‬
‫ب‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪f (x) ∈ 0; ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪∀x ∈ Df‬‬
‫ج‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪ f‬داﻟﺔ زوﺝﻴﺔ ‪.‬‬
‫د‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ‪ 1; 2 ‬وﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ‬
‫ﻗﻄﻌﺎ ﻋﻠﻰ ‪.  2; +∞ ‬‬
‫ﻩ‪ -‬أﻧﺸﺊ ﺝﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪. Df‬‬
‫‪ (2‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ h‬ﻗﺼﻮر ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪.  2; +∞ ‬‬
‫‪1‬‬
‫أ‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪ h‬ﺗﻘﺎﺏﻞ ﻣﻦ ‪  2; +∞ ‬ﻧﺤﻮ ‪.  0; ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫ب‪ -‬ﺡﺪد اﻟﺘﻘﺎﺏﻞ اﻟﻌﻜﺴﻲ ‪. h −1‬‬
‫‪ – III‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ ϕ‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪3x 2 − 4x + 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 2 − ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x −1‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪ (1‬ﺡﺪد ‪ Df‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬
‫‪ (2‬ﺏﻴﻦ أن ‪:‬‬
‫‪∀ x, y ∈ Df x ≠ y‬‬
‫)‪f (x) − f (y‬‬
‫‪(x − 1)(y − 1) − 1‬‬
‫=‬
‫‪x−y‬‬
‫) )‪(x − 1)(y − 1) ( f (x) + f (y‬‬
‫‪ (3‬اﺱﺘﻨﺘﺞ ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪. Df‬‬
‫‪ (4‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ g‬ﻗﺼﻮر ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل [∞ ‪. [2; +‬‬
‫أ‪ -‬ﺏﻴﻦ أن‬
‫‪∀α ∈ ]2; + ∞[ α 2 − 4 − α 4 − 4α 2 < 0‬‬
‫ب‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪ g‬ﺗﻘﺎﺏﻞ ﻣﻦ [∞ ‪ [2; +‬إﻟﻰ [∞ ‪. [2; +‬‬
‫ج‪ -‬ﺡﺪد )‪ g − 1 (x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [∞ ‪. [2; +‬‬
‫‪ (5‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ ϕ‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪(x + 1)2‬‬
‫‪x2 + 2 x‬‬
‫= )‪ϕ(x‬‬
‫أ‪ -‬ﺡﺪد ‪ Dϕ‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. ϕ‬‬
‫ب‪ -‬أوﺝﺪ داﻟﺔ ‪ h‬ﺏﺤﻴﺚ ‪:‬‬
‫)‪∀ x ∈ Dϕ ϕ(x) = f ο h(x‬‬
‫ج‪ -‬ﺡﻞ ﻓﻲ ‪ R‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪. h(x) = 2‬‬
‫د‪ -‬أدرس ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ ϕ‬ﺏﺎﻋﺘﺒﺎرهﺎ ﻣﺮآﺐ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ‬
‫‪ h‬و‪.f‬‬
‫= )‪ϕ(x‬‬
‫‪ -1‬ﺡﺪد ‪ Dϕ‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. ϕ‬‬
‫‪∀x ∈ Dϕ‬‬
‫‪ -2‬ﺏﻴﻦ أن )‪ϕ(x) = fog(x‬‬
‫‪ -3‬أدرس ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ ϕ‬ﺏﺎﻋﺘﺒﺎرهﺎ ﻣﺮآﺐ اﻟﺪاﻟﺘﻴﻦ‬
‫‪g‬و‪. f‬‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 3‬‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ \ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪x +2‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫‪ (1‬أ‪ -‬أدرس زوﺝﻴﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬‬
‫‪1‬‬
‫ب‪ -‬ﺏﻴﻦ أن اﻟﻌﺪد‬
‫‪2‬‬
‫ﺍﻟﺪﻭﺍﻝ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ ‪: 2‬‬
‫‪ −‬هﻮ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺪﻧﻴﺎ اﻟﻤﻄﻠﻘﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪f‬‬
‫ج‪ -‬ﺏﻴﻦ أن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﺤﺪودة‬
‫‪ (2‬إﻋﻂ ﺝﺪول ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻣﻌﻠﻼ أﺝﻮﺏﺘﻚ ‪.‬‬
‫‪ (3‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ‪ g‬اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺏﻤﺎ ﻳﻠﻲ ‪:‬‬
‫‪x2 − 2 x + 1‬‬
‫‪x2 + 4 x + 4‬‬
‫= )‪g(x‬‬
‫أ‪ -‬ﺡﺪد ‪ Dg‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻌﺮﻳﻒ اﻟﺪاﻟﺔ ‪. g‬‬
‫ب‪ -‬ﺡﺪد داﻟﺔ ﻋﺪدﻳﺔ ‪ h‬ﺏﺤﻴﺚ ‪g = h D f‬‬
‫ج‪ -‬اﺱﺘﻨﺘﺞ ﺗﻐﻴﺮات اﻟﺪاﻟﺔ ‪. g‬‬