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곡선의 방정식
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평면 상의 곡선을 나타내는 방법은 크게 세 가지가 있다 :
(1) 함수의 그래프 :
y = f(x)
(2) 음함수로 정의 :
F(x, y) = c
(3) 매개 방정식 :
x = g(y)
또는
x = x(t), y = y(t)
(a ≤ t ≤ b)
공간 상의 곡선은 매개 방정식으로 나타낸다.
x = x(t),
y = y(t),
z = z(t)
(a ≤ t ≤ b)
1
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곡선의 접선 벡터
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매개 방정식으로 정의된 곡선 r = r(t) 의 접선 벡터는 다음과 같다 :
r0 (t) = lim
h→0
r(t + h) − r(t)
h
따라서 r(t) 의 각 성분을 미분한다 :
r(t) = (x(t), y(t))
=⇒
r0 (t) = (x0 (t), y0 (t))
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
=⇒
r0 (t) = (x0 (t), y0 (t), z0 (t))
2
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선적분의 정의
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Deﬁnition. 평면 곡선 C 위에서 이변수 스칼라 함수 f 의 선적분 (line integral)
은 다음 극한으로 정의된다.
Z
f(x, y) ds =
C
lim
max ∆si →0
n
X
f(x∗i , y∗i ) ∆si
i=1
3
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선적분의 기본 성질
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곡선 C 가 유한 개의 곡선 C1 ,C2 , · · · ,Cn 의 합집합으로 Ci+1 의 시작점이 Ci 의
끝점이면 다음 등식이 성립한다.
Z
f ds =
C
Z
f ds +
Z
f ds + · · · +
C2
C1
Z
f ds
Cn
곡선 −C 가 C 와 똑같은 점들로 구성되지만 반대 방향을 갖는 곡선이라고 하면
다음 등식이 성립한다.
Z
f ds =
−C
Z
f ds
C
4
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선적분의 계산
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평면 곡선 C 위에서 f 의 선적분은 다음과 같이 계산한다 :
(1) C 에 대한 매개 방정식을 구한다.
x = x(t),
y = y(t)
(a ≤ t ≤ b)
(2) 선적분을 매개 변수 t 에 관한 정적분을 바꾸어 계산한다.
Z
f(x, y) ds =
C
Z
b
f(x(t), y(t))
p
x0 (t)2 + y0 (t)2 dt
a
5
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선적분의 계산
.
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.
Example. 다음 선적분의 값을 구하여라.
(1) 곡선 x = cos3 t, y = sin3 t (0 ≤ t ≤
(2) C 가 원 x2 + y2 = 4 의 왼쪽 반일 때
π
)를
2
Z
C 라고 할 때
Z
(x + y) ds
C
(x2 y + xy2 ) ds
C
(3) 세 점 (0, 0), (2, 0), (1,
I
할때
(x + xy2 ) ds
√
3) 을 꼭지점으로 갖는 삼각형의 경계를 C 라고
C
6
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선적분의 정의
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Deﬁnition. 곡선 C 위에서 다음과 같은 선적분을 정의할 수 있다.
Z
f(x, y) dx =
C
Z
f(x, y) dy =
C
lim
max ∆xi →0
lim
max ∆yi →0
n
X
f(x∗i , y∗i ) ∆xi
i=1
n
X
f(x∗i , y∗i ) ∆yi
i=1
이를 각각 x 와 y 에 관한 선적분이라고 한다. 이들은 대개 함께 나타나므로
관례적으로 다음과 같이 쓴다.
Z
P(x, y) dx +
C
Z
Q(x, y) dy =
C
Z
P(x, y) dx + Q(x, y) dy
C
7
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선적분의 기본 성질
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곡선 C 가 유한 개의 곡선 C1 ,C2 , · · · ,Cn 의 합집합으로 Ci+1 의 시작점이 Ci 의
끝점이면 다음 등식이 성립한다.
Z
P(x, y) dx + Q(x, y) dy =
C
n Z
X
i=1
P(x, y) dx + Q(x, y) dy
Ci
곡선 −C 가 C 와 똑같은 점들로 구성되지만 반대 방향을 갖는 곡선이라고 하면
다음 등식이 성립한다.
Z
−C
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = −
Z
P(x, y) dx + Q(x, y) dy
C
8
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선적분의 계산
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.
x 와 y 에 관한 선적분은 다음과 같이 계산한다 :
(1) C 에 대한 매개 방정식을 구한다.
x = x(t),
y = y(t)
(a ≤ t ≤ b)
(2) 선적분을 매개 변수 t 에 관한 정적분을 바꾸어 계산한다.
Z
P(x, y) dx + Q(x, y) dy =
C
Z
b
ˆ
˜
P(x(t), y(t))x0 (t) + Q(x(t), y(t))y0 (t) dt
a
9
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선적분의 계산
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Example. 다음 선적분의 값을 구하여라.
(1) 곡선 x = cos 2t, y = sin 2t (0 ≤ t ≤ 2π) 를 C 라고 할 때
Z
C
−y dx + x dy
x2 + y 2
(2) C 가 점 (3, −1) 부터 점 (0, 2) 까지 곡선 x + y2 = 4 의 부분일 때
Z
y2 dx + x dy
C
(3) 세 점 (0, 0), (1, 0), (1, 3) 을 꼭지점으로 갖는 삼각형의 경계를 C 라고
I p
할때
1 + x3 dx + 2xy dy
C
10
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선적분의 정의
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.
.
Deﬁnition. 공간 곡선 C 위에서 삼변수 스칼라 함수 f 의 선적분
Z
f(x, y, z) ds =
C
lim
max ∆si →0
n
X
f(x∗i , y∗i , z∗i ) ∆si
i=1
11
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선적분의 정의
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Deﬁnition. 공간 곡선 C 위에서 x, y, z 에 관한 선적분
Z
f(x, y, z) dx =
C
Z
f(x, y, z) dy =
C
Z
f(x, y, z) dz =
C
lim
max ∆xi →0
lim
max ∆yi →0
lim
max ∆zi →0
n
X
f(x∗i , y∗i , z∗i ) ∆xi
i=1
n
X
f(x∗i , y∗i , z∗i ) ∆yi
i=1
n
X
f(x∗i , y∗i , z∗i ) ∆zi
i=1
이들은 대개 함께 나타나므로 관례적으로 다음과 같이 쓴다.
Z
P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz
C
12
.
.
선적분의 계산
.
.
.
공간 곡선 C 위에서 f 의 선적분은 다음과 같이 계산한다 :
(1) C 에 대한 매개 방정식을 구한다.
x = x(t),
y = y(t),
z = z(t)
(a ≤ t ≤ b)
(2) 선적분을 매개 변수 t 에 관한 정적분을 바꾸어 계산한다.
Z
f(x, y, z) ds =
C
Z
Z
b
f(x(t), y(t), z(t))
p
x0 (t)2 + y0 (t)2 + z0 (t)2 dt
a
P(x, y, z) dx+Q(x, y, z) dy+R(x, y, z) dz =
C
13
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선적분의 계산
.
.
.
Example. 다음 선적분의 값을 구하여라.
(1) C 가 x = cos t, y = sin t, z = t (0 ≤ t ≤ 2π) 로 정의된 원형 나선일 때
Z
x dx + y dy + z dz
C
(2) 세 점 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) 을 꼭지점으로 갖는 삼각형의 경계를
I
C 라고 할 때
(sin πx) dy − (cos πy) dz
C
14
.
.
벡터장의 선적분
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.
.
Deﬁnition. 곡선 C 위에서 벡터장 F 의 선적분은 다음과 같다.
Z
F · T ds =
C
lim
max ∆si →0
n
X
F(x∗i , y∗i , z∗i ) · T(x∗i , y∗i , z∗i ) ∆si
i=1
여기에서 T 는 곡선 C 의 단위 접선 벡터이다.
15
.
.
벡터장의 선적분
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.
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곡선 C 위에서 벡터장 F 의 선적분은 다음과 같이 계산한다 :
(1) C 에 대한 매개 방정식을 구한다.
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
(a ≤ t ≤ b)
(2) 선적분을 매개 변수 t 에 관한 정적분을 바꾸어 계산한다.
Z
F · T ds =
C
Z
b
F(r(t)) · r0 (t) dt
a
16
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.
벡터장의 선적분
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.
.
Note. 벡터장 F = Pi + Qj + Rk 의 선적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Z
F · T ds =
C
Z
P dx + Q dy + R dz =
C
Z
F · dr
C
호의 길이에 관한 적분은 곡선의 방향이 바뀌어도 변하지 않지만 단위 접선
벡터 T 는 −T 로 바뀌므로 다음이 성립한다.
Z
−C
F · dr = −
Z
F · dr
C
17
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벡터장의 선적분
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.
.
Example. 다음 선적분의 값을 구하여라.
(1) C 가 사각형 [0, 1] × [0, 1] 의 경계이고 F(x, y) = (x2 − y2 )i + 2xyj 일 때
I
F · dr
C
(2) C 가 x = cos t, y = sin t, z = t (0 ≤ t ≤ 2π) 로 정의된 원형 나선이고
Z
F(x, y, z) = (y, x, z2 ) 일 때
F · dr
C
18