שיטות בתחום התדר

‫הטכניון—מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION—Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫תורת הבקרה )‪(035188‬‬
‫דוגמאות בחינות סופיות‬
‫‪ 28‬בינואר ‪2014‬‬
‫כ״ז בשבט‪ ,‬תשע״ד‬
‫חלק ‪I‬‬
‫שיטות בתחום התדר‬
‫שאלה מס׳ ‪1‬‬
‫באיור מטה מופיע תיאור אות מחזורי מסויים בזמן ותיאור אות אחר בתחום התדר‪ .‬האם הדיאגרמות יכולות לתאר את אותו האות ?‬
‫)‪f(t‬‬
‫)‪F(ω‬‬
‫‪t‬‬
‫? ‪Fourier transform‬‬
‫‪←−−−−−−−−−‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪2‬‬
‫באיור מטה מופיע תיאור אות מסויים בזמן ותיאור אות אחר בתחום התדר‪ .‬האם הדיאגרמות יכולות לתאר את אותו האות ?‬
‫)‪f(t‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪0‬‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪3‬‬
‫√‬
‫חשבו את האנרגיה של האות‬
‫)‪.f(t) = π sin(t/π‬‬
‫‪t‬‬
‫= ‪ ,Ef‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫חשבו את האנרגיה והעוצמה של האות‬
‫‪1‬‬
‫‪t‬‬
‫= ‪ Ef‬ו־‬
‫‪7 8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫= )‪.f(t‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪ ,Pf‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪.f(t‬‬
‫חשבו את האנרגיה והעוצמה של האות‬
‫‪t‬‬
‫= ‪ Ef‬ו־‬
‫)‪F(ω‬‬
‫‪t‬‬
‫? ‪Fourier transform‬‬
‫‪←−−−−−−−−−‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪ ,Pf‬מכיוון‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−3dB‬‬
‫‪−3dB‬‬
‫‪0dB‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−6dB‬‬
‫‪ω = 0.36‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ω = 0.75‬‬
‫‪ω = 1.14‬‬
‫‪ω = 1.34‬‬
‫)‪Open−Loop Gain (dB‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪ω = 0.99‬‬
‫‪−12dB‬‬
‫‪ω = 1.34‬‬
‫‪−8‬‬
‫‪−12‬‬
‫‪ω = 1.62‬‬
‫‪−12dB‬‬
‫‪ω = 1.65‬‬
‫‪ω = 1.87‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−90‬‬
‫‪−180‬‬
‫)‪Open−Loop Phase (deg‬‬
‫‪−8‬‬
‫)‪Open−Loop Gain (dB‬‬
‫‪−6dB‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪−270‬‬
‫‪−12‬‬
‫‪−360‬‬
‫‪−90‬‬
‫‪0‬‬
‫)א(‬
‫‪−180‬‬
‫)‪Open−Loop Phase (deg‬‬
‫‪−270‬‬
‫‪−360‬‬
‫)ב(‬
‫איור ‪ :1‬ניקולס‬
‫שאלה מס׳ ‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫הספקטרום של תגובת המערכת )‪ G(s‬לרעש לבן בעוצמה ‪ 2‬הוא‬
‫‪1 + ω2‬‬
‫= )‪ ,G(jω‬מכיוון‬
‫= )‪ .Y(ω‬מהי תגובת התדירות של )‪? G(s‬‬
‫שאלה מס׳ ‪7‬‬
‫איור ‪)1‬א( מציג את תיאור ניקולס של פונקצית החוג הפתוח )‪ .L(s‬מה תחום רוחב הסרט של פונקציית הרגישות המשלימה‪ ,‬ההדוק‬
‫ביותר שניתן להגיע אליו על בסיס הנתונים באיור?‬
‫∈ ‪ ,ωb‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪8‬‬
‫איור ‪)1‬ב( מציג את תיאור ניקולס של פונקצית החוג הפתוח )‪ .L(s‬מה תחום רוחב הסרט של פונקציית הרגישות המשלימה‪ ,‬ההדוק ביותר‬
‫שניתן להגיע אליו על בסיס הנתונים באיור?‬
‫∈ ‪ ,ωb‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪9‬‬
‫נתון כי פונקצית התמסורת )‪ L(s‬יציבה ומקיימת את הקשר‬
‫‬
‫‬
‫)‪ L(jω‬‬
‫|‪ |ω‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ L0 (jω) − 1 6 3 , ∀ω‬‬
‫עבור )‪ L0 (s‬ידועה כלשהי‪ .‬תחת אילו תנאים המערכת בחוג הסגור יציבה לכל )‪ L(s‬מסוג זה ? )אין צורך להסביר(‬
‫שאלה מס׳ ‪10‬‬
‫)‪s(s − 1‬‬
‫עבור התהליך‬
‫‪s3 + s + 1‬‬
‫בסיס מטריצת סילבסטר‪ ,‬כך שקטבי החוג הסגור ימוקמו ב־‪? s = −1‬‬
‫= )‪ ,P(s‬מהו פולינום החוג הסגור )‪ χcl (s‬בעל הדרגה המינימלית‪ ,‬שעלינו לבחור בטכניקת מיקום־קטבים על‬
‫‪2‬‬
‫= )‪ ,χcl (s‬מכיוון‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Imaginary Axis‬‬
‫‪Imaginary Axis‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−6‬‬
‫‪−6‬‬
‫‪Imaginary Axis‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−8‬‬
‫‪−8‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪−12‬‬
‫‪−12‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪Real Axis‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−6‬‬
‫‪−5‬‬
‫‪−7‬‬
‫‪−8‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪12‬‬
‫‪14‬‬
‫‪10‬‬
‫)א( )‪P1 (s‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪Real Axis‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪0‬‬
‫)ב( )‪P2 (s‬‬
‫‪−6‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪Real Axis‬‬
‫‪−8‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪−12‬‬
‫‪−14‬‬
‫)ג( )‪P3 (s‬‬
‫איור ‪ :2‬עקומים פולריים‬
‫‪25‬‬
‫‪0.5 dB‬‬
‫‪1 dB‬‬
‫‪−1 dB‬‬
‫‪0.5 dB‬‬
‫‪20‬‬
‫‪1 dB‬‬
‫‪−1 dB‬‬
‫‪20‬‬
‫‪25‬‬
‫‪1 dB‬‬
‫‪−1 dB‬‬
‫‪15‬‬
‫‪20‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪3 dB‬‬
‫‪3 dB‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪Open−Loop Gain (dB‬‬
‫‪−12 dB‬‬
‫‪−5‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪−15‬‬
‫‪−20 dB‬‬
‫‪−12 dB‬‬
‫)‪Open−Loop Gain (dB‬‬
‫‪−6 dB‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−5‬‬
‫‪−6 dB‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪−3 dB‬‬
‫‪6 dB‬‬
‫‪5‬‬
‫‪−6 dB‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−5‬‬
‫‪−12 dB‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪−15‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪−20 dB‬‬
‫‪−20‬‬
‫)‪Open−Loop Gain (dB‬‬
‫‪−3 dB‬‬
‫‪6 dB‬‬
‫‪5‬‬
‫‪−3 dB‬‬
‫‪6 dB‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3 dB‬‬
‫‪−20‬‬
‫‪−15‬‬
‫‪−25‬‬
‫‪90‬‬
‫‪45‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−135‬‬
‫‪−90‬‬
‫‪−45‬‬
‫)‪Open−Loop Phase (deg‬‬
‫‪−180‬‬
‫‪−225‬‬
‫‪−30‬‬
‫‪−270‬‬
‫‪−25‬‬
‫‪−20 dB‬‬
‫‪0‬‬
‫)א( )‪Pα (s‬‬
‫‪−45‬‬
‫‪−90‬‬
‫‪−225‬‬
‫‪−180‬‬
‫‪−135‬‬
‫)‪Open−Loop Phase (deg‬‬
‫‪−270‬‬
‫‪−315‬‬
‫‪−20‬‬
‫‪−360‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−45‬‬
‫‪−90‬‬
‫)ב( )‪Pβ (s‬‬
‫‪−225‬‬
‫‪−180‬‬
‫‪−135‬‬
‫)‪Open−Loop Phase (deg‬‬
‫‪−270‬‬
‫‪−315‬‬
‫‪−30‬‬
‫‪−360‬‬
‫)ג( )‪Pγ (s‬‬
‫איור ‪ :3‬דיאגרמות ניקולס‬
‫שאלה מס׳ ‪11‬‬
‫בציור ‪ 2‬נתונים תיאורים פולריים של שלושה תהליכים יציבים‪ .‬בציור ‪ 3‬מופיעות שלוש דיאגרמות ניקולס‪.‬‬
‫א‪ .‬שייכו בין הדיאגרמות לתיאורים הפולריים‪.‬‬
‫ב‪ .‬עבור כל אחד משלושת התהליכים‪ ,‬האם קיים משוב יציאה מהצורה ‪ u = −ky‬עם ‪ ,|k| > 1‬עבורו החוג הסגור יציב ? במידה‬
‫והתשובה חיובית‪ ,‬תנו דוגמא למשוב מסוג זה‪.‬‬
‫‪ ,Pα = P‬מכיוון‬
‫‪ |k| > 1‬המיצב כן ‪ /‬לא קיים‪ ,‬מכיוון‬
‫‪ ,Pβ = P‬מכיוון‬
‫‪ |k| > 1‬המיצב כן ‪ /‬לא קיים‪ ,‬מכיוון‬
‫‪ ,Pγ = P‬מכיוון‬
‫‪ |k| > 1‬המיצב כן ‪ /‬לא קיים‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪12‬‬
‫הציעו מערכת מסדר ראשון שבהוספתה לחוג הפתוח יתווסף פיגור פאזה של ◦‪ 170‬בתדר מסויים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪kawu‬‬
‫‬‫‪d‬‬
‫‪e‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1‬‬
‫‪s−1‬‬
‫‪-‬‬
‫‪u‬‬
‫)‪P(s‬‬
‫‪ym‬‬
‫‪y‬‬
‫‪n‬‬
‫איור ‪ :4‬מערכת בקרה עם מנגנון ‪anti-windup‬‬
‫= )‪ ,G(s‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪13‬‬
‫‪s−1‬‬
‫נתונה המערכת‬
‫‪s2 + 3s + 2‬‬
‫‪4‬‬
‫√‬
‫= )‪ ? T (s‬אם כן‪ ,‬מהו אותו בקר ?‬
‫‪2‬‬
‫)‪(s + 30)(s + 2 · 2s + 4‬‬
‫= )‪ .P(s‬האם ניתן למצוא בקר ממקם קטבים שיביא לכך שפונקציית הרגישות המשלימה תיראה כך‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪14‬‬
‫∞‪Z‬‬
‫‪b1 s + 1‬‬
‫‪ L(s) = 2‬עבור ‪ b1 > 0‬כלשהו‪ .‬הציעו ‪ b1‬אפשרי עבורו ‪. ln|S(jω)|dω = 0‬‬
‫תהי‬
‫‪s‬‬
‫‪+s+1‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪ ,b1‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪15‬‬
‫האם המערכת‬
‫‪(s−10)3‬‬
‫‪(s+1)5‬‬
‫= )‪ P(s‬ניתנת לייצוב חזק )‪? (strongly stabilizable‬‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪16‬‬
‫איור ‪ 4‬מציג מערכת בקרה עם בקר‬
‫האנטי־מתיחה‪.kawu ,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪s−1‬‬
‫= )‪ C(s‬ומנגנון אנטי־מתיחה )‪ .(anti-windup‬הציעו ערך אפשרי עבור הגבר מנגנון‬
‫∈ ‪ ,kawu‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪17‬‬
‫‪−s5 + s4 + s3 + s2 − s + 1‬‬
‫האם פונקציית התמסורת‬
‫‪s5 + s4 − s3 + s2 + s + 1‬‬
‫= )‪ R(s‬יכולה להיות קירוב פדה של ‪? e−sh‬‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪18‬‬
‫‪−s3 + 6s2 − 6s + 1‬‬
‫האם פונקציית התמסורת‬
‫‪s3 + 3s2 + 3s + 1‬‬
‫= )‪ R(s‬יכולה להיות קירוב פדה של ‪? e−sh‬‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫‪4‬‬
‫‪d‬‬
‫‪e‬‬
‫‪r‬‬
‫‪-‬‬
‫˜‪e‬‬
‫‪u‬‬
‫˜‬
‫)‪C(s‬‬
‫‪-‬‬
‫‪y‬‬
‫‪Pr (s)e‬‬
‫‪−sh‬‬
‫) ‪Pr (s)(1 − e−sh‬‬
‫איור ‪ :5‬מערכת עם זמן מת‬
‫שאלה מס׳ ‪19‬‬
‫מהי פונקצית הרגישות המשלימה )מ־‪ r‬ל־‪ (y‬עבור המערכת באיור ‪ ,5‬כאשר‬
‫‪s+8‬‬
‫)‪s(s+4‬‬
‫= )‪,Pr (s‬‬
‫= )‪T (s‬‬
‫שאלה מס׳ ‪20‬‬
‫‪2‬‬
‫האם המערכת באיור ‪ 5‬יציבה פנימית‪ ,‬כאשר‬
‫‪(s+3) +4‬‬
‫)‪(s−1)(s+3‬‬
‫˜‬
‫)‪ ,C(s‬ו־‪? h = 0.2‬‬
‫= )‪= 10 ,Pr (s‬‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫‪5‬‬
‫‪s+4‬‬
‫‪s+8‬‬
‫˜‬
‫)‪ ,C(s‬ו־‪? h = 0.1‬‬
‫=‬
‫חלק ‪II‬‬
‫מרחב המצב‬
‫שאלה מס׳ ‪21‬‬
‫האם המערכת ‪ x˙ 1 = x2 , x˙ 2 = u‬יציבה?‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪22‬‬
‫ ‬
‫˙‬
‫נתונה המערכת מסדר שני )‪= Ax(t) + Bu(t‬‬
‫)‪ .x(t‬ידוע כי קיים חוק בקרה המוביל ל־ ‪ x(5) = 11‬עבור כל )‪ .x(0‬האם מערכת זו‬
‫בהכרח בקירה )‪? (controllable‬‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪23‬‬
‫˙‬
‫)‪ .x(t‬ידוע כי עבור ‪ x(0) = 0‬קיים חוק בקרה המוביל ל־‬
‫נתונה המערכת מסדר שני )‪= Ax(t) + Bu(t‬‬
‫זו בהכרח בקירה )‪? (controllable‬‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪24‬‬
‫האם המערכת הנתונה על ידי )‪x(t) + [ o1 ] u(t‬‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫‪2 3‬‬
‫‪0 1‬‬
‫˙‬
‫)‪ x(t‬בקירה )‪? (controlable‬‬
‫=‬
‫שאלה מס׳ ‪25‬‬
‫ ‬
‫מהו המוד הבלתי בקיר )‪ (uncontrollable mode‬של הזוג ‪? 10 12 , 11‬‬
‫= ‪ ,λ‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪26‬‬
‫איך ניתן לחשב את המודים הבלתי צפיים )‪ (unobservable modes‬של הזוג )‪? (C, A‬‬
‫שאלה מס׳ ‪27‬‬
‫האם המימוש עם‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0 1‬‬
‫= ‪,A‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪ B‬ו־‬
‫‬
‫‪11‬‬
‫‬
‫= ‪ C‬מינימלי ?‬
‫שאלה מס׳ ‪28‬‬
‫נתון המימוש הלא מינימלי הבא‪ .‬הציעו מימוש מינימלי חלופי השומר על אותו קשר כניסה־יציאה‪.‬‬
‫‬
‫ ‬
‫ ‬
‫‪x˙ = 30 08 x + 01 u‬‬
‫ ‬
‫‪y= 01 x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪ .x(5‬האם מערכת‬
‫שאלה מס׳ ‪29‬‬
‫האם המערכת הבאה ברת־יציבות )‪? (stabilizable‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x +  0 u‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪x˙ = ‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪30‬‬
‫משערך ‪ Luenberger‬סטנדרטי של המערכת‬
‫‪x(0) = x0 ,‬‬
‫˙‬
‫)‪x(t‬‬
‫‪= Ax(t) + Bu(t),‬‬
‫)‪y(t) = Cx(t‬‬
‫‬
‫נתון ע״י‬
‫ˆ‪ˆ˙ (t) = A‬‬
‫‪ˆ(0) = 0.‬‬
‫‪x‬‬
‫ˆ‪x(t) + Bu(t) + L(y(t) − C‬‬
‫‪x(t)), x‬‬
‫‪.‬‬
‫ידוע כי במקרה זה‪ ,‬שגיאת השיערוך )‪ˆ(t‬‬
‫‪ ǫ(t) = x(t) − x‬אינה תלויה באות הבקרה )‪ ,u(t‬וניתן להשפיע על אופי התכנסות השיערוך‬
‫ע״י בחירת ההגבר ‪ ,L‬כל עוד הצמד )‪ (C, A‬אובזרוובילי‪ .‬הציעו משערך למערכת מהצורה‬
‫‬
‫˙‬
‫)‪x(t‬‬
‫‪= Ax(t),‬‬
‫‪x(0) = x0 ,‬‬
‫)‪y(t) = Cx(t) + Du(t‬‬
‫שיהיה בעל תכונות זהות )שגיאת השיערוך לא תלויה ב־)‪ ,u(t‬וניתן להשפיע על אופי התכנסות השיערוך ע״י בחירת פרמטר תכן(‪ .‬הוכיחו‬
‫בקצרה דרך כתיבת משוואה דיפרנציאלית עבור שגיאת השיערוך )‪.ǫ(t‬‬
‫שאלה מס׳ ‪31‬‬
‫האם המטריצה‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 −1‬‬
‫= ‪ P‬היא הפתרון המייצב של משוואת הריקטי הבאה‪:‬‬
‫ ‪ 1‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‪0 1‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪1 −1 = 0‬‬
‫‪? 1 0 P + P 0 0 − P 10 01 P + −1‬‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪32‬‬
‫האם המטריצה‬
‫‪1 0‬‬
‫‪01‬‬
‫= ‪ P‬היא הפתרון המייצב של משוואת הריקטי הבאה‪:‬‬
‫ ‬
‫ ‬
‫ ‪ 1 −1‬‬
‫ ‬
‫‪? 01 00 P + P 00 10 − 21 P 11 11 P + 21 −1‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪1‬‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪33‬‬
‫האם קיימת טרנספורמציית דמיון הקושרת את‬
‫‬
‫ ‬
‫‪1 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x1 (t) +‬‬
‫)‪u(t‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫)‪1 1 x1 (t‬‬
‫מימושי מרחב המצב הבאים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ x˙ 2 (t) = 1 1 x2 (t) + 0 u(t‬‬
‫= )‪ x˙ 1 (t‬‬
‫‪0 2‬‬
‫‪1‬‬
‫ו־‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ y(t) = 1 0 x (t‬‬
‫ = )‪ y(t‬‬
‫‪2‬‬
‫הסבירו בקצרה‪ .‬אם קיימת העתקה כזו‪ ,‬מצאו את מטריצת ההעתקה‪.T ,‬‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫‪7‬‬
‫שאלה מס׳ ‪34‬‬
‫האם קיימת טרנספורמציית דמיון הקושרת‬
‫‬
‫ ‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x1 (t) +‬‬
‫)‪u(t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫)‪1 x1 (t‬‬
‫את מימושי מרחב‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪ x˙ 1 (t) = 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y(t) = 1‬‬
‫אם קיימת העתקה כזו‪ ,‬מצאו את מטריצת ההעתקה‪.T ,‬‬
‫המצב הבאים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‪‬‬
‫)‪ x˙ 2 (t) = 1 1 x2 (t) + 0 u(t‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪1‬‬
‫?‬
‫ו־‬
‫‪‬‬
‫)‪ y(t) = 1 0 x (t‬‬
‫‪2‬‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪35‬‬
‫פונקציית התמסורת של החוג הפתוח עבור מערכת עם משוב מצב אופטימלי‪ ,u = −Fx ,‬שנמצא בשיטת ‪ LQR‬נתונה על ידי = )‪L(s‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫)‪ L(s) = (s+1‬זו אפשרות קבילה ?‬
‫‪B‬‬
‫)‪ .F(sI − A‬האם ‪2‬‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪36‬‬
‫‪1‬‬
‫האם מימוש במרחב המצב מסדר שלישי לפונקציית החוג הפתוח )‪ ,L(s) = P(s)C(s‬כאשר התהליך נתון על ידי‬
‫‪+ 2s + 1‬‬
‫‪2s + 2‬‬
‫= )‪) C(s‬בקר קידום(‪ ,‬הוא מינימלי ?‬
‫והבקר נתון על ידי‬
‫‪s+4‬‬
‫= )‪P(s‬‬
‫‪s2‬‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪37‬‬
‫האם המג״ש באיור ‪)6‬א( יכול להוות את המג״ש עבור ‪ 1 + ρ1 Pz (−s)Pz (s) = 0‬ו־‪? ρ > 0‬‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪38‬‬
‫האם המג״ש באיור ‪)6‬ב( יכול להוות את המג״ש עבור ‪ 1 + ρ1 Pz (−s)Pz (s) = 0‬ו־‪? ρ > 0‬‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫‪Imaginary Axis‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Real Axis‬‬
‫‪Real Axis‬‬
‫)ב(‬
‫)א(‬
‫איור ‪ :6‬מג״שים‬
‫‪8‬‬
‫‪Imaginary Axis‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫שאלה מס׳ ‪39‬‬
‫נתונה המערכת‬
‫‪1‬‬
‫‪s2Z−a2‬‬
‫∞‬
‫הבקרה‪u2 (t)dt ,‬‬
‫= )‪ P(s‬כאשר ‪ .a < 0‬כתבו מימוש למערכת‪ ,‬ותכננו משוב מצב מייצב )‪ ,u(t) = −Fx(t‬עבורו אנרגיית אות‬
‫‪ ,‬הינה מינימלית‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫שאלה מס׳ ‪40‬‬
‫כתבו פונקציית מחיר ריבועית שהבאתה למינימום מבטיחה כי הקטבים של החוג הסגור ישוייכו לקבוצה }‪.{s : Re s < −2‬‬
‫שאלה מס׳ ‪41‬‬
‫שוויון החזר ההפרשים )‪ (return-difference equality‬של בעיית משוב ‪ LQR‬נתון על ידי‬
‫‬
‫‬
‫‪1 + ρ1 Pz (−s)Pz (s) = 1 + L(−s) 1 + L(s) .‬‬
‫כאשר ‪ Pz (s) = Cz (sI − A)−1 B‬ו־‪ L(s) = F(sI − A)−1 B‬היא פונקציית התמסורת של החוג הפתוח‪ .‬הוכיחו כי למערכת עם בקר‬
‫ה־‪ LQR‬עודף פאזה של לפחות ◦‪.60‬‬
‫‪9‬‬
‫חלק ‪III‬‬
‫מערכות דגומות‬
‫שאלה מס׳ ‪42‬‬
‫תחת אילו תנאים המערכת ‪+ π8 uk‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3+4a2 k‬‬
‫= ‪ xk+1‬תהיה יציבה ?‬
‫∈ |‪ ,|a‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪43‬‬
‫נתונה פונקצית תמסורת של מערכת בדידה‬
‫בקרה מסוג ‪.dead-beat‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪z +z +2z +2z+1‬‬
‫‪z5 +z+1‬‬
‫= )‪ .P(z‬כתבו למערכת זו מימוש מלווה ותכננו משוב מצב לקבלת חוק‬
‫שאלה מס׳ ‪44‬‬
‫תכננו משוב מצב ‪ uk = −Fxk‬לקבלת חוק בקרה מסוג ‪dead-beat‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪0 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 0 ‬‬
‫‪ xk +  3  uk‬‬
‫‪ 4 ‬‬
‫‪0 1 ‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪5‬‬
‫עבור המערכת‬
‫‪‬‬
‫‪0 0 0‬‬
‫‪ 0 0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪=‬‬
‫‪ 0 0 0‬‬
‫‪ 0 0 0‬‬
‫‪0 0 0‬‬
‫‪.xk+1‬‬
‫= ‪ ,F‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪45‬‬
‫הספקטרום של אות אנלוגי )‪ f(t‬מוצג באיור מטה‪ .‬ציירו את הספקטרום של האות הדגום )‪ f¯k = f(kh‬עבור זמן הדגימה‬
‫)הניחו כי הצירים עבור )‪ F(ω‬ו־ )‪ ¯F(θ‬מנורמלים כראוי(‪.‬‬
‫‪π‬‬
‫‪4‬‬
‫=‪h‬‬
‫)‪F(ω‬‬
‫)‪¯F(θ‬‬
‫דגימה‬
‫‪←−−−−−‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪−6‬‬
‫‪π θ‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪−π −π/2 0‬‬
‫שאלה מס׳ ‪46‬‬
‫הספקטרומים של אות אנלוגי )‪ f(t‬ושל הגירסה הדגומה שלו )‪ f¯k = f(kh‬מוצגים באיור מטה‪ .‬מהו זמן הדגימה ?‬
‫)‪F(ω‬‬
‫)‪¯F(θ‬‬
‫דגימה‬
‫‪←−−−−−‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪π θ‬‬
‫‪π/2‬‬
‫‪−π −π/2 0‬‬
‫שאלה מס׳ ‪47‬‬
‫טווח השמיעה התקין במבוגר הוא ‪ .20 ÷ 20, 000 Hz‬בחרו תדירות מעבר למסנן ‪ Anti-Aliasing‬אידאלי הממוקם במיקרופון לפני‬
‫קידוד הההקלטה במחשב‪ .‬הסבירו את בחירתכם‪.‬‬
‫= ‪ ,ωb‬מכיוון‬
‫‪10‬‬
‫)‪F(ω‬‬
‫¯‬
‫)‪F(θ‬‬
‫דגימה‬
‫‪←−−−−−‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪π‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪3‬‬
‫‪π‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪− π3‬‬
‫‪− 2π‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−π‬‬
‫איור ‪ :7‬ספקטרום של )‪f(t‬‬
‫שאלה מס׳ ‪48‬‬
‫ציור ‪ 7‬מציג את הספקטרום של אות ממשי רציף )‪ .f(t‬מהו זמן הדגימה המירבי ‪ h‬עבורו ניתן לשחזר במדויק את האות הרציף )‪f(t‬‬
‫מתוך הדגימות )‪ ? f¯k = f(kh‬ציירו את הספקטרום של ‪ f¯k‬עבור ערך ‪ h‬שבחרתם‪.‬‬
‫= ‪ ,hmax‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪49‬‬
‫האם קיים זמן דגימה‪ ,h ,‬עבורו המערכת הבדידה המופיעה מטה היא המערכת הבדידה השקולה למערכת הרציפה ?‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5 0.3‬‬
‫‪1.72‬‬
‫˙‬
‫= ‪¯k+1‬‬
‫‪¯k +‬‬
‫‪¯k‬‬
‫)‪.x(t‬‬
‫=‬
‫‪x(t) +‬‬
‫)‪u(t‬‬
‫→‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪u‬‬
‫‪0 4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 0.25‬‬
‫‪0‬‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫שאלה מס׳ ‪50‬‬
‫האם‬
‫‪z2 +z+1‬‬
‫‪z2 +4z+4‬‬
‫¯‬
‫)‪ C(z‬יכול להיות קירוב טוסטין של‬
‫=‬
‫‪s+1‬‬
‫‪s2 +3s+1‬‬
‫= )‪ C(s‬עבור זמן דגימה כלשהו ?‬
‫כן ‪ /‬לא‪ ,‬מכיוון‬
‫‪11‬‬
‫נוסחאות‬
‫‪1‬‬
‫• התמרות פורייה‪:‬‬
‫)‪e−at 1(t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a+jω‬‬
‫)‪sinc(at‬‬
‫‪π‬‬
‫‪ω‬‬
‫) ‪a rect( a‬‬
‫)‪sin(at‬‬
‫‪j‬‬
‫‪(δ(ω‬‬
‫‪+‬‬
‫))‪a) − δ(ω − a‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪f(t‬‬
‫)‪F(ω‬‬
‫כעשר )‪.rect(x) = 1(x + 1) − 1(x − 1‬‬
‫• חוק הבקרה האופטימלי )‪ (LQR‬הוא‬
‫‪1‬‬
‫‪u = − B ′ Px,‬‬
‫‪ρ‬‬
‫כאשר ‪ P‬הוא פתרון מייצב של משוואת ריקאטי‬
‫‪1‬‬
‫‪PBB ′ P = 0.‬‬
‫‪ρ‬‬
‫• נוסחת אקרמן‪:‬‬
‫‪A ′ P + PA + Cz′ Cz −‬‬
‫‬
‫‪. . . 0 1 M−1‬‬
‫‪c χcl (A).‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫=‪F‬‬
‫‪1‬לא לפבלב בשימושן )התניה פבלובית היא תהליך למידה שבו גירוי נייטרלי נלמד מעורר אצל אדם או בעל חיים תגובה רפלקסיבית(‬
‫‪12‬‬