1. No category

.
.
면적분의 정의
.
.
.
Definition. 곡면 S 위에서 삼변수 함수 f 의면적분 (surface integral)
ZZ
f(x, y, z) dS =
S
lim
max{∆ui ,∆vj }→0
X
f(P∗ij )∆Sij
i,j
1
.
.
면적분의 계산
.
.
.
곡면 S 의 매개 방정식이 다음과 같이 주어졌다고 하자.
r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k,
(u, v) ∈ D
그러면 조각 Sij 는 평행 사변형으로 근사할 수 있으므로
∆Sij ≈ |ru (ui , vj ) × rv (ui , vj )|∆ui ∆vj
이고, 면적분을 다음과 같이 매개 변수의 정의역 D 에서의 이중 적분으로
나타낼 수 있다.
ZZ
S
f(x, y, z) dS =
ZZ
f(r(u, v)) |ru × rv | dA
D
2
.
.
면적분의 계산
.
.
.
곡면 S 위에서 삼변수 함수 f 의 면적분은 다음과 같이 계산한다 :
(1) S 의 매개 방정식을 구한다.
r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k,
(u, v) ∈ D
(2) 면적분을 매개 변수 u, v 에 관한 이중 적분으로 바꾸어 계산한다.
ZZ
f(x, y, z) dS =
S
ZZ
f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) |ru × rv | dudv
D
3
.
.
면적분의 계산
.
.
.
Example. 곡면 S 가 방정식 z = g(x, y) (단, (x, y) ∈ D) 로 나타내어질 때
S 위에서 f 의 면적분은 다음과 같다.
ZZ
f(x, y, z) dS =
ZZ
S
D
q
f(x, y, g(x, y)) 1 + g2x + g2y dxdy
Note. 곡면 S 가 경계에서만 만나는 유한 개의 매끄러운 곡면 S1 , S2 , · · · , Sn 의
합집합일 때 S 위에서 f 의 면적분은 다음과 같이 정의한다.
ZZ
S
f(x, y, z) dS =
ZZ
f(x, y, z) dS + · · · +
S1
ZZ
f(x, y, z) dS
Sn
4
.
.
면적분의 계산
.
.
.
Example. 다음 면적분을 계산하여라.
(1) S 가 구면 x2 + y2 + z2 = 4 의 윗 부분일 때
ZZ
z dS
S
(2) S 가 평면 z = y + 2 중에서 원기둥 x2 + y2 = 1 의 내부에 놓여 있는
ZZ
부분일 때
(x2 + z2 ) dS
S
(3) S 가 세 꼭지점이 (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2) 인 삼각형일 때
ZZ
xy dS
S
5
.
.
면적분의 계산
.
.
.
(4) S 가 정육면체 [0, 1]3 의 표면일 때
ZZ
xyz dS
S
(5) S 가 원기둥 x2 + y2 = 1 과 두 평면 z = 0, z = 1 + x 에 의해 둘러싸인
ZZ
영역의 경계면일 때
z dS
S
6
.
.
면적분의 계산
.
.
.
(6) S 가 매개 방정식이 다음과 같이 주어진 곡면일 때
ZZ
S
2
2
x=u +v ,
y=u −v ,
2
2
(7) S 가 구면 x2 + y2 + z2 = 1 일 때
z = 2uv
ZZ
S
z
dS
x
(1 ≤ u ≤ 3, 1 ≤ v ≤ 4)
1
p
dS
x2 + y2 + (z − 2)2
7
.
.
유향 곡면
.
.
.
벡터장의 면적분을 정의하기 위해서는 곡면의 방향을 정할 필요가 있다.
Definition. 곡면 S 위에서 연속적으로 변하는 단위 법선 벡터 n 이 존재할 때
S 를 가향 곡면이라고 한다.
단위 법선 벡터 n 을 이용하여 가향 곡면에 양의 방향과 음의 방향을 부여할 수
있는데, 방향이 부여된 곡면을 유향 곡면이라고 한다.
8
.
.
유향 곡면
.
.
.
가향 곡면 S 가 매개 방정식 r = r(u, v) 로 정의되면 단위 법선 벡터는
n=
ru × rv
|ru × rv |
(단, ru × rv 6= 0)
으로 주어진다. 단, 관례적으로 다음과 같이 정한다.
(1) S 가 z = g(x, y) 로 정의되면 곡면의 위쪽 방향이 양의 방향이다.
−gx i − gy j + k
n= q
g2x + g2y + 1
(2) S 가 입체 영역 E 의 경계면이면 E 의 바깥을 향하는 방향이 양의 방향이다.
9
.
.
유향 곡면
.
.
.
10
.
.
벡터장의 면적분
.
.
.
Definition. 단위 법선 벡터가 n 인 유향 곡면 S 위에서 정의된 연속인 벡터장
F = F(x, y, z) 에 대하여 S 위에서 F 의 면적분은 다음과 같이 정의된다.
ZZ
F · dS =
S
ZZ
F · n dS
S
이 적분을 S 를 통한 F 의 흐름량 (flux) (또는 유량 또는 유동) 이라고도 한다.
11
.
.
벡터장의 면적분
.
.
.
유향 곡면 S 가 매개 방정식 r = r(u, v) 로 정의되고 단위 법선 벡터가
n=
ru × rv
|rv × rv |
으로 주어지면 다음이 성립한다. (D 는 매개 변수의 정의역이다.)
ZZ
S
F · dS =
ZZ
D
F(r(u, v)) ·
ru × rv
dS =
|ru × rv |
ZZ
F(r(u, v)) · (ru × rv ) dA
D
단, 관례적으로 n 의 방향이 정해져 있으면 이를 따라야 한다.
12
.
.
벡터장의 면적분
.
.
.
Example. 다음 면적분을 계산하여라.
(1) S 의 매개 방정식이 다음과 같고 F = xi + yj + (z − 2y)k 일 때
ZZ
F · dS
S
x = u cos v,
y = u sin v,
z=v
(0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π)
(2) S 가 구면 x2 + y2 + z2 = 1 이고 F = 3xy2 i + 3x2 yj + z3 k 일 때
ZZ
F · dS
S
(3) S 가 정육면체 [0, 1]3 의 경계면이고 F = xi + yj + zk 일 때
ZZ
F · dS
S
13
.
.
벡터장의 면적분
.
.
.
(4) S 가 포물면 z = 1 − x2 − y2 과 평면 z = 0 에 의해 둘러싸인 영역의
ZZ
경계면이고 F = yi + xj + zk 일 때
F · dS
S
(5) S 가 원기둥 x2 + y2 = 1 과 평면 z = x + 2, z = y − 2 에 의해 둘러싸인
ZZ
영역의 경계면이고 F = x4 i − x3 z2 j + 4xy2 zk 일 때
F · dS
S
14