‫מופשטת ‪ 2‬תשע"ד‪ -‬תרגיל ‪1‬‬ ‫תרגיל ‪1‬‬ ‫יהי ‪ R‬חוג עם יחידה ויהי ‪ S‬תת חוג של ‪ R‬המכיל את היחידה של ‪ .R‬הוכח שאם 𝑆 ∈ 𝑢 הוא הפיך ב‪S‬‬ ‫אז הוא הפיך ב‪ .R‬הראה שההפך אינו נכון‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫תרגיל ‪2‬‬ ‫הוכח שחיתוך כלשהו של תתי חוגים הוא תת חוג‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫תרגיל ‪3‬‬ ‫הוכח שהמרכַז של חוג הוא תת חוג המכיל את היחידה‪ .‬הוכח שהמרכז שלחוג עם חילוק הוא שדה‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫תרגיל ‪4‬‬ ‫פתרון‬ ‫א) קל‪ .‬צריך להוכיח סגירות להפרש ולכפל‪.‬‬ ‫ב) נניח ש‪ .xCR(B) -‬אז לכל ‪ bB‬מתקיים ‪ .xb=bx‬מכיוון ש‪ A-‬מוכלת ב‪ ,B-‬אז בפרט לכל ‪aA‬‬ ‫מתקיים ‪ xa=ax‬ולכן )‪.xCR(A‬‬ ‫תרגיל ‪5‬‬ ‫נגדיר את המרכֵז של איבר ‪ .C(a) = { r ∈ R |𝑟𝑎 = 𝑎𝑟} :‬הוכח שהוא תת חוג המכיל את 𝑎‪ .‬הוכח‬ ‫שהמרכַז של החוג )𝑅(𝑍 הוא החיתוך של כל )𝑎(𝐶 מעל כל 𝑅 ∈ 𝑎‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫תרגיל ‪6‬‬ ‫פתרון‬ ‫א‪ .‬נוכיח )∙‪ (𝐴, +,‬הוא חוג‪:‬‬ ‫ראשית נראה כי )‪ (𝐴, +‬הוא חבורה אבלית‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫אסוציאטיביות‪:‬‬ ‫עפ"י ידע ממתמטיקה דיסקרטית‪(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = (𝑎∆𝑏)∆𝑐 = 𝑎∆(𝑏∆𝑐) = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) :‬‬ ‫‪‬‬ ‫נייטרלי‪:‬הקבוצה הריקה‪ ∅-‬היא האיבר הנייטרלי‪:‬‬ ‫𝑎 = ∅‪∅+𝑎 =𝑎+∅ = 𝑎∪∅−𝑎∩∅ = 𝑎−‬‬ ‫‪‬‬ ‫נגדי‪ :‬הנגדי ל‪ a-‬הוא ‪.𝑎 + 𝑎 = 𝑎 ∪ 𝑎 − 𝑎 ∩ 𝑎 = 𝑎 − 𝑎 = ∅:a‬‬ ‫כעת נראה כי )∙‪ (A,‬מונואיד‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫אסוציאטיביות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫איבר יחידה לכפל‪ :‬הקבוצה ‪A‬‬ ‫𝑐)𝑏𝑎( = 𝑐 ∩ )𝑏 ∩ 𝑎( = )𝑐 ∩ 𝑏( ∩ 𝑎 = )𝑐𝑏(𝑎‬ ‫𝑎 = 𝐴 ∩ 𝑎 = 𝐴𝑎 = 𝑎𝐴‬ ‫‪‬‬ ‫חוק הפילוג‪:‬‬ ‫𝑐𝑎 ‪𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ∩ (𝑏∆𝑐) = (𝑎 ∩ 𝑏)∆(𝑎 ∩ 𝑐) = 𝑎𝑏 +‬‬ ‫וכיוון שהפעולה קומוטטיבית (𝑎 ∩ 𝑏 = 𝑏 ∩ 𝑎 = 𝑏𝑎 )‬ ‫מתקיים גם כי 𝑎𝑐 ‪.(𝑏 + 𝑐)𝑎 = 𝑏𝑎 +‬‬ ‫⟸‬ ‫לכן )∙‪ (𝐴, +,‬חוג‪.‬‬ ‫ב‪ .‬יהי 𝐴 ∈ 𝑎‪.‬‬ ‫𝑎= 𝑎∩𝑎= 𝑎∙𝑎‬ ‫∅ = 𝑎 ‪𝑎 + 𝑎 = 𝑎∆𝑎 = 𝑎 ∪ 𝑎 − 𝑎 ∩ 𝑎 = 𝑎 −‬‬ ‫‪.‬‬ ‫תרגיל ‪7‬‬ ‫פתרון‬ ‫‪a+b = (a+b)2 = a2+ab+ba+b2 = a+ab+ba+b‬‬ ‫ולכן ‪ . ab = -ba‬אבל ‪ -1 = (-1)2 = 1‬ולכן ‪.ab = (-1)ba = ba‬‬ ‫תרגיל ‪8‬‬ ‫אומרים שאיבר 𝑅 ∈ 𝑥 הוא נילפוטנטי אם ‪ 𝑥 𝑚 = 0‬לאיזשהו ‪( 𝑚 ∈ ℤ+‬שים לב שאיבר כזה היא‬ ‫בפרט מחלק אפס)‪ .‬נניח ‪ R‬חוג קומוטטיבי וש‪ 𝑥 ∈ 𝑅 -‬נילפוטנט‪ .‬הוכח‪:‬‬ ‫א‪ 𝑟𝑥 .‬הוא נילפוטנט לכל 𝑅 ∈ 𝑟‪.‬‬ ‫ב‪ 1 + 𝑥 .‬הוא הפיך‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הסק שסכום של איבר נילפוטנטי עם איבר הפיך הוא הפיך‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫נניח ‪.𝑥 𝑚 = 0‬‬ ‫א‪ (𝑟𝑥)𝑚 = 𝑟𝑥𝑟𝑥 ⋯ 𝑟𝑥 = 𝑟 𝑚 𝑥 𝑚 = 0 .‬ולכן 𝑥𝑟 הוא נילפוטנטי‪.‬‬ ‫ב‪ .‬קל לראות ש‬ ‫‪(1 + 𝑥)(1 − 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 3 + ⋯ + (−1)𝑚−1 𝑥 𝑚−1 ) = 1 + (−1)𝑚−1 𝑥 𝑚 = 1‬‬ ‫ג‪ .‬אם 𝑢 הפיך ו‪ 𝑥 -‬נילפוטנטי אזי‪:‬‬ ‫)𝑥 ‪𝑢 + 𝑥 = 𝑢(1 + 𝑢−1‬‬ ‫אבל 𝑥 ‪ 𝑢−1‬הוא נילפוטנטי לפי סעיף א‪ .‬ואז 𝑥 ‪ 1 + 𝑢−1‬הפיך לפי סעיף ב‪ .‬ומכפלה של הפיכים‬ ‫היא הפיכה (תוכיחו)‪.‬‬ ‫תרגיל ‪9‬‬ ‫יהיו ‪ R, S‬חוגים‪ .‬הוכח ש 𝑆 × 𝑅 הוא חוג עם חיבור וכפל רכיב‪-‬רכיב‪ .‬הוכח ש𝑆 × 𝑅 קומוטטיבי אם"ם‬ ‫‪ R, S‬שניהם קומוטטיבים‪ .‬הוכח של 𝑆 × 𝑅 יש יחידה אם"ם ל‪ R, S‬יש יחידה‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫תוכיחו שזה חוג‪ ,‬זה קל‪.‬‬ ‫אם 𝑆 × 𝑅 קומוטטיבי אז לכל 𝑅 ∈ ‪ 𝑟1 , 𝑟2‬ולכל 𝑆 ∈ ‪ 𝑠1 , 𝑠2‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪(𝑟1 𝑟2 , 𝑠1 𝑠2 ) = (𝑟1 , 𝑠1 )(𝑟2 , 𝑠2 ) = (𝑟2 , 𝑠2 )(𝑟1 , 𝑠2 ) = (𝑟2 𝑟1 , 𝑠2 𝑠1‬‬ ‫נשווה רכיבים ונקבל ‪ 𝑟1 𝑟2 = 𝑟2 𝑟1 , 𝑠1 𝑠2 = 𝑠2 𝑠1‬כלומר ש‪ R, S‬קומוטטיביים‪.‬‬ ‫בכיוון ההפוך‪ :‬אם ‪ R, S‬קומוטטיבים אז‬ ‫) ‪(𝑟1 , 𝑠1 )(𝑟2 , 𝑠2 ) = (𝑟1 𝑟2 , 𝑠1 𝑠2 ) = (𝑟2 𝑟1 , 𝑠2 𝑠1 ) = (𝑟2 , 𝑠2 )(𝑟1 , 𝑠2‬‬ ‫כלומר שהמכפלה היא קומוטטיבית‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫לגבי החלק השני‪ ,‬מתקיים ש‪( (1𝑅 , 1𝑆 ) = 1𝑅×𝑆 -‬תבדקו)‪.‬‬ ‫תרגיל ‪11‬‬ ‫פתרון‬ ‫יהי )𝑥(𝑓 פולינום כלשהו (לא קבוע) ב‪ .ℤp𝑛 [𝑥]-‬נסתכל על )𝑥(𝑓𝑝 ‪ .1 −‬אזי‬ ‫𝑛‬ ‫‪2‬‬ ‫⋯ ‪= 1 + 𝑝𝑓(𝑥) + (𝑝𝑓(𝑥)) + ⋯ + (𝑝𝑓(𝑥)) +‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫))𝑥(𝑓𝑝 ‪(1 −‬‬ ‫אבל מכיוון ש‪𝑝𝑛 = 0 -‬בחוג זה‪ ,‬נקבל שהביטוי הנ"ל (שהוא ההופכי של )‪ – 1- pf(x‬בדקו זאת!) הוא‬ ‫אכן פולינום‪.‬‬ ‫מכיוון שיש אינסוף פולינומים ב‪ , ℤp𝑛 [𝑥] -‬הוכחנו את הטענה‪.‬‬