ﻣﺘﺠﻬﺎت ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء
اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء
-(Iﺗﺴﺎوي ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ – ﺟﻤﻊ اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت
-1ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﺘﺠﻬﺔ
Aو Bﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ،إذا رﻣﺰﻧﺎ ﻟﻠﻤﺘﺠﻬﺔ ABﺑﺎﻟﺮﻣﺰ uﻓﺎن :
• اﺗﺠﺎﻩ uهﻮ اﺗﺠﺎﻩ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( AB
•
•
ﻣﻨﺤﻰ uهﻮ اﻟﻤﻨﺤﻰ ﻣﻦ Aإﻟﻰ B
ﻣﻨﻈﻢ uهﻲ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ABو ﻧﻜﺘﺐAB = u :
ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ :ﻟﻜﻞ ﻧﻘﻄﺔ Aﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ AAﻟﻴﺲ ﻟﻬﺎ اﺗﺠﺎﻩ و ﻣﻨﻈﻤﻬﺎ ﻣﻨﻌﺪم.
AAﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ اﻟﻤﻨﻌﺪﻣﺔ و ﻧﻜﺘﺐ AA = 0
-2ﺗﺴﺎوي ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ
ﺗﻌﺮﻳﻒ
ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺠﻬﺘﺎن ﻣﺘﺴﺎوﻳﺘﺎن اذا آﺎن ﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻻﺗﺠﺎﻩ و ﻧﻔﺲ
اﻟﻤﻨﺤﻰ و ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻨﻈﻢ
u =v
ﻟﻜﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ uﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء و ﻟﻜﻞ ﻧﻘﻄﺔ Aﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء
ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة Mﺣﻴﺚ u = AM
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ABCDرﺑﺎﻋﻴﺎ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء
ABCDﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻟﺘﻜﻦ Aو Bو Cو Dأرﺑﻊ ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء
AB = CD
AB = CD
AC = BD
DB = CA
إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن
إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن
-3ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ –ﻋﻼﻗﺔ ﺷﺎل
أ u -و vﻣﺘﺠﻬﺘﺎن ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء
ﻟﺘﻜﻦ Aﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء،
AB = DC
)ﺗﺒﺪﻳﻞ اﻟﻮﺳﻄﻴﻦ(
)ﺗﺒﺪﻳﻞ اﻟﻄﺮﻓﻴﻦ(
ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة Bﺣﻴﺚ = u
ﺗﻮﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ وﺣﻴﺪة Cﺣﻴﺚ . BC = v
اﻟﻨﻘﻄﺘﺎن Aو Cﺗﺤﺪدان ﻣﺘﺠﻬﺔ
وﺣﻴﺪة w = AC
. AB
اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ w
uو v
هﻲ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ
AC = AB + BC
ﻧﻜﺘﺐ w = u + v
ب -ﻋﻼﻗﺔ ﺷﺎل
ﻣﻬﻤﺎ آﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻂ Aو
B
و
C
ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء
AC = AB + BC
ﻧﺘﻴﺠﺔ
ﻟﺘﻜﻦ Oو Mو Nو Rأرﺑﻊ ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء
OM + ON = ORإذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن OMRNﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع
ﻣﻼﺣﻈﺔ :اذا آﺎﻧﺖ u = OM
u + v = ORﺣﻴﺚ OMRN
و
v = ON
ﻓﺎن
ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع
1
Moustaouli Mohamed
ج -ﺧﺎﺻﻴﺎت
* -ﻟﻜﻞ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ uو
* -ﻟﻜﻞ ﺛﻼث ﻣﺘﺠﻬﺎت
u
v
uو v
u +v = v +u
و
)(u + v ) + w = u + ( v + w
w
u +0 = 0+u =u
* -ﻟﻜﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ
ﻣﻘﺎﺑﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ -ﻓﺮق ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ
أ -ﻣﻘﺎﺑﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ
ﻟﺘﻜﻦ uﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء
ﻣﻘﺎﺑﻞ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ uهﻲ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ اﻟﺘﻲ ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ اﻻﺗﺠﺎﻩ و ﻧﻔﺲ اﻟﻤﻨﻈﻢ و ﻣﻨﺤﺎهﺎ ﻣﻀﺎد ﻟﻤﻨﺤﻰ
اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ uﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ −u
* -ﻟﻜﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ
u
:
u + ( −u ) = ( − u ) + u = 0
* ﻟﻜﻞ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ Aو Bﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻟﺪﻳﻨﺎ AB + BA = AA = 0
اﻟﻤﺘﺠﻬﺘﺎن ABو BAﻣﺘﻘﺎﺑﻠﺘﺎن ﻧﻜﺘﺐ AB = − BA
ب -ﻓﺮق ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ
ﺗﻌﺮﻳﻒ
ﻟﻜﻞ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ
ﻣﻼﺣﻈﺔ
u
و
u − v = u + ( −v ) v
ﻟﻜﻞ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ
A
و
B
و
C
BC = AC − AB
أﻣﺜﻠﺔ
ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ
AB = HG
ED + EF = EC
BC = − HE
-4ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﻌﺔ
Iﻣﻨﺘﺼﻒ ] [ ABإذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن AI = IB
) ( IA + IB = 0
(IIاﻻﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ– اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
-1ﺿﺮب ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻓﻲ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ
ﺗﻌﺮﻳﻒ
uﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و kﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم
ﺟﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ uﻓﻲ اﻟﻌﺪد اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ kهﻲ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ kuﺣﻴﺚ :
* uو kuﻟﻬﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻻﺗﺠﺎﻩ
* ku = k × u
ﻣﻨﺤﻰ uإذا آﺎن 0
* ﻣﻨﺤﻰ kuهﻮ
k
ﻋﻜﺲ ﻣﻨﺤﻰ uإذا آﺎن k ≺ 0
0
k≺0
k
* ﻟﻜﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ uو ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ k
- 2ﺧﺎﺻﻴﺎت
ﻣﻬﻤﺎ ﺗﻜﻦ اﻟﻤﺘﺠﻬﺘﺎن
u
α (u + v ) = α u + α v
1⋅ u = u
و
v
0⋅u = 0 :و k ⋅0 = 0
و ﻣﻬﻤﺎ ﻳﻜﻦ اﻟﻌﺪدان اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺎن αو βﻓﺎن
(α + β ) u = α u + β v
) (αβ ) u = α ( β u
α u = 0إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن α = 0أو u = 0
2
Moustaouli Mohamed
-3اﻻﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ
اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ
أ -ﺗﻌﺮﻳﻒ
ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺠﻬﺘﺎن
u
و
v
ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ إذا و ﻓﻘﻂ آﺎﻧﺖ اﺣﺪاهﻤﺎ ﺟﺪاء اﻷﺧﺮى ﻓﻲ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ
B
C
ﻣﻼﺣﻈﺔ
0ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻊ أﻳﺔ ﻣﺘﺠﻬﺔ
اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ
ﺗﻌﺮﻳﻒ
ﻟﺘﻜﻦ Aو Bو Cﻧﻘﻄﺎ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ A ≠ B
u
v
D
A
ﺗﻜﻮن اﻟﻨﻘﻂ Aو Bو Cﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ إذا وﻓﻘﻂ إذا وﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ αﺣﻴﺚ AC = α AB
ﺗﻮازي ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ
ﻟﺘﻜﻦ Aو Bو Cو Dﻧﻘﻄﺎ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ A ≠ Bو C ≠ D
) ( AB ) // ( CDإذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ABو CDﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ
اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء
ﺗﻌﺮﻳﻒ
ﻟﺘﻜﻦ Aو Bﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء
آﻞ ﻣﺘﺠﻬﺔ uﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻊ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ AB
ﺗﺴﻤﻰ ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻮﺟﻬﻢ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( AB
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻟﺘﻜﻦ Aﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء و uﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ
∈α
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ Mﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ AM = α uو
هﻲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ Aو اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـ . uﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ
) D ( A; u
}
{
D ( A; u ) = M ∈ ( E ) / AM = α u
∈; α
ﺗﻤﺮﻳﻦ
ﻟﻴﻜﻦ ABCDEFGHﻣﻜﻌﺒﺎ ﻧﻀﻊ AB = iو AD = j
و AE = kو . u = i + 2 j + 2kﻧﻌﺘﺒﺮ Iﻣﻨﺘﺼﻒ
-1ﺑﻴﻦ أن uﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
] [ HG
) ( AI
-2ﻟﻴﻜﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( اﻟﻤﺎر ﻣﻦ Gو اﻟﻤﻮازي ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( AIو Mﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ
1
AB + 2 BG
2
= . BMﺑﻴﻦ أن ) ∆ ( ∈ M
اﻟﺠﻮاب
-1ﻧﺒﻴﻦ أن uﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( AI
أي ﻧﺒﻴﻦ أن AIو uﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ
1
ﻟﺪﻳﻨﺎ Iﻣﻨﺘﺼﻒ ] [ HGوﻣﻨﻪ HI = HG
2
1
AI = AE + EH + HI = AE + EH + HG
2
ﺑﻤﺎ أن ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ ﻓﺎن EH = AD = jو HG = AB = i
1
1
1
وﻣﻨﻪ AI = k + j + i = i + 2 j + 2k = u
2
2
2
إذن AIو uﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن و ﻣﻨﻪ uﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( AI
)
(
2ﻧﺒﻴﻦ أن ) ∆ ( ∈ M
ﻟﺪﻳﻨﺎ ) ∆ ( اﻟﻤﺎر ﻣﻦ Gو اﻟﻤﻮازي ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( AIأي
3
) ( ∆ ) = D ( G; u
Moustaouli Mohamed
1
1
AB + 2 BG = GF + FB + AB + 2 BC + 2CG
2
2
ﺑﻤﺎ أن ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ ﻓﺎن GF = − AD = − jو FB = − AE = − kو CG = kو BC = j
1
1
1
1
GM = − j − k + i + 2 j + 2k = i + j + k = i + 2 j + k = u
2
2
2
2
و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ) M ∈ D ( G; uإذن ) ∆ ( ∈ M
GM = GF + FB + BM = GF + FB +
(
)
(IIIاﻻﺳﺘﻮاﺋﻴﺔ– اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى
-1ﺗﻌﺮﻳﻒ
ﻟﻴﻜﻦ ) ( Pﻣﺴﺘﻮى ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء و Aو Bو Cﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ
ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى
)( P
ﻧﻘﻮل إن ) ( Pهﻮ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ
A
و اﻟﻤﻮﺟﻪ
ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ABو AC
ﻧﺘﻴﺠﺔ
ﻣﺘﺠﻬﺘﺎن uو vﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ و ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺗﺤﺪد
ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪا ) ( Pهﻮ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ Aو
اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ uو vﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ) . P ( A; u ; v
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻟﺘﻜﻦ uو vﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ و Aﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ
اﻟﻔﻀﺎء.
AM = xu + yvو
ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ Mﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ
2
∈ ) ( x; yهﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pاﻟﻤﺎر ﻣﻦ Aو اﻟﻤﻮﺟﻪ
ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ uو vو ﻧﻜﺘﺐ
) ( P ) = P ( A; u ; v
-2اﻻﺳﺘﻮاﺋﻴﺔ
ﺗﻌﺮﻳﻒ
ﻟﺘﻜﻦ uو vو wﺛﻼث ﻣﺘﺠﻬﺎت ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء
ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت uو vو wﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ اذا وﻓﻘﻂ وﺟﺪت
أرﺑﻊ ﻧﻘﻂ ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ
A
و
B
و Cو Dﺣﻴﺚ AB = uو
AC = vو AD = w
أﻣﺜﻠﺔ
ABCDEFGHﻣﺘﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت
BEو BCو BHﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ ﻻن اﻟﻨﻘﻂ B
و Cو Eو Hﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ ( BC ) // ( EH )
BEو BHو BDﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ ﻷن BDEHرﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ
ﺧﺎﺻﻴﺔ
ﻟﺘﻜﻦ uو vﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ و wﻣﺘﺠﻬﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء
اﻟﻤﺘﺤﻬﺎت uو vو wﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ إذا وﻓﻘﻂ إذا وﺟﺪ ﻋﺪدﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﻴﻦ xو yﺣﻴﺚ
w = xu + yv
ﻧﺘﻴﺠﺔ
إذا وﺟﺪ ﻋﺪدﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﻴﻴﻦ xو yﺣﻴﺚ A M = x A B + y A Cﻓﺎن Aو Bو Cو M
ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ
ﺗﻤﺮﻳﻦ
EABCDهﺮم ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ I ، ABCDو Jﻣﻨﺘﺼﻔﺎ ] [ AEو ] [ BCﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ.
ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت IJو ABو ECﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ
اﻟﺤﻞ
IJ = IA + AB + BJ
و ﺣﻴﺚ Iو Jﻣﻨﺘﺼﻔﺎ ] [ AEو ] [ BCﻓﺎن :
4
Moustaouli Mohamed
1
1
BC وIA = EA
2
2
1
1
IJ = EA + AB + BC و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ
2
2
1
1
1
IJ = EC + CA + AB + BC وﻣﻨﻪ
2
2
2
1
1
IJ = EC + AB + BA
2
2
1
1
IJ = EC + AB وﻣﻨﻪ
2
2
ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔEC وAB وIJ إذن
BJ =
Moustaouli Mohamed
5
© Copyright 2025