‫הטכניון—מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION—Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫תורת הבקרה )‪(035188‬‬ ‫דוגמאות בחינות סופיות‬ ‫‪ 28‬בינואר ‪2014‬‬ ‫כ״ז בשבט‪ ,‬תשע״ד‬ ‫חלק ‪I‬‬ ‫שיטות בתחום התדר‬ ‫שאלה מס׳ ‪1‬‬ ‫באיור מטה מופיע תיאור אות מחזורי מסויים בזמן ותיאור אות אחר בתחום התדר‪ .‬האם הדיאגרמות יכולות לתאר את אותו האות ?‬ ‫)‪f(t‬‬ ‫)‪F(ω‬‬ ‫‪t‬‬ ‫? ‪Fourier transform‬‬ ‫‪←−−−−−−−−−‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪2‬‬ ‫באיור מטה מופיע תיאור אות מסויים בזמן ותיאור אות אחר בתחום התדר‪ .‬האם הדיאגרמות יכולות לתאר את אותו האות ?‬ ‫)‪f(t‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪0‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪3‬‬ ‫√‬ ‫חשבו את האנרגיה של האות‬ ‫)‪.f(t) = π sin(t/π‬‬ ‫‪t‬‬ ‫= ‪ ,Ef‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫חשבו את האנרגיה והעוצמה של האות‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t‬‬ ‫= ‪ Ef‬ו־‬ ‫‪7 8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= )‪.f(t‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪ ,Pf‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪.f(t‬‬ ‫חשבו את האנרגיה והעוצמה של האות‬ ‫‪t‬‬ ‫= ‪ Ef‬ו־‬ ‫)‪F(ω‬‬ ‫‪t‬‬ ‫? ‪Fourier transform‬‬ ‫‪←−−−−−−−−−‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪ ,Pf‬מכיוון‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−3dB‬‬ ‫‪−3dB‬‬ ‫‪0dB‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−6dB‬‬ ‫‪ω = 0.36‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ω = 0.75‬‬ ‫‪ω = 1.14‬‬ ‫‪ω = 1.34‬‬ ‫)‪Open−Loop Gain (dB‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪ω = 0.99‬‬ ‫‪−12dB‬‬ ‫‪ω = 1.34‬‬ ‫‪−8‬‬ ‫‪−12‬‬ ‫‪ω = 1.62‬‬ ‫‪−12dB‬‬ ‫‪ω = 1.65‬‬ ‫‪ω = 1.87‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−90‬‬ ‫‪−180‬‬ ‫)‪Open−Loop Phase (deg‬‬ ‫‪−8‬‬ ‫)‪Open−Loop Gain (dB‬‬ ‫‪−6dB‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪−270‬‬ ‫‪−12‬‬ ‫‪−360‬‬ ‫‪−90‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)א(‬ ‫‪−180‬‬ ‫)‪Open−Loop Phase (deg‬‬ ‫‪−270‬‬ ‫‪−360‬‬ ‫)ב(‬ ‫איור ‪ :1‬ניקולס‬ ‫שאלה מס׳ ‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הספקטרום של תגובת המערכת )‪ G(s‬לרעש לבן בעוצמה ‪ 2‬הוא‬ ‫‪1 + ω2‬‬ ‫= )‪ ,G(jω‬מכיוון‬ ‫= )‪ .Y(ω‬מהי תגובת התדירות של )‪? G(s‬‬ ‫שאלה מס׳ ‪7‬‬ ‫איור ‪)1‬א( מציג את תיאור ניקולס של פונקצית החוג הפתוח )‪ .L(s‬מה תחום רוחב הסרט של פונקציית הרגישות המשלימה‪ ,‬ההדוק‬ ‫ביותר שניתן להגיע אליו על בסיס הנתונים באיור?‬ ‫∈ ‪ ,ωb‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪8‬‬ ‫איור ‪)1‬ב( מציג את תיאור ניקולס של פונקצית החוג הפתוח )‪ .L(s‬מה תחום רוחב הסרט של פונקציית הרגישות המשלימה‪ ,‬ההדוק ביותר‬ ‫שניתן להגיע אליו על בסיס הנתונים באיור?‬ ‫∈ ‪ ,ωb‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪9‬‬ ‫נתון כי פונקצית התמסורת )‪ L(s‬יציבה ומקיימת את הקשר‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪ L(jω‬‬ ‫|‪ |ω‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ L0 (jω) − 1 6 3 , ∀ω‬‬ ‫עבור )‪ L0 (s‬ידועה כלשהי‪ .‬תחת אילו תנאים המערכת בחוג הסגור יציבה לכל )‪ L(s‬מסוג זה ? )אין צורך להסביר(‬ ‫שאלה מס׳ ‪10‬‬ ‫)‪s(s − 1‬‬ ‫עבור התהליך‬ ‫‪s3 + s + 1‬‬ ‫בסיס מטריצת סילבסטר‪ ,‬כך שקטבי החוג הסגור ימוקמו ב־‪? s = −1‬‬ ‫= )‪ ,P(s‬מהו פולינום החוג הסגור )‪ χcl (s‬בעל הדרגה המינימלית‪ ,‬שעלינו לבחור בטכניקת מיקום־קטבים על‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪ ,χcl (s‬מכיוון‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Imaginary Axis‬‬ ‫‪Imaginary Axis‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−6‬‬ ‫‪−6‬‬ ‫‪Imaginary Axis‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−8‬‬ ‫‪−8‬‬ ‫‪−10‬‬ ‫‪−10‬‬ ‫‪−12‬‬ ‫‪−12‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪Real Axis‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−6‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪−7‬‬ ‫‪−8‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)א( )‪P1 (s‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪Real Axis‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)ב( )‪P2 (s‬‬ ‫‪−6‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪Real Axis‬‬ ‫‪−8‬‬ ‫‪−10‬‬ ‫‪−12‬‬ ‫‪−14‬‬ ‫)ג( )‪P3 (s‬‬ ‫איור ‪ :2‬עקומים פולריים‬ ‫‪25‬‬ ‫‪0.5 dB‬‬ ‫‪1 dB‬‬ ‫‪−1 dB‬‬ ‫‪0.5 dB‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪1 dB‬‬ ‫‪−1 dB‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪1 dB‬‬ ‫‪−1 dB‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3 dB‬‬ ‫‪3 dB‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪Open−Loop Gain (dB‬‬ ‫‪−12 dB‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪−10‬‬ ‫‪−15‬‬ ‫‪−20 dB‬‬ ‫‪−12 dB‬‬ ‫)‪Open−Loop Gain (dB‬‬ ‫‪−6 dB‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪−6 dB‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪−3 dB‬‬ ‫‪6 dB‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−6 dB‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫‪−12 dB‬‬ ‫‪−10‬‬ ‫‪−15‬‬ ‫‪−10‬‬ ‫‪−20 dB‬‬ ‫‪−20‬‬ ‫)‪Open−Loop Gain (dB‬‬ ‫‪−3 dB‬‬ ‫‪6 dB‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−3 dB‬‬ ‫‪6 dB‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3 dB‬‬ ‫‪−20‬‬ ‫‪−15‬‬ ‫‪−25‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−135‬‬ ‫‪−90‬‬ ‫‪−45‬‬ ‫)‪Open−Loop Phase (deg‬‬ ‫‪−180‬‬ ‫‪−225‬‬ ‫‪−30‬‬ ‫‪−270‬‬ ‫‪−25‬‬ ‫‪−20 dB‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)א( )‪Pα (s‬‬ ‫‪−45‬‬ ‫‪−90‬‬ ‫‪−225‬‬ ‫‪−180‬‬ ‫‪−135‬‬ ‫)‪Open−Loop Phase (deg‬‬ ‫‪−270‬‬ ‫‪−315‬‬ ‫‪−20‬‬ ‫‪−360‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−45‬‬ ‫‪−90‬‬ ‫)ב( )‪Pβ (s‬‬ ‫‪−225‬‬ ‫‪−180‬‬ ‫‪−135‬‬ ‫)‪Open−Loop Phase (deg‬‬ ‫‪−270‬‬ ‫‪−315‬‬ ‫‪−30‬‬ ‫‪−360‬‬ ‫)ג( )‪Pγ (s‬‬ ‫איור ‪ :3‬דיאגרמות ניקולס‬ ‫שאלה מס׳ ‪11‬‬ ‫בציור ‪ 2‬נתונים תיאורים פולריים של שלושה תהליכים יציבים‪ .‬בציור ‪ 3‬מופיעות שלוש דיאגרמות ניקולס‪.‬‬ ‫א‪ .‬שייכו בין הדיאגרמות לתיאורים הפולריים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬עבור כל אחד משלושת התהליכים‪ ,‬האם קיים משוב יציאה מהצורה ‪ u = −ky‬עם ‪ ,|k| > 1‬עבורו החוג הסגור יציב ? במידה‬ ‫והתשובה חיובית‪ ,‬תנו דוגמא למשוב מסוג זה‪.‬‬ ‫‪ ,Pα = P‬מכיוון‬ ‫‪ |k| > 1‬המיצב כן ‪ /‬לא קיים‪ ,‬מכיוון‬ ‫‪ ,Pβ = P‬מכיוון‬ ‫‪ |k| > 1‬המיצב כן ‪ /‬לא קיים‪ ,‬מכיוון‬ ‫‪ ,Pγ = P‬מכיוון‬ ‫‪ |k| > 1‬המיצב כן ‪ /‬לא קיים‪ ,‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪12‬‬ ‫הציעו מערכת מסדר ראשון שבהוספתה לחוג הפתוח יתווסף פיגור פאזה של ◦‪ 170‬בתדר מסויים‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪kawu‬‬ ‫‬‫‪d‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪s−1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪u‬‬ ‫)‪P(s‬‬ ‫‪ym‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪n‬‬ ‫איור ‪ :4‬מערכת בקרה עם מנגנון ‪anti-windup‬‬ ‫= )‪ ,G(s‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪13‬‬ ‫‪s−1‬‬ ‫נתונה המערכת‬ ‫‪s2 + 3s + 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫√‬ ‫= )‪ ? T (s‬אם כן‪ ,‬מהו אותו בקר ?‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(s + 30)(s + 2 · 2s + 4‬‬ ‫= )‪ .P(s‬האם ניתן למצוא בקר ממקם קטבים שיביא לכך שפונקציית הרגישות המשלימה תיראה כך‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪14‬‬ ‫∞‪Z‬‬ ‫‪b1 s + 1‬‬ ‫‪ L(s) = 2‬עבור ‪ b1 > 0‬כלשהו‪ .‬הציעו ‪ b1‬אפשרי עבורו ‪. ln|S(jω)|dω = 0‬‬ ‫תהי‬ ‫‪s‬‬ ‫‪+s+1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪ ,b1‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪15‬‬ ‫האם המערכת‬ ‫‪(s−10)3‬‬ ‫‪(s+1)5‬‬ ‫= )‪ P(s‬ניתנת לייצוב חזק )‪? (strongly stabilizable‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪16‬‬ ‫איור ‪ 4‬מציג מערכת בקרה עם בקר‬ ‫האנטי־מתיחה‪.kawu ,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪s−1‬‬ ‫= )‪ C(s‬ומנגנון אנטי־מתיחה )‪ .(anti-windup‬הציעו ערך אפשרי עבור הגבר מנגנון‬ ‫∈ ‪ ,kawu‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪17‬‬ ‫‪−s5 + s4 + s3 + s2 − s + 1‬‬ ‫האם פונקציית התמסורת‬ ‫‪s5 + s4 − s3 + s2 + s + 1‬‬ ‫= )‪ R(s‬יכולה להיות קירוב פדה של ‪? e−sh‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪18‬‬ ‫‪−s3 + 6s2 − 6s + 1‬‬ ‫האם פונקציית התמסורת‬ ‫‪s3 + 3s2 + 3s + 1‬‬ ‫= )‪ R(s‬יכולה להיות קירוב פדה של ‪? e−sh‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫‪4‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪-‬‬ ‫˜‪e‬‬ ‫‪u‬‬ ‫˜‬ ‫)‪C(s‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪Pr (s)e‬‬ ‫‪−sh‬‬ ‫) ‪Pr (s)(1 − e−sh‬‬ ‫איור ‪ :5‬מערכת עם זמן מת‬ ‫שאלה מס׳ ‪19‬‬ ‫מהי פונקצית הרגישות המשלימה )מ־‪ r‬ל־‪ (y‬עבור המערכת באיור ‪ ,5‬כאשר‬ ‫‪s+8‬‬ ‫)‪s(s+4‬‬ ‫= )‪,Pr (s‬‬ ‫= )‪T (s‬‬ ‫שאלה מס׳ ‪20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫האם המערכת באיור ‪ 5‬יציבה פנימית‪ ,‬כאשר‬ ‫‪(s+3) +4‬‬ ‫)‪(s−1)(s+3‬‬ ‫˜‬ ‫)‪ ,C(s‬ו־‪? h = 0.2‬‬ ‫= )‪= 10 ,Pr (s‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫‪5‬‬ ‫‪s+4‬‬ ‫‪s+8‬‬ ‫˜‬ ‫)‪ ,C(s‬ו־‪? h = 0.1‬‬ ‫=‬ ‫חלק ‪II‬‬ ‫מרחב המצב‬ ‫שאלה מס׳ ‪21‬‬ ‫האם המערכת ‪ x˙ 1 = x2 , x˙ 2 = u‬יציבה?‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪22‬‬ ‫ ‬ ‫˙‬ ‫נתונה המערכת מסדר שני )‪= Ax(t) + Bu(t‬‬ ‫)‪ .x(t‬ידוע כי קיים חוק בקרה המוביל ל־ ‪ x(5) = 11‬עבור כל )‪ .x(0‬האם מערכת זו‬ ‫בהכרח בקירה )‪? (controllable‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪23‬‬ ‫˙‬ ‫)‪ .x(t‬ידוע כי עבור ‪ x(0) = 0‬קיים חוק בקרה המוביל ל־‬ ‫נתונה המערכת מסדר שני )‪= Ax(t) + Bu(t‬‬ ‫זו בהכרח בקירה )‪? (controllable‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪24‬‬ ‫האם המערכת הנתונה על ידי )‪x(t) + [ o1 ] u(t‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫˙‬ ‫)‪ x(t‬בקירה )‪? (controlable‬‬ ‫=‬ ‫שאלה מס׳ ‪25‬‬ ‫ ‬ ‫מהו המוד הבלתי בקיר )‪ (uncontrollable mode‬של הזוג ‪? 10 12 , 11‬‬ ‫= ‪ ,λ‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪26‬‬ ‫איך ניתן לחשב את המודים הבלתי צפיים )‪ (unobservable modes‬של הזוג )‪? (C, A‬‬ ‫שאלה מס׳ ‪27‬‬ ‫האם המימוש עם‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫= ‪,A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪ B‬ו־‬ ‫‬ ‫‪11‬‬ ‫‬ ‫= ‪ C‬מינימלי ?‬ ‫שאלה מס׳ ‪28‬‬ ‫נתון המימוש הלא מינימלי הבא‪ .‬הציעו מימוש מינימלי חלופי השומר על אותו קשר כניסה־יציאה‪.‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪x˙ = 30 08 x + 01 u‬‬ ‫ ‬ ‫‪y= 01 x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪ .x(5‬האם מערכת‬ ‫שאלה מס׳ ‪29‬‬ ‫האם המערכת הבאה ברת־יציבות )‪? (stabilizable‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x +  0 u‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−0.5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪x˙ = ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪30‬‬ ‫משערך ‪ Luenberger‬סטנדרטי של המערכת‬ ‫‪x(0) = x0 ,‬‬ ‫˙‬ ‫)‪x(t‬‬ ‫‪= Ax(t) + Bu(t),‬‬ ‫)‪y(t) = Cx(t‬‬ ‫‬ ‫נתון ע״י‬ ‫ˆ‪ˆ˙ (t) = A‬‬ ‫‪ˆ(0) = 0.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ˆ‪x(t) + Bu(t) + L(y(t) − C‬‬ ‫‪x(t)), x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ידוע כי במקרה זה‪ ,‬שגיאת השיערוך )‪ˆ(t‬‬ ‫‪ ǫ(t) = x(t) − x‬אינה תלויה באות הבקרה )‪ ,u(t‬וניתן להשפיע על אופי התכנסות השיערוך‬ ‫ע״י בחירת ההגבר ‪ ,L‬כל עוד הצמד )‪ (C, A‬אובזרוובילי‪ .‬הציעו משערך למערכת מהצורה‬ ‫‬ ‫˙‬ ‫)‪x(t‬‬ ‫‪= Ax(t),‬‬ ‫‪x(0) = x0 ,‬‬ ‫)‪y(t) = Cx(t) + Du(t‬‬ ‫שיהיה בעל תכונות זהות )שגיאת השיערוך לא תלויה ב־)‪ ,u(t‬וניתן להשפיע על אופי התכנסות השיערוך ע״י בחירת פרמטר תכן(‪ .‬הוכיחו‬ ‫בקצרה דרך כתיבת משוואה דיפרנציאלית עבור שגיאת השיערוך )‪.ǫ(t‬‬ ‫שאלה מס׳ ‪31‬‬ ‫האם המטריצה‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 −1‬‬ ‫= ‪ P‬היא הפתרון המייצב של משוואת הריקטי הבאה‪:‬‬ ‫ ‪ 1‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪1 −1 = 0‬‬ ‫‪? 1 0 P + P 0 0 − P 10 01 P + −1‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪32‬‬ ‫האם המטריצה‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪01‬‬ ‫= ‪ P‬היא הפתרון המייצב של משוואת הריקטי הבאה‪:‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‪ 1 −1‬‬ ‫ ‬ ‫‪? 01 00 P + P 00 10 − 21 P 11 11 P + 21 −1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪33‬‬ ‫האם קיימת טרנספורמציית דמיון הקושרת את‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x1 (t) +‬‬ ‫)‪u(t‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫)‪1 1 x1 (t‬‬ ‫מימושי מרחב המצב הבאים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ x˙ 2 (t) = 1 1 x2 (t) + 0 u(t‬‬ ‫= )‪ x˙ 1 (t‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ו־‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ y(t) = 1 0 x (t‬‬ ‫ = )‪ y(t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הסבירו בקצרה‪ .‬אם קיימת העתקה כזו‪ ,‬מצאו את מטריצת ההעתקה‪.T ,‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫‪7‬‬ ‫שאלה מס׳ ‪34‬‬ ‫האם קיימת טרנספורמציית דמיון הקושרת‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x1 (t) +‬‬ ‫)‪u(t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫)‪1 x1 (t‬‬ ‫את מימושי מרחב‬ ‫‪‬‬ ‫‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x˙ 1 (t) = 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y(t) = 1‬‬ ‫אם קיימת העתקה כזו‪ ,‬מצאו את מטריצת ההעתקה‪.T ,‬‬ ‫המצב הבאים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ x˙ 2 (t) = 1 1 x2 (t) + 0 u(t‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫?‬ ‫ו־‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ y(t) = 1 0 x (t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪35‬‬ ‫פונקציית התמסורת של החוג הפתוח עבור מערכת עם משוב מצב אופטימלי‪ ,u = −Fx ,‬שנמצא בשיטת ‪ LQR‬נתונה על ידי = )‪L(s‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫)‪ L(s) = (s+1‬זו אפשרות קבילה ?‬ ‫‪B‬‬ ‫)‪ .F(sI − A‬האם ‪2‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪36‬‬ ‫‪1‬‬ ‫האם מימוש במרחב המצב מסדר שלישי לפונקציית החוג הפתוח )‪ ,L(s) = P(s)C(s‬כאשר התהליך נתון על ידי‬ ‫‪+ 2s + 1‬‬ ‫‪2s + 2‬‬ ‫= )‪) C(s‬בקר קידום(‪ ,‬הוא מינימלי ?‬ ‫והבקר נתון על ידי‬ ‫‪s+4‬‬ ‫= )‪P(s‬‬ ‫‪s2‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪37‬‬ ‫האם המג״ש באיור ‪)6‬א( יכול להוות את המג״ש עבור ‪ 1 + ρ1 Pz (−s)Pz (s) = 0‬ו־‪? ρ > 0‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪38‬‬ ‫האם המג״ש באיור ‪)6‬ב( יכול להוות את המג״ש עבור ‪ 1 + ρ1 Pz (−s)Pz (s) = 0‬ו־‪? ρ > 0‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫‪Imaginary Axis‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Real Axis‬‬ ‫‪Real Axis‬‬ ‫)ב(‬ ‫)א(‬ ‫איור ‪ :6‬מג״שים‬ ‫‪8‬‬ ‫‪Imaginary Axis‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫שאלה מס׳ ‪39‬‬ ‫נתונה המערכת‬ ‫‪1‬‬ ‫‪s2Z−a2‬‬ ‫∞‬ ‫הבקרה‪u2 (t)dt ,‬‬ ‫= )‪ P(s‬כאשר ‪ .a < 0‬כתבו מימוש למערכת‪ ,‬ותכננו משוב מצב מייצב )‪ ,u(t) = −Fx(t‬עבורו אנרגיית אות‬ ‫‪ ,‬הינה מינימלית‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫שאלה מס׳ ‪40‬‬ ‫כתבו פונקציית מחיר ריבועית שהבאתה למינימום מבטיחה כי הקטבים של החוג הסגור ישוייכו לקבוצה }‪.{s : Re s < −2‬‬ ‫שאלה מס׳ ‪41‬‬ ‫שוויון החזר ההפרשים )‪ (return-difference equality‬של בעיית משוב ‪ LQR‬נתון על ידי‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1 + ρ1 Pz (−s)Pz (s) = 1 + L(−s) 1 + L(s) .‬‬ ‫כאשר ‪ Pz (s) = Cz (sI − A)−1 B‬ו־‪ L(s) = F(sI − A)−1 B‬היא פונקציית התמסורת של החוג הפתוח‪ .‬הוכיחו כי למערכת עם בקר‬ ‫ה־‪ LQR‬עודף פאזה של לפחות ◦‪.60‬‬ ‫‪9‬‬ ‫חלק ‪III‬‬ ‫מערכות דגומות‬ ‫שאלה מס׳ ‪42‬‬ ‫תחת אילו תנאים המערכת ‪+ π8 uk‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3+4a2 k‬‬ ‫= ‪ xk+1‬תהיה יציבה ?‬ ‫∈ |‪ ,|a‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪43‬‬ ‫נתונה פונקצית תמסורת של מערכת בדידה‬ ‫בקרה מסוג ‪.dead-beat‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪z +z +2z +2z+1‬‬ ‫‪z5 +z+1‬‬ ‫= )‪ .P(z‬כתבו למערכת זו מימוש מלווה ותכננו משוב מצב לקבלת חוק‬ ‫שאלה מס׳ ‪44‬‬ ‫תכננו משוב מצב ‪ uk = −Fxk‬לקבלת חוק בקרה מסוג ‪dead-beat‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪0 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 0 ‬‬ ‫‪ xk +  3  uk‬‬ ‫‪ 4 ‬‬ ‫‪0 1 ‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫עבור המערכת‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪ 0 0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪ 0 0 0‬‬ ‫‪ 0 0 0‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪.xk+1‬‬ ‫= ‪ ,F‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪45‬‬ ‫הספקטרום של אות אנלוגי )‪ f(t‬מוצג באיור מטה‪ .‬ציירו את הספקטרום של האות הדגום )‪ f¯k = f(kh‬עבור זמן הדגימה‬ ‫)הניחו כי הצירים עבור )‪ F(ω‬ו־ )‪ ¯F(θ‬מנורמלים כראוי(‪.‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‪h‬‬ ‫)‪F(ω‬‬ ‫)‪¯F(θ‬‬ ‫דגימה‬ ‫‪←−−−−−‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪−6‬‬ ‫‪π θ‬‬ ‫‪π/2‬‬ ‫‪−π −π/2 0‬‬ ‫שאלה מס׳ ‪46‬‬ ‫הספקטרומים של אות אנלוגי )‪ f(t‬ושל הגירסה הדגומה שלו )‪ f¯k = f(kh‬מוצגים באיור מטה‪ .‬מהו זמן הדגימה ?‬ ‫)‪F(ω‬‬ ‫)‪¯F(θ‬‬ ‫דגימה‬ ‫‪←−−−−−‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪π θ‬‬ ‫‪π/2‬‬ ‫‪−π −π/2 0‬‬ ‫שאלה מס׳ ‪47‬‬ ‫טווח השמיעה התקין במבוגר הוא ‪ .20 ÷ 20, 000 Hz‬בחרו תדירות מעבר למסנן ‪ Anti-Aliasing‬אידאלי הממוקם במיקרופון לפני‬ ‫קידוד הההקלטה במחשב‪ .‬הסבירו את בחירתכם‪.‬‬ ‫= ‪ ,ωb‬מכיוון‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪F(ω‬‬ ‫¯‬ ‫)‪F(θ‬‬ ‫דגימה‬ ‫‪←−−−−−‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪− π3‬‬ ‫‪− 2π‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−π‬‬ ‫איור ‪ :7‬ספקטרום של )‪f(t‬‬ ‫שאלה מס׳ ‪48‬‬ ‫ציור ‪ 7‬מציג את הספקטרום של אות ממשי רציף )‪ .f(t‬מהו זמן הדגימה המירבי ‪ h‬עבורו ניתן לשחזר במדויק את האות הרציף )‪f(t‬‬ ‫מתוך הדגימות )‪ ? f¯k = f(kh‬ציירו את הספקטרום של ‪ f¯k‬עבור ערך ‪ h‬שבחרתם‪.‬‬ ‫= ‪ ,hmax‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪49‬‬ ‫האם קיים זמן דגימה‪ ,h ,‬עבורו המערכת הבדידה המופיעה מטה היא המערכת הבדידה השקולה למערכת הרציפה ?‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.5 0.3‬‬ ‫‪1.72‬‬ ‫˙‬ ‫= ‪¯k+1‬‬ ‫‪¯k +‬‬ ‫‪¯k‬‬ ‫)‪.x(t‬‬ ‫=‬ ‫‪x(t) +‬‬ ‫)‪u(t‬‬ ‫→‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪0 4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0.25‬‬ ‫‪0‬‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫שאלה מס׳ ‪50‬‬ ‫האם‬ ‫‪z2 +z+1‬‬ ‫‪z2 +4z+4‬‬ ‫¯‬ ‫)‪ C(z‬יכול להיות קירוב טוסטין של‬ ‫=‬ ‫‪s+1‬‬ ‫‪s2 +3s+1‬‬ ‫= )‪ C(s‬עבור זמן דגימה כלשהו ?‬ ‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬ ‫‪11‬‬ ‫נוסחאות‬ ‫‪1‬‬ ‫• התמרות פורייה‪:‬‬ ‫)‪e−at 1(t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a+jω‬‬ ‫)‪sinc(at‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫) ‪a rect( a‬‬ ‫)‪sin(at‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪(δ(ω‬‬ ‫‪+‬‬ ‫))‪a) − δ(ω − a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪f(t‬‬ ‫)‪F(ω‬‬ ‫כעשר )‪.rect(x) = 1(x + 1) − 1(x − 1‬‬ ‫• חוק הבקרה האופטימלי )‪ (LQR‬הוא‬ ‫‪1‬‬ ‫‪u = − B ′ Px,‬‬ ‫‪ρ‬‬ ‫כאשר ‪ P‬הוא פתרון מייצב של משוואת ריקאטי‬ ‫‪1‬‬ ‫‪PBB ′ P = 0.‬‬ ‫‪ρ‬‬ ‫• נוסחת אקרמן‪:‬‬ ‫‪A ′ P + PA + Cz′ Cz −‬‬ ‫‬ ‫‪. . . 0 1 M−1‬‬ ‫‪c χcl (A).‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‬ ‫=‪F‬‬ ‫‪1‬לא לפבלב בשימושן )התניה פבלובית היא תהליך למידה שבו גירוי נייטרלי נלמד מעורר אצל אדם או בעל חיים תגובה רפלקסיבית(‬ ‫‪12‬‬