הרצאה תרגילים ־ אלגבראות לי, קייטנת קיץ 2011
הרצאה תרגילים ־ אלגבראות לי ,קייטנת קיץ 2011
אסף כץ
15/3/11
1
מבוא והגדרות
נניח לצורך העניין כי Gחבורת לי או חבורה אלגברית )חשבו על חבורה לינארית מוגדרת מעל נניח .(Q
טורוס של חבורה כזו הינו ת"ח קשירה ואבלית .טורוס שאיננו מוכל בטורוס אחר ,נקרא טורוס מקסימלי.
טורוס שהינו פ"ל מעל השדה )לא בהכרח עובדים בשדה סגור אלגברית( נקרא טורוס מתפצל.
◦
מקסימלי.
מהצורה ) C =(CG (Tעבור Tטורוס מתפצל )!
ת"ח C < Gנקראת ת"ח קרטן אם היא )!
? ?
וטורוס מתפצל מקסימלי הוא
דוגמא ־ עבור ,G = P GL2חבורת בורל היא
−t
e
?
et
(
.
נניח gאלגברת הלי של ,Gונניח כי L ⊂ gתת־אלגברה נילפוטנטית כך ש־ ,NL (g) = Lאזי Lתיקרא
תת־אלגברת קרטן של .g
משפט ־ אם Gקומפקטית ,1ויהיו T, T 0 < Gטורוסים מקסימליים ,אזי T, T 0צמודים.
הוכחה ־ קל להראות שחבורות קומפקטיות הן מונוטטיות ,ולכן יש חבורה חד־פרמטרית ) xt = exp (txצפופה
ב־ Tובדומה ) x0t = exp (tx0צפופה ב־ .T 0
ולכן אם נצמיד את ) exp (txל־) exp (tx0נסיים.
כעת מהגדרת פעולת ה־ Adנקבל כי
a−1 = exp t · Ada x0
a exp tx0
אם נמצא aכך ש־ a (exp (tx0 )) a−1יתחלף עם כל ה־) ,exp (txאזי a (exp (tx0 )) a−1יתחלף עם כל איברי
,Tולכן יהיה שייך ל־ ,Tונסיים.
ולכן בעצם הדרישה מתורגמת ברמת אלגברת הלי להיות = 0
]x0 , x
.[Ada
נבחר h, iמכפלה פנימית על gשאינווריאנטית תחת ) Adקיימת מהטריק האוניטרי של וייל(.
נבחר a ∈ Gכך ש־ hAda x0 , xiהוא מקסימלי.
נגדיר y = Ada x0ובעצם בדיקה מראה ש־ yהוא האיבר הנדרש.
2
גזירות
])δ ([y, z]) = [δ (y) , z] + [y, δ (z
נאמר ש־ δהיא גזירה אם i
P n h
k
n−k
= ] (δ − a − b) [y, zעבור .a, b ∈ F
)(δ − a) y, (δ − b
מכאן באינדוקציה מקבלים z
k
n
1משפט פון־נוימן ־ חבורת לי קומפקטית היא לינארית
1
נסמן ב־) ga (δלהיות המרחב העצמי המוכלל של δעם ע"ע ,a
מסקנות ־
• ] [ga , gb ] ⊂ g[a+b־ הוכחה ־ ישירות מהנוסחא.
• נסמן ב־) s = s (δלהיות החלק הפ"ל של ,δאזי עבור y ∈ ga , z ∈ gbנקבל =
]s (δ) [y, z] = (a + b) [y, z] = [s (δ) y, z] + [y, s (δ) z
• בדומה מתקיים גם עבור ) n = n (δ־ החלק הנילפוטנטי של .δ
• ) [δ, adx] = ad (δx־ הוכחה ־ ] ,[δ, adx] (u) = δ ([x, u]) − [x, δ (u)] = [δ (x) , uמכאן Inn (g) C
) ,Der (gבפרט אם gפ"ל נקבל כי ).Inn (g) = Der (g
• תוצאה ־ פירוק זורדן אדיטיבי ־ x = xs + xnברמת אלגברת הלי ,ברמת החבורה נקבל פירוק
זורדן־שובלי כפלי ־ g = suכאשר sפ"ל וכן uאוניפוטנטי.
• נניח k < gתת־אלגברה ,המכילה את ) g0 (adxעבור x ∈ gכלשהו ,אזי ) x ∈ g0 (adxכי כמובן
,[x, x] = 0ולכן בפרט .x ∈ k
כלומר ) Ng (kנשמרת תחת adxמזהות יעקובי ,מכאן adxפועלת על Ng (k) /kבלי ע"ע .0
מצד שני ,ברור כי [Ng (k) , x] ⊂ kמהגדרת הנורמליזטור ,ולכן .Ng (k) = k
למה עיקרית ־ תהי k ⊂ gתת־אלגברה .יהי z ∈ kכך ש־) g0 (adzלא מכילה ממש כל תת־אלגברה אחרת
) g0 (adxעבור .x ∈ kנניח גם כי ).k ⊂ g0 (adz
אזי מתקיים כי ) g0 (adz) ⊂ g0 (adyלכל ,y ∈ kכלומר ) g0 (adzמינימלית.
הוכחה ־ יהי zכמו בלמה ,ויהי x ∈ kכלשהו .לפי ההנחה x ∈ g0 (adz) ,וכן )[g0 (adz) , g0 (adz)] ⊂ g0 (adz
ולכן גם ).[x, g0 (adz)] ⊂ g0 (adz
ולכן גם לכל קבוע cנקבל כי ).ad (z + cx) g0 (adz) ⊂ g0 (adz
ולכן ) ad (z + cxפועלת על המנה ).g/g0 (adz
ולכן נפקטר את הפ"א של ) ad (z + cxכ־).Pad(z+cx) (T ) = f (T, c) g (T, c
כאשר ) f (T, cהוא הפ"א על ).g0 (adz
נכתוב את הפולינום במפורש ־
)f (T, c) = T r + f1 (c) T r−1 + . . . + fr (c
)g (T, c) = T n−r + g1 (c) T n−r−1 + . . . + gn−r (c
כעת 0איננו ע"ע של adzעל ) g/g0 (adzולכן .gn−r (0) 6= 0
מכאן אפשר למצוא המון ערכים עבור cכך ש־ gn−r (c) 6= 0ועבור אותם ערכי cנקבל כי ⊂ ))g0 (ad (z + cx
).g0 (adz
מהמינימליות יש שיוויון ממש.
ולכן נקבל כי f (T, c) = T rעבור אותם ערכי ,cומכאן .fi = 0
כלומר ) ,g0 (ad (z + cx)) ⊃ g0 (adzלכל .c
אם ניבחר ,c = 1וכן ,z = y − xנקבל את הלמה .
2
3
אלגבראות קרטן
קרטן אלגברה היא תת־אלגברה נילפוטנטית שהיא מנרמלת את עצמה )˜טורוס מקסימלי(.
בורל אלגברה היא תת־אלגברה פתירה ומקסימלית.
קל לראות את השקילות לת"ח שהגדרנו מקודם.
משפט מרכזי ־ כל שתי תתי־אלגבראות קרטן הן צמודות .כל שתי תתי־אלגבראות בורל הן צמודות.
טענה ־ hהיא תת־אלגברת קרטן אמ"מ ) ,h = g0 (adzכאשר ) g0 (adzלא מכילה אף תת־אלגברה ממש
מהצורה ).g0 (adx
הוכחה ־ נניח כי ) h = g0 (adzמינימלית כזו ,אזי מהתכונה האחרונה של הגזירות ,נקבל כי ,Ng (h) = h
ומהלמה ממקודם נקבל כי ) ,h ⊂ g0 (adxולכן xפועל בצורה נילפוטנטית על hלכל .x ∈ gממשפט אנגל
נקבל כי hנילפוטנטית ולכן קרטן.
כעת לכיוון השני ,נניח כי hקרטן ,מאחר ש־ hנילפוטנטית ,נקבל כי ) h ⊂ g0 (adxלכל .xנבחר zמינימלי
ומהלמה נקבל כי ) g0 (adz) ⊂ g0 (adxולכן hפועלת בצורה נילפוטנטית על .g0 (adz) /h
אם המרחב הזה לא אפס ,נוכל למצוא וקטור משותף שאיננו אפס ,אבל עם ע"ע 0לפי משפט אנגל.
∈ yכך ש־ [y, h] ⊂ hבסתירה לעובדה ש־.Ng (h) = h
ולכן יהי / h
למה ־ אם φ : g → g0הומומורפיזם על ו־ Cקרטן ,אז ) φ (Cגם קרטן.
למה ־ אם φ : g → g0הומומורפיזם על ,ו־ C 0היא קרטן ב־ .g0אזי כל תת־אלגברת קרטן של ) φ−1 (C 0היא
קרטן כבר ב־) .gצריך להראות שאנחנו מתנרמלים כבר בכל .(g
4
מקרה פתיר של המשפט המרכזי
במקרה זה ,Borel (g) = g ,והמשפט טריוויאלי לגביו.
נשאר לוודא את המשפט המרכזי עבור הקרטן.
אם במקרה gנילפוטנטית ,אז ) g = Cartan (gוסיימנו.
ולכן נמשיך באינדוקציה על מימד .g
נניח כי h1 , h2 < gקרטן ,נבחר אידיאל אבלי a C gממימד מינימלי ,ונגדיר = g/a
.g0
מהלמה נקבל שהזיהויים תחת ההטלה hi 7→ h0iהן קרטן ב־ .g0
ולכן אפשר להצמיד אותן ב־ g0מהנחת האינדוקציה.
נשאר להראות שאפשר להרים את ההצמדה ל־ .gנשאיר זאת לקורא הנלהב ־ ]חלק ,5.3למה .[6
5
אלגבראות טורסיות וקרטן
כל תת־אלגברת קרטן היא נילפוטנטית )כי היא אבלית( ,ולכן משוכנת באלגברת בורל כלשהו .ולכן מספיק
להראות שאלגבראות בורל הן צמודות ,מאחר שאחרי זה ,משתמשים במקרה הפתיר להראות צמידות של
אלגבראות הקרטן.
מכאן והלאה ־ gהיא אלגברה פ"ל .אם לא ,נחלק ברדיקל ,מאחר שהוא שייך לכל תת־אלגברת בורל.
כמובן נניח שלא כל איברי gהם ad־נילפוטנטיים ,ולכן קיים x ∈ gכך ש־ x = xn + xssעם .xss 6= 0
תת־אלגברה נקראת אלגברת טורוסית ) (Toralאם כל איברי הם פ"ל.
למה ־ כל תת־אלגברה טורוסית tהיא אבלית.
הוכחה ־ האיברים ) ad (xעבור x ∈ tניתנים ללכסון.
צריך להראות כי ל־) ad (xאין ו"ע ב־ tעם ע"ע שאינם .0
יהי yו"ע כך ש־ ,[x, y] = ayאזי ad (y) x = −ayהוא וקטור עצמי לע"ע 0של ) ,ad (yדבר בלתי אפשרי
אלא אם כן .ay = 0
3
משפט מרכזי ־ h < gכאשר gהיא פ"ל ,היא אלגברת קרטן אמ"מ hאלגברה טורוסית מקסימלית.
נכתוב ) ,g = Cg (h) ⊕ gα (hכאשר } α ,Cg (h) = {x ∈ g | [h, x] = 0 ∀h ∈ hרץ על פונקציות לינאריות
לא אפס על hוכן }.gα (h) = {x ∈ g | [h, x] = α (h) x ∀h ∈ h
תכונות:
• [gα , gβ ] ⊂ gα+β
• ) ad (xהוא נילפוטנטי אם x ∈ gαעבור .α 6= 0
• אם α + β 6= 0אזי k (x, y) = 0לכל .x ∈ gα , y ∈ gβ
מתכונה 3נובע כי הצמצום של תבנית קילינג kעל g0 × g0היא לא מנוונת.
נסמן ).g0 = Cg (h
טענה מרכזית ־ h = g0אם hהיא אלגברה טורוסית מקסימלית.
צעד 1־ אם x ∈ g0אזי ,xss , xn ∈ g0מאחר ש־ x ∈ g0אומר ש־ ad (x) h = 0לכל ,h ∈ hולכן גם החלק
הפ"ל וגם החלק הנילפוטנטי הם אפס.
צעד 2־ אם x ∈ g0וגם xפ"ל ,אזי .x ∈ h
מאחר שאז xh = hxמהתחלפות של דברים אלכסוניים ,כלומר xמתחלף עם hלכל ,h ∈ hומהמקסימליות
של ,hנקבל כי .x ∈ h
צעד 3־ הצמצום של תבנית קילינג kעל h × hלא מנוון.
נניח כי k (h, x) = 0לכל ,x ∈ hבפרט זה אומר ש־ k (h, x) = 0לכל .x ∈ g0
יהי n ∈ g0איבר נילפוטנטי .מאחר ש־ ,hn = nhנקבל כי ) ad (h) ad (nנילפוטנטי ,אבל לכן עם עקבה אפס.
ולכן מהגדרת תבנית קילינג k (h, n) = 0 ,ולכן k (h, x) = 0לכל ,x ∈ g0ולכן .h = 0
צעד 4־ g0היא אלגברה נילפוטנטית.
כל איבר פ"ל של g0מתחלף עם כל g0מאחר שאז הוא ב־ ,hמצעד ,2ומאחר שהוא נילפוטנטי ,הוא ad־
נילפוטנטי גם כן על .g0
כעת ע"י פירוק זורדן ־ ,x = xss + xnנקבל פירוק של x ∈ g0לאיברים ad־נילפוטנטיים ,ולכן כל g0היא
מורכבת מאיברים ad־נילפוטנטיים ,ממשפט אנגל g0 ,היא נילפוטנטית.
צעד 5־ .h ∩ [g0 , g0 ] = 0
אם h ∈ h, x, y ∈ g0אז .k (h, [x, y]) = k ([h, x] , y) = k (0, y) = 0
צעד 6־ g0היא אבלית.
נניח בשלילה כי .[g0 , g0 ] 6= 0מאחר ש־ g0נילפוטנטית מצעד ,4יש לה מרכז לא טריוויאלי המוכל בנגזרת.
יהי ] z ∈ [g0 , g0במרכז ,לא אפס z .איננו פ"ל ,אחרת הוא היה ב־ ,hאבל מצעד 5זה בלתי אפשרי.
ולכן ,zn 6= 0כמובן שגם znחייב להיות במרכז ,כי החלק הפ"ל בהכרח במרכז.
אבל אז ) ad (x) ad (znהוא נילפוטנטי לכל ,x ∈ g0כי [x, zn ] = 0כי znבמרכז ,ואז ,k (zn , g0 ) = 0
בסתירה.
סיום הוכחת הטענה המרכזית ־
אם ,h 6= g0יהיה n ∈ g0נילפוטנטי המתחלף עם כל איברי ,g0ולכן ,k (n, g0 ) = 0בסתירה.
הוכחת המשפט ־ הטענה המרכזית הראתה שכל אלגברה טורוסית מקסימלית היא קרטן.
לכיוון השני ,אם hהיא קרטן ,נניח כי ,x = xss + xn ∈ g0נקבל כי )) g0 (ad (xs )) ⊂ g0 (ad (xמאחר ש־ xn
הוא ad־נילפוטנטי המתחלף עם ).ad (x
אם נבחר x ∈ hמינימלי כך ש־))] h = g0 (ad (xקיים מטענה מחלק , [3אז אפשר להניח כי ,x = xssואז
)) .h = g0 (ad (xs
אבל )) g0 (ad (xsמכילה אלגברה טורוסית מקסימלית המכילה את ,xsמההגדרה ,שהיא בעצמה אלגברת
קרטן המוכלת ב־.h
4
ממקסימליות נקבל ש־ hשווה לאלגברה הטורוסית המקסימלית המכילה את .xs
6
מערכות שורשים
יהי φפונקציונאל לינארי על ,hבעזרת תבנית קילינג kנגדיר ) φ (h) = k (tφ , hעבור .tφ ∈ h
הקבוצה של ? α 6= 0 ,α ∈ hכך ש־ gα 6= 0נקראת קבוצת השורשים ,ומסומנת .Φ
תכונות:
Φ .1פורשת את ? ,hאחרת קיים h 6= 0כך ש־ α (h) = 0לכל ) a ∈ Φהאן־בנך( ,ולכן [h, gα ] = 0לכל
,αולכן ,[h, g] = 0בסתירה.
α ∈ Φ .2גורר ש־ ,−α ∈ Φאחרת נקבל כי [h, x] = −α (h) xגורר ש־ ,x = 0אבל ניתן כמובן לכתוב
את המשוואה בתור ,[h, −x] = α (h) xוגם ,[h, x] = α (h) xולכן נקבל ] ,[h, x] = [h, −xכלומר
.[h, 2x] = 0
.3אם x ∈ gα , y ∈ g−αכאשר αשורש ,אז .[x, y] = k (x, y) tα
[gα , g−α ] .4היא חד־מימדית ,עם בסיס .tα
?α (tα ) = k (tα , tα ) 6= 0 .5
הגדרה ־ אם נבחר eα ∈ gα , fα ∈ g−αונגדיר = k (eα , f−α ) tα
2
k(tα ,tα ) tα
= ,hαנאמר שזאת ),sl2 (α
וזוהי תת־אלגברה האיזומורפית ל־ .sl2
צריך להראות שאכן gαהיא חד־מימדית ,בשביל להצדיק את ההגדרה.
L
= .kכל מחובר הוא חד מימדי ,וכמובן ) sl2 (αפועלת עליו
נניח β ∈ φוכן ,β 6= ±αנגדיר gβ+jα
)דרך רייזינג ולוארינג(.
כמובן ש־) β + iα 6= 0כי השורשים הם בת"ל(.
כעת אם נפעיל את β + iαעל
2
k(tα ,tα ) tα
= hαנקבל בעצם = β (hα ) + 2i
) i k(tα2,tα ) α (tα
.β (hα ) +
ולכן כל המשקלים שונים בכפולות של ,ולכן זה אי־פריק )אין שניים באותו משקל(.
יהי qשלם מקסימלי כך ש־ ,β + qα ∈ φו־ rיהיה מקסימלי כך ש־.β − rα ∈ φ
אז נקבל בעצם שיש לנו שרשרת של שורשים
β − rα, β − (r − 1) α, . . . , β + qα
וגם ) ,β (hα ) − 2r = − (β (hα ) + 2qכלומר ,β (hα ) = r − q ∈ Zומספרים אלה נקראים מספרי קרטן.
ומקבלים נוסחא = r − q ∈ Z
)(β,α
)(α,α
= ) ,β (hαכאשר ) (γ, δעבור γ, δשורשים מוגדר ע"י ) .k (tγ , tδ
נניח כי αiשורשים שמהווים בסיס של
∗.h
אז מתברר כי שורשים אחרים מהווים קומבינציות רציונאליות של .αi
יהי Eהמרחב הממשי הנפרש ע"י ,αiאזי ) (,מהווה מכפלה פנימית על .E
לכל שורש αמגדירים את השיקוף דרך המישור הניצב ל־ αלהיות
)2(β,α
(α,α) α
.sα (β) = β −
החבורה הנוצרת ע"י hsα iנקראת חבורת וייל ) ,(Weylהיא נקבעת לכל אלגברה פ"ל בהינתן בחירת
אלגברת קרטן.
מגדירים
)2(β,α
)(α,α
= ,hβ, αiכלומר hβ, αi = β (hα ) ∈ Zוגם .sα (β) = β − hβ, αi α
5
7
בסיסים
∆ ⊂ φהוא בסיס אם הוא פורש את Eוגם כל βניתן לכתיבה ע"י איברי Eכקומבינציה של שורשים כך
שהמקדמים כולם אי־שליליים או אי־חיוביים.
בהתאמה ,השורשים נקראים חיוביים או שליליים.
P
נגדיר ht (β) = α kαכאשר kαהם המקדמים.
נקבל כי כל שני איברים בבסיס מקיימים .(α, β) ≤ 0
בניית בסיס ־ נבחר γ ∈ Eכך ש־ (γ, β) 6= 0לכל ) β ∈ φאיבר כזה נקרא רגולרי( ,ומכאן מחלקים את
השורשים לפי הסימן של המ"פ.
שורש נקרא אי־פריק אם אי אפשר לכתוב אותו כסכום של שורשים חיוביים.
נסמן ) ∆ (γלהיות האיברים האי־פריקים של השורשים החיוביים ביחס ל־,γ
).φ+ (γ
משפט ־ ) ∆ (γהוא בסיס ,וכל בסיס הוא מהצורה הזו.
8
תאי וייל
נגדיר Pβלהיות המרחב הניצב ל־.β
נגדיר את רכיבי הקשירות של E − ∪β Pβלהיות תאי וייל .הם מורכבים מאיברים רגולריים )לא ניצבים
לאף אחד מוקטורי הבסיס( ,ובעלי אותו פירוק של שורשים חיוביים )כי החיוביות תלויה בכיוון ביחס למישור
הניצב(.
ולכן תאי וייל מתאימים לבסיסים ,וחבורת וייל פועלת על התאים ע"י פרמוטציות.
נקבע ∆ בסיס כלשהו.
משפט ־ חבורת וייל נוצרת ע"י איברי sαעבור αבסיס ∆.
משפט ־ חבורת וייל פועלת חופשית וטרנזיטיבית על תאי וייל.
טרנזיטיביות די ברורה .המפתח לחופשיות נובע מכתיבה מאורך מינימלי של מכפלות של האיברים sα
עבור αמהבסיס.
9
צמידות אלגבראות בורל
נגדיר אלגברת בורל סטנדרטית )ביחס לאלגברת קרטן hובסיס של שורשים (∆ ,להיות
gβ
M
⊕ b (∆) = h
)∆( β∈φ+
מכאן יש את החלק הנילפוטנטי,
L
β∈φ+ (∆) gβ
= )∆( .n+
ע"י הצמדות מחבורת וייל ,מקבלים שכל האלגבראות בורל הסטנדרטיות ביחס לאותה hומערכת השורשים,
הן צמודות.
כעת אם xמנרמל אלגברת בורל bאז מקבלים כי ,[b + Cx, b + Cx] ⊂ bולכן b + Cxאלגברה המכילה
את ,bומצד שני היא פתירה )כי הקומוטטור בתוך ,bו־ bעצמה פתירה(.
מאחר ש־ Ng (b) = bממקסימליות ,נקבל כי b = b + Cxלכל xהמנרמל את .b
מכאן אם xב־ ,bאז גם xs , xnב־.b
כעת נקבע b, b0אלגבראות בורל.
נעשה אינדוקציה על המימד של ,b ∩ b0כי אם ,dim b ∩ b0 = dim bממקסימליות נקבל .b0 = b
נניח ש־.b ∩ b0 6= 0
יהי Vמ"ו אוקלידי ,עם מ"פ סטנדרטית ) .(,
6
נאמר ש־ φהיא מערכת שורשים אם:
span {φ} = V .1
.2אם ,α ∈ φאז הכפולות היחידות של αהשייכות ל־ φהם ) .±αתנאי צמצום(
)(α,β
) ,β − 2 (α,αזה בעצם שיקוף של βתחת המישור המאונך ל־.α
.3לכל α, β ∈ φנקבל ש־ α ∈ φ
)(α,β
.4נגדיר אופרטור הטלה של βעל הקו דרך αבתור
) ,hβ, αi = 2 (α,αאזי .hβ, αi ∈ Z
קריסטלוגרפיה(
7
)תנאי
© Copyright 2024