1. No category

.
.
Green의 정리
.
.
.
Theorem. D 가 평면 영역이고 그 경계 곡선 ∂D 가 단순 닫힌 곡선이라고 하자.
또한 벡터장 F = Pi + Qj 가 D 를 포함하는 열린 영역에서 연속인 편도함수들을
갖는다고 하자. 그러면 다음 등식이 성립한다.
I
F · n ds =
∂D
ZZ
∇ · F(x, y) dxdy
D
1
.
.
발산 정리
.
.
.
Theorem. E ⊂ R3 가 단순 입체 영역이고 ∂E 가 E 의 경계 곡면이라고 하자.
또한 벡터장 F 가 E 를 포함하는 열린 영역에서 연속인 편도함수들을 갖는다고
하자. 그러면 다음 등식이 성립한다.
I
F · dS =
∂E
ZZZ
∇ · F dV
E
2
.
.
발산 정리
.
.
.
Example. 다음 면적분을 계산하여라.
(1) F = xi + yj + zk 이고 S 가 구면 x2 + y2 + z2 = 1 일 때
ZZ
F · dS
S
(2) F = xy2 i + x2 yj + (z + xy)k 이고 S 가 원기둥 x2 + y2 = 1 과 평면 z = ±1
ZZ
에 의해 둘러싸인 영역의 경계면일 때
F · dS
S
(3) F = xzi + x2 yj + yzk 이고 S 가 정육면체 [−1, 1]3 의 경계면일 때
ZZ
F · dS
S
3
.
.
발산 정리
.
.
.
(4) F = y2 i + x2 j + z2 k 이고 S 가 포물면 z = x2 + y2 과 평면 z = 1 에 의해
ZZ
둘러싸인 영역의 경계면일 때
F · dS
S
(5) F = (x + 3y5 )i + (y + 10xz)j + (z − xy)k 이고 S 가 구면 x2 + y2 + z2 = 1
ZZ
의 위쪽 반일 때
F · dS
S
(6) F = x cos2 zi + y sin2 zj + z2 k 이고 S 가 원뿔면 z =
ZZ
일때
F · dS
p
x2 + y2 (0 ≤ z ≤ 1)
S
4
.
.
발산 정리
.
.
.
다음 그림과 같이 두 개의 닫힌 곡면 S1 과 S2 사이에 놓여 있는 입체 영역 E 에
대해서도 발산 정리를 적용할 수 있다.
ZZZ
∇ · F dV =
E
I
(∂E = S1 ∪ S2 )
F · dS = −
∂E
ZZ
F · dS +
S1
ZZ
F · dS
S2
5
.
.
발산 정리
.
.
.
Example. 진공에서 전하 Q 에 의한 전기장은 E =
Q
x
이다.
4πε0 |x|3
(1) 모든 x 6= 0 에 대하여 ∇ · E = 0 임을 보여라.
(2) 원점을 포함하는 임의의 닫힌 곡면 S 를 통한 E 의 전기 흐름량이
ZZ
Q
E · dS =
ε0
S
임을 보여라.
(Hint. S1 을 반지름이 a 이고 중심이 원점인 작은 구면으로, S2 = S 로
놓고 발산 정리를 적용한다.)
6
.
.
발산 정리
.
.
.
곡면 S 위에서 벡터장 F 의 면적분은 S 를 통한 F 의 흐름량을 나타낸다.
중심이 점 P0 이고 반지름이 a > 0 인 공을 Ba 라고 할 때 ∇ · F 가 연속이면
Ba 의 모든 점 P 에 대하여 ∇ · F(P) ≈ ∇ · F(P0 ) 이고 경계 구면 Sa 위에서
흐름량은 다음과 같이 근사된다.
ZZ
ZZZ
F · dS =
∇ · F dV ≈ ∇ · F(P0 )V(Ba )
Sa
a
이 근사값은 a → 0 일 때 더 정확해지므로 다음을 얻는다.
ZZ
1
∇ · F(P0 ) = lim
F · dS
a→0 V(Ba )
Sa
즉, ∇ · F(P0 ) 는 점 P0 에서 단위 부피당 밖으로의 알짜 흐름률을 나타낸다.
(이것이 바로 발산이라는 이름이 붙은 이유이다.)
7