1. No category

‫الثانية باك عموم فزيائية‬
‫الدرس ‪ :‬اتصال دالة عددية‬
‫اتصال دالة عددية‬
‫‪I‬‬
‫‪ )1‬اإلتصال يف نقطة‬
‫‪ )a‬نشاط‬
‫لٌكن ‪ C f‬منحنى دالة عددٌة ‪ f‬فً الشكل التالً ‪:‬‬
‫‪.i‬‬
‫من خالل الشكل كٌف ترى منحنى ‪ C f‬عند النقطة ذات األفصول ‪ - 1‬ثم عند النقطة ذات األفصول ‪3‬‬
‫‪.ii‬‬
‫أ‪-‬أحسب ‪ f  3‬و ‪ lim f  x ‬ماذا تالحظ ؟‬
‫‪x 3‬‬
‫ب‪ -‬أحسب ‪ f  1‬وأحسب نهاٌة ‪ f‬عند ‪ 1‬ماذا تستنتج؟‬
‫تصحيح النشاط‬
‫‪.i‬‬
‫من خالل الشكل نالحظ أن المنحنى ‪ C f‬متقطع عند النقطة ذات األفصول ‪ - 1‬ومتصل عند النقطة ذات‬
‫األفصول ‪3‬‬
‫‪.ii‬‬
‫أ‪ -‬من خالل الشكل لدٌنا ‪ f  3  2‬و ‪ lim f  x   2‬نالحظ أن ‪lim f  x   f  3‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪x 3‬‬
‫لذا نقول أن الدالة ‪ f‬متصلة فً ‪.3‬‬
‫ب‪ -‬من خالل الشكل لدٌنا ‪ f  1  3‬و ‪ lim f  x   1‬و ‪lim f  x   3‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫نالحظ أن‪:‬‬
‫‪ lim f  x   lim f  x ‬نقول أن ‪ f‬غٌر متصلة فً ‪. -1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ lim f  x   f  1‬نقول أن غٌر ‪ f‬متصلة على الٌمٌن فً ‪.-1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ lim f  x   f  1‬نقول أن متصلة على الٌسار فً ‪.-1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫هشام بوحفيظ |‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪1‬‬
‫الثانية باك عموم فزيائية‬
‫الدرس ‪ :‬اتصال دالة عددية‬
‫‪ )b‬تعريف‬
‫لتكن ‪ f‬دالة عددية معرفة على مجال مفتوح ‪ I‬و ‪ x0‬عنصر من ‪، I‬تكون ‪ f‬متصلة في النقطة ‪ x0‬إذا وفقط إذا كان ‪:‬‬
‫‪lim f  x   f  x0 ‬‬
‫‪x  x0‬‬
‫مثال‬
‫نعتبر الدالة العددٌة ‪ f‬المعرفة بما ٌلً ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 x2  2‬‬
‫‪kk ; x  1‬‬
‫‪ f  x ‬‬
‫‪ ‬لنبٌن أن ‪ f‬متصلة فً ‪.1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ f 1  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 x2  2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪lim f  x   lim‬‬
‫لدٌنا‬
‫‪x 1‬‬
‫اللبا‬
‫)‪2( x  1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫)‪2( x  1)( x  1‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫)‪ lim 2( x  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪x 1‬‬
‫إذن ‪ lim f  x   f 1‬منه ‪ f‬متصلة فً ‪1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ )c‬االتصال على اليمين ‪-‬االتصال على اليسار‬
‫تعريف‬
‫لتكن ‪ f‬دالة عددية معرفة على مجال من نوع ‪  x0 , x0   ‬حيث ‪   0‬تكون ‪ f‬متصلة على اليمين في‬
‫‪ x0‬إذا وفقط إذا كان‪:‬‬
‫‪lim f  x   f  x0 ‬‬
‫‪x  x0‬‬
‫لتكن ‪ f‬دالة عددية معرفة على مجال من نوع ‪  x0   , x0 ‬حيث ‪   0‬تكون ‪ f‬متصلة على اليسار في‬
‫>‬
‫‪ x0‬إذا وفقط إذا كان‪:‬‬
‫‪lim f  x   f  x0 ‬‬
‫‪x  x0‬‬
‫خاصية‬
‫‪lim f  x   f  x0 ‬‬
‫‪x  x0‬‬
‫لتكن ‪ f‬دالة عددية معرفة على مجال مفتوح ‪ I‬و ‪ x0‬عنصر من ‪، I‬تكون ‪ f‬متصلة في النقطة ‪ x0‬إذا وفقط إذا‬
‫كانت ‪ f‬متصلة على اليمين وعلى اليسار في ‪. x0‬‬
‫‪ )d‬تطبيق‬
‫‪x  x  6‬‬
‫‪x2  2 x  8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ )1‬لتكن ‪ f‬دالة عددٌة بحٌث‬
‫هشام بوحفيظ |‬
‫اللبا‬
‫‪f  x ‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪2‬‬
‫الثانية باك عموم فزيائية‬
‫ اتصال دالة عددية‬: ‫الدرس‬
. D f ‫ عند محدات‬f ‫ وأحسب نهاٌات‬D f ‫ حدد‬-‫أ‬
.-2‫ و‬-4 ً‫ب – أدرس اتصال الدالة ف‬
:‫ دالة عددٌة بحٌث‬g ‫) لتكن‬2
.2 ً‫ ف‬g ‫أدرس اتصال‬

 g  x   2 x  1; x  

2

 g  x   x  1; x  2
‫تصحيح التطبيق‬
lim f  x   lim
x2
x2
  x  2  x  3
 x  2  x  4 
  x  3
lim f  x   lim
x2
x2  x  4 
-‫)أ‬1
D f  x 

5
x 2
6
  x  2  x  3
lim f  x   lim
x2
x  2  x  2  x  4 
\ 4; 2
Df 
. D f ‫ عند محدات‬f ‫لنحسب نهاٌات‬

lim f  x   1

x 
 x2
x  x 2

lim f  x   1
lim f  x   lim
  x  2  x  3
 x  2  x  4 
lim f  x   lim
  x  3
 x  4
x 4
x 4
x 
2 ً‫ متصلة ف‬f ‫ إذن‬lim f  x   lim f  x  ‫ لدٌنا‬-‫ب‬
x 2
x 2
-4 ً‫ غٌر متصلة ف‬f ‫ إذن‬lim f  x   lim f  x  ‫لدٌنا‬
x 4
2
x 4
lim g  x   lim x  1  3 ‫ و‬g  2   3 ‫) لدٌنا‬2
x 2
 x2
x  x 2
lim f  x   lim
x 
lim f  x   lim
x 2
‫إذن‬
D f  , 4  4, 2  2,  ‫أي أن‬
5
lim f  x  
x 2
6
x 
/ x 2  2 x  8  0 :‫لدٌنا‬
x2  2 x  8  0 ‫لنحل المعادلة‬
  36 ‫لدٌنا‬
x2  4 ‫ و‬x1  2 ‫نجد‬
lim f  x  
  x  3
lim f  x   lim
x2
x2  x  4 
D f ‫لنحدد‬
lim g  x   lim 2 x  1  5 ‫و‬
x 2
x 2
2 ‫ و غٌر متصلة على الٌمٌن‬2ً‫ متصلة على الٌسار ف‬g ‫إذن‬
.2 ً‫ غٌر متصلة ف‬g ً‫وبالتال‬
x 4
lim f  x  
x 4
x 4

1
0
lim f  x   
x 4
lim f  x   lim
  x  2  x  3
 x  2  x  4 
lim f  x   lim
  x  3
 x  4
x 4
x 4
lim f  x  
x 4
x 4
x 4

1
0
lim f  x   
x 4
3
[email protected]
| ‫هشام بوحفيظ‬
‫الثانية باك عموم فزيائية‬
‫الدرس ‪ :‬اتصال دالة عددية‬
‫‪ )2‬االتصال على جمال‬
‫تعريف‬
‫لتكن ‪ f‬دالة عددية معرفة على مجال ‪،  a, b‬‬
‫تكون ‪ f‬متصلة على ‪، a, b‬إذا وفقط إذا كانت ‪ f‬متصلة في كل نقطة من ‪. a, b‬‬
‫تكون ‪ f‬متصلة على ‪،  a, b‬إذا وفقط إذا كانت ‪ f‬متصلة في كل نقطة من ‪ a, b‬ومتصلة على اليمين في ‪ a‬و‬
‫على اليسار في ‪. b‬‬
‫تكون‬
‫مالحظات‬
‫*بالمثل نعرف االتصال على ‪ a, b‬و على ‪  a.b‬وعلى ‪  a, ‬وعلى ‪. ,b‬‬
‫*التمثٌل المبٌانً لدالة متصلة ‪ f‬على ‪  a, b‬هو منحنى متصل طرفاه النقطتٌن ‪  a, f  a  ‬و ‪.  b, f  b  ‬‬
‫خاصيات‬
‫‪.‬‬
‫*كل دالة حدودٌة متصلة على‬
‫*كل دالة جدرٌة متصلة على كل مجال ضمن مجموعة تعرٌفها ‪.‬‬
‫* الدالة ‪ x  x‬متصلة على‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫*دالة الجٌب ‪ x  sin x‬ودالة جٌب تمام ‪ x  cos x‬متصلة على‬
‫‪.‬‬
‫*دالة الظل ‪ x  tan x‬متصلة على كل مجال ضمن مجموعة تعرٌفها‪.‬‬
‫‪ )3‬دالة اجلزء الصحيح‬
‫حقٌقً ‪ٌ x‬وجد عدد نسبً وحٌد ‪ n‬حٌث ‪ ، n  x  n  1‬العدد الصحٌح النسبً ‪ٌ n‬سمى الجزء الصحٌح للعدد ‪. x‬‬
‫لكل عدد اللبا‬
‫تعريف‬
‫دالة الجزء الصحيح ىي الدالة التي تربط كل عنصر ‪ x‬من‬
‫‪n  x  n 1‬‬
‫هشام بوحفيظ |‬
‫بجزئو الصحيح نرمز لصورة ‪ x‬بهذه الدالة بالرمز ‪ E  x ‬ولدينا‪:‬‬
‫‪E  x   n  !n ‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪4‬‬
‫الثانية باك عموم فزيائية‬
‫الدرس ‪ :‬اتصال دالة عددية‬
‫التمثيل المبياني لدالة الجزء الصحيح‬
‫نتائج‬
‫‪n‬‬
‫لكل‬
‫*دالة الجزء الصحٌح متصلة على الٌمٌن فً ‪ n‬وغٌر متصلة على الٌسار فً ‪. n‬‬
‫* دالة الجزء الصحٌح متصلة على ‪.  n, n  1‬‬
‫* دالة الجزء الصحٌح غٌر متصلة فً ‪. n‬‬
‫‪ )4‬قصور دالة عددية‬
‫تعريف‬
‫إذا كانت ‪ f‬دالة عددية معرفة على المجال ‪ I‬و ‪ g‬دالة عددية معرفة على المجال ‪ J‬ضمن ‪ I‬بحيث ‪g  x   f  x ‬‬
‫‪، x  J‬فإننا نقول أن الدالة ‪ g‬قصور الدالة ‪ f‬على المجال ‪. J‬‬
‫نتيجة‬
‫إذا كانت ‪ f‬دالة متصلة على المجال ‪ I‬و ‪ g‬قصور الدالة ‪ f‬على المجال ‪ J‬فإن ‪ g‬متصلة على المجال ‪. J‬‬
‫مثال‬
‫لتكن ‪ f‬دالة عددٌة معرفة على ‪  1, ‬بماٌلً ‪:‬‬
‫‪ f  x   xccccc; x  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3x 2‬‬
‫‪; 1  x  1‬‬
‫‪ f  x ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪‬‬
‫نعلم أن الدالة ‪x‬‬
‫الدالة ‪3x 2‬‬
‫‪x2‬‬
‫لنبٌن أن الدالة ‪ f‬متصلة على المجال ‪.  1, ‬‬
‫‪ x‬متصلة على‬
‫‪‬‬
‫و بالتالً متصلة على المجال ‪. 1, ‬‬
‫‪ x‬عبارة عن دالة جذرٌة إذن فهً متصلة على مجموعة تعرٌفها‪.‬ومنه فإنها متصلة على المجال ‪  1,1‬وبالتالى‬
‫‪ f‬متصلة على ‪ 1, ‬‬
‫هشام بوحفيظ |‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪5‬‬
‫الدرس ‪ :‬اتصال دالة عددية‬
‫‪II‬‬
‫الثانية باك عموم فزيائية‬
‫‪ )1‬خاصية (تقبل)‬
‫لتكن ‪ f‬و ‪ g‬دالتين عدديتين متصلتين على المجال ‪ I‬و ‪ ‬عدد حقيقي‪.‬‬
‫* الدوال ‪ f  g‬و ‪  f‬و ‪ f  g‬متصلة على ‪. I‬‬
‫* إذا كانت ‪ g‬التنعدم على المجال ‪ I‬فإن الدالتين ‪ 1‬و ‪ f‬متصلتان على المجال ‪. I‬‬
‫‪g‬‬
‫‪g‬‬
‫‪ )2‬إتصال مزكبة دالتني‬
‫خاصية‬
‫لتكن ‪ f‬دالة عددية معرفة على المجال ‪ I‬و ‪ g‬دالة عددية معرفة على المجال ‪ J‬حيث ‪، f  I   J‬إذا كانت ‪f‬‬
‫متصلة على ‪ I‬و ‪ g‬دالة متصلة على ‪ J‬فإن ‪ g f‬متصلة على ‪. I‬‬
‫تطبيق ‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫نعتبر ‪ f‬الدالة العددٌة المعرفة ب ‪f  x   sin  ‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪ .1‬حدد ‪. D f‬‬
‫‪ .2‬أكتب ‪ f‬على شكل مركبة دالتٌن ‪،‬ثم أدرس إتصال الدالة ‪ f‬على ‪. D f‬‬
‫تصحيح التطبيق‪2‬‬
‫‪ .1‬لدٌنا‬
‫*‬
‫‪Df ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .2‬نضع ‪ f  x   h  g  x  ‬بحٌث‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫لدٌنا ‪ g‬دالة جذرٌة إذن فهً متصلة على مجموعة تعرٌفها( * )‪.‬و ‪ h‬دالة متصلة على‬
‫‪ g  x  ‬و ‪h  x   sin x‬‬
‫بالتالً ‪ f‬متصلة على‬
‫*‬
‫إذن فهً متصلة على‬
‫*‬
‫‪.‬‬
‫نتيجة‬
‫لتكن ‪ f‬دالة موجبة ومتصلة على مجال ‪ f  I   0,  ، I‬والدالة ‪ g‬المعرفة ب ‪ g  x   x‬متصلة‬
‫على ‪  0, ‬إذن الدالة ‪f‬‬
‫‪III‬‬
‫متصلة على مجال ‪. I‬‬
‫‪ )1‬صورة قطعة‪ -‬صورة جمال‬
‫خاصية‬
‫صورة قطعة بدالة متصلة ىي عبارة عن قطعة‪.‬‬
‫صورة مجال بدالة متصلة ىي عبارة عن مجال‪.‬‬
‫هشام بوحفيظ |‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪6‬‬
‫و‬
‫الثانية باك عموم فزيائية‬
‫ اتصال دالة عددية‬: ‫الدرس‬
‫مالحظات‬
‫ حٌث‬.  a.b  ‫ من‬ ‫ و‬ ‫ فإنه ٌوجد‬ a.b  ‫ متصلة على‬f ‫*إذا كانت‬
M  f     sup  f  x   ‫ و‬m  f     inf
x a.b
x a .b
f
. I ‫ غٌر متصلة على‬f ‫فإن‬
a, b  m; M 
‫ لٌس مجاال من‬f  I  ‫و‬
 f  x 
‫ولدٌنا‬
‫ من‬I ‫*إذا كان‬
‫) مربهنة القيم الوسطية‬2
f  c   k ‫ حٌث‬b ‫ و‬a ‫ محصور بٌن‬c ‫ٌوجد على األقل عدد‬. k  f
a, b ‫ عدد حقٌقً بحٌث‬k ‫ و‬ a, b ‫ دالة متصلة على‬f
‫خاصية‬
‫ يوجد على‬f  b  ‫ و‬f  a  ‫ محصور بين‬k ‫ عنصرين منو فإن لكل عدد‬b ‫ و‬a ‫ و‬I ‫ دالة متصلة على‬f ‫إذا كانت‬
f  c   k ‫ حيث‬b ‫ و‬a ‫ محصور بين‬c ‫األقل عدد‬
‫نتيجة‬
. a, b
‫ تقبل على األقل حال في‬f  x   0 ‫ فإن المعادلة‬f  a  . f  b   0 ‫ وكان‬ a, b ‫ دالة متصلة على‬f ‫إذا كانت‬
3‫تطبيق‬
 
. I   ,   ‫ تقبل على األقل حال فً المجال‬2sin x  x ‫بٌن أن المعادلة‬
2 
f  x   2sin x  x
:‫نضع‬
. I ً‫ تقبل على األقل حال ف‬2sin x  x ‫إذن المعادلة‬
2sin x  x  0 ‫تكافئ‬
2sin x  x ‫لدٌنا‬
f  / 2  f    0 ‫ ولدٌنا‬I ‫ متصلة على‬f ‫لدٌنا‬
‫) صورة جمال بدالة متصلة ورتيبة قطعا‬3
‫ متصلة وتناقصية قطعا‬f ‫الدالة‬
‫صورته‬
‫المجال‬
 f  b  , f  a  
 lim f  x  , f  a  
 xb

 a, b 
 a, b
 f  b  , lim f  x  


x a 
 lim f  x  , f  a 
 x

 lim f  x  , lim f  x  
x a 
 xb

 a, 
 lim f  x  , lim f  x  

x 
 xa
7
a , b 
a, b
, a
‫ متصلة وتزايدية قطعا‬f ‫الدالة‬
‫صورته‬
‫المجال‬
 f  a  , f  b  
 f  a  , lim f  x  

x b

 lim f  x  , f  b  
 xa

 f  a  , lim f  x  
x 


 lim f  x  , lim f  x  
x b
 xa

 lim f  x  , lim f  x  

x a 
 x
[email protected]
 a, b 
 a, b
a , b 
 a, 
a, b
, a
| ‫هشام بوحفيظ‬
‫الثانية باك عموم فزيائية‬
‫الدرس ‪ :‬اتصال دالة عددية‬
‫نتيجة‪1‬‬
‫إذا كانت ‪ f‬دالة متصلة ورتيبة قطعا على ‪  a, b‬فإن لكل عدد ‪ k‬محصور بين ‪ f  a ‬و ‪ f  b ‬يوجد عدد وحيد ‪ c‬محصور‬
‫بين ‪ a‬و ‪ b‬حيث ‪f  c   k‬‬
‫نتيجة‪2‬‬
‫إذا كانت ‪ f‬دالة متصلة ورتيبة قطعا على ‪  a, b‬وكان ‪ f  a  . f b   0‬فإن المعادلة ‪ f  x   0‬تقبل حال وحيدا في ‪a, b‬‬
‫‪.‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪ )1‬الدالة العكشية‬
‫خاصية‬
‫إذا كانت ‪ f‬دالة متصلة ورتيبة قطعا على مجال ‪ I‬فإن لكل ‪ y‬من ‪ I‬المعادلة ‪ f  x   y‬تقبل حال وحيدا في ‪( I‬نعبر عن‬
‫ىذا بقولنا ‪ f‬تقابل من ‪ I‬نحو ‪) f  I ‬‬
‫تعريف‬
‫لتكن ‪ f‬دالة متصلة ورتيبة قطعا على مجال ‪ I‬و ‪ J‬مجال حيث ‪، f  I   J‬الدالة التي تربط كل عنصر ‪ y‬بالعنصر الوحيد‬
‫‪ x‬من ‪ I‬بحيث ‪ f  x   y‬تسمى الدالة العكسية للدالة ‪ f‬نرمز لها بالرمز ‪. f 1‬‬
‫نتائج‬
‫لتكن ‪ f‬دالة متصلة ورتٌبة قطعا على مجال ‪ I‬و ‪ f 1‬دالتها العكسٌة لدٌنا‬
‫‪‬‬
‫‪f 1  y   x  y  f  x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪f   x  x‬‬
‫‪‬‬
‫‪f 1   y   y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y  f  I  , ! x  I‬‬
‫‪f‬‬
‫‪y  f  I ‬‬
‫‪f‬‬
‫‪x  I‬‬
‫‪ )2‬خاصيات الدالة العكشية‬
‫إذا كانت ‪ f‬دالة متصلة ورتٌبة قطعا على مجال ‪ I‬و‬
‫‪1‬‬
‫‪ f‬دالتها العكسٌة فإن ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f 1‬متصلة على ‪. f  I ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f 1‬رتٌبة قطعا على ‪ f  I ‬ولها نفس رتابة ‪ f‬على المجال ‪. I‬‬
‫‪‬‬
‫‪ C f 1‬منحنى الدالة ‪ f 1‬هو مماثل المنحنى ‪ C f‬بالنسبة للمستقٌم الذي معادلته ‪ y  x‬فً معلم متعامد ممنظم ‪.‬‬
‫تطبيق‪4‬‬
‫‪x 1‬‬
‫نعتبر الدالة ‪ f‬بحٌث ‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ .1‬حدد ‪. D f‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪f  x ‬‬
‫بٌن أن ‪ f‬متصلة ورتٌبة قطعا على المجال ‪. I  1, ‬‬
‫هشام بوحفيظ |‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪8‬‬
‫الثانية باك عموم فزيائية‬
‫الدرس ‪ :‬اتصال دالة عددية‬
‫‪.3‬‬
‫بٌن أن ‪ f‬تقبل دالة عكسٌة معرفة على مجال ‪ٌ J‬تم تحدٌده‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫حدد ‪ f 1‬لكل ‪ x‬من ‪. J‬‬
‫‪\ 1‬‬
‫‪ -1‬لدٌنا‬
‫تصحيح التطبيق ‪4‬‬
‫إذن ‪ T  0‬على المجال ‪1, ‬‬
‫‪Df ‬‬
‫‪ -2‬الدالة ‪ f‬عبارة عن دالة جذرٌة معرفة على المجال‬
‫‪ 1, ‬إذن ‪ f‬متصلة على‬
‫‪1, ‬‬
‫‪-3‬‬
‫لٌكن ‪ x‬و ‪ y‬من ‪ 1, ‬لدٌنا ‪:‬‬
‫‪f  x  f  y‬‬
‫‪x y‬‬
‫‪x 1 y 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1 y 1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪x y‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ x  1 y  1   y  1 x  1‬‬
‫‪ x  y  x  1 y  1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪xy  x  y  1  xy  y  x  1‬‬
‫‪ x  y  x  1 y  1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2 x  2 y‬‬
‫‪ x  y  x  1 y  1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2  x  y ‬‬
‫‪ x  y  x  1 y  1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  1 y  1‬‬
‫‪T‬‬
‫وبالتالً ‪ f‬تناقصٌة قطعا على ‪1, ‬‬
‫لدٌنا ‪ f‬متصلة ورتٌبة قطعا على ‪1, ‬‬
‫إذن ‪ f‬تقبل‬
‫دالة عكسٌة معرفة على المجال ‪ J‬بحٌث‪:‬‬
‫‪J  f  1,  ‬‬
‫‪J  1, ‬‬
‫‪-4‬لدٌنا‪x  J ! y  Iddf 1  x   y  f  y   x :‬‬
‫‪y 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x 1‬‬
‫‪y 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y 1 ‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ y‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪f 1  x  ‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪‬‬
‫إذن‬
‫‪ )3‬دالةاجلذر من الزتبة ‪n‬‬
‫أ ‪ -‬تعريف دالة الجذر من الرتبة ‪n‬‬
‫‪ x‬بحٌث ‪ n‬عدد صحٌح طبٌعً غٌر منعدم دالة متصلة وتزاٌدٌة قطعا على‬
‫نعلم أن الدالة ‪x n‬‬
‫تعريف‬
‫الدالة العكسية للدالة ‪x n‬‬
‫الحقيقي ‪x‬‬
‫‪ x‬بحيث ‪ n‬عدد صحيح طبيعي غير منعدم تسمى دالة الجذر من الرتبة ‪ n‬نرمز لها ب‬
‫يقرأ جذر من الرتبة ‪ n‬ل ‪ x‬وىو صورة ‪ x‬بالدالة‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫إذن تقبل دالة عكسٌة‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪، n‬العدد‬
‫‪.‬‬
‫أمثلة‬
‫لٌكن ‪ x‬عدد حقٌقً موجب‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪xx‬‬
‫‪‬‬
‫‪x x‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫جذر مربع للعدد ‪. x‬‬
‫جذر مكعب للعدد ‪. x‬‬
‫هشام بوحفيظ |‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪9‬‬
‫الثانية باك عموم فزيائية‬
‫الدرس ‪ :‬اتصال دالة عددية‬
‫خاصية‬
‫‪ o‬الدالة ‪x‬‬
‫‪ x‬بحيث ‪ n‬عدد صحيح طبيعي غير منعدم متصلة على‬
‫‪n‬‬
‫‪ o‬منحنى الدالة ‪x‬‬
‫‪ x‬مماثل لمنحنى الدالة ‪x n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. xlim‬‬
‫و‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x‬بالنسبة للمنصف االول للمعلم‪.‬‬
‫نتائج‬
‫ليكن عدد صحيح طبيعي لدينا مايلي‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪x n y x y‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  n y x y‬‬
‫‪n‬‬
‫‪xn ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪  x, y  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  x, y  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  x, y  ‬‬
‫أمثلة‬
‫لدٌنا ‪:‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪n‬‬
‫و‪0  0‬‬
‫‪27  3 33  3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪32  5 25  2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪n‬‬
‫بحٌث عدد صحٌح طبٌعً غٌر منعدم‬
‫ب ‪-‬العمليات على الجذور‬
‫لٌكن ‪ n‬و ‪ p‬عددٌن صحٌحٌن طبٌعٌٌن غٌر منعدمٌن و ‪ a‬و ‪ b‬عددٌن حقٌقٌٌن موجبٌن‪.‬‬
‫‪np‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪ap‬‬
‫‪‬‬
‫‪b0‬‬
‫‪‬‬
‫‪a  n b  n ab‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪np‬‬
‫‪a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪a na‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n p‬‬
‫ج ‪-‬اتصال ونهاية مركبة دالة ودالة الجذر من الرتبة‬
‫خاصيات‬
‫لتكن ‪ f‬دالة موجبة على مجال ‪ I‬و ‪ x0‬عنصرا من ‪. I‬‬
‫‪ o‬إذا كانت ‪ f‬متصلة على ‪ I‬فإن متصلة على ‪. I‬‬
‫‪ o‬إذا كانت ‪ lim f x  l‬فإن ‪n f x  n l‬‬
‫‪. xlim‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪xx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ o‬إذا كانت ‪ lim f x  ‬فإن ‪n f x  ‬‬
‫‪. xlim‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xx‬‬
‫‪0‬‬
‫هشام بوحفيظ |‬
‫‪0‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪10‬‬
‫الثانية باك عموم فزيائية‬
‫ اتصال دالة عددية‬: ‫الدرس‬
. ‫ الخاصٌتان األخٌرتان صحٌحتان إذا كان ٌؤول إلى أو على الٌمٌن أو على الٌسار‬: ‫مالحظة‬
5‫ تطبيق‬- ‫د‬
: ‫حل فً المعادالت التالٌة‬-1
x3  7  0
3
3  x 
2
x6  3  0
‫؛؛‬
 3 3  x   2 3 9  x2
2
:‫أحسب النهاٌات التالٌة‬-2
lim x  3 x3  x 2
‫؛؛‬
x 
3
lim
x 0
3
lim
x 0
3
lim
x 0
3
lim
x 0
x 8 2
 lim
x 0
x
x


x 8 2
 lim
x 0
x
x


x 8 2
 lim
x 0
x
x 8
3
x 8

x 8


x 1
x  63  4
x 1

3
x8
2
:‫ *لدٌنا‬-1
 x 3  0
6
 x6  3
 2 x  8  4

2
3
x63
S1 
 2 3 x  8  4

2
x 1
lim 3
 16
x 1 x  63  4

3
 3
‫إذن‬
6
‫* لدٌنا‬
 x 7 0

1
2
 x 3  7
 23 x  8  4
 x  7
3


3

*
2
 
3
3
 
x  63  4 3 x  63  16
2
 x 
 x  3 7
2
x 1
S2   3 7
‫إذن‬
:‫*لدٌنا‬
2
x  3 x 1
x  63  4 3 x  63  16
3
x 8 2
x
 x  3 7
x 1
x 1
lim 3
 lim

x 1 x  63  4
x 1 x  63  64
x 1
lim 3
 lim
x 1 x  63  4
x 1
x 0
3
x 8 2 1

x
12
3
‫ ؛؛‬lim
*- 2
3
x
3
3
3
lim 3
3
3
3
x 1

3
x2 1
‫؛؛‬
3
x 1
5‫تطبيق‬
lim
 3 3  x   3 3  x   2 3 9  x2
2
2
 3 3  x   3 3  x   2 3 9  x2  0
2
2


3
3  x  


3
3 x  3 3 x  0
2


3
3  x  

2
 23 3 x 3 3 x  0
2
 3 3 x  3 3 x
 3 x  3 x
 x0
11
[email protected]
S2  0
‫إذن‬
| ‫هشام بوحفيظ‬
‫الثانية باك عموم فزيائية‬
‫الدرس ‪ :‬اتصال دالة عددية‬
‫‪ )4‬القوة اجلذرية لعدد حقيقي موجب‬
‫تعريف‬
‫ليكن ‪ x‬عدد حقيقي موجب قطعا و ‪ r‬عددا جذريا غير منعدم‬
‫حيث ‪p‬‬
‫‪q‬‬
‫‪r‬‬
‫مع‬
‫‪2‬‬
‫‪. ( p, q) ‬‬
‫‪p‬‬
‫‪q‬‬
‫القوة الجذرية للعدد الحقيقي ‪ x‬ذات األس ‪ r‬ىي العدد الحقيقي ‪ x r‬و المعرفة بما يلي ‪x  x p‬‬
‫‪q‬‬
‫أمثلة‬
‫لدٌنا ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪xx‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫؛؛‬
‫‪n‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪5‬‬
‫؛؛‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5 5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫خاصيات‬
‫ليكن ‪ r‬و ' ‪ r‬عددين جذريين و ‪ a‬و ‪ b‬عددين حقيقين موجبين قطعا لدينا مايلي‪:‬‬
‫‪ a rr ' ‬‬
‫‪a ‬‬
‫'‪r r‬‬
‫‪ar‬‬
‫‪ a r r ' ‬‬
‫'‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫؛؛‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a r br   ab ‬‬
‫‪ar  a ‬‬
‫؛؛ ‪  ‬‬
‫‪br  b ‬‬
‫؛؛ ' ‪a r a r '  a r r‬‬
‫؛؛‬
‫‪1‬‬
‫‪ ar‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫‪V‬‬
‫هناك بعض المعادالت من نوع ‪ f  x   0‬الٌمكن حلها جبرٌا ‪.‬لكن ٌمكن تحدٌد قٌمة مقربة لحل هذه المعادلة وذلك بإستعمال‬
‫طرٌقة التفرع الثنائً ‪.‬‬
‫لتكن ‪ f‬دالة متصلة و رتٌبة قطعا على ‪  a, b‬و ‪ f  a  f  b   0‬إذن ٌوجد عدد وحٌد ‪ ‬حل للمعادلة ‪ f  x   0‬فً‬
‫المجال ‪.  a, b‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪ba‬‬
‫‪ ab‬‬
‫‪ f  a  f ‬فإن ‪   b‬‬
‫وهذا تأطٌرا للعدد ‪ ‬سعته‬
‫‪‬‬
‫إذا كان ‪  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ba‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪.....‬‬
‫ونحصل على تأطٌر سعته‬
‫نعٌد هذه العملٌة بتعوٌض ‪ a‬ب‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪ba‬‬
‫‪ ab‬‬
‫‪ a   ‬وهذا تأطٌرا للعدد سعته‬
‫‪ f  a  f ‬فإن‬
‫‪‬‬
‫إذا كان ‪  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ba‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪.....‬‬
‫ونحصل على تأطٌر سعته‬
‫نعٌد هذه العملٌة بتعوٌض ‪ b‬ب‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫نعيد هذه العملية ككل إلى أن نحصل على التأطير المرغوب فيه‬
‫تطبيق‪6‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪3‬‬
‫بٌن أن المعادلة ‪ x  1   x‬تقبل حال وحٌدا ‪ ‬فً المجال ‪ 1, 2 ‬‬
‫هشام بوحفيظ |‬
‫‪1‬‬
‫ثم حدد تأطٌرا للعدد ‪ ‬سعته ‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪12‬‬