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공간 상의 곡면
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공간 상의 곡면을 나타내는 방법은 크게 세 가지가 있다 :
(1) 함수의 그래프 :
z = f(x, y)
(2) 음함수로 정의 :
F(x, y, z) = c
(3) 매개 방정식 :
r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k
또는
x = x(u, v),
y = y(u, v),
z = z(u, v)
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공간 상의 곡면
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Example. 함수의 그래프
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공간 상의 곡면
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Example. 원뿔의 표면
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공간 상의 곡면
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Example. 구의 표면
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공간 상의 곡면
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Example. 원기둥의 표면
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공간 상의 곡면
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Example. 함수 y = f(x) 를 x 축 중심으로 회전하여 생성한 회전체의 표면
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그리드 곡선
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그리드 곡선
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곡면의 법선 벡터
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매개 곡면 S 의 매개 방정식이 다음과 같이 주어졌다고 하자.
r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k
그러면 v = v0 를 고정한 그리드 곡선 C1 : u → r(u, v0 ) 에 대한 접선벡터는
ru (u, v0 ) =
∂x
∂y
∂z
(u, v0 )i +
(u, v0 )j +
(u, v0 )k
∂u
∂u
∂u
이고, u = u0 를 고정한 그리드 곡선 C2 : v → r(u0 , v) 에 대한 접선벡터는
rv (u0 , v) =
∂y
∂z
∂x
(u0 , v)i +
(u0 , v)j +
(u0 , v)k
∂u
∂u
∂u
이다.
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곡면의 법선 벡터
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곡면의 법선 벡터
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따라서, (u0 , v0 ) 에 대응하는 S 위의 점 P0 (x0 , y0 , z0 ) 에서 벡터
n = ru (u0 , v0 ) × rv (u0 , v0 )
는 S 의 법선 벡터가 되고, 접평면의 방정식은 다음과 같이 주어진다.
n · (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = 0
Example. 매개 방정식이 x = u2 , y = v2 , z = u + 2v 인 곡면에 대한 점
(1, 1, 3) 에서의 접평면을 구하여라.
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곡면의 넓이
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매개 곡면의 넓이은 곡면을 작은 조각 (patch) 들로 분할하여 그 넓이들의 합의
극한으로 정의한다.
A(S) =
lim
max{∆ui ,∆vj }→0
X
A(Sij )
i,j
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곡면의 넓이
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곡면 S 의 매개 방정식이 다음과 같이 주어졌다고 하자.
r = r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k
(u, v ∈ D)
그러면 부분 직사각형 Rij = [ui , ui +∆ui ] × [vj , vj +∆vj ] 에 대응하는 조각 Sij 는
벡터 ∆ui ru (ui , vj ) 와 ∆vj rv (ui , vj ) 로 결정되는 평행 사변형으로 근사할 수 있다.
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곡면의 넓이
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따라서
A(S) =
lim
max{∆ui ,∆vj }→0
X
|ru (ui , vj ) × rv (ui , vj )|∆ui ∆vj
i,j
로 나타낼 수 있는데, 이는 리만 합의 극한이므로 다음과 같이 이중 적분이 된다.
ZZ
A(S) =
|ru × rv | dA
D
단, (u, v) 가 매개 변수의 정의역 D 전체에서 변할 때 S 가 단 한 번 그려지며,
ru 와 rv 는 다음과 같다.
ru =
∂x
∂y
∂z
i+
j+
k,
∂u
∂u
∂u
rv =
∂x
∂y
∂z
i+
j+
k
∂v
∂v
∂v
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곡면의 넓이
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Example. 방정식이 z = f(x, y) (단, (x, y) ∈ D) 인 곡면의 넓이
A=
ZZ
s
1+
D
„
∂z
∂x
«2
+
„
∂z
∂y
«2
dA
Example. 곡선 y = f(x) (a ≤ x ≤ b) 를 x 축을 중심으로 회전시켜 얻은
회전면의 넓이
A = 2π
Z
b
|f(x)|
p
1 + (f 0 (x))2 dx
a
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곡면의 넓이
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Example. 다음 곡면의 넓이을 구하여라.
(1) 반지름이 a 인 구면
(2) 포물면 z = x2 + y2 중에서 평면 z = 2 아래 놓여 있는 부분
(3) 평면 3x − 3y + z = 12 중에서 원기둥 x2 + y2 = 1 안에 놓여 있는 부분
(4) 원뿔면 z =
p
x2 + y2 중에서 두 원기둥 x2 + y2 = 4 과 x2 + y2 = 9 사이에
놓여 있는 부분
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