1. No category

Chapitre 18
I
Matrice et applications linéaires
Bien commencer
Exercices
On note u ∈ L(Rn [X]) l’endomorphisme associée dans la base canonique de
Rn [X].
Exercice 1
On munit R3 d’une base B = (e1 , e2 , e3 ) et
f

 on considère l’endomorphisme
1 −2 −1
2 .
de R3 dont la matrice en base B est A =  2 0
0 1
1
a) Déterminer une base de Ker (f ) et une base de Im (f ). Sont-ce deux souse.v. de E supplémentaires ?
b) Soit u = e1 + e2 − e3 . Montrer que (u, f (e1 ), f (e2 )) est une base de R3 et
donner la matrice de f dans cette base.
c) Montrer que (u, e1 , e2 ) est une base de R3 et donner la matrice de f dans
cette base.
Exercice 4
Soit A ∈ Mn (K) vérifiant Ak = In (où k ∈ N∗ ). On pose
B = In + A + · · · + Ak−1 et on note u et v les endomorphismes de E = Kn
canoniquement associés à A et B.
Exercice 2
On munit R3 d’une base B = (e1 , e2 , e3 ) et
f

 on considère l’endomorphisme
3 −3 6
de R3 dont la matrice en base B est A =  1 −1 2 .
−1 1 −2
Exercice5
a) Déterminer u.
b) En déduire que M est inversible et calculer M −1 . Donner M p pour tout
p ∈ Z.
a) Montrer que Ker v = Im (u − idE ), Im v = Ker (u − idE ) et que les espaces
Ker v et Im v sont supplémentaires dans E.
b) Donner la matrice de v dans une base adaptée. Montrer qu’alors la somme
des coefficients diagonaux de cette matrice est krg (B).
0
Soit A =  3
−2
2
−2
2

−1
0  et u l’endomorphisme de E = R3 associé.
1
a) Déterminer f 2 . En déduire que Im (f ) ⊂ Ker (f ).
a) Montrer que Ker (u − idE ), Ker (u − 2idE ) et Ker (u + 4idE ) sont de
b) Donner rg f et dim (Ker f ) puis déterminer une base du noyau et de
dimension 1 et en donner des bases.
l’image de f .
b) On se donne e1 , e2 et e3 des vecteurs non nuls de chacun des noyaux
c) 
Déterminer une base de R3 dans laquelle la matrice de f est
précédents. Montrer que (e1 , e2 , e3 ) est une base de E.
0 0 0
c) Donner la matrice D de u dans cette base. Justifier qu’il existe
 1 0 0 .
P ∈ GL3 (R) (que l’on explicitera) telle que ∀n ∈ N, An = P Dn P −1 .
0 0 0
Exercice 3
 0
1
...
 0

0

1
 0
...

1
Soit n ∈ N, on considère la matrice M = 
 ..
..
 .
.


0
0
...
n
0
n
1
..
.
n
n

Exercice 6
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et (ϕ1 , . . . , ϕp ) ∈ (E ∗ )p
une famille libre. On se donne B une base de E et on note A ∈ Mp,n (K) la
matrice dont la i-ème ligne est Mat B (ϕi ).





. a) Déterminer le rang de A.


 b) Montrer que Ker A a même dimension que H = Ker ϕ1 ∩ · · · ∩ Ker ϕp .

c) En déduire que dim H = n − p.
1/3
Chapitre 18
II
Matrice et applications linéaires
Exercices
Aller plus loin
Exercice 
10

0 ... ... 0 1
 ..

.
1 0
Exercice 7


.
.. . En considérant l’endomorphisme de Rn
.
Soit (e1 , . . . , en ) une famille génératrice de vecteurs de E, un K-espace de Soit A = 
.
 ..
.
.


dimension p. On note M la matrice de (e1 , . . . , en ) dans une base de B dans

.. 
0 1
E.
.
1 0 ... ... 0
a) Quel est le rang de M ? En déduire que l’échelonnée réduite par lignes de
canoniquement
associé, montrer que A est inversible et calculer Ap pour tout
M à p pivots.
p ∈ Z.
b) On note i1 < · · · < ip les indices des colonnes de pivot de M (lorsqu’on
lui applique l’algorithme de Gauss-Jordan). Montrer que (ei1 , . . . , eip ) est Exercice 11
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n et f ∈ L(E) tel que
une base de E.
f n = 0 et f n−1 6=
 une base B de E dans laquelle la
0. Montrer qu’il existe
Exercice 8
0 1
0 ...0
Soit M ∈ Mn,p (K), E et F des K espaces vectoriels de dimensions respec
.. 
..
0 0
.
.
1
tives p et n, B une base de E, C une base de F et u ∈ L(E, F ) tel que




.
..
..
Mat C,B (u) = M .
matrice de f est  ..
.
.
.
0



.
a) Soit H un supplémentaire de Ker u dans E. Montrer que u induit un
.
. . 1
 ..
isomorphisme de H sur Im u.
0 ... ... ... 0
0
0
b) En déduire qu’il existe une
base B de E etune base C de E telles que
Exercice 12
Ir
0r,p−r
, avec r = rg (u).
Mat C 0 ,B 0 (u) = Jn,p,r =
Soit A =
0n−r,r 0n−r,pr
X(ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (K). On suppose que pour tout i ∈ J1, nK,
|aj,i |. Montrer que A est inversible. (On pourra raisonner par
c) Montrer qu’on a (P, Q) ∈ GLn (K) × GLp (K) tel que M = P Jn,p,r Q. En |ai,i | >
j6=i
déduire une nouvelle preuve de rg (M ) = rg (t M ).
l’absurde et considérer X ∈ Mn,1 (K) − {0} tel que M X = 0).
Exercice 9
∗
Exercice 13
Soit a1 , .. . , a
n des réels non tous nuls (n ∈ N ). On considère la matrice
Soit u : Rn [X] → Rn [X], P 7→ P + (X − 1)P 0 .
a1
 
colonne  ... 
a) Montrer que u est un endomorphisme de Rn [X] et donner sa matrice A
en base canonique de Rn [X].
an
a) Calculer C t C et montrer que C t C 6= 0.
b) Montrer que u est un automorphisme de Rn [X], déterminer u−1 et A−1 .
b) Soit f l’endomorphisme de Rn dont la matrice en base canonique est
C t C. Déterminer Ker (f ) et Im (f ). Sont-ce deux sous-e.v. de E supplémentaires ?
c) Montrer que B = (u−1 (X k ))0≤k≤n est une base de Rn [X]. Si g a une
matrice diagonale en base B, quelle est sa matrice dans la base canonique
de Rn [X] ?
2/3
Chapitre 18
Matrice et applications linéaires



d) En déduire les puissances p-ièmes de 

1 1
0 2
..
.
···
···
..
.
1
1
..
.
0
···
n+1
0

Exercices
3) Soit x ∈ E.


.

a) Montrer que pour i ∈ J1, nK, Li (u)(x) ∈ Ei .
b) En déduire que tout élément de E peut s’écrire sous la forme
x1 + · · · + xp , avec (x1 , . . . , xp ) ∈ E1 × · · · × Ep .
4) Pour i ∈ J1, pK, on note Bi une base de Ei . Soit B la famille obtenue en
Exercice 14
concaténant les base B1 , . . . , Bp . Montrer que B est une base de E.
Soit M ∈ Mn (K) triangulaire supérieure n’ayant que des zéros sur sa diagonale. Montrer que M n = 0. Il pourra être commode d’introduire l’endomor- 5) En déduire le résultat attendu.
phisme u de K n canoniquement associé.
Exercice 15
Soit M ∈ Mn,p (K). On appelle sous-matrice de M toute matrice obtenue en
supprimant un certain nombre de lignes et de colonnes de M . Montrer que
le rang de M est la taille de la plus grande sous-matrice inversible de M .
Exercice 16
Soit A ∈ Mn (K). On suppose avoir P ∈ K[X] scindé à racines simples tel
n
n
X
X
k
que P (A) = 0 (on rappelle que si P =
ak X , P (A) =
ak Ak ). Le but
k=0
k=0
de ce problème est de montrer qu’il existe Q ∈ GLn (K) telle que Q−1 AQ soit
diagonale.
On note E = Kn , u l’endomorphisme canoniquement associé à A, λ1 , . . . , λp
les racines de P (supposées simples, donc p = dřP ) et pour i ∈ J1, pK,
Ei = Ker (u − λi idE ).
1) Dans cette question, on se donne (x1 , . . . , xp ) ∈ E1 × · · · × Ep tel que
x1 + · · · + xp = 0.
a) Montrer que pour tout i ∈ J1, nK et tout k ∈ N, uk (xi ) = λki xi .
b) En déduire que pour tout k ∈ N, λk1 x1 + · · · + λkp xp = 0 puis que pour
tout U ∈ K[X], U (λ1 )x1 + · · · + U (λp )xp = 0.
c) En choisissant bien les polynômes U dans la question précédente, montrer que ∀i ∈ J1, pK, xi = 0.
2) a) Justifier l’existence de polynômes L1 , . . . , Lp ∈ Kp−1 [X] tels que
Li (λj ) = δi,j pour tout (i, j) ∈ J1, pK2 .
b) Montrer que L1 + · · · + Lp = 1.
3/3