ניקויסט

‫‪ 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫תרגילים‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪s ( s + 40‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪GH ( S‬‬
‫א‪ .‬שרטט עקום ניקויסט של המערכת והראה כי המערכת אינה יציבה לפי הגרף‪ .‬‬
‫ב‪ .‬הוסיפו למערכת משוב ‪ (s+4) ‬הראה לפי ניקויסט שהמערכת יציבה‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוסיפו רשת תיקון הבאה למערכת ‪) GH‬ללא המשוב של סעיף ב(‬
‫‪s+4‬‬
‫‪s + 40‬‬
‫= ‪GC‬‬
‫בדוק לפי ראוט‪ ,‬תחום ‪ k‬שהמערכת יציבה לאחר התיקון‪.‬‬
‫פתרון ‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪s ( s + 4‬‬
‫= ) ‪GH ( S‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Imag Axis‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Real Axis‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-3‬‬
‫עבור כל ‪ K‬המערכת אינה יציבה‪ ,‬מספר ההקפות ‪) N=‐2 ‬כולל מעגל אינסופי(‪.‬‬
‫ב‪ .‬מערכת יציבה‪ ,‬מספר ההקפות = ‪0‬‬
‫תרגיל נייקויסט ‪ ‬ערך‪ :‬חיון אבי ‪ ‬‬
2
4
3
2
Imag Axis
1
0
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
0
Real Axis
1
2
3
4
:‫ בדיקת יציבות לפי ראוט‬.‫ג‬
GH ( S ) =
k
s+4
C
k ( s + 4)
⋅
=> = 4
3
R s + 80 s + 1600 s 2 + ks + 4k
s ( s + 40) s + 40
2
P ( s ) = s 4 + 80s 3 + 1600 s 2 + ks + 4k
s4
1
s3
80
k
0
s2
128000 − k
80
4k
0
s1
a
0
s0
4k
1600 4k
0
0
‫ חיון אבי‬:‫ ערך‬ ‫תרגיל נייקויסט‬
‫‪ 3‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪128000 − k‬‬
‫‪.‬‬
‫‪> 0 ⇒ k < 128000‬‬
‫‪80‬‬
‫‪128000 − k‬‬
‫‪⋅ k − 320k‬‬
‫‪102400k − k 2‬‬
‫‪80‬‬
‫=‬
‫‪⇒ 0 < k < 102400‬‬
‫=‪a‬‬
‫‪128000 − k‬‬
‫‪128000 − k‬‬
‫‪80‬‬
‫‪k >0‬‬
‫מהתנאים הנ"ל נקבל יציבות ‪:‬‬
‫‪0 < k < 102400‬‬
‫תרגיל נייקויסט ‪ ‬ערך‪ :‬חיון אבי ‪ ‬‬
‫‪ 4‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫תרגיל נייקויסט ‪ ‬ערך‪ :‬חיון אבי ‪ ‬‬
‫‪ 5‬‬
‫פתרון ‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫א‪ .‬תרשים ‪ 1‬מתאר את המערכת הנתונה‪ ,‬כי הזווית משתנה בין ‪ ‐180‬ל‪ ‐270 -‬מעלות‪ .‬קוטב‬
‫בראשית כפול תורם ‪ ‐180‬מעלות וקוטב פשוט נוסף תורם בין ‪ 0‬ל‪ ‐90 -‬מעלות‪ .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪s+ A‬‬
‫‪ .1‬רשת קידום מופע‬
‫‪s+B‬‬
‫= ‪ Gc‬כאשר‪A < B :‬‬
‫)‪K ( s + A‬‬
‫ביטוי של המערכת כולל רשת תיקון יהיה‪:‬‬
‫)‪s ( s + a)( s + B‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪GH ( s‬‬
‫‪ .2‬לפני תיקון‬
‫])‪GH=k/[s 2(s+a‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Imag Axis‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Real Axis‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-6‬‬
‫‪-8‬‬
‫‪-8‬‬
‫תרגיל נייקויסט ‪ ‬ערך‪ :‬חיון אבי ‪ ‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪ ‬‬
‫אחרי תיקון‬
‫‪A<B,a‬‬
‫])‪GH=k(s+A)/[s 2(s+a)(s+B‬‬
‫‪15‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Imag Axis‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪15‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Real Axis‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪-15‬‬
‫‪-15‬‬
‫‪ .3‬כדי שהמערכת תהיה יציבה צריך ש‪ A<a -‬ולדאוג להגבר מתאים שנקודה ‪ x‬תהיה‬
‫מימין לנקודה )‪(‐1‬‬
‫כדי לקבל ‪ 0‬הקפות ‪ .‬אם ‪ N=P ‬אז המערכת יציבה‪.‬‬
‫תרגיל נייקויסט ‪ ‬ערך‪ :‬חיון אבי ‪ ‬‬
7
3 ‫תרגיל‬
3 ‫פתרון‬
0 = ‫ עבור תדר‬.‫א‬
s = 0 ⇒ GH =
− 1.5
k
=
= −1.5 ⇒ k = −3
1⋅ 2
1
.‫ב‬
Nyquist Diagrams
GH=(-3)/[(s+1)(s+2)]
1
0.8
0.6
0.2
To: Y(1)
Imaginary Axis
0.4
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Real Axis
N = −1, P = 0 ⇒ N ≠ P ⇒ ‫לא יציב‬
‫ חיון אבי‬:‫ ערך‬ ‫תרגיל נייקויסט‬
‫‪ 8‬‬
‫‪ ‬‬
‫ג‪ .‬לפי ראוט‬
‫‪P( s ) = s 2 + 2 s + 2 + k‬‬
‫‪0‬‬
‫‪⇒ 2 + k > 0 ⇒ k > −2‬‬
‫מערכת יציבה עבור‪:‬‬
‫‪2+k‬‬
‫‪0‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪s1‬‬
‫‪s0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2+k‬‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫נתונה מערכת עם משוב יחידה‬
‫) ‪100(1 + 30s‬‬
‫) ‪( s ) (1 + 5s )(1 + 10s‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪G( jω‬‬
‫שרטט עקום ניקויסט ובדוק יציבות‬
‫פתרון ‪4‬‬
‫א‪.‬‬
‫)‪100(1 + jω 30‬‬
‫)‪( jω ) (1 + jω 5)(1 + jω10‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪G( jω‬‬
‫‪θ ω = −180° + tan −1 30ω − tan −1 5ω − tan −1 10ω‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪100 1 + (30ω‬‬
‫‪ω 2 1 + (5ω )2 1 + (10ω )2‬‬
‫= ‪G‬‬
‫∞‬
‫‪ 10‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ 0.2‬‬
‫‪ωπ = 0.1‬‬
‫‪ 0.08‬‬
‫‪ 0.05‬‬
‫‪ 0.01‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪‐270‬‬
‫‪ ‐269‬‬
‫‪‐255‬‬
‫‪‐208‬‬
‫‪‐180‬‬
‫‪‐173‬‬
‫‪‐164‬‬
‫‪‐172‬‬
‫‪ ‐180‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪ 0.06‬‬
‫‪ 59‬‬
‫‪ 4809‬‬
‫‪20000‬‬
‫‪29453‬‬
‫‪62572‬‬
‫‪1.04 ⋅ 10 6‬‬
‫∞‬
‫‪ GH‬‬
‫תרגיל נייקויסט ‪ ‬ערך‪ :‬חיון אבי ‪ ‬‬
‫‪ 9‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x 10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪Imag Axis‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-0.5‬‬
‫‪-20000‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1.5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x 10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-0.5‬‬
‫‪Real Axis‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1.5‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-2.5‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪ω π = 0.1 rad‬‬
‫ב‪ .‬תדר בו הגרף חותך את הציר הממשי הוא‪sec :‬‬
‫ג‪ .‬מספר ההקפות ‪N=‐2 :‬‬
‫‪P=0 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ N ≠ P ‬לכן המערכת לא יציבה ‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫תרגיל נייקויסט ‪ ‬ערך‪ :‬חיון אבי ‪ ‬‬
‫‪ 10‬‬
‫תרגיל ‪5‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪A<B,a‬‬
‫])‪GH=k(s+A)/[s 2(s+a)(s+B‬‬
‫‪15‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Imag Axis‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪15‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Real Axis‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪-15‬‬
‫‪-15‬‬
‫נתון ‪ x=‐3 , k=1‬והמעגל החיצוני הוא אינסופי‪.‬‬
‫א‪ .‬בדוק יציבות עבור ‪ .k=1‬‬
‫ב‪ .‬מצא תחום ‪ k ‬שהמערכת יציבה) חיובי ושלילי(‪ .‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫פונקצית התמסורת בחוג פתוח של מערכת בקרה הפועלת בחוג סגור הנה‪:‬‬
‫‪16‬‬
‫‪( s + 2) 3‬‬
‫= ) ‪GH ( S‬‬
‫א‪ .‬שרטט עקום ניקויסט )סמן ערכים מספרים(‪.‬‬
‫ב‪ .‬בדוק יציבות לפי השרטוט וחשב עודף מופע והגבר‪.‬‬
‫ג‪ .‬בדוק יציבות לפי ראוט‪.‬‬
‫תרגיל נייקויסט ‪ ‬ערך‪ :‬חיון אבי ‪ ‬‬