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Green의 정리
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Theorem. (Green) 곡선 C 가 평면에서 단순 닫힌 곡선이고 C 로 둘러싸인
영역을 D 라고 하자. D 에서 P 와 Q 의 일계 편도함수가 연속이면 다음 등식이
성립한다.
I
P dx + Q dy =
C
ZZ „
D
∂Q
∂P
−
∂x
∂y
«
dA
1
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Green의 정리
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Example. 다음 주어진 선적분을 계산하여라.
(1) C 가 직사각형 [1, 3] × [2, 3] 의 경계일 때
I
(x2 + y2 ) dx − 2xy dy
C
(2) C 가 원 x2 + y2 = 1 일 때
I
4xy3 dx + 6x2 y2 dy
C
(3) C 가 타원 x2 + xy + y2 = 1 일 때
Z
sin y dx + x cos y dy
C
(4) C 가 세 점 (0, 0), (1, 0), (1, 3) 을 꼭지점으로 갖는 삼각형의 경계일 때
Z p
1 + x3 dx + 2xy dy
C
2
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Green의 정리
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Theorem. 평면에서 단순 닫힌 곡선 C 에 의해 둘러싸인 영역 D 의 넓이 A 는
다음과 같다.
A=
I
x dy = −
C
I
y dx =
C
1
2
I
x dy − y dx
C
3
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Green의 정리
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Example. 다음 주어진 영역의 넓이를 계산하여라.
(1) 타원
x2
y2
+ 2 = 1 에 의해 둘러싸인 영역
2
a
b
(단, a, b > 0)
(2) Astroid x2/3 + y2/3 = a2/3 에 의해 둘러싸인 영역
(단, a > 0)
(3) Cycloid x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) (0 ≤ t ≤ 2π) 와 x 축으로
둘러싸인 영역
(4) 반시계 방향으로 나열된 꼭지점이 (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), · · · , (xn , yn ) 인
다각형
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Green의 정리의 증명
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Proof. 영역 D 가 다음과 같이 Type I & II의 단순 영역이라고 하자.
D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)}
= {(x, y) : c ≤ y ≤ d, h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y)}
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Green의 정리
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Theorem. 단순 연결 영역 D ⊂ R2 에서 P 와 Q 가 연속인 일계 편도함수들을
갖고 다음 등식이 성립한다고 하자.
∂P
∂Q
=
∂y
∂x
그러면 D 의 내부에 있는 모든 닫힌 곡선 C 에 대하여
I
P dx + Q dy = 0 이다.
C
Corollary. 위의 정리의 가정이 성립하면 벡터장 F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j
는 보존 벡터장이다.
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Green의 정리
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Theorem. 아래 그림과 같이 영역 D 의 경계 ∂D 가 두 개의 단순 닫힌 곡선
C1 과 C2 로 이루어져 있다고 하자. D 에서 P, Q 의 일계 편도함수가 연속이면
다음 등식이 성립한다.
I
P dx + Q dy =
∂D
ZZ „
D
∂Q
∂P
−
∂x
∂y
«
dA
단, 바깥 곡선 C1 은 반시계 방향으로, 안쪽 곡선 C2 는 시계 방향으로 한 바퀴
돈다.
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Green의 정리
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Example. 원점을 둘러싸는 모든 단순 닫힌 곡선 C 에 대하여 다음을 얻는다.
I
y
x
dx − 2
dy = 2π
2 + y2
x
x
+
y2
C
중심이 원점이고 반지름이 a 인 원 C 0 을 생각한다. 이 때 C 0 이 C 의 안쪽에
완전히 놓이도록 a 를 충분히 작게 선택한다.
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