1. No category

‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫פרק ‪ – 1‬אינדוקציה מתמטית ורקורסיה‬
‫קבוצת המספרים הטבעיים‬
‫קיימות שתי גישות להגדרת קבוצת המספרים הטבעיים‪ 1, 2,3,..., n,... :‬‬
‫‪.‬‬
‫הגישה הראשונה מגדירה אותה באופן אקסיומתי‪ ,‬באמצעות אקסיומות ‪:Peano‬‬
‫‪.1‬‬
‫מכילה אלמנט מיוחד‪ ,‬המסומן‪ 1 :‬והנקרא‪ :‬אחד‪.‬‬
‫‪ .2‬עבור כל מספר טבעי‪ ,‬קיים מספר טבעי יחיד‪ ,‬הנקרא‪ :‬העוקב שלו‪.‬‬
‫‪ .3‬כל מספר טבעי‪ ,‬פרט ל‪ ,1 -‬הוא המספר העוקב של מספר טבעי אחר‪.‬‬
‫‪ .4‬שני מספרים טבעיים בעלי אותו מספר עוקב שווים ביניהם‪.‬‬
‫הגישה השניה מגדירה את קבוצת המספרים הטבעיים ( ) באמצעות קבוצת‬
‫המספרים הממשיים ( )‪ ,‬אשר מוגדרת בנפרד בקורסי חשבון אינפיניטסימלי‪.‬‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫‪ I ‬נקראת‪ :‬קבוצה אינדוקטיבית אם"ם מתקיימים התנאים‬
‫‪ )1‬קבוצה‬
‫הבאים‪:‬‬
‫א‪1  I .‬‬
‫ב‪x  : x  I  x  1 I .‬‬
‫‪ )2‬קבוצת המספרים הטבעיים‪ ,‬המסומנת ב‪-‬‬
‫(הממשיים) השייכים לכל קבוצה אינדוקטיבית‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬לכל קבוצה אינדוקטיבית ‪ I‬מתקיים‪ I :‬‬
‫‪ ,‬מורכבת מכל המספרים‬
‫‪.‬‬
‫קבוצה אינדוקטיבית‪.‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫הוכחה‪ :‬יש להראות ש‪ 1 :‬וש‪. x  : x   x  1 :‬‬
‫עפ"י הגדרת קבוצה אינדוקטיבית‪ ,‬לכל קבוצה אינדוקטיבית ‪ I‬מתקיים‪. 1  I :‬‬
‫(כקבוצה המורכבת מכל המספרים הממשיים השייכים‬
‫לכן‪ ,‬עפ"י הגדרת‬
‫לכל קבוצה אינדוקטיבית)‪. 1 :‬‬
‫יהי ‪ x ‬ונראה שגם‪ . x  1 :‬מספיק להראות כי לכל קבוצה אינדוקטיבית ‪I‬‬
‫מתקיים‪ . x  1 I :‬תהי‪ ,‬אפוא‪ I ,‬קבוצה אינדוקטיבית כלשהי ונראה ש‪. x  1 I :‬‬
‫‪‬‬
‫נשים לב כי‪. x   I x  I I is inductive x  1 I :‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫היא הקבוצה האינדוקטיבית "הקטנה ביותר"‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫עקרון האינדוקציה המתמטית‬
‫‪ I ‬קבוצה המקיימת את שני התנאים‬
‫עקרון האינדוקציה המתמטית‪ :‬תהי‬
‫הבאים‪:‬‬
‫א‪1  I .‬‬
‫ב‪n  : n  I  n  1 I .‬‬
‫אז ‪. I ‬‬
‫הוכחה‪ :‬מתנאי המשפט נובע כי ‪ I‬קבוצה אינדוקטיבית‪ ,‬ולכן‪ .  I :‬מצד שני‪,‬‬
‫עפ"י הנתון במשפט‪ . I  :‬עפ"י הגדרת שוויון בין קבוצות‪ ,‬נובע כי‪ . I  :‬‬
‫עקרון ההוכחה באינדוקציה מתמטית‪ :‬תהי ‪ P  n ‬טענה התלויה ב‪n -‬‬
‫(‬
‫‪ .) n ‬על‪-‬מנת ש‪ P  n  -‬תהיה נכונה לכל‬
‫‪ , n ‬מספיק שיתקיימו שני‬
‫התנאים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬בסיס האינדוקציה ‪ P 1 -‬נכונה;‬
‫ב‪ .‬שלב האינדוקציה – לכל ‪ : n  1‬נכונות ‪ P  n ‬גוררת את נכונות ‪. P  n  1‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן‪: P  n   T :‬‬
‫‪ . I : n ‬ברור כי‪:‬‬
‫‪ . I ‬כמו כן‪ ,‬עפ"י תנאי‬
‫המשפט מתקיים‪ . 1 I   n  I  n  1 I :‬לכן‪ ,‬עפ"י עקרון האינדוקציה‬
‫המתמטית‪:‬‬
‫‪ , I ‬כלומר ‪. n  : P  n   T -‬‬
‫‪‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫ניתן להרחיב את עקרון ההוכחה באינדוקציה מתמטית באופן הבא‪:‬‬
‫תהי ‪ P  n ‬טענה התלויה ב‪ .) n  ( n -‬על‪-‬מנת ש‪ P  n  -‬תהיה נכונה לכל‬
‫‪ , m  n ‬מספיק שיתקיימו שני התנאים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬בסיס האינדוקציה ‪ P  m  -‬נכונה;‬
‫ב‪ .‬שלב האינדוקציה – לכל ‪ : n  m‬נכונות ‪ P  n ‬גוררת את נכונות‬
‫‪. P  n  1‬‬
‫‪‬‬
‫אין כל מניעה לנסח את שלב האינדוקציה (שלב ב' בעקרון ההוכחה‬
‫באינדוקציה מתמטית) באופן הבא‪" :‬לכל ‪ : n  1‬נכונות ‪ P  n  1‬גוררת את‬
‫נכונות ‪." P  n ‬‬
‫‪2‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫יש איבר‬
‫עקרון המינימום (הסדר הטוב)‪ :‬בכל תת‪-‬קבוצה לא ריקה של‬
‫מינימלי (קטן ביותר)‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬על דרך השלילה ‪ -‬תהי ‪   A ‬ונניח בשלילה כי ל‪ A -‬אין איבר‬
‫מינימלי‪ .‬נגדיר את הקבוצה הבאה‪ , B  n  | a  A : a  n :‬ובמילים‪ B :‬היא‬
‫קבוצת כל המספרים הטבעיים הקטנים מכל איברי ‪ .A‬מהגדרת ‪ B‬נובע מיידית‬
‫כי‪ . A  B   :‬כדי להגיע לסתירה‪ ,‬מספיק שנוכיח כי ‪ , B ‬שכן מכך ינבע‬
‫מיידית ש‪ , A   :‬בסתירה לנתון‪ .‬כדי להראות ש‪ , B  :‬מספיק להוכיח‬
‫(עפ"י עקרון האינדוקציה המתמטית) ש‪ B -‬היא קבוצה אינדוקטיבית‪.‬‬
‫לשם כך יש להראות כי‪:‬‬
‫א‪ - 1  B .‬נוכיח תחילה כי‪ , 1  A ; 1  A :‬שכן אחרת ‪ 1  A -‬ומאחר ו‪A  -‬‬
‫נובע מיידית כי ‪ 1‬הוא האיבר המינימלי של ‪ ,A‬בסתירה להנחה כי ל‪ A -‬אין‬
‫איבר מינימלי; מכאן נובע מיידית כי‪.  a  A : a  1  1 B :‬‬
‫ב‪ - b  : b  B  b  1 B .‬יהי ‪ b  B‬כלשהו; לאור הגדרת הקבוצה ‪B‬‬
‫מתקיים‪ ;  a  A : a  b   a  A : a  b  1 :‬לכן‪ ,‬אם ‪ , b  1 A‬הרי‬
‫שמתחייב ש‪ b  1 -‬הוא האיבר המינימלי של ‪ ,A‬בסתירה להנחת השלילה‬
‫של‪ A -‬אין איבר מינימלי; מכאן מתחייב ש‪ ; b  1 A -‬מכאן נובע כי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪.  a  A : a  b  1  b  1 A   a  A : a  b  1  b  1 B‬‬
‫הערה‪ :‬ניתן להוכיח בקלות‪ ,‬עפ"י הגדרת איבר מינימלי (קטן ביותר) בקבוצה‪,‬‬
‫כי אם יש בקבוצה איבר מינימלי‪ ,‬הרי שהוא יחיד‪.‬‬
‫עקרון ההוכחה באינדוקציה מתמטית שלמה (מלאה)‪ :‬תהי ‪ P  n ‬טענה‬
‫התלויה ב‪( n -‬‬
‫‪ .) n ‬על‪-‬מנת ש‪ P  n  -‬תהיה נכונה לכל‬
‫‪ , n ‬מספיק‬
‫שיתקיימו שני התנאים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬בסיס האינדוקציה ‪ P 1 -‬נכונה;‬
‫ב‪ .‬שלב האינדוקציה – לכל ‪ : 1  k  n‬נכונות ‪ P  k ‬גוררת את נכונות ‪. P  n  1‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן‪: P  n   F :‬‬
‫‪ . A : n ‬ברור כי‪:‬‬
‫‪ . A ‬מספיק להראות כי‪:‬‬
‫‪ . A  ‬נוכיח זאת על דרך השלילה – נניח בשלילה כי‪  A  . A   :‬‬
‫ועפ"י עקרון המינימום (הסדר הטוב) מתחייב שיש ל‪ A -‬איבר מינימלי‪ .‬נסמן‬
‫איבר מינימלי זה של ‪ A‬ב‪ .m -‬לאור היות ‪ m  A‬מתחייב ש‪ . P  m   F -‬כמו כן‪,‬‬
‫עפ"י הנתון בסעיף א' במשפט‪ . P 1  T  1 A  m  1  m  2 :‬מכאן נובע‬
‫מיידית כי‪ , k  m : P  k   T :‬ועפ"י הנתון בסעיף ב' במשפט‪:‬‬
‫‪ - k  m : P  k   T   P  m  T‬סתירה! לכן‪ ,‬בהכרח‪. A   :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫הערות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫ניתן להרחיב את עקרון ההוכחה באינדוקציה מתמטית שלמה (מלאה)‬
‫באופן הבא‪:‬‬
‫תהי ‪ P  n ‬טענה התלויה ב‪ .) n  ( n -‬על‪-‬מנת ש‪ P  n  -‬תהיה נכונה לכל‬
‫‪ , m  n ‬מספיק שיתקיימו שני התנאים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬בסיס האינדוקציה ‪ P  m  -‬נכונה;‬
‫ב‪ .‬שלב האינדוקציה – לכל ‪ : m  k  n‬נכונות ‪ P  k ‬גוררת את נכונות‬
‫‪. P  n  1‬‬
‫•‬
‫אין כל מניעה לנסח את שלב האינדוקציה (שלב ב' בעקרון ההוכחה‬
‫באינדוקציה מתמטית שלמה) באופן הבא‪ " :‬לכל ‪ : 1  k  n‬נכונות ‪P  k ‬‬
‫גוררת את נכונות ‪." P  n ‬‬
‫‪4‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫עקרון ההגדרה ברקורסיה‬
‫עקרון זה מאפשר להגדיר איבר התלוי ב‪-‬‬
‫‪ n ‬והמסומן ב‪ a n -‬או ב‪, f  n  -‬‬
‫על‪-‬סמך האיברים ‪ a i‬או ‪ , f  i ‬כאשר‪ . i  n :‬הנוסחא באמצעותה מתבצעת‬
‫הגדרה זו נקראת‪ :‬נוסחת נסיגה‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫הגדרה רקורסיבית של קבוצה‪ :‬להגדרה זו שני מרכיבים – בסיס‬
‫הרקורסיה וכלל הרקורסיה; בבסיס הרקורסיה מצהירים כי איברים‬
‫מסוימים שייכים לקבוצה המוגדרת; בכלל הרקורסיה מגדירים איברים‬
‫בקבוצה המוגדרת באמצעות איברים שכבר ידוע לגביהם כי הם שייכים‬
‫לקבוצה‪ .‬למשל‪:‬‬
‫‪ .1‬נגדיר באופן רקורסיבי את הקבוצה‪( A  n  : 3 | n :‬קבוצת כל‬
‫המספרים הטבעיים המתחלקים ב‪:)3 -‬‬
‫בסיס הרקורסיה‪3  A :‬‬
‫כלל הרקורסיה‪a  A  a  3  A :‬‬
‫‪ .2‬נסמן ב‪  -‬את קבוצת כל האותיות הקטנות באנגלית‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫‪ ,   ' a ',' b',' c ',...,' z '‬וב‪ * -‬את קבוצת כל המחרוזות‪/‬המילים הסופיות‬
‫המורכבות מאותיות אנגליות קטנות (איברי ‪ .) ‬כמו כן‪ ,‬נגדיר פעולת‬
‫שרשור (הצמדה) בין שתי מילים‪/‬מחרוזות‪ ,‬ונסמנה ב‪ , -‬כך ש‪:‬‬
‫"‪. "hello" "dear"  "hellodear" , "dear" "hello" "dearhello‬‬
‫נגדיר באופן רקורסיבי את הקבוצה *‪: ‬‬
‫בסיס הרקורסיה‪(     * :‬כל אות היא מילה‪/‬מחרוזת‪).‬‬
‫כלל הרקורסיה‪(  *  *    * :‬עבור כל שתי‬
‫מילים‪/‬מחרוזות ב‪ , * -‬גם המילה‪/‬המחרוזת המתקבל משרשורן היא‬
‫איבר ב‪). * -‬‬
‫‪‬‬
‫הגדרה רקורסיבית של פונקציה‪ :‬להגדרה זו אותם שני מרכיבים כשל‬
‫ההגדרה הרקורסיבית של קבוצה – בסיס הרקורסיה וכלל הרקורסיה;‬
‫תהי ‪ B‬קבוצה כלשהי ותהי ‪ f :  B‬פונקציה; הגדרה רקורסיבית של ‪f‬‬
‫כוללת‪ ,‬כאמור‪ ,‬את‪:‬‬
‫בסיס הרקורסיה‪ :‬קביעת הערכים‪ , f 1 ,f  2 ,f  3 ,...,f  k :‬כאשר ‪k ‬‬
‫כלשהו;‬
‫כלל הרקורסיה‪ :‬הגדרת ‪ f  n ‬לכל ‪ , n  k‬באמצעות ערכים "קודמים" של‬
‫הפונקציה‪( f 1 ,f  2 ,f  3 ,...,f  k ,...,f  n  1 :‬חלקם או כולם); למשל‪:‬‬
‫‪ .1‬נגדיר בצורה רקורסיבית את הפונקציה‪, f  n   3n :‬‬
‫‪ 0 ‬‬
‫הבא‪:‬‬
‫בסיס הרקורסיה‪( f  0   1 :‬אכן‪) 3  1 :‬‬
‫‪0‬‬
‫כלל הרקורסיה‪( n  0 : f  n   3  f  n  1 :‬אכן‪) 3n  3  3n 1 :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ f :‬באופן‬
‫רפאל ברכאן‬
‫ תשע"ג‬,2 ‫מתמטיקה בדידה‬
:‫ נוסחת הנסיגה המתארת את סדרת פיבונאצ'י היא‬.2
f  0   1 , f 1  1 :‫בסיסי הרקורסיה‬
n  1: f  n   f  n  1  f  n  2  :‫כלל הרקורסיה‬
: f  5 ‫ את‬,‫ למשל‬,‫נחשב‬
f  5  f  4   f  3  f  4 f 3f 2  f 3   f 2    f 2   f 1   
f  3 f  2  f 1
 f  3  2f  2   f 1  f 3f 2 f 1 f  2   f 1   2 f 1   f 0    f 1  
f  2  f 1 f 0 
 f 0f 11 f  2   6 f 2 f 1f 0   f 1  f  0    6 f 0 f 1 1  2  6  8
n
Sn   x i : x1  x 2  x 3  ...  x n :‫ נציג באופן רקורסיבי את הסכום‬.3
i 1
:‫באופן הבא‬
0
)  x i : 0 :‫ (כלומר‬S0  0 :‫בסיס הרקורסיה‬
i 1
n
n 1
i 1
i 1
)  x i  x i x n :‫ (אכן‬n  0 : Sn  Sn1  x n :‫כלל הרקורסיה‬
n
Pn   x i : x1  x 2  x 3  ...  x n :‫ נציג באופן רקורסיבי את המכפלה‬.4
i 1
:‫באופן הבא‬
0
)  x i : 1 :‫ (כלומר‬P0  1 :‫בסיס הרקורסיה‬
i 1
n
n 1
i 1
i 1
)  x i  x i  x n :‫ (אכן‬n  0 : Pn  Pn1  x n :‫כלל הרקורסיה‬
6
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫שימושים לעקרון האינדוקציה המתמטית‬
‫דוגמאות אלגבריות‪:‬‬
‫‪n 2  n  1‬‬
‫‪ .1‬טענה‪:‬‬
‫‪n  :1  2  3  ...  n ‬‬
‫‪4‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 1  1‬‬
‫‪. 13 ‬‬
‫בסיס האינדוקציה – עבור ‪ 1 : n  1‬‬
‫‪4‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל‪ , n  1 ( n -‬כלומר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n 2 n  1‬‬
‫‪ ) 13  2 3  33  ...  n 3 ‬ונראה נכונות ל‪( n  1 -‬כלומר‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪n  1 n  2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .) 1  2  3  ...  n  n  1 ‬עפ"י הנחת האינדוקציה (ה"א)‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n n  1‬‬
‫‪ ; 13  2 3  33  ...  n 3 ‬לכן‪ ,‬מספיק להוכיח (מ"ל) כי‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n 2  n  1‬‬
‫‪ n  1  n  2 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . n  :‬אכן‪:‬‬
‫‪  n  1 ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n n  1‬‬
‫‪n  1 2‬‬
‫‪n  1‬‬
‫‪n  1 n  2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  4n  4 ‬‬
‫‪ n  1 ‬‬
‫‪n  4n  1 ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .2‬טענה‪ 2  ...  n  1  n :‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫בסיס האינדוקציה – עבור ‪ 1   : n  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל‪ , n  1 ( n -‬כלומר‪)  2  ...  n  1  n :‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ונראה נכונות ל‪( n  1 -‬כלומר‪ .)  2  ...  n  n1  1  n1 :‬עפ"י הנחת‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫האינדוקציה (ה"א)‪ ;  2  ...  n  1  n :‬לכן‪ ,‬מספיק להוכיח (מ"ל) כי‪:‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . n  :1  n  n 1  1  n 1‬אכן‪. 1  n  n1  1  n1  1  n1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .3‬טענה‪3  n  : 2n  1  2n :‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪. 3  n‬‬
‫‪3‬‬
‫בסיס האינדוקציה – עבור ‪. 7  2  3  1  2  8 : n  3‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל‪ ) 2n  1  2n , n  3 ( n -‬ונראה נכונות ל‪n  1 -‬‬
‫( ‪ .) 2  n  1  1  2n1‬עפ"י הנחת האינדוקציה (ה"א)‪:‬‬
‫‪ . 2n  1  2n  2   2n  1  2  2n  4n  2  2n1‬לכן‪ ,‬מספיק להוכיח (מ"ל) כי‪:‬‬
‫‪ . 3  n  : 2  n  1  1  4n  2‬אבל‪ ,‬אי‪-‬השוויון‪ 2  n  1  1  4n  2 :‬שקול לאי‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫השוויון‪ , 2n  1 :‬ששקול לאי‪-‬השוויון‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ , n ‬שאכן נכון לכל‬
‫‪.3 n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .4‬טענה‪2  n  : 3n  1  3n :‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪. 2  n‬‬
‫‪2‬‬
‫בסיס האינדוקציה – עבור ‪. 7  3  2  1  3  9 : n  2‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל‪ ) 3n  1  3n , n  2 ( n -‬ונראה נכונות ל‪n  1 -‬‬
‫( ‪ .) 3  n  1  1  3n1‬עפ"י הנחת האינדוקציה (ה"א)‪:‬‬
‫‪ . 3n  1  3n  3   3n  1  3  3n  9n  3  3n1‬לכן‪ ,‬מספיק להוכיח (מ"ל) כי‪:‬‬
‫‪ . 2  n  : 3  n  1  1  9n  3‬אבל‪ ,‬אי‪-‬השוויון‪ 3  n  1  1  9n  3 :‬שקול לאי‪-‬‬
‫‪1‬‬
‫השוויון‪ , 6n  1 :‬ששקול לאי‪-‬השוויון‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ , n ‬שאכן נכון לכל‬
‫‪ .2  n‬‬
‫‪ .5‬אי‪-‬שוויון ברנולי‪ :‬יהי ‪ x  1‬מספר ממשי נתון‪ ,‬אז‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. n  : 1  x   1  nx‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫בסיס האינדוקציה – עבור ‪. 1  x   1  x  1  x : n  1‬‬
‫‪1‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל‪ ) 1  x   1  nx , n  1 ( n -‬ונראה נכונות ל‪-‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ 1   n  1 x ( n  1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ .) 1  x ‬עפ"י הנחת האינדוקציה (ה"א)‪:‬‬
‫‪1  x   1  nx 1x0 1  x  1  x   1  nx 1  x  ‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ 1  x   1  nx  x  nx 2  1  x   1   n  1 x  nx 2‬‬
‫לכן‪ ,‬מספיק להוכיח (מ"ל) כי‪. n  :1   n  1 x  nx 2  1   n  1 x :‬‬
‫אבל‪ ,‬אי‪-‬השוויון‪ 1  n  1x  nx 2  1  n  1x :‬שקול לאי‪-‬השוויון‪, nx 2  0 :‬‬
‫‪n‬‬
‫שאכן נכון לכל‬
‫‪n‬‬
‫‪.n‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪1‬‬
‫‪ .6‬טענה‪ :‬יהי ‪ 0  x  1‬מספר ממשי נתון‪ ,‬אז‪:‬‬
‫‪1  xn‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫‪: 1  x  ‬‬
‫‪. n ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫בסיס האינדוקציה – עבור ‪1x 0 1  x 2  1  x 2  0 : n  1‬‬
‫‪1 x‬‬
‫(כי נתון‪.) 0  x  1 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ) 1  x  ‬ונראה נכונות ל‪-‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל‪, n  1 ( n -‬‬
‫‪1  xn‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ .) 1  x  ‬עפ"י הנחת האינדוקציה (ה"א)‪:‬‬
‫‪( n 1‬‬
‫‪1  x  n  1‬‬
‫‪ 1  x ‬וזה נכון‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪1x0 1  x 1  x   1  x ‬‬
‫‪ 1  x  ‬‬
‫‪1  xn‬‬
‫‪1  xn‬‬
‫‪1  xn‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪. n  :‬‬
‫לכן‪ ,‬מספיק להוכיח (מ"ל) כי‪:‬‬
‫‪1  xn 1  x  n  1‬‬
‫‪. 1  x  ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫שקול לאי‪-‬השוויון‪:‬‬
‫אבל‪ ,‬אי‪-‬השוויון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  xn 1  x  n  1‬‬
‫‪1  xn 1  xn  x‬‬
‫‪,‬‬
‫ששקול לאי‪-‬השוויון‪ , 1  x 1  xn  x   1  xn :‬ששקול לאי‪-‬השוויון‪:‬‬
‫‪ , 1  xn  x  x  x 2n  x 2  1  xn‬ששקול לאי‪-‬השוויון‪ x 2 (n  1)  0 :‬שאכן נכון‬
‫‪‬‬
‫לכל ‪. n ‬‬
‫‪ .7‬טענה‪n  : 3 | n3  n :‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫‪3‬‬
‫בסיס האינדוקציה – עבור ‪ 3 |1  1  3 | 0 : n  1‬וזה נכון‪.‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל‪ ) 3 | n3  n , n  1 ( n -‬ונראה נכונות ל‪n  1 -‬‬
‫( ‪ .) 3 | n  1  n  1‬נתבונן בביטוי‪ . n  1  n  1 :‬נשים לב כי‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n 3  3n 2  3n  1  n  1 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ n  1   n  1 a b a 3a b3ab b‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪  n 3  n   3n  n  1‬‬
‫הסכום הסופי מתחלק (ללא שארית) ב‪ ,3 -‬שכן המחובר השמאלי מתחלק ב‪3 -‬‬
‫עפ"י הנחת האינדוקציה ואילו המחובר הימני מתחלק ב‪ 3 -‬מהיותו כפולה של ‪ .3‬‬
‫‪ .8‬טענה‪n  : 7 | 8n  1 :‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫‪1‬‬
‫בסיס האינדוקציה – עבור ‪ 7 | 8  1  7 | 7 : n  1‬וזה נכון‪.‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל‪ ) 7 | 8n  1 , n  1 ( n -‬ונראה נכונות ל‪n  1 -‬‬
‫( ‪ .) 7 | 8 n 1  1‬נתבונן בביטוי‪ . 8 n 1  1 :‬נשים לב כי‪:‬‬
‫‪ . 8n1  1  8  8n  1  8  8n  1  7‬הסכום הסופי מתחלק (ללא שארית) ב‪ ,7 -‬שכן‬
‫המחובר השמאלי מתחלק ב‪ 7 -‬עפ"י הנחת האינדוקציה ואילו המחובר הימני‬
‫‪‬‬
‫בוודאי מתחלק ב‪.7 -‬‬
‫‪9‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .9‬טענה‪ :‬יהיו ‪ x  y‬שני מספרים שלמים נתונים‪ ,‬אז‪. n  : x  y | x n  y n :‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫בסיס האינדוקציה – עבור ‪. x  y | x  y : n  1‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל‪ ) x  y | x n  y n , n  1 ( n -‬ונראה נכונות ל‪-‬‬
‫‪ .) x  y | x n 1  y n 1 ( n  1‬נתבונן בביטוי‪ . x n 1  y n 1 :‬נשים לב כי‪:‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. x  y  x  x  y  y  x  x  y   xy  y  x  x  y   y  x  y ‬‬
‫הסכום הסופי מתחלק (ללא שארית) ב‪ , x  y :‬שכן המחובר השמאלי מתחלק‬
‫ב‪ x  y -‬עפ"י הנחת האינדוקציה ואילו המחובר הימני מתחלק ב‪ x  y -‬מהיותו‬
‫‪‬‬
‫כפולה של ‪. x  y‬‬
‫‪.n‬‬
‫‪ .11‬טענה‪ :‬הביטוי‪ n 2  3n :‬הוא מספר זוגי לכל‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫‪2‬‬
‫בסיס האינדוקציה – עבור ‪ 1  3  1  4 : n  1‬הוא מספר זוגי‪.‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל‪ ) n  1 ( n -‬ונראה נכונות ל‪. n  1 -‬‬
‫‪2‬‬
‫נתבונן בביטוי‪ . n  1  3n  1 :‬נשים לב כי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. n  1  3n  1  n  2n  1  3n  3  n  3n   2n  4  n  3n   2n  2‬‬
‫הסכום הסופי הוא מספר זוגי‪ ,‬שכן המחובר השמאלי הוא מספר זוגי עפ"י הנחת‬
‫האינדוקציה ואילו המחובר הימני הוא מספר זוגי מהיותו כפולה של ‪ ,2‬ועל‪-‬כן‬
‫‪‬‬
‫סכומם גם הוא מספר זוגי‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪11‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫דוגמאות רקורסיביות‪:‬‬
‫‪ .11‬טענה‪ :‬נגדיר התאמה (פונקציה) על המספרים השלמים האי‪-‬שליליים‬
‫באופן הרקורסיבי (הנסיגתי) הבא‪:‬‬
‫‪, n0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ , f  n   ‬אז‪. n  : f  n   1  2  3  ...  n :‬‬
‫‪ n  f  n  1 , n  0‬‬
‫‪n‬‬
‫הערה‪ :‬מקובל לסמן את המכפלה‪ 1  2  3  ...  n   i :‬באמצעות !‪ .n‬לכן‪ ,‬צ"ל ש‪:‬‬
‫!‪. n  : f  n   n‬‬
‫‪i 1‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫בסיס האינדוקציה – עבור ‪ f 1  1  1  1 : n  1‬וזה נכון עפ"י הנתון (בהגדרה‬
‫הרקורסיבית של הסדרה) ‪. f 1  1  f  0  f 01 1  1  1 -‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות עבור ‪ ) f  n   n! , n  1 ( n‬ונראה נכונות עבור‬
‫‪ .) f  n  1   n  1! ( n  1‬עפ"י הנתון והנחת האינדוקציה (ה"א)‪:‬‬
‫!‪. f  n  1   n  1  f  n  f  n n!  n  1  n!   n  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .12‬טענה‪ :‬נגדיר סדרה באופן הרקורסיבי הבא‪:‬‬
‫‪, n 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ , a n  ‬אז‪. n  : a n  3n2  n  1 :‬‬
‫‪a n 1  6  n  1  2 , n  1‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫‪2‬‬
‫בסיס האינדוקציה – עבור ‪ a 1  3  1  1  1  1 : n  1‬וזה נכון עפ"י הנתון‬
‫(בהגדרה הרקורסיבית של הסדרה)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות עבור ‪ ) a n  3n  n  1 , n  1 ( n‬ונראה נכונות‬
‫עבור ‪.) a n1  3  n  1   n  1  1  3n 2  6n  3  n  1  1  3n 2  5n  1 ( n  1‬‬
‫‪2‬‬
‫עפ"י הנתון והנחת האינדוקציה (ה"א)‪:‬‬
‫‪a n1  a n  6n  2 a 3n2 n1  3n 2  n  1  6n  2  3n 2  5n  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .13‬טענה‪ :‬נגדיר סדרה באופן הרקורסיבי הבא‪:‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪, n 1‬‬
‫‪ , a n  ‬אז‪. n  : a n  2 :‬‬
‫‪ 2  a n 1 , n  1‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫בסיס האינדוקציה – עבור ‪ a 1  2  2 : n  1‬וזה נכון‪.‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות עבור ‪ ) a n  2 , n  1 ( n‬ונראה נכונות עבור ‪n  1‬‬
‫( ‪ .) a n 1  2‬עפ"י הנתון והנחת האינדוקציה (ה"א)‪:‬‬
‫‪a n1  2‬‬
‫‪2 a n‬‬
‫‪n 1 ‬‬
‫‪2  a n  2  2 a‬‬
‫‪:an  0‬‬
‫‪ . a n  2  2  a n  2  2 *n‬כדי‬
‫להשלים את ההוכחה‪ ,‬יש להוכיח כי‪( n  : a n  0 :‬תרגיל)‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫דוגמאות "מילוליות"‪/‬שונות‪:‬‬
‫‪ .14‬טענה‪ :‬לכל קבוצה סופית לא ריקה של מספרים ממשיים יש מקסימום‬
‫(איבר הגדול‪/‬שווה מכל איברי הקבוצה)‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪   A ‬קבוצה סופית כך ש‪ . A  a1 ,a 2 ,a 3 ,...,an  :‬נוכיח‬
‫באינדוקציה על‬
‫‪ A  n ‬כי יש בה מקסימום‪.‬‬
‫בסיס האינדוקציה – עבור ‪ : n  1‬בקבוצה ‪ A  a1‬יש רק איבר אחד ועפ"י‬
‫הגדרת מקסימום בקבוצה‪ ,‬מתחייב כי הוא גם המקסימום שלה‪.‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל‪ ) n  1 ( n -‬ונראה נכונות ל‪ . n  1 -‬תהי‪ ,‬אפוא‪,‬‬
‫‪ A  a1 ,a 2 ,a 3 ,...,an ,an1‬קבוצה בת ‪ n  1‬איברים‪ .‬נתבונן בתת הקבוצה שלה‬
‫‪ , A'  a1,a 2 ,a 3 ,...,a n ‬המונה ‪ n‬איברים‪ .‬עפ"י הנחת האינדוקציה‪ ,‬יש בקבוצה זו‬
‫מקסימום‪ .‬בלי הגבלת הכלליות (בה"כ)‪ ,‬נניח כי זה ‪ . a n‬נשים לב כי‪:‬‬
‫‪ . A' a n1    A  A' a n1‬לאיתור המקסימום ב‪ ,A -‬נבחין עתה בין שני‬
‫מקרים‪ :‬א‪ - a n 1  a n .‬מכאן ש‪ a n :‬הוא המקסימום (גם) של ‪.A‬‬
‫ב‪ - a n 1  a n .‬מכאן ש‪ a n 1 :‬הוא המקסימום של ‪.A‬‬
‫בכל מקרה‪ ,‬מצאנו כי ל‪ A -‬יש מקסימום‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .15‬עקרון שובך היונים‪ :‬אם מפזרים ‪ n  1‬יונים ב‪ n -‬שובכים‪ ,‬הרי שקיים‬
‫שובך אחד בו לפחות שתי יונים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪( n‬מספר השובכים)‪.‬‬
‫בסיס האינדוקציה – עבור ‪ : n  1‬מפזרים שתי יונים בשובך אחד והטענה‬
‫מתקיימת‪.‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל‪ n  1 , n  1 ( n -‬יונים ו‪ n -‬שובכים) ונראה‬
‫נכונות ל‪ n  2 ( n  1 -‬יונים ו‪ n  1 -‬שובכים)‪ .‬בהינתן ‪ n  2‬יונים ו‪n  1 -‬‬
‫שובכים‪ ,‬ניקח יונה אחת ונשכנה בשובך אחד‪ .‬נסגור את השובך‪ ,‬כך שאף יונה‬
‫אחרת לא תשוכן בו‪ .‬נותרנו עם ‪ n  1‬יונים‪ ,‬אותן יש לשכן ב‪ n -‬שובכים‪ .‬עפ"י‬
‫הנחת האינדוקציה‪ ,‬קיים שובך אחד מבין ‪ n‬השובכים הללו שבו ישוכנו לפחות‬
‫שתי יונים‪ .‬לכן‪ ,‬בהכרח קיים שובך אחד מבין ‪ n  1‬השובכים שהיו מלכתחילה‬
‫‪‬‬
‫בו לפחות שתי יונים‪.‬‬
‫‪ .16‬טענה‪ :‬כל מספר טבעי הגדול או שווה ל‪ 2 -‬ניתן להצגה כסכום של‬
‫הספרות ‪ 2‬ו‪ 3 -‬בלבד‪( .‬הנחה‪ :‬יש "אספקה בלתי מוגבלת" של הספרות הנ"ל‪).‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪( n  2‬המספר הטבעי)‪.‬‬
‫בסיס האינדוקציה – עבור ‪ : n  2‬מספיקה ספרה אחת של ‪.2‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל‪ , n  2 ( n -‬כלומר ‪ n -‬ניתן להצגה כסכום של‬
‫הספרות ‪ 2‬ו‪ 3 -‬בלבד) ונראה נכונות ל‪ n  1 ( n  1 -‬ניתן להצגה כסכום של‬
‫הספרות ‪ 2‬ו‪ 3 -‬בלבד)‪ .‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬
‫א‪ .‬בהצגה של ‪ n‬כסכום של הספרות ‪ 2‬ו‪ 3 -‬הופיעה הספרה ‪ 3‬לפחות פעם‬
‫אחת – נחליפה בשתי ספרות של ‪ ,2‬לקבלת המספר ‪. n  1‬‬
‫ב‪ .‬בהצגה של ‪ n‬כסכום של הספרות ‪ 2‬ו‪ 3 -‬לא הופיעה הספרה ‪ 3‬אפילו לא‬
‫פעם אחת‪ ,‬משמע כל הספרות בהצגה היו ‪ – 2‬נחליף ספרה אחת של ‪2‬‬
‫‪‬‬
‫בספרה אחת של ‪ ,3‬לקבלת המספר ‪. n  1‬‬
‫‪12‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .17‬משפט‪ :‬סכום הזויות במצולע קמור בעל ‪ n‬צלעות (מצולע שכל אלכסוניו‬
‫נמצאים בתחומו) הוא‪. 180  n  2 :‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪( n  3‬מספר צלעות המצולע הקמור)‪.‬‬
‫בסיס האינדוקציה – עבור ‪ : n  3‬במשולש (שהוא מצולע קמור)‪ ,‬עפ"י משפט‬
‫יסודי בגיאומטריה‪ ,‬סכום הזויות הוא ‪. 180‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות ל‪ ) n  3 ( n -‬ונראה נכונות ל‪( n  1 -‬כלומר‪,‬‬
‫נראה כי סכום הזויות במצולע קמור בעל ‪ n  1‬צלעות הוא‪.) 180   n  1  2 :‬‬
‫בהינתן מצולע קמור בעל ‪ n  1‬צלעות‪ ,‬הרי שיש בו לפחות ‪ 4‬צלעות (כי‪:‬‬
‫‪ .) n  1  4‬נתבונן ב‪ 3 -‬קודקודים סמוכים שלו ונסמנם ב‪ B ,A -‬ו‪ .C -‬בלי הגבלת‬
‫הכלליות‪ ,‬נניח כי ‪ B‬סמוך ל‪ A -‬ול‪ ,C -‬כך ש‪ A -‬ו‪ C -‬אינם קודקודים סמוכים‪.‬‬
‫נעביר את הקטע‪ .AC :‬באופן זה נוצר משולש ‪ ,ABC‬כך שהמצולע בעל ‪n  1‬‬
‫הצלעות מורכב משני מצולעים‪ ,‬אשר להם רק צלע אחת משותפת – ‪ .AC‬שני‬
‫המצולעים שנוצרו הם המשולש‪ ABC :‬ומצולע (קמור) בעל ‪ n  1  2  1  n‬‬
‫צלעות‪ .‬עפ"י הנחת האינדוקציה‪ ,‬במצולע (קמור) בעל ‪ n‬הצלעות‪ ,‬סכום הזויות‬
‫הוא‪ . 180  n  2 :‬נוסיף לכך את סכום הזויות במשולש ‪ ABC‬ונקבל את סכום‬
‫הזויות במצולע (הקמור) בעל ‪ n  1‬הצלעות‪:‬‬
‫‪. 180  n  2  180  180  n  1  180   n  1  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .18‬משפט‪ :‬אם ‪ A‬היא קבוצה סופית בת ‪ n‬איברים (‪ n‬שלם אי‪-‬שלילי)‪ ,‬אז‬
‫קבוצת החזקה שלה‪ , PA  ,‬מכילה ‪ 2 n‬איברים‪.‬‬
‫בשפת תחשיב היחסים‪. n   0 : A  n  P  A   2n :‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪( n   0‬מספר איברי הקבוצה ‪.)A‬‬
‫בסיס האינדוקציה – נבדוק שהטענה נכונה עבור ‪: n  0‬‬
‫אם ‪ , n  0‬אז ‪ , A  ‬ולכן ‪ . P  A    -‬כלומר‪ ,‬קבוצת החזקה של ‪ A‬מכילה‬
‫איבר אחד בלבד‪ ,‬ואכן‪( 1  2 0 :‬כלומר‪ ,‬הטענה נכונה עבור ‪.) n  0‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות עבור ‪ , n  0 ( n‬כלומר ‪ -‬נניח כי בקבוצת החזקה‬
‫של קבוצה סופית בת ‪ n‬איברים יש ‪ 2 n‬איברים); נרצה להוכיח נכונות עבור ‪n  1‬‬
‫(כלומר‪ ,‬תהי ‪ A‬קבוצה בת ‪ n  1‬איברים‪ ,‬ונרצה להוכיח כי‪.) PA   2 n 1 :‬‬
‫תהי ‪( A  a1,a 2 ,a 3 ,...,a n ,a n1‬קבוצה המונה ‪ n  1‬איברים)‪ .‬נגדיר את הקבוצות‬
‫הבאות‪( . A2 : {B: B  A  a n  B} , A1 : {B: B  A  a n  B} :‬במילים‪ A1 :‬הוא‬
‫אוסף כל תת‪-‬הקבוצות של ‪ ,A‬שאינן מכילות את ‪ a n‬כאיבר; ‪ A 2‬הוא אוסף כל‬
‫תת‪-‬הקבוצות של ‪ ,A‬המכילות את ‪ a n‬כאיבר‪ ).‬נשים לב כי‪:‬‬
‫‪A1  A2   .1‬‬
‫‪A1  A2  P  A  .2‬‬
‫[שכן לכל תת‪-‬קבוצה של ‪ ,A‬שהיא איבר ב‪ , PA  -‬מתקיימת אחת ורק אחת‬
‫מהאפשרויות הבאות‪ :‬או שהיא אינה מכילה את ‪ a n‬כאיבר ואז היא ב‪ , A 1 -‬או‬
‫שהיא מכילה את ‪ a n‬כאיבר ואז היא ב‪]. A 2 -‬‬
‫‪13‬‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪.3‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫‪ , A1  A 2‬או במילים אחרות‪ :‬מספר הקבוצות (האיברים) ב‪ A 1 -‬שווה‬
‫למספר הקבוצות (האיברים) ב‪ , A 2 -‬שכן אפשר לקבל כל קבוצה ב‪ A 2 -‬ע"י‬
‫הוספת ‪ a n‬לכל אחת מהקבוצות ב‪( . A 1 -‬בשפה מתמטית אומרים כי ישנה‬
‫התאמה‪/‬פונקציה חד‪-‬חד ערכית ועל בין שתי הקבוצות‪:‬‬
‫‪). f : A1  A2 , B  A1 : f  B  B  an ‬‬
‫מעובדות ‪ 1‬ו‪ 2 -‬לעיל ועל‪-‬סמך עקרון הסכום בקומבינטוריקה נובע כי‪:‬‬
‫‪ . P  A   A1  A2‬אם נוסיף לכך את עובדה ‪ ,3‬נקבל‪. P  A   2  A1 :‬‬
‫עתה‪ ,‬נשים לב כי ‪ A 1‬היא‪ ,‬למעשה‪ ,‬קבוצת החזקה של הקבוצה‪, A \ a n  :‬‬
‫המונה ‪ n‬איברים ועפ"י הנחת האינדוקציה מתקיים‪, P  A \ a n   A1  2n :‬‬
‫ולכן ‪ , PA  2  A1  2  2 n  2 n 1 -‬כפי שנתבקשנו להוכיח‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .19‬משפט‪ :‬קבוצת המספרים הראשוניים היא אינסופית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח טענה שקולה למשפט‪ ,‬האומרת כי לכל ‪ n ‬יש לפחות ‪n‬‬
‫מספרים ראשוניים השונים זה מזה‪ .‬נעשה זאת באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫בסיס האינדוקציה – עבור ‪ : n  1‬יש לפחות מספר ראשוני אחד‪ ,‬למשל ‪.2‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות עבור ‪ , n  1 ( n‬כלומר ‪ -‬נניח כי יש לפחות ‪n‬‬
‫מספרים ראשוניים השונים זה מזה‪ ) p1 , p2 , p3 ,..., pn :‬ונראה נכונות עבור ‪n  1‬‬
‫(כלומר‪ ,‬נראה כי יש לפחות ‪ n  1‬מספרים ראשוניים השונים זה מזה)‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫נתבונן במספר‪ . q :  pi 1  p1  p 2  p 3  ...  p n  1 :‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬
‫‪i 1‬‬
‫א‪ q .‬מספר ראשוני – סיימנו‪ ,‬שכן מצאנו מספר ראשוני "חדש"‪ ,‬ובצירוף הנחת‬
‫האינדוקציה נקבל שיש בידינו לפחות ‪ n  1‬מספרים ראשוניים שונים‪.‬‬
‫ב‪ q .‬אינו מספר ראשוני – ל‪ q -‬יש פירוק למספרים‪/‬לגורמים ראשוניים (נוכיח‬
‫זאת בהמשך) ומעצם הגדרתו הוא אינו מתחלק באף אחד מהמספרים‬
‫הראשוניים‪( p1 , p2 , p3 ,..., pn :‬כל חלוקה כזו תותיר תמיד שארית ‪ ;)1‬לכן‪,‬‬
‫בפירוק של ‪ q‬לגורמים ראשוניים יש לפחות מספר ראשוני "חדש" אחד ‪-‬‬
‫‪ ; p n 1‬עתה‪ ,‬שוב בצירוף הנחת האינדוקציה נקבל שיש בידינו לפחות ‪n  1‬‬
‫מספרים ראשוניים שונים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪14‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .21‬טענה‪ :‬לכל ‪ ) n  ( n‬מספרים ממשיים חיוביים‪ a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n :‬המקיימים‬
‫את התנאי‪ , a 1  a 2  a 3  ...  a n  1 :‬מתקיים‪. a 1  a 2  a 3  ...  a n  n :‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על ‪( n‬מספר המספרים)‪.‬‬
‫בסיס האינדוקציה – עבור ‪. a1  1  a1  1  1 : n  1‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות עבור ‪( n‬כלומר‪:‬‬
‫‪ ) a1  a 2  a 3  ...  a n  1  a1  a 2  ...  a n  n‬ונראה נכונות עבור ‪( n  1‬כלומר‪:‬‬
‫‪ .) a1  a 2  ...  a n  a n1  1  a1  a 2  ...  an  an1  n  1‬במילים אחרות‪ ,‬נרצה‬
‫להוכיח ש‪. a1  a 2  ...  a n1   a1  a 2  ...  a n1   a n  a n1  n  1 :‬‬
‫אבל‪:‬‬
‫‪a1  a 2  a 3  ...  a n  a n1  1  a1  a 2  a 3  ...  a n  a n 1   1‬‬
‫‪ a1  a 2  ...  a n1  a n a n1  n  a1  a 2  ...  a n1  a n a n 1  1 n 1‬‬
‫כלומר‪ ,‬עפ"י הנחת האינדוקציה‪.  a1  a 2  ...  a n 1   a na n 1  1  n  1 :‬‬
‫לכן‪ ,‬מספיק להוכיח כי‪. a n  a n 1  a n a n 1  1 :‬‬
‫אלא שאי‪-‬שוויון זה שקול לאי‪-‬השוויון‪ .  a n  1 a n1  1  0 :‬מכיוון שהסדר של‬
‫‪ a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n , a n 1‬אינו חשוב‪ ,‬ניתן להניח בלי הגבלת הכלליות‪ ,‬כי ‪ a n‬הוא‬
‫הקטן ביותר ואילו ‪ a n 1‬הוא הגדול ביותר‪ ,‬ואז‪ , a n  1 , a n1  1 :‬ומתקבל ש‪:‬‬
‫‪. a n  a n 1  a n a n 1  1‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמאות לשימוש באינדוקציה שלמה (מלאה)‪:‬‬
‫‪ .21‬טענה‪ :‬נגדיר סדרה באופן הרקורסיבי הבא‪:‬‬
‫‪, n 1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪,n2‬‬
‫‪ , a n  0‬אז‪. n  : a n  n  2n :‬‬
‫‪2a  a  2 , n  2‬‬
‫‪ n 1 n 2‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה שלמה (מלאה) על ‪.n‬‬
‫בסיסי האינדוקציה – עבור ‪ a1  1  2  1  1 , a 2  2  2  2  0 : n  1,2‬וזה נכון‬
‫עפ"י הנתון (בהגדרה הרקורסיבית של הסדרה)‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות עבור כל ‪ k‬המקיים‪) a k  k  2k ( 2  k  n :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ונראה נכונות עבור ‪ .) a n1   n  1  2  n  1  n 2  1 ( n  1‬עפ"י הנתון והנחת‬
‫‪2‬‬
‫האינדוקציה (ה"א)‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a n 1  2a n  a n 1  2  2  n 2  2n    n  1  2  n  1  2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2n  4n  n  2n  1  2n  2  2  n  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, n  0,1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. an  ‬‬
‫‪ .22‬תרגיל‪ :‬נגדיר סדרה באופן הרקורסיבי הבא‪:‬‬
‫‪2a n 1  a n 2 , n  1‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו באינדוקציה כי‪. n   0 : 2 | a n :‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו באינדוקציה כי‪  1  2   :‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ 0 : a n ‬‬
‫‪. n ‬‬
‫‪‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נוכיח באינדוקציה שלמה (מלאה) על ‪. n   0‬‬
‫בסיסי האינדוקציה – עבור ‪. a 0  1  2 | a 0 , a1  1  2 | a1 : n  0,1‬‬
‫שלב האינדוקציה ‪ -‬נניח נכונות עבור כל ‪ k‬המקיים‪ 1  k  n :‬ונראה נכונות‬
‫עבור ‪ . n  1‬עפ"י הנתון‪ .  n  1  n  1  2 , an1  2an  an1 :‬נתבונן באגף ימין‬
‫של השוויון‪ :‬עפ"י הנחת האינדוקציה (או עפ"י בסיס האינדוקציה אם ‪,) n  1‬‬
‫המחובר הימני הוא אי‪-‬זוגי; המחובר השמאלי הוא זוגי‪ .‬סכומם תמיד אי‪-‬זוגי‪,‬‬
‫‪‬‬
‫ולכן ‪ a n‬תמיד אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫ב‪ .‬נוכיח באינדוקציה שלמה (מלאה) על ‪. n   0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  2  1  2  1  1  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫בסיסי האינדוקציה – עבור ‪: n  0,1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a1 ‬‬
‫‪1  2  1  2  1  1  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫וזה נכון עפ"י הנתון (בהגדרה הרקורסיבית של הסדרה)‪.‬‬
‫שלב האינדוקציה ‪ -‬נניח נכונות עבור כל ‪ k‬המקיים‪ 1  k  n :‬ונראה נכונות‬
‫עבור ‪ . n  1‬עפ"י הנתון‪ .  n  1  n  1  2 , an1  2an  an1 :‬עפ"י הנחת‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪a0 ‬‬
‫האינדוקציה (או עפ"י בסיס האינדוקציה אם ‪:) n  1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n  1: a n 1  2a n  a n1  2 ‬‬
‫‪1 2  1 2 ‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪ 1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1 2‬‬
‫‪ 2 1 2 1  1 2‬‬
‫‪ 2 1 2 1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1 2‬‬
‫‪ 1 2 2  2  1 2‬‬
‫‪ 1 2 2  2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1 2‬‬
‫‪ 1 2 2  2  1 2‬‬
‫‪ 1 2 2  2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1 2‬‬
‫‪ 1 2  1 2‬‬
‫‪ 1 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1 2‬‬
‫‪ 1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪ 1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪    ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪, n 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪. an  ‬‬
‫‪ .23‬תרגיל‪ :‬נגדיר סדרה באופן הרקורסיבי הבא‪:‬‬
‫‪, n3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a n 1  a n 2  a n 3 , n  3‬‬
‫הוכיחו באינדוקציה כי‪. n  : a n  2n :‬‬
‫פתרון‪ :‬באינדוקציה שלמה (מלאה) על ‪.n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a1  1  a1  2  2‬‬
‫בסיסי האינדוקציה – עבור ‪. a 2  2  a 2  22  4 : n  1,2,3‬‬
‫‪a 3  3  a 3  23  8‬‬
‫‪16‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות עבור כל ‪ k‬המקיים‪ ) a k  2k ( 3  k  n :‬ונראה‬
‫נכונות עבור ‪ .) a n1  2n1 ( n  1‬עפ"י הנתון והנחת האינדוקציה (או עפ"י בסיסי‬
‫האינדוקציה) מתקיים‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪a n 1  a n  a n 1  a n 2  2n  2n 1  2n 2  2n  ‬‬
‫‪ 2n  2n  2  2 n  2 n 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4 4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .24‬משפט‪ :‬כל מספר טבעי ‪ n‬הגדול מ‪ 1 -‬ניתן לרישום כמכפלה של מספרים‬
‫ראשוניים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬מספר ראשוני ניתן לרישום תמיד כמכפלה של גורם ראשוני אחד – הוא‬
‫עצמו‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה שלמה (מלאה) על ‪. n  1‬‬
‫בסיס האינדוקציה ‪ 2 : n  2 -‬הוא מספר ראשוני והוא ניתן לרישום כמכפלה של‬
‫גורם ראשוני אחד – הוא עצמו‪.‬‬
‫שלב האינדוקציה – נניח נכונות לכל ‪ 2  k  n‬ונראה נכונות ל‪. n  1 -‬‬
‫נתבונן במספר ‪ .) n  1  2 ( n  1‬נבחין בין שני מקרים לגביו‪:‬‬
‫א‪ n  1 .‬הוא מספר ראשוני – סיימנו‪ ,‬שכן הוא ניתן לרישום כמכפלה של גורם‬
‫ראשוני אחד – הוא עצמו‪.‬‬
‫ב‪ n  1 .‬אינו מספר ראשוני – מכאן‪; p,q  : n  1  p  q  2  p  n  2  q  n :‬‬
‫עפ"י הנחת האינדוקציה גם ‪ p‬וגם ‪ q‬ניתנים לרישום כמכפלה של מספרים‬
‫‪j‬‬
‫‪k‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫ראשוניים‪ , p   pi , q   q i :‬ולכן גם ‪ n  1‬שהוא מכפלתם ניתן לרישום‬
‫‪j‬‬
‫‪k‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫כמכפלה של מספרים ראשוניים‪. n  1  p  q   pi   q i :‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמאות לשימוש בעקרון המינימום (הסדר הטוב)‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ .25‬כזכור‪:‬‬
‫‪ m  n  : r ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫באופן זה כמנת שני שלמים (עם מכנה שונה מ‪ )0 -‬נקראת‪ :‬הצגה מצומצמת‬
‫'‪m‬‬
‫‪ r ‬לאף מספר טבעי ‪. n '  n‬‬
‫(או‪ :‬שבר מצומצם) אם"ם לא ניתן לרשום‪:‬‬
‫'‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ r ‬הוא שבר מצומצם‪ ,‬הרי ש‪( . 1  k  : k | m  k | n :‬ניתן‬
‫כמובן‪ ,‬אם‬
‫‪n‬‬
‫להוכיח זאת בקלות על דרך השלילה – בדקו‪).‬‬
‫‪ 0  n, m  : r ‬‬
‫‪17‬‬
‫‪ . r ‬הצגתו של ‪r‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫משפט‪ :‬לכל מספר רציונלי יש הצגה מצומצמת יחידה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬באמצעות עקרון המינימום‪:‬‬
‫יהי ‪ r ‬כלשהו‪ .‬נבחין בין שני מקרים‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫א‪ - r  0 .‬ההצגה המצומצמת היחידה של ‪ r‬היא‪( r  :‬בדקו זאת עפ"י הגדרת‬
‫‪1‬‬
‫המושג‪ :‬הצגה מצומצמת)‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ - r  0 .‬נתבונן בקבוצה הבאה‪ . A   n  : r  , m   :‬למשל‪ ,‬עבור‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ r ‬נקבל כי‪ . A  3,6,9,...  3n : n   :‬נשים לב כי‪.   A  :‬‬
‫‪9‬‬
‫עפ"י עקרון המינימום‪ ,‬יש ל‪ A -‬איבר מינימלי (יחיד) – נסמנו ב‪. min  A  -‬‬
‫‪m‬‬
‫מכאן מתחייב שה‪ m -‬בהצגה‪:‬‬
‫‪min  A ‬‬
‫‪ r ‬גם הוא יחיד‪.‬‬
‫קיבלנו‪ ,‬אפוא‪ ,‬שלכל מספר רציונלי יש הצגה מצומצמת יחידה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .26‬משפט – תכונת הארכימדיות‪. a, b  n  : na  b :‬‬
‫הוכחה‪ :‬בדרך השלילה‪ ,‬תוך שימוש בעקרון המינימום – נניח בשלילה כי‪:‬‬
‫‪. a, b  n  : na  b  a, b  n  : na  b  a, b  n  : b  na  0‬‬
‫נתבונן בקבוצה הבאה‪ . A  b  na : n   :‬נשים לב כי‪(   A  :‬עפ"י‬
‫הנחת השלילה)‪ .‬על‪-‬סמך עקרון המינימום‪ ,‬יש ל‪ A -‬איבר מינימלי (יחיד)‪:‬‬
‫‪ b  ma‬עבור ‪ m ‬מסוים‪ .‬אולם‪ ,‬עפ"י הגדרת ‪ A‬והיות ‪ m  1‬מתחייב ש‪:‬‬
‫‪. b   m  1 a  A   b  ma   a  A‬‬
‫קיבלנו ש‪ ,  b  ma   a  A   b  ma   a  b  ma :‬בסתירה להיות ‪b  ma‬‬
‫האיבר המינימלי (היחיד) של ‪.A‬‬
‫‪‬‬
‫‪18‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫אינדוקציה מתמטית בשירות מדעי המחשב‬
‫אינדוקציה מתמטית משמשת רבות לצורך הוכחת נכונותם של אלגוריתמים‬
‫ותוכניות במדעי המחשב‪.‬‬
‫אלגוריתם הוא מתכון לפתרון בעיה‪ ,‬המכיל סט (סופי) של הוראות ידועות‪,‬‬
‫ברורות וחד‪-‬משמעיות למבצע האלגוריתם (המחשב‪ ,‬למשל)‪ ,‬אשר ביצוען פותר‬
‫את הבעיה‪ .‬על האלגוריתם להקיף את כל האפשרויות העלולות לצוץ במהלך‬
‫פתרון הבעיה ולסיים את פעולתו לאחר מספר סופי של שלבים‪/‬פעולות‪.‬‬
‫אלגוריתם עשוי להכיל לולאה (אחת או יותר) – הוראה אחת או יותר המתבצעת‬
‫באופן רציף (מחזורי) מספר סופי של פעמים‪ .‬למשל‪ ,‬באלגוריתם חיפוש‬
‫מתבצעים בדרך‪-‬כלל קריאה ועיבוד רציפים של הנתונים עד שמאותר הנתון‬
‫המבוקש או עד שמגיעים לסוף רשימת הקלט‪ .‬פעולות הקריאה והעיבוד‬
‫מוגדרות לרוב בתוך לולאה‪.‬‬
‫כאשר רוצים להוכיח נכונות של אלגוריתם המכיל לולאה (אחת או יותר)‪ ,‬עושים‬
‫שימוש ב‪( loop invariant -‬קביעה לולאתית) שהיא תכונה‪/‬טענה כלשהי לגבי‬
‫המשתנים באלגוריתם (או בתוכנית)‪ ,‬אשר נכונה לפני התחלת ביצוע הלולאה‬
‫ושומרת על נכונותה לאחר כל מחזור ביצוע של הלולאה‪ .‬בפרט‪ ,‬תכונה זו‬
‫(נשארת) נכונה לאחר שהלולאה מסיימת את פעולתה‪.‬‬
‫באופן זה ניתן להראות שהלולאה משיגה את יעדיה‪ ,‬מספקת את הפלט הנדרש‬
‫ולכן נכונה‪ .‬באמצעות אינדוקציה מתמטית ניתן להראות כי נכונות תכונה‬
‫מסוימת נשמרת באופן רציף למן הרגע בו התחילה הלולאה את פעולתה ועד‬
‫לרגע בו סיימה את פעולתה‪.‬‬
‫דוגמא‪ :‬נתבונן באלגוריתם הבא‪ ,‬המחשב עצרת של מספר טבעי‪.‬‬
‫(לצורך פשטות‪ ,‬נתעלם מכל בדיקות התקינות של הקלט‪).‬‬
‫א‪ .‬קלוט מספר טבעי ‪.n‬‬
‫ב‪ .‬אתחל את מונה הלולאה ‪ i‬ל‪.) i  1 ( 1 -‬‬
‫ג‪ .‬אתחל את משתנה התוצאה ‪ factorial‬ל‪.) factorial  1 ( 1 -‬‬
‫ד‪ .‬כל עוד מתקיים‪ , i  n :‬בצע‪:‬‬
‫ד‪ .1‬קדם את מונה הלולאה ב‪.) i  i  1 ( 1 -‬‬
‫ד‪ .2‬הצב ב‪ factorial -‬את מכפלת ערכו הקודם ב‪.) factorial  factorial  i ( i -‬‬
‫ה‪ .‬הדפס את ערך משתנה התוצאה ‪.factorial‬‬
‫נוכיח באינדוקציה כי הטענה‪ factorial  i! :‬היא ‪ loop invariant‬עבור הלולאה‬
‫הנ"ל (סעיף ד' באלגוריתם הנ"ל)‪ ,‬כלומר – לאחר ביצוע המחזור ה‪ i -‬של‬
‫הלולאה‪ ,‬המשתנה ‪ factorial‬מכיל את הערך !‪.i‬‬
‫בסיס האינדוקציה‪ :‬לפני תחילת הלולאה אכן מתקיים‪:‬‬
‫‪. i  1  factorial  1  factorial  i! 1! 1‬‬
‫שלב האינדוקציה‪ :‬נניח נכונות לכל ‪( i  n‬כלומר‪.) 1  i  n : factorial  i! :‬‬
‫אם ‪ , i  n‬אז הלולאה מתבצעת שוב‪ i  i  1 , factorial  factorial i :‬ומתקיים‬
‫עפ"י ה"א (הנחת האינדוקציה)‪. factorial  factorial   i  1  i!  i  1   i  1! :‬‬
‫מכאן ש‪ factorial  i! -‬היא אכן ‪ loop invariant‬עבור הלולאה הנ"ל‪ .‬בפרט‪ ,‬עם‬
‫תום ביצוע הלולאה‪ ,‬מתקיים‪ factorial  n! :‬כנדרש‪ ,‬ולכן הלולאה נכונה‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫אינדוקציה מתמטית ורקורסיה – מבוא ‪ -‬תרגיל בית מס' ‪1‬‬
‫‪ .1‬הוכיחו באינדוקציה כי‪:‬‬
‫‪n  n  1 n  2 ‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪n  :1  2  2  3  3  4  ...  n   n  1 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n  n  1 2n  1‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪n  :12  22  32  ...  n 2 ‬‬
‫‪6‬‬
‫ג‪n  :1  21  3  22  5  23  ...   2n  1  2n   2n  3  2n1  6 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ... ‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪1 2 2  3 3  4‬‬
‫‪ n  1  n n‬‬
‫‪:‬‬
‫‪2  n ‬‬
‫(נסו להוכיח זאת גם ללא אינדוקציה‪).‬‬
‫‪n  n  1‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ו‪n  : 2  4  6  ...  4n  2n  2n  1 .‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪:1  2  3  ...   1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n ‬‬
‫(נסו להוכיח זאת גם ללא אינדוקציה‪).‬‬
‫‪3n  n  1‬‬
‫‪n  : n   n  1   n  2   ...  2n ‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫(נסו להוכיח זאת גם ללא אינדוקציה‪).‬‬
‫‪2‬‬
‫ח‪n  :13  23  33  ...  n 3  1  2  3  ...  n  .‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪ 2  2  ...  2  2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 2 3‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫(נסו להוכיח זאת גם ללא אינדוקציה‪).‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 3‬‬
‫י‪.‬‬
‫‪3  n  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ... ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n 1 n  2 n  3‬‬
‫‪2n 5‬‬
‫יא‪5  n  : n 2  2n .‬‬
‫‪:‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ .2‬הוכיחו באינדוקציה כי‪:‬‬
‫א‪n   0 : 3 | 2n1  5n .‬‬
‫ב‪n   0 : 5 | 22n1  32n 1 .‬‬
‫ג‪n   0 :13 | 42n1  3n2 .‬‬
‫ד‪ .‬עבור ‪ b ,a‬טבעיים כלשהם‪ ,‬לכל ‪ n‬טבעי אי‪-‬זוגי‪. a  b | a n  b n :‬‬
‫ה‪( n  : 6 | n3  n .‬נסו להוכיח זאת גם ללא אינדוקציה‪).‬‬
‫‪ .3‬יהי ‪ n ‬ויהי ‪ x‬מספר המורכב מ‪ 3n -‬ספרות זהות‪( .‬למשל‪ :‬עבור ‪x , n  1‬‬
‫יכול להיות ‪ 111‬או ‪ 222‬או ‪ 333‬וכן הלאה‪ ).‬הוכיחו באינדוקציה כי‪. 3n | x :‬‬
‫‪21‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .4‬הוכיחו באינדוקציה כי‪:‬‬
‫‪10n 1  9n  10‬‬
‫‪: 3  33  333  ...  333...n times3 ‬‬
‫‪27‬‬
‫‪. n ‬‬
‫‪ .5‬מספרי פרמה (‪ )Fermat numbers‬הם מהצורה‪ , Fn  2 2  1 :‬עבור ‪. n   0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n 1‬‬
‫הוכיחו באינדוקציה כי‪:  Fk  Fn  2 :‬‬
‫‪. n ‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪n 1‬‬
‫(תזכורת‪)  Fk  F0  F1  F2 ...  Fn 1 :‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪, n0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . a n  ‬הוכיחו באינדוקציה כי‪:‬‬
‫‪ .6‬א‪ .‬נגדיר‪:‬‬
‫‪3a n 1  5 , n  0‬‬
‫‪7  3n  5‬‬
‫‪. n   0 : a n ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, n 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . a n   5  2a n 1‬הוכיחו באינדוקציה כי‪:‬‬
‫ב‪ .‬נגדיר‪:‬‬
‫‪, n 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. m  m  n  : 4  a n  5‬‬
‫‪ .7‬נתונה סדרה חשבונית שאיברה הראשון ‪ a 1‬והפרשה ‪.d‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו באינדוקציה כי‪. n  : a n  a1   n  1  d :‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו באינדוקציה כי‪:‬‬
‫‪2a   n  1 d‬‬
‫‪: Sn  a1  a 2  a 3  ...  a n  1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. n ‬‬
‫‪ .8‬נתונה סדרה הנדסית שאיברה הראשון ‪ a 1‬ומנתה ‪.q‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו באינדוקציה כי‪. n  : a n  a1  q n1 :‬‬
‫‪a1  q n  1‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו באינדוקציה כי‪:‬‬
‫‪q 1‬‬
‫(לצורך פשטות‪ ,‬הניחו כי‪). q  1 :‬‬
‫‪: Sn  a1  a 2  a 3  ...  a n ‬‬
‫‪ .9‬הוכיחו באינדוקציה כי‪: 1  n  n2  n3  ...  nn  n :‬‬
‫‪. n ‬‬
‫‪. 1  n ‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪21‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫אינדוקציה מתמטית ורקורסיה – המשך –‬
‫תרגיל בית מס' ‪2‬‬
‫‪ .1‬הוכיחו באינדוקציה כי בכל קבוצה סופית לא ריקה של מספרים ממשיים‬
‫יש מינימום (איבר הקטן‪/‬שווה מכל איברי הקבוצה)‪.‬‬
‫‪ .2‬הוכיחו באינדוקציה כי‪:‬‬
‫א‪n  :   p1  p2  p3  ...  pn   p1  p2  p3  ...  pn .‬‬
‫ב‪n  :   p1  p2  p3  ...  p n   p1  p2  p3  ...  p n .‬‬
‫ג‪Ai .‬‬
‫ד‪Ai .‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪Ai ‬‬
‫‪Ai ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪:‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪:‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ .3‬תהיינה‪ n A1 , A 2 , A 3 ,..., A n :‬קבוצות כלשהן‪ .‬הוכיחו באינדוקציה כי‪:‬‬
‫‪ x  A1A2A3...An‬אם"ם ‪ x‬שייך למספר אי‪-‬זוגי של קבוצות מתוך‪:‬‬
‫‪. A1 , A 2 , A 3 ,..., A n‬‬
‫‪ .4‬במלבן מעבירים מספר סופי של קוים ישרים‪ ,‬ובכך מחלקים אותו לאזורים‪.‬‬
‫כל אחד מהקווים חותך את כל המלבן ואינו נפסק בתוכו (כלומר‪ ,‬כל אחד‬
‫מהקווים מחבר ‪ 2‬נקודות שונות של ‪ 2‬צלעות שונות של המלבן)‪ .‬הוכיחו‬
‫באינדוקציה כי ניתן לצבוע כל אזור כזה במלבן באחד משני צבעים‪ ,‬כך‬
‫ששני אזורים הנוגעים זה בזה לאורך קטע (ולא רק נקודה בודדת) יהיו‬
‫בצבעים שונים‪.‬‬
‫‪ .5‬נתונות ‪ n‬נקודות במישור‪ ,‬כך שאף ‪ 3‬מהן אינן על ישר אחד‪ .‬מעבירים דרך‬
‫כל ‪ 2‬נקודות ישר‪ .‬כמה ישרים מתקבלים ? הוכיחו קביעתכם באמצעות‬
‫אינדוקציה‪.‬‬
‫‪ .6‬נתון מצולע קמור בעל ‪ n‬צלעות‪ .‬כמה אלכסונים יש בו שאינם חותכים זה‬
‫את זה ? הוכיחו קביעתכם באמצעות אינדוקציה‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪, n 1‬‬
‫‪13‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .7‬נגדיר‪, n  2 :‬‬
‫‪ . a n  79‬הוכיחו באינדוקציה כי‪:‬‬
‫‪3a  10a , n  2‬‬
‫‪n 2‬‬
‫‪ n 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. n  : a n  3  5n   2‬‬
‫‪ .8‬נגדיר התאמה (פונקציה) באופן הבא‪:‬‬
‫‪ , n   0 : f  n   2f  n  1  f  n  2  0‬כאשר‪ . f  0  f 1  1 :‬הוכיחו‬
‫באינדוקציה כי‪ 0 : f  n    1 1  2n :‬‬
‫‪n‬‬
‫‪. n ‬‬
‫‪ .9‬נתונה התאמה (פונקציה) הפועלת על מספרים שלמים אי‪-‬שליליים ומחזירה‬
‫מספרים רציונליים באופן הבא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪. n  2 : f  n   f  n  1 ‬‬
‫‪f  n  2 , f 1  1 , f  0   0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫הוכיחו באינדוקציה כי‪. n   0 : 0  f  n   1 :‬‬
‫‪ .11‬נוסחת הנסיגה המתארת את סדרת פיבונאצ'י היא‪:‬‬
‫‪ , 1  n  : a n  a n1  a n 2‬כאשר‪ . a 0  a 1  1 :‬הוכיחו באינדוקציה כי‬
‫‪‬‬
‫פתרון נוסחת נסיגה זו הוא‪ :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ 1 5 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪1 1 5 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 : a n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪5  2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. n ‬‬
‫‪ .11‬הוכיחו באינדוקציה כי‪. n  x, y   0 : n  12  n  3x  7y :‬‬
‫(הדרכה‪ :‬בדקו בבסיס האינדוקציה את נכונות הטענה ל‪-‬‬
‫‪). n  12 , n  13 , n  14‬‬
‫‪ .12‬הוכיחו באינדוקציה כי לכל מספר טבעי הצגה בינארית יחידה‪ ,‬כלומר –‬
‫הוכיחו כי לכל ‪ n ‬קיימת סדרה יחידה של מספרים שלמים אי‪-‬שליליים‪:‬‬
‫‪ , p1  p2  p3  ...  pk  0‬כך ש‪( . n  2p1  2p2  2p3  ...  2pk :‬למשל‪ :‬למספר‬
‫הטבעי ‪ 5‬יש הצגה בינארית יחידה‪ ; 5  22  20 :‬למספר הטבעי ‪ 12‬יש הצגה‬
‫בינארית יחידה‪). 12  23  22 :‬‬
‫‪ .13‬תהיינה ‪ P1, P2 , P3 ,..., Pn ,...‬סדרה של טענות‪ .‬נניח כי מתקיימים התנאים‬
‫הבאים‪:‬‬
‫א‪P1  T .‬‬
‫ב‪n  : Pn  T  P2n  T .‬‬
‫ג‪2  m  : Pm  T  Pm1  T .‬‬
‫הוכיחו כי כל הטענות בסדרה הנ"ל נכונות‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪23‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫אינדוקציה מתמטית ורקורסיה – רקורסיה –‬
‫תרגיל בית מס' ‪3‬‬
‫‪ .1‬נתבונן ב‪ 4 -‬הזהויות הבאות‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪11‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪2  3  4  1 8‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪5  6  7  8  9  8  27‬‬
‫‪(4) 10  11  12  13  14  15  16  27  64‬‬
‫א‪ .‬מצאו נוסחה המתארת את החוקיות של הזהויות הנ"ל‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו את נכונות הנוסחא שמצאתם בסעיף א' באמצעות אינדוקציה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪ .2‬נגדיר את הסדרה הבאה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ... ‬‬
‫!‪2! 3! 4‬‬
‫!‪n‬‬
‫א‪ .‬חשבו את ששת האיברים הראשונים של הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הציגו נוסחה לאיבר הכללי ‪ Sn‬של הסדרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬הוכיחו את נכונות הנוסחא שמצאתם בסעיף ב' באמצעות אינדוקציה‪.‬‬
‫‪: Sn ‬‬
‫‪. n ‬‬
‫‪ .3‬הגדירו באופן רקורסיבי את הקבוצות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬קבוצת המספרים הטבעיים‬
‫ב‪ .‬קבוצת כל השלמים השליליים הזוגיים‬
‫ג‪ .‬קבוצת כל המספרים הטבעיים המתחלקים ב‪5 -‬‬
‫ד‪ .‬קבוצת כל המחרוזות (המילים) הסופיות הלא ריקות מעל ‪,   'a ',' b'‬‬
‫אשר בכל מחרוזת כל תוי ה‪ ,'a' -‬אם ישנם‪ ,‬מקדימים את כל תוי ה‪,'b' -‬‬
‫אם ישנם (למשל‪ ,‬המחרוזות‪ "ab","aabbb","aaa","bbb" :‬נמצאות בקבוצה‬
‫זו; המחרוזות‪ "ba","aaabaaaa" :‬אינן נמצאות בקבוצה זו‪).‬‬
‫‪ .4‬יהיו‬
‫‪ m   0 , n ‬ויהי ‪ d‬המחלק המשותף הגדול ביותר של ‪m‬‬
‫ושל ‪ .n‬נסמן‪ . d : g.c.d  n, m :‬נגדיר זאת באופן הרקורסיבי הבא‪:‬‬
‫בסיס הרקורסיה ‪ , n  : g.c.d  n,0   n -‬כלל הרקורסיה ‪-‬‬
‫‪. n, m  : g.c.d  n, m   g.c.d  m, n mod m ‬‬
‫א‪ .‬חשבו את‪ . g.c.d  248,64 :‬כמה שלבים רקורסיביים היו בחישוב שלכם ?‬
‫ב‪ .‬הוכיחו כי אכן‪: g.c.d  n, m  g.c.d m, n mod m :‬‬
‫‪. n, m ‬‬
‫‪ .5‬הפונקציה של אקרמן מוגדרת באופן הבא‪:‬‬
‫‪,n0‬‬
‫‪m  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪An, m   An  1,1‬‬
‫‪,m0‬‬
‫‪An  1, An, m  1 , m, n  0‬‬
‫‪‬‬
‫חשבו (באמצעות תכנית מחשב) את‪. A4,1 , A3,5 , A3,3 , A2,5 :‬‬
‫‪24‬‬
‫רפאל ברכאן‬
‫מתמטיקה בדידה ‪ ,2‬תשע"ג‬
‫‪ .6‬להלן נתונות שלוש צורות רקורסיביות להגדרת פונקציה אחת‪:‬‬
‫‪,n0‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪f n   ‬‬
‫‪2  f n  1 , n  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, n0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪f  n   f 2  ‬‬
‫ב‪, n  0  2 | n .‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2  n 1‬‬
‫‪2  f ‬‬
‫‪ , n  0  2 | n‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪,n0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ n 1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪f n   ‬‬
‫‪1   f i  , n  0‬‬
‫‪ i 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מהי הפונקציה (בצורתה המפורשת)‪ ,‬המיוצגת ע"י הצורות הרקורסיביות‬
‫הנ"ל ?‬
‫כמה צעדים רקורסיביים דרושים לחישוב ‪ f 10‬בכל אחת מהצורות‬
‫הנ"ל ?‬
‫מבחינת ההיבט של יעילות החישוב (מספר הצעדים הרקורסיביים‬
‫הנדרשים)‪ ,‬איזו צורה יעילה יותר ואיזו יעילה פחות ? נמקו‪.‬‬
‫‪ .7‬נגדיר קבוצה ‪ ,D‬המכילה מחרוזות המורכבות מסימני סוגריים‪ ,),( :‬באופן‬
‫הרקורסיבי הבא‪ :‬בסיס הרקורסיה ‪ -  (   D -‬המחרוזת הריקה);‬
‫כלל הרקורסיה ‪ . ,  D      D    D -‬תהי ‪   D‬מחרוזת כלשהי‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו באינדוקציה כי מספר הסוגרים הימניים ב‪  -‬שווה למספר‬
‫הסוגרים השמאליים ב‪.  -‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו באינדוקציה כי בכל רישא (תחילית) של ‪ ‬מספר הסוגרים‬
‫השמאליים גדול או שווה למספר הסוגרים הימניים‪.‬‬
‫(הדרכה‪ :‬הוכיחו באינדוקציה על אורך המחרוזת ‪).    0 - ‬‬
‫‪ .8‬תהי ‪ A  1,2,3,..., n‬קבוצה‪ .‬מסמנים ב‪( S  n, k  -‬מספרי סטירלינג מסוג‬
‫שני) את מספר החלוקות של הקבוצה ‪ A‬ל‪ k -‬תת‪-‬קבוצות לא ריקות‪ ,‬זרות‬
‫בזוגות ומשלימות ( ‪( .) 1  k  n‬למשל‪ ,‬החלוקות השונות של הקבוצה‪:‬‬
‫‪1,2, 3‬‬
‫‪ 1, 2,3‬ל‪ 2 -‬תת‪-‬קבוצות‪ ,‬זרות בזוגות ומשלימות הן‪). 2,1, 3 :‬‬
‫‪3,1, 2‬‬
‫‪, k  1, n‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪S  n, k   ‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו כי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪S  n  1, k  1  kS  n  1, k , 2  k  n  1‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו‪ ,‬מבלי להסתמך על סעיף קודם‪ ,‬כי‪:‬‬
‫‪S  n,2   2n1  1 )1‬‬
‫‪n  n  1‬‬
‫‪)2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S  n, n  1 ‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪25‬‬